CONJUNTOS FINITOS, ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS

[Música] Olá estudantes espero que vocês estejam bem dando continuidade a nosso nós vamos falar um pouquinho sobre conjuntos Fin finitos enumeráveis e não enumeráveis bom falaremos sobre números naturais o princípio da boa ordenação princípio da indução conjuntos finitos e infinitos conjuntos enumeráveis e conjuntos não enumeráveis bom Vamos começar com o conjunto dos números naturais aqui a gente vai construir o conjunto dos números naturais tá bom conjunto dos números naturais ele é representado por n tá bom que é esse simbolozinho aqui quem são os elementos do conjunto dos números naturais a gente chama de números naturais

Ok ã e o conjunto de números naturais estão se dados são Dados pela função S que vai tomar elementos em n levar até elementos de n tá bom tal que para cada n pertencente a n essa S de n tá bom a imagem desse n que eu tomei eu vou chamar de sucessor de n tá bom ou seja como que eu construo o conjunto dos números naturais A partir dessa função s Ok então eu vou pegar um elemento de um elemento de n eu vou definir eh o próximo elemento vai ser o sucessor desse n

o sucessor sempre é o n em questão mais um ok então a partir disso a gente constrói o conjunto dos números naturais juntamente com os axiomas de peano tá bom construção dos números naturais é fundamentada pela pelos axiomas de piano Quais são esses axiomas eu tenho aqui que a minha função S ela é injetiva ou seja dois números NS que eu tomar diferentes eles não podem ter o mesmo sucessor Tá bom então se eu tenho o número 4 e 10 o quatro o sucessor deria o c o 10 o sucessor deria o 11 Tá bom

então dois números nunca vão ter o mesmo sucessor Esse é o primeiro axioma de pano segundo axioma de peano fala que se eu pegar o meu conjunto dos números naturais menos a imagem de S quem que a imagem de S são todos os sucessores de algum número dos naturais quem que vai sobrar para mim o um tá bom ou seja o único número que não é sucessor de nenhum outro número é o um o dois o dois é sucessor do um o 10 é sucessor do 9 o 100 é sucessor do 99 o único número

que não é sucessor de ninguém é um tá bom ou seja eh esse natural é chamado um e representado por esse esse símbolo um logo para qualquer n natural a gente tem que o sucessor de qualquer número é diferente de um um não é sucessor de ninguém tá bom e o terceiro axioma de piano ele fala que se eu tomar um subconjunto X subconjunto dos números naturais Ok tal que 1 pertence a x se 1 pertence a x quer dizer que o sucessor certo para todo n o sucessor de n também vai pertencer a x

Então se um pertence a x o sucessor de um que é do também pertence a x o sucessor de dois que é três também pertence a x o sucessor de quatro de trê que é 4ro também pertence a x e assim sucessivamente então eu vou falar então que o meu X Ele é exatamente igual ao meu próprio n tá então é assim que eu construo o conjunto de números naturais certo através dessa função s que é injetiva Ok o axioma de que um não é sucessor de nenhum outro número e se eu pegar um conjunto

que é subconjunto dos naturais e esse conjunto aqui ele começa em um e ele é tal que todos os sucessores estão nesse conjunto então ele é o próprio Conjunto N Ok bom o princípio da boa ordenação e o princípio primeiro princípio de indução Primeiro vamos conversar um pouquinho sobre o primeiro princípio da indução tá tá bom que que é o primeiro princípio da indução fala pra gente então seja P caligráfico uma propriedade que envolve os números naturais Ok um satisfaz satisfaz essa propriedade P Então estou afirmando que um satisfaz a propriedade P devemos mostrar que

se essa informação se essa afirmação for verdadeira para qualquer número k específico ela também vai ser válida para quem pro seu sucessor k + 1 ok então como que é o princípio da indução o que que consiste o princípio da indução eu quero mostrar que alguma coisa é válida que alguma afirmação ela é verdadeira então como que eu mostro que essa afirmação ela é verdadeira eu vou ter que passar por essas três etapas aqui a primeira etapa é verificar a propriedade no menor caso possível geralmente o menor caso possível é n = 1 Mas isso

não é uma regra Tá bom então pode ser que eu vou tomar alguma coisa que n vai ter que ser maior ou igual a 3 tá existem exemplos dessa forma Então a gente vai provar primeiro pro menor caso possível geralmente é um depois que a gente verificou pro menor caso possível a gente vai supor tá a gente vai fazer uma suposição de que a afirmação é verdadeira para n = k Ok se vale para n = k que que o princípio da indução fala pra gente que se vale para n = k vai valer para

seu sucessor também tá bom então na na terceira etapa a gente vai utilizar essa suposição aqui em cima para provar que é verdadeira para n = a k mais 1 Tá bom então isso daqui é são os primeiro princípio da indução e essas são as etapas que a gente tem que verificar por exemplo eu afirmo para vocês que a soma dos n primeiros números naturais N maior ou igual a 1 pode ser dada por essa fórmula aqui ó então se eu quero somar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 até o

n é só eu jogar nessa fórmula aqui vamos supor que o n é 50 50 50 + 1 sobre 2 só jogar nessa fórmula aqui o valor do n e eu vou ter a soma dos 50 primeiros números Tá bom vou contar rapidamente uma história para vocês gaus acredito que todo mundo já ouviu falar de gaus mas quando ele era criança ele era um menino muito inteligente não sei se essa história é verdadeira ou não mas é a história que professores contam né Eh e agora eu conto para vocês para que algum dia vocês repassem

essa história bom eh gus era um menino muito inteligente e como qualquer menino muito inteligente ele sempre terminava muito rápido as atividades que a professora dele passava então o que que ele fazia ele ia conversar ia fazer bagunça e a professora não gostava daquilo Então ela teve uma brilhante ideia ela falou eu vou pedir esse menino para somar os números de um até 100 que aí o que que vai acontecer ele vai ter muito trabalho ele não vai incomodar nenhum dos alunos eu vou CONSEG continuar dando a minha aula normalmente os alunos vão continuar fazendo

as atividades no tempo deles né porque o Gal sempre terminava mais rápido então eh a professora fez isso então gaus terminou a atividade a professora pediu ele para somar uns números de um até 100 e ela foi continuar a fazer as coisas dela enquanto os demais alunos faziam as atividades que ela havia proposto certo e de forma muito rápida gaus entrega para ela um resultado tá muito mais rápido do que ela tava esperando e realmente era a soma dos 100 primeiros números se a gente observar 1 2 3 98 99 100 se a gente soma

o primeiro com o último dá 101 o 2 com 99 dá 101 o 3 com 98 dá 101 tá então se a gente for observar essa fórmula aqui ó a soma dos 100 primeiros números vai ser C + 1 sobre 2 ok simplifica esse 100 com do aqui vai ficar 50 que multiplica 101 ok que foi exatamente que gaus fez tá Então essa daqui é a fórmula para somar eh n primeiros números naturais tá bom ã mas só contando essa história e mostrando para vocês que de um até 100 Vale vocês devem estar me perguntando

né E se eu quiser somar de um até 1000 de um até 1 bilhão Por exemplo essa fórmula aqui ainda vai ser válida é isso que a gente quer provar com o princípio da indução Independente de quem seja n essa essa soma aqui vai ser válida e como que a gente faz isso vamos lá então a gente vai passar pela etapa um do e TR na etapa um a gente vai verificar que vale pro primeiro caso primeiro caso a gente viu o que n maior ou igual a 1 Então a gente vai tomar n igual

ao menor caso possível nesse caso aqui n = a 1 Tá bom então eu vou colocar 1 no lugar do n aqui certo e é igual a 1 e realmente a soma de um com nada mais realmente é um no segundo na segunda etapa o que que a gente faz a gente vai supor que a fórmula seja válida para n = k ou seja 1 + 2 + 3 mais um monte de coisa aqui mais k vai ser igual à fórmula que a gente tem no lugar do n a gente coloca k certo então isso

daqui é a nossa hipótese de indução Tá bom vou deixar isso aqui reservado agora a gente vai utilizar essa hipótese para provar o que a gente quer certo que que a gente vai fazer então na terceira etapa a gente quer mostrar que se vale para cá vai valer pro sucessor do k também que é o k + 1 Tá bom então que que a gente vai ter a gente vai somar aqui então ó 1 mais 2 mais um monte de coisa aqui no meio mais o k mais o k + 1 que agora não vai

mais até o k agora vai até o k + 1 certo eu quero ver o que que essa soma vai dar para mim só que eu sei o seguinte eu sei que essa parte aqui ó essa primeira parte aqui é minha hipótese de indução ó eu sei que essa primeira parte aqui é exatamente igual a isso daqui Ok então então no lugar dessa coisa Rosa aqui desse círculo Rosa eu vou colocar aquilo ali ó certo e vou permanecer com esse termo aqui tá então repeti ele aqui vocês concordam comigo que o que eu fiz aqui

até o momento foi utilizar a hipótese de indução então prosseguindo o que que eu vou fazer agora eu vou destrinchar esses cálculos aqui ó certo vou tirar o MMC ã vai dar para mim isso daqui esse e numerador aqui a parte de cima dessa fração eu posso reescrever ela dessa forma aqui tá bom vocês podem manusear os cálculos vocês vão ver que isso daqui ó é o dois aqui eu repeti então o numerador é igual a esse caso aqui tá então isso daqui é k + 1 tá que multiplica k + 1 + 1 sobre

2 quem que é k + 1 é o meu n que multiplica quem o k + 1 que é o me meu n + 1 so 2 isso daqui não é exatamente a mesma forma fórmula que a gente tinha anteriormente então o que que a gente conclui a gente conclui que se vale para cá Vale pro sucessor também então se vale pro sucessor Vale pro próximo sucessor pro próximo pro próximo pro próximo então a gente consegue tomar um n tão grande quanto a gente queira tá bom e aproximando cada vez mais da onde é que

a gente quer chegar então com isso a gente conclui que a soma dos n primeiros números naturais realmente é dado por essa fulaz inha aqui que a gente tinha visto anteriormente ok bom então a partir do primeiro princípio da indução a gente parte com o princípio da boa ordenação tá bom todo conjunto de números naturais possuem um elemento mínimo e este é único então todo subconjunto de naturais tem um elemento mínimo tá bom E esse elemento mínimo ele é único ele pode ou não eh ele pode ou não possuir elemento máximo quando ele possuir esse

elemento máximo também é único por ex exemplo eu tô pegando aqui x que é o conjunto dos naturais X é o conjunto dos 20 primeiros números naturais Então quem que é o x é 1 2 3 4 5 até o 20 tá x possui elemento mínimo isso eu estou afirmando eu tenho certeza que ele possui elemento mínimo porque todo subconjunto de números naturais possui elemento mínimo e esse elemento é único Quem que é o elemento mínimo desse conjunto é o um OK e ele também possui elemento máximo nesse caso tá nesse caso o elemento máximo

dele é 20 mas se eu definir aqui um outro conjunto que eu vou chamar de y y também é subconjunto dos números naturais só que quem que é o y agora é o subconjunto dos números pares naturais pares Ok então quem que é o y 2 4 6 8 10 12 100 200 1 bilhão certo Y pelo princípio da boa ordenação com certeza tem elemento mínimo quem que é é o dois mas nesse caso Y não é um conjunto finito certo então ele não possui um elemento máximo Tá bom então todo esse teorema ele diz

pra gente que todo subconjunto não vazio a do subconjunto dos naturais possuem um elemento mínimo Ok máximo a gente não afirma nada pode ser que tenha pode ser que não tenha há casos e casos e a gente Analisa cada um separadamente continuando conjuntos finitos e conjuntos infinitos Qual que é a definição de um conjunto finito um conjunto ele é finito quando dois casos ou ele é vazio tá E daí ele vai ser finito ou quando existe para algum número natural uma bijeção uma função bijetiva tá bom que eu vou chamar de Fi tá que ela

vai pegar esse intervalo aqui esse conjunto E n tá bom tal que n é um subconjunto dos naturais que são os elementos que vão de um até n tá bom que vai levar a função de n até x tá bom Que que isso aqui então tá falando para mim tá falando que in é um conjunto certo que eu consigo contar os elementos de um até n certo então se eu tenho uma bijeção de in até x quer dizer que a mesma quantidade de elementos de in o x também tem porque é uma objeção lembra lá

na objeção que eu tenho aqui o conjunto I aqui o conjunto x se é uma objeção então cada elemento do domínio vai tá ligado ao único elemento do contradomínio de forma única certo então isso é uma objeção então a quantidade de elementos que eu tiver em I eu também vou tá ter que ter em X por quê Porque essa também é sobrejetiva certo então isso daqui é definição de injetiva ela é sobrejetiva porque a imagem no caso aqui a imagem do meu in vai ser igual ao próprio conjunto X ok Opa aqui eu coloquei ao

contrário a imagem da minha Fi vai ser igual ao próprio conjunto X ok então é sobrejetiva portanto é uma abjeção Então quer dizer que todo elemento de I vai vai est relacionada ao único elemento de X se I tem n elementos então x também vai ter n elementos Ok E aí eu consigo quantificar Quantos elementos que o X tem tá se x é vazio dizemos que x possui zero elementos e isso aqui que eu acabei de falar para vocês é que se f é uma objeção para cada elemento do domínio Existe um único correspondente di

ente no contradomínio o contradomínio Ele é igual a imagem Porque se é objetiva logicamente é sobrejetiva então se o domínio é um conjunto dos n primeiros números naturais ó conjunto dos n primeiros números naturais o x também possui n elementos ok É como se eu tivesse mapeando o conjunto x através de um subconjunto e n que é um subconjunto dos números naturais os primeiros e números naturais OK assim a objeção pode ser interpretada como uma contagem de elementos de X ok então é isso eh quando eu quero falar que um conjunto é finito ou ele

é vazio ou existe uma objeção entre n e x Ok entre um subconjunto finito de n e x bom alguns resultados de finito aqui eu tenho um teorema que se fala que se a é um subconjunto de in Ok então considere a um conjunto de n se existir uma objeção de in e a Então significa que a é igual ao próprio in tá bom ã se x é um conjunto finito então todo subconjunto Y contido em X é finito também por não tem como eu colocar uma coisa infinita dentro de uma coisa finita Tá bom

então se x é finito todo o subconjunto dele também vai ser finito Além disso eu posso afirmar que se Y é um subconjunto de X Y não vai ser maior que x a mesma coisa de eu querer colocar uma cidade grande eh dentro de uma cidade pequena eu não consigo fazer isso certo então número de elementos de X não de Y não excede o número de elementos de X no máximo vai ser igual quando é que vai ser igual quando um conjunto for igual ao outro aí o número de elementos vai ser igual mas Y

tem igual ou menos quantidade de elementos que x tá bom ã aqui a gente tem mais um teorema Então a gente vai considerar x e y conjuntos finitos disjuntos que que significa um conjunto ser disjunto de outro conjunto significa que eles não têm interseção tá não existe nenhum elemento que está em x e em y ao mesmo tempo tá então são dois conjuntos que não se intersectam x tem X elementos e y tem yin elementos tá que a cardinalidade do conjunto X é x xinho e a cardinalidade do conjunto y é y Zinho Tá bom

então quem que vai ser a união de X com Y vai ser a quantidade de elementos de x mais a quantidade de elementos de y tá então vai ser x + y elementos E além disso como vai ter x+ Y elementos dois números somis tá então eu posso afirmar que x união com Y é finito quando eu junto dois conjuntos finitos eu continuo tendo um conjunto finito tá bom bom agora a gente parte pra definição de conjuntos infinitos então dado um conjunto x chamamos esse conjunto de infinito quando ele não for finito então quando é

que ele não é finito quando ele não é o conjunto vazio e além dessa condição temos que existe uma bijeção entre os elementos de x e os números naturais certo ou seja antes lá para definir o conjunto de números finitos eu definia uma bijeção de um subconjunto dos naturais um subconjunto finito dos naturais então dos primeiros nes números naturais que é do um até o n certo e ia contando a partir disso quantos números tinha no meu conjunto x agora para ser infinito eu vou ter que tem que existir uma bijeção que eu fi uma

função objetiva phi que vai de n n é um conjunto infinito que a gente sabe que eu consigo pegar um número natural tão grande quanto eu queira não consigo pegar o maior número natural então ele não é finito tá então eu consigo eh uma bijeção entre n e um conjunto x qualquer certo por exemplo vou considerar aqui que esse x eu vou chamar agora de p por quê Porque eu vou falar que ele é o conjunto dos números pares 2 4 6 8 10 12 100 1 milhão 1 bilhão etc então conjunto dos números pares

de cara já dá pra gente perceber que esse conjunto ele é infinito Tá mas como é que a gente realmente prova isso esse conjunto pode ser escrito da seguinte forma o conjunto dos números pares pode ser escrito da seguinte forma vou pegar um n natural certo então para todo M natural é tal que M pode ser escrito na forma de 2 vees n tá quem que vai ser então o conjunto P conjunto P vai ser o conjunto dos NS naturais tá que o m é escrito da fula 2 x n 2 x n é uma

fórmula para gerar números pares coloca n = a 1 n pode ser 1 2 3 4 5 qualquer número natural que for Tá bom coloca col n = 1 2 x 1 dá 2 dá 2 é um número par coloca n = 2 2 x 2 é 4 dá par 2 x 3 = 6 dá par 2 x 4 = 8 dá par ó 2 4 6 8 2 x 5 é 10 que é par ou seja a partir dessa número natural n existem infinitos números naturais então consequentemente vai existir infinitos NS certo então se

p é formado por ms p é infinito Tá bom então se a gente considerar que essa função phi que vai de n até p dada por phi de n é iG 2n certo claramente essa função ela é bijetora tá bom se então exibimos uma entre p e n sempre que a gente consegue uma objeção entre um conjunto e os números naturais a gente pode falar que esse conjunto é infinito Ok bom alguns resultados sobre conjuntos infinitos ã um conjunto X contido em n certo ou seja X é um subconjunto de n eu vou falar que

ele é limitado quando existe um natural n certo tal que para todo m do X esse m é menor que m tá ou seja aqui eu tenho a reta x aqui eu tenho a reta x aí eu vou pegar um M aqui um M qualquer certo então existe algum n natural maior do que esse n ó eu posso exibir esse cara aqui esse n aqui certo certo ele vai ser maior do que o meu m Ok para todo M que eu pegar se eu pegar esse M aqui esse n é maior se eu pegar esse

M aqui obviamente ele vai ser maior se eu pegar esse M aqui eu posso exibir um n aqui que seja maior certo então esse conjunto X Ele vai ser limitado quando para qualquer M que eu pegar o m tem que estar dentro do conjunto x vai existir um número n que é maior do que esse número M E aí eu vou afirmar que o m é limitado tá bom o m não necessariamente precisa pertencer ao conjunto x certo ã consideramos consideremos x um subconjunto de n e um conjunto não vazio as seguintes afirmações são equivalentes

então se eu afirmar que X é infinito é a mesma perdão X é finito se eu fizera afirmação é a mesma coisa de falar que X é limitado tá se ele é finito eu consigo pegar o máximo dele então ele vai ser limitado por esse maior valor como o máximo ele é único também então o que que vai acontecer vai acontecer que qualquer outro elemento vai ser menor que esse elemento de máximo Tá bom E além disso x possui um maior elemento tá no caso vai ser o máximo ok então um conjunto x con em

n é chamado de ilimitado quando não é limitado Ok então se contradiz isso que a gente conversou até o momento tá então não vai ser limitado ou seja para qualquer M natural vai existir um m no meu conjunto x tal que esse M vai ser maior do que esse n tá bom sempre vou conseguir pegar um número maior por exemplo Vamos considerar é um X que é os números um subconjunto dos números naturais que vão ser o conjunto dos números é pares conjunto dos números pares eu sei que o meu um bilhão é par mas

eu consigo pegar 1 bilhão do que também é par certo Então nesse caso eu sempre consigo exibir um que é maior ainda do que esse n aqui vão pegar o n = 1 trilhão certo mas eu consigo exibir 1 trilhão E2 que é maior ainda 1 trilhão e do não vai ser o limitante desse conjunto porque por quê Porque eu consigo pegar 1 trilhão qu certo então eu sempre para qualquer número que eu exibi eu sempre vou conseguir exibir um número ainda maior que ele entendeu Então nesse caso eu vou falar que ele não é

limitado ou seja ele é ilimitado certo bom continuando a gente vai falar um pouquinho agora sobre os conjuntos enumeráveis o que que são conjuntos enumeráveis então dizemos que um conjunto qualquer X Ele é enumerável quando ele é dois casos ou quando ele é finito se ele é finito ele é enumerável ou quando existe uma bijeção F Entre seus elementos e o conjunto dos números naturais Poxa mas existe uma objeção F Entre seus elementos conjuntos dos números naturais quer dizer que ele é infinito certo se existe uma objeção entre o conjunto de números naturais e ele

ele é info infinito então o conjunto enumerável pode ser infinito pode ser infinito Tá bom então ou quando é finito eu tenho certeza que ele é enumerável quando ele não é finito eu preciso olhar se existe uma objeção entre ele e o conjunto dos números naturais e aí nesse caso ele vai ser enumerável Tá bom então no segundo caso que é o caso dessa objeção a gente fala que X é é um infinito enumerável Ok então a gente também consegue enumerar infinito Unos tá bom ou seja se eu tomo X1 = F1 X2 = F2

xn = fn a gente tem que esse x aqui ó que é formado pelos elementos X1 X2 mais alguma coisa xn mais alguma coisa cada objeção F é chamada de enumeração dos elementos de X tá então eu consigo enumerar cada um dos elementos de X através dos conjuntos dos números naturais tá bom exemplo o conjunto dos números ímpares que é dado por i igual a 1 3 5 7 9 11 e por aí vai ele é um infinito enumerável por quê eu posso provar essa afirmação considerando essa objeção aqui ó uma F que vai de

n até I dada por essa função aqui 2n - 1 assim como aquela função f de n = 2n era uma geradora de números pares que a gente acabou de ver a gente pode provar também que 2n - 1 é uma geradora de números ímpares tá bom como que a gente prova que qualquer número par é gerado por essa função qualquer o número ímpar é gerado por isso daqui através do princípio da indução e aí eu deixo para vocês fazerem aí como exercício de casa tá bom são duas demonstração zinhas muito simples fácil o entendimento

que vocês conseguem encontrar em qualquer lugar da internet Caso vocês tenham dúvida tá então prov que qualquer número par M pode ser escrito como 2 x n e qualquer número ímpar que eu vou chamar de p pode ser escrito da forma 2n - 1 bom deixa isso daí então de exercício para vocês Bom conjuntos enumeráveis vamos ver agora alguns exemplos tá bom alguns resultados Eu tenho esse teorema aqui todo conjunto infinito X contém um conjunto infinito enumerável então se eu pegar um conjunto infinito X eu consigo exibir um subconjunto que seja infinito e enumerável tá

bom todo subconjunto x todo subconjunto x dos naturais ele é enumerável tá bom ou seja um subconjunto e de n que é enumerável conjunto dos números pares é enumerável conjunto dos números e ímpares de n também são enumeráveis Tá bom então todo subconjunto de n qualquer outra regra que você queira criar por exemplo conjunto dos números múltiplos de Três É enumerável tá bom então se a gente considerar um conjunto x que é um conjunto enumerável se eu faço uma função que vai de X até Y tá essa função se essa função aqui ela é sobrejetora

então esse conjunto Y quem que é y é igual ao F Dex por quê Porque é sobrejetora também vai ser enumerável tá bom se x é o domínio é enumerável então a imagem também vai ser enumerável tá bom corolário seja x um conjunto enumerável OK qualquer subconjunto Y de X também é enumerável tá o conjunto dos números racionais é um exemplo de conjunto enumerável que a gente tem bom isso daqui também é uma prova que vocês podem procurar acha bem facinho e é uma prova bem bonitinha também eh provar Por que o conjunto dos números

racionais é enumerável deixo também aí como curiosidade para vocês pesquisarem a gente entra agora nos conjuntos não enumeráveis vamos então pra definição o que que é um conjunto não enumerável a gente viu que um conjunto é numerável ou quando ele é finito certo de cara ele já é numerável ou quando existe uma objeção certo eh entre esse conjunto E o conjunto dos números naturais OK e ele não é eh enumerável quando ele é infinito e além dele ser infinito não existe uma bijeção entre seus elementos e o conjunto dos números naturais Ou seja eu estou

negando a definição de ser enumerável tá bom então aqui ele é não enumerável quando isso aqui Quando ele não é enumerável OK exemplo o conjunto dos números reais é um exemplo de conjuntos não enumeráveis é um conjunto infinito isso a gente sabe a gente não consegue listar todos os números reais é um conjunto infinito e além disso eu não consigo fazer uma objeção indo de R indo de n certo conjunto dos números naturais até o conjunto dos números reais não existe uma objeção entre r e n Tá bom então dados dois conjuntos x e y

esse símbolo aqui ó F esse f caligráfico x y aqui dentro representa o conjunto de todas as funções que saem de x e vão até Y ok aqui então a gente tem o teorema de cantor Então se a gente considerar um conjunto x arbitrário e um conjunto Y contendo ao menos dois elementos tá então o Y não pode ser vazio tem que ser tem que contar pelo menos dois elementos não existe nenhuma função phi ok que vai de X até esse conjunto aqui dessas funções que é sobre jetor tá bom isso aqui é o teorema

de cter a prova desse teorema está no livro de vocês vocês podem consultar a demonstração Mas a partir disso a gente pode vir para esse exemplo aqui que vai ficar mais bem explicado quando a gente entender esse exemplo então aqui se a gente considera então o conjunto de funções que vão de n até Y Ok eh os elementos dessa os elementos dessa desse Conjunto São sequências de elementos de y ok certo então a gente precisa provar que nenhuma função que não nenhuma função phi que vai de n até esse Conjunto F de NY é sobre

jetor tá eu quero provar que nenhuma função f é sobre jetor Ok vou rese nenhum aqui também pra gente lembrar disso Então como que a gente faz isso pra gente provar isso a gente vai falar que fi1 é igual a minha S1 a minha f 2 é igual a uma sequência S2 e assim sucessivamente tá Ou seja quando eu aplicar minha função phi no primeiro número natural que é 1 vai dar para mim essa sequência aqui certo que é y1 1 Y 1 2 y1 3 e assim sucessivamente quando eu aplicar minha função phi em

2 vai dar para mim essa sequência S2 aqui que vai ser y21 y22 y23 e assim sucessivamente Ok onde S1 e S2 são sequências de elementos de y tá Ou seja eu tenho a minha função Fi que vai de n até f caligráfico n y certo eu tô pegando qualquer cara xinho aqui 1 2 3 etc em n e eu vou levar até essa s x aqui tá então se eu pegar um eu vou levar um até a S1 se eu pegar o dois s levar até S2 Ok de modo que se eu pegar o

TR o 4 5 daí vai existir a S1 S2 S3 S4 S5 e assim sucessivamente Tá bom então ó construí o meu exemplo tá agora formamos uma sequência S vou pegar uma sequência genérica S aqui que ela vai ser isso aqui ó y1 Y2 y3 yn e assim sucessivamente tá bom essa aqui vai ser uma uma sequência de elementos de Y também tá bom eu vou escolher para cada n natural certo um elemento yn pertencente a y tá bom diferente do enésimo termo da Diagonal formada Ok Ou seja eu vou pegar um cara aqui que

um yn que seja diferente de ynn notem que aqui ó y11 Y 2 2 y33 y44 eu vou ter uma diagonal nisso daqui tal que os índices i é igual a i i é igual a j certo se eu tiver pensando numa matriz S não pertence aqui eu estou afirmando ó S não pertence a listas das sequências SN uma vez que o Eno termo de S é diferente do Eno termo de SN Ou seja eu tomei eu consegui tomar um yn de S diferente do enésimo termo de SN certo então por esse motivo nenhuma lista

enumerável pode esgotar todas as funções certo todas essas funções em fny Ou seja eu não consigo contar quantas n é enumerável certo mas eu não consigo enumerar quantas sequências que vai ter aqui dentro certo por porque esgotou Ainda quantas as N pode contar ainda passou desse limite certo então por esse motivo esse conjunto aqui ele não é enumerável Ok espero que tenha ficado Claro para vocês qualquer dúvida entre em contato com o tutor não deixem de fazer os exercícios do livro tá bom as listas de exercício fiquem atentos ao cronograma e eu vejo vocês na

próxima aula tchau [Música]