CÁLCULO 3 - AULA 3 - SÉRIES

é bem pessoal dando continuidade ao que a gente tava vendo de sequências na aula passada agora na aula 3 a gente vai começar a falar de séries que não assunto que está muito relacionado com isso meu planejamento da aula a gente vai começar vendo o que chama a série obviamente depois a gente vai ver como é que elas podem ser aplicadas para calcular alguns números decimais que estão meio esquisitos e depois serão apresentados os três tipos principais de séries que a gente começa a estudar já geométrica harmônica e a p série no final como sempre

vai ter um apanhado Geral das formas e conceitos principais que vocês podem usar para estudar ou para fazer exercícios ou na hora da prova enfim tá tudo lá no finalzinho demais importante tá começando a aula então vamos falar um pouco das séries uma série é a soma dos elementos de uma sequência Então a gente tem que sim né lembrada dos assuntos da sequência a gente não pode simplesmente esquecer porque eu trocou de assunto porque como ele está bem relacionado então todos aqueles elementos que a gente tinha na sequência conforme a gente vai somando eles a

gente forma uma série e ela pode ser infinita E aí ela representada por uma letra S se for a soma de todos os termos infinitamente da sequência como se trata de uma soma a gente agora vai ter o símbolo da somatória né que esse enorme aqui é o que que você que quer dizer que eu tô somando desde o meu termo na posição é igual um até o meu termo lá na posição infinita então meu n vai até o infinito da minha sequência lembra que isso daqui é a representação da sequência O que que a

gente tinha lá na época da sequência o A1 A2 ou A3 são todos os termos da sequência na Série A gente vai tá somando esses termos nesse caso aqui infinitamente né até o termo a m e por aí vai uma série parcial que é SQN secar representação é uma soma dos termos da sequência também só que até um determinado o termo a cá então até uma determinada posição né em que o n = k esse cabo e até onde você quer ir então agora invés de igual um até o infinito eu tenho ele ainda até

cá e a minha sonora hora vai ser o termo um dois três assim diante até chegar em casa e aí ele para ali um exemplo simples pra gente conseguir visualizar melhores conceito é por exemplo se eu quisesse fazer a soma dos quatro primeiros termos de uma sequência infinita abaixo não tem uma sequência e me ela é definida como 2 m para n um dois três quatro e assim em diante Então você conhecer 2 4 6 8 10 né são multiplicações de n por dois essa sequência infinita mas se eu quiser fazer uma série parcial né

que vai até cá nesse caso dos quatro primeiros termos Então o meu carro é quatro aqui daqui Oi eu voltei Então qual que é meu primeiro termo 2 no segundo termo quatro terceiro termo seis e o quarto termo oito então peguei os quatro primeiros termos somei eles e obtive 20 Então esse 20 é o valor da minha série parcial com K = 4 e assim como as sequências as séries também podem convergir ou divergir e vai ser bem parecido com antes a série convergente ela tem um limite infinito Então ela atende um valor real quando

eu começo a somar muitos termos né vários termos com ele tendendo a infinito por isso eu conto mais valores eu somar mais próximo ela vai chegar desse valor real Oi e a série Divergente não tem um limite infinito e ela não tem de valores reais quando a gente tem essa aproximação aqui e é basicamente a mesma coisa da sequência só que aplicado no conceito da série agora para conseguir encontrar o valor para o qual a série está convergindo vão existir métodos que vão ser estudados ainda para poder fazer isso assim como a gente viu os

conceitos de limite lá na sequences aqui também vão ter outros métodos por mais que a gente ainda desconhece esses métodos é importante falar de algumas propriedades de séries que são convergentes E então é só valem para esse tipo de série e elas vão gerar outras séries que também são convergentes é a primeira propriedade da Constante então se eu tiver uma constante c número real né no constante multiplicando Aquela minha fórmula do termo geral da sequência eu posso passar para fora né perceber que que tava dentro da somatória posso passar para fora da somatória essa constante

e se vocês facilita um pouco a conta se eu conseguir identificar na minha série uma soma de dois fatores né uma subtração de dois fatores eu posso separar eles também então uma única série que tem um fator mais o outro eu vou separar em duas séries e vou somar elas ou subtrair elas são regrinhas bem simples mas Lembrando que ela só valem para séries convergentes mas é para o interessante desse conteúdo né sendo aplicado para alguma coisa é para gente descobrir alguns números decimais infinitos e eles podem ser expressos através de séries por exemplo o

pe a gente tem que ouvir ele é não é uma sucessão infinita de várias casas que às vezes até parece um aleatórias mas eu consigo escrever isso daqui de uma maneira que se assemelha a uma série que uma série O que é uma soma infinita de termos né que segue alguma lógica então eu posso separar pegar esse três aqui que a constante e colocar ele aqui né E aí todo esse essa parte aqui se assemelha a uma série percebam que eu tenho as potências de 10 aumentando né porque porque por exemplo esse um tá na

primeira casa decimal Então tem um sobre a 10 PS4 tá na segunda casa decimal então eu vou ter ele / sem esse outro Hum tá na terceira casa então dividido por 1000 e assim vai então percebendo que eu consigo escrever né esse número pi em uma série em uma soma infinita de termos esse slides um pouco mais visual né Ele é colorido e tal não tem nenhuma conta muito complexo mas a gente ainda vai fazer um exercício relacionado a isso então guardem bem esse esse tipo de análise partindo então pra algumas séries que são um

pouco mais importantes porque ela se destacam tem alguma propriedade diferente A análise vai começar aquela série geométrica uma série C geométrica significa que todos os termos da sequência que geram essa série são multiplicados por um termo de valor R elevado a n - 1 na mesma maneira que antes a gente vai ter uma série geométrica que pode ser infinita ou parcial dependendo de quantos termos esteja somando né na geométrica infinita então eu vou ter o meu termo a sendo X R elevado a n menos um Lembrando que né Em ambos os casos lá tem que

ser diferente de zero se ele for zero essa multiplicação que vai zerar E aí eu vou ter uma soma infinita de zeros nesse a 0 mas era mais zero vamos adiantar nada o quê que esse termo implica aqui para mim que que vai acontecer nos meus termos E se o meu n for um eu vou ter um menos um que dá zero e r elevado a zero é um Então como vocês aqui não existisse né vai ficar só Olá como eu n sendo dois aqui eu vou ter dois menos um que dá um ficar é

relevada a primeira que eu tenho aqui né bom então vocês podem perceber que vai aumentando na posição três S3 - 1 que dá dois fica ao quadrado e assim vai essa é a característica principal da série geométrica ela vai ser uma soma né uma soma infinita porque ela é uma série e os termos eles vão ter esse serres que vão aumentando de potência a mesma coisa vale para série geométrica parcial única diferença como antes só que agora ao invés de pro Infinito ou tem um valor cá né se eu quiser a soma das primeiras cinco

dos primeiros cinco termos meu carro vai ser cinco então ele não vai até o infinito igual aqui tô fazendo exemplo da soma de uma série parcial a gente pode ver um pouco mais fácil como é que funciona então peguei aqui a soma parcial de uma série né com K = 5 Então vai ter nenhum até 5:00 eu tenho esse termo aqui na minha fórmula que eu posso perceber que esse sete ele é o meu a Porque ele é o termo que tá meio sozinho e esse termo aqui ele é meu R porque a ele que

tá acompanhado né porque ele tá levado a em menos um escrevendo meu tênis aqui embaixo eu tenho nenhum dois três quatro cinco é só substituir os valores para vocês verem como vai funcionar então para o meu e nenhum eu teria um menos um que dá zero e aí se térmica que vira um Então eu tenho só 7 como resultado site tá aqui com m2 Eu tenho dois menos um que dá um então fica sete vezes menos meio fica menos três e meio é com n três eu tenho três menos um que dá dois não fica

sete vezes menos meio ao quadrado que vai dar um 75 então assim eu vou aplicando esses valores aí depois eu vou somar todos eles né E é claro que tem alguns temos aqui que são negativos Então vamos ensinar um deles né eu tô fazendo um somatório Mas isso não significa que eu vou mudar o sinal e fazendo a sua conta desses primeiros cinco termos sendo somados eu tenho 4,81 Ah então beleza é só uma da série parcial mas se eu quisesse saber o resultado da soma infinita se eu continuasse contando até o infinito para qual

valor isso daqui se aproximaria atenderia é claro que vamos ter que fazer uma análise da convergência ou da divergência dessa série e isso vai depender na série geométricas da variável R na desse termo aqui então agora vai ser feita uma análise de convergência e divergência da série geométricas infinitas supondo que não é igual a um eu tenho né que em cima formal normal dela e aqui com um percebam que não importa o valor de m né Se for um dois três quatro cinco eu sempre vou ter um elevado alguma coisa isso sempre vai dar um

portanto a minha série sempre vai ser a vezes um mas às vezes um ele vai ficar a + a + a + a + a + a cá vezes eu vou somar um número Cadê vezes então sei que a minha série vai ter esse valor aqui se eu fizer 11 é isso com o cara tem dentro para o infinito é claro que eu tenho infinito vezes alguma coisa vai continuar dando infinito se o ar foi um valor negativo aí eu vou ter menos infinito né Por causa da multiplicação mas ainda sim é mais ou menos

infinito portanto está divergindo não é um valor real o limite não tem um valor real portanto Diverge então sei que se morre Forum não importa qual for meu a vai divergir se o erro for diferente de um ele pode assumir muitos valores né vários números são diferentes de um Então a gente vai fazer uma gambiarra para poder deduzir de outra forma né fazer uma uma manipulação algébrica também chamada de gambiarra eu vou pegar que o meu formato padrão de uma série parcial né conca e aí eu vou multiplicar os dois lados vamos explicar esse lado

aqui e todo esse lado aqui o flash Então vou ficar com r e a soma parcial E aí é como se tivesse andado nessa série aqui desse lado então o a vai ficar aí que eu expliquei por aí o a r vai ficar aí é quadrado ele vai sempre somando um nas potências né em relação antes então eu ia terminar com a elevado a k - 1 agora fica só cá mas por que que eu fiz essa multiplicação por hérnia da onde eu tirei isso é uma coisa que você não precisa pensar de falar como

eu pensaria nisso mas sem entender porque é uma maneira de a gente chegar no resultado né uma demonstração matemática então fazendo isso agora eu tenho Temos que se anulam ele vai sobrar dois termos específicos aqui que a gente precisa para poder montar uma regra mas geral todos vocês temos aqui em azul vão sendo lá quando eu fizer um subtração e é isso mesmo que eu vou fazer então aqui em cima repetir aquelas coisas né para os resultados que a gente tinha da série normal e da série X R dos dois lados Oi e aí eu

fazer ela normal menos é sério multiplicada eu vou cancelar todos esses termos aqui que estão em azul E aí vai sobrar o ar e o RK eu fico aqui com a - RCA Se eu colocar esse termo aqui sk em evidência eu tenho vai ficar vezes um que da sk sk vs - R que vai dar menos é recitar Então beleza aqui e aqui é só repetir o que eu já tinha antes agora vou pegar isso daqui e vou passar dividindo para o lado da direita Então vou ficar com s k = isso é dividido

por 1 - R que eu passei dividindo novamente colocando em evidência aqui o valor a eu fico com a vezes um que vai dar o e às vezes menos R ^ ca fica menos a elevada cartão fiz um rearranjo aqui né uma gambiarra como eu tinha dito eu cheguei nessa expressão aqui é esse resultado que a gente vai usar para definir os casos quando é diferente de um tão todos daqui foi só para chegar não termos que eu preciso para poder explicar isso daqui para vocês então você tem que lembrar dessa famosinha aqui então trabalhando

no quisito do meu é diferente de um vamos analisar o primeiro caso em que o módulo Dr é menor que um que que significa falar isso falar isso significa a mesma coisa que falar de mal R tá entre - 11 né se você fizer comparação esses dois jeitos aqui é a mesma coisa nós somos da escrita bom então para os casos que o r está entre esses dois valores e eu vou fazer um limite Conca tendendo ao infinito do meu sk só que a gente tinha visto aqui atrás que o sk pode ser representado com

esse termo especial que eu falei Ah então tá fazendo um limite desse termo bem esse é meu carro tá atendendo para o Infinito Esse é relevado aqui ele vai tender a zero é porque isso porque a gente tá falando aqui é que o r é menor que 1 o módulo Dr é menor que um tão que que eu tenho aqui né esse r i ^ ca Eu tenho um valor que é menor que um como por exemplo 0,5 elevado a cara que tá atendendo para o Infinito então elevado a 9 9 9 9 9 segundo

isso daqui tende a zero vai ser um valor tão pequeno que ele vai tender a zero por isso acontece por causa dessa base que ela é menor que um desses expoente é que vai ser muito muito muito grande é bem sei se é Ricardo atendendo a zero a vezes Aqui tem de zero também isso daqui desaparece eu fico com a sobre um menos é que que isso aqui me diz então que fazendo o limite eu tô testando a convergência né eu descobri que no caso do RC diferente de um e o modo dele ser menor

que um minha série vai convergir e um valor real que é a sobre o meu R é isso daqui seu substitui os valores lá da minha série do ar do Erre isso daqui vai ser para onde ele está convergindo talvez agora seja um pouco confuso mas é só a gente lembrado essa regrinha aqui que eu já vou aplicar ela não exemplo e fica mais fácil entender tô mudando agora um pouco ainda não Sr for diferente de um mas no segundo caso agora pro módulo Dr maior do que um flácida que significa o quê Essa é

a mesma coisa que dizer que meu R é menor que -1 ou que o meu é maior que um tá esse daqui são coisas equivalentes né a gente escreve assim porque fica um pouquinho mais simples e agora aquele termo chave lá RCA que eu tinha na minha expressão vai atender por mais ou menos infinito né porque lembra antes aqui atrás a gente tinha uma base muito pequena para um valor muito alto e agora que o meu módulo é maior que um eu vou ter uma base grande como por exemplo 2 para um valor muito alto

como por exemplo 99 99 em diante Então esse daqui vai ao invés de dar zero vai dar um Infinito ou menos infelizmente não vai dar um valor muito alto então vai divergir porque a gente voltar aqui né a gente não vai poder ignorar esse termo é Ficaria um valor infinito aqui em cima / alguma coisa então no fim das contas ele vai divergir Tô dando uma organizada em tudo que a gente descobriu né você não precisa necessariamente tem entendido se você tiver entendido é bom mas a parte principal tá aqui se o meu R for

igual a 1 a senhora vai divergir E se o módulo dele foi menor que um a série converge e esse daqui é o valor da convergência dela e esse módulo for maior que 1 ela diverte também Todas aquelas contas eram só demonstrações de como a gente chega nesse resultado aqui então como eu disse você não precisa necessariamente entender mas se você tiver entendido é bom é uma curiosidade Vamos agora para algumas implicações disso para ficar um pouco mais fácil exemplo um eu quero descobrir se essa série aqui que é três vezes meio levado ainda menos

um converge ou Diverge em de novo eu tenho bem fácil aqui de identificar o meu as3 que é o termo está sozinho e o r é o meio porque é ele que tá levado em menos um essa série infinita que eu tô querendo descobrir é que vale é o quê né se menina que é um dois três quatro Então se meu e nenhum eu tenho G1 - 10 se termos some fico só com três Ok se não ele é dois Eu tenho dois menos um vai dar um então fica três vezes e meio igual tá

aqui você meu bem né três fica três menos 12 então fica três vezes meio ao quadrado é que tá aqui então essa série ela essa soma né desses termos da sequência o meu R nesse caso como eu falei é meio certo então ele é diferente de um e o módulo dele é menor do que um meio o módulo dele continuar sendo meio é menor que um Então como a gente tinha visto ali atrás nas regrinhas quando o modo lá menor do que uma série converge nesse valor então eu sei que essa série que vai convergir

nesse valor a sobre 1 - R e o meu é 3 e o meu é remédio e resolvendo só continha aqui tá chegando vocês então vocês era convergente e ela conversa no valor 6 e eu fiz aqui para vocês um gráfico para mostrar um pouco mais visualmente como que é essa convergência então aqui nesse x a gente tem os valores de n e não é xu Y tem os valores da soma parcial que tá acontecendo né então quando eu tenho um termo só e esse termo vale3 e essa parte aqui certo na posição dois eu

tô pegando esse termo e somando com 3 meses e meio vai dar um e-mail então três mais um e-mail vai dar quatro e meio Olha só ele tá bem aqui no quatro e meio E aí na posição três que é o p3 eu vou ter isso mas isso mas isso daqui fazendo essa soma eu vou chegar em 5 e alguma coisinha e na posição quatro eu vou ter esses três mais isso daqui aí de novo chega em cinco mais alguma coisinha Porque senão que a gente pode perceber que tá falando uma curva que não é

que tá crescendo cada vez menos e graças a conta que a gente fez aqui a gente sabe que ela vai convergir em seis então fiz uma reta aqui no Y vocês e a gente consegue ver claramente que ela vai começar a convergir e ela vai começar a crescer bem devagar né nunca vai chegar não sei se mas ela vai convergir não sei se vai entender avô Garcez se vocês quiserem entrar nesse gráfico para dar uma olhada nos valores nos pontos que eu querer é só entrar no link aqui do geogebra Lembrando que esses slides estão

na descrição do vídeo outro exemplo agora exemplo dois quero descobrir se essa série aqui converge ou Diverge e novamente eu consigo analisar que esse daqui é meu valor a porque ele tá sozinho nem sempre vai ser tão fácil assim Às vezes a gente tem que mexer um pouco na na forma né até encontrar um valor que está sozinho e outro valor tá elevado a n - 1 e nesse caso dois é o r eu não vou explicar de novo como funciona mas enfim vocês lembram que a gente tem os valores de n das posições né

então é só e substituindo aqui eu vou encontrando os termos e depois eu vou Somando todos esses termos nesse caso aqui o meu é diferente de um porque ele é dois e o módulo dele módulo de 2 continuar dois é maior do que um e nessas condições aqui como a gente viu lá atrás vai divergir bom então a gente sabe que vai chegar até o infinito olhando para o gráfico disso dá para ver de uma maneira bem simples porque que ele vai chegar ao infinito eu tô somando temos muito alto né tô somando 3 com

6 com 12 e assim em diante então tô só somando valores que estão cada vez ficando maiores então perceba aqui no meu ponto um eu vou ter o três certo no meu ponto dois é voltei ou 3 E aí mais vocês Já são nove quase no 10 o meu ponto três eu vou ter isso daqui mais isso é já aumenta e observe só começar a curva ela vai aumentando tão rápido né Vai ficar difícil do riscar aqui mas a gente consegue claramente perceber que ela tende para infinito nela vai subindo extremamente rápido e vai preenchimento

a nova se vocês quiserem ver o gráfico lá no José Braz só clicar aqui no link eu tomando agora não exemplo 3 uma coisa que eu tinha feito lá atrás né a gente já chegada no resultado aqui para uma uma série parcial Eu perguntei a ela se eu quisesse saber o resultado dessa soma infinita né porque eu fiz com cinco termos aqui mas isso daqui não é exato né porque eu fiz com cinco termos eu quero saber se fosse infinito qual que seria o valor e agora a gente consegue calcular eu sei que o módulo

do meu R é menor que 1 e olha só eu tenho menos meio o módulos menos meio é meio então modo Dr é menor que um sabendo disso eu sei que o valor da convergência é a sobre o menos R O meu era sete o meu R é esse daqui menos meio e a gente chega em aproximadamente 4,66 Então olha só aqui não é exato ainda né Conforme você faz somando e subtraindo esses valores ele vai ficar subindo descendo Mas vai chegar um ponto ele vai começar a convergir nesse valor aqui bom então antes a

gente não sabia qual era exatamente o valor porque a gente não tinha essa fórmula mas por causa daquele resultado lá matemática agora a gente consegue saber com uma precisão bem maior para onde ela converte se eu analisar graficamente os valores né os pontos dessa sequência e os valores da série então tenho aqui os valores apenas da sequência só os termos depois eu tenho da série que são eles sendo somados sucessivamente a gente vai ver duas coisas a sequência está convergindo para zero então alta ela vindo aqui aqui aqui aqui só que ela tá atendendo a

Sarah mas a série está convergindo para 4/66 que a gente encontrou tão bem vindo e a tendência ele vir nessa reta aqui que eu quatro 66 e essa questão da série convergir para um valor e a sequência para zero é uma tendência que a gente vai estudar então guardem bem isso mas eu vou entrar aqui no link dos gráficos para poder explicar para vocês agora um pouquinho mais detalhado nós como funciona esse gráfico porque você sempre um pouquinho mais interessante de analisar Quais são os pontos da sequência que eu tinha aqui no meu slide por

meu M1 eu tinha 7 para um ano e dois eu tinha menos três e meio por exemplo Então olha só são esses dois pontos aqui por meu valor N1 aqui na xuxis eu tinha 7 horas depois para mim o valor 2dn eu tinha menos três e meio Olha só ponta 2 - 3 e meio o enfim esses azuis eles são os pontos da sequência são só os valores da sequência Eles não estão sendo somados nem nada só tô colocando eles aqui que acontece agora vou começar a colocar os valores da série né que é a

soma dos pontos da sequência o primeiro deles vai ser o 7 vai ficar em cima igual E aí agora vou pegar esse set e vou somar com o próximo ponto que ao menos três e meia então ele caiu um pouquinho E aí agora esse valor aqui eu vou somar com o próximo ponto que esse um e alguma coisa E aí ele subiu um pouquinho agora isso daqui eu vou somar de novo com próximo que mais ou menos menos um ali então de ser um pouquinho novamente vou somar com o próximo então percebam que ao passo

aqui a sequência está convergindo para 0 né a tendência dela vir para cá e a série ela está convergindo para um outro valor que aproximadamente 4,7 que a gente encontrou com a fórmula Então esse gráfico aqui Eu só expliquei Eles mandaram um pouco mais detalhado para mostrar para vocês como muda né como uma coisa está convergindo para uma coisa e a outra está convergindo para outro qualquer relação então das séries e das sequências se uma série for convergente igual aconteceu agora pouco no 4.76 então seco limite da sequência vai ser zero bom então se a

série converge eu sei que a sequência é sempre converte para 0 Mas isso não significa que se eu fizer o limite de uma sequência qualquer e de 0 a série vai convergir por exemplo eu não sei se daqui né supondo fiz um limite de uma sequência e deu zero eu posso afirmar que a série dela converge não E se eu souber que é sério converge eu posso afirmar que a sequência converge 10 mas não o contrário né uma coisa que só vai de um lado ela não volta essa afirmação não volta o que eu posso

falar que esse limite da sequência não existir ou ali for diferente de zero então a série vai divergir é importante ressaltar que essas regras valem para qualquer série não só para geométricas né a gente tava falando ali atrás da geométricas mas essa conclusão a que a gente chegou vale para qualquer série e para encerrar o assunto da série geométricas eu tenho assunto quatro já tinha falado pra vocês que a gente ia voltar naquela questão dos números decimais na infinitos como apresenta UPI nesse exemplo que eu tô falando escreva o número abaixo como uma razão de

inteiros né como uma divisão de números inteiros e o número é 2,3 17 com essa Barrinha aqui nessa barra significa que esse 17 fica repetindo né uma dízimo não ficar 17 17 17 e assim vai é por causa dessa repetição o que que eu posso fazer eu posso observar que eu tenho o 2.3 né constante aqui e depois eu tenho o 17 / 10 a terceira porque aí ele vai ficar nessas duas casas aqui Tá certo E aí se eu somar mais 17 / 10 a quinta aí ele vai vir para essas duas casas aqui

aí se eu somar 17 sobre 10 a 7 horas essas duas casas aqui então esses termos aqui né eles são responsáveis por e acrescentando esses dezessetes mas isso vai infinito né que eu escrevi só uma parte se eu analisar essa parte aqui então hoje eu percebo que isso é uma série geométrica com o meu a sendo 1710 a terceira Porque ele é o primeiro termo e aí eu tô sempre multiplicando isso por um mês 10 ao quadrado porque né eu tenho em 17 110 a terceira são multiplicar por um 110 ao quadrado e vai ficar

17 sobre 10 a quinta que é o próximo termo E aí você multiplicar de novo por um sobre 10 ao quadrado e vai ficar 17 sobre 10 éticas que é o próximo termo Então isso é uma série geométrica com esses valores Aqui foram meu RNA um módulo deles é menor que um eu posso usar aquela forma que a gente encontrou Oi e aí eu sei que esse número eu vou poder escrever como com dois pontos três constante né ele não muda mas aí meu 17 é infinito então ele fica mais no valor de ar O

que é esse daqui é sobre um menos o valor de R né De acordo com a forma não é esse aqui o resolvendo essa expressão aqui eu não vou dar muito detalhe nisso eu chego em 1147 / 495 se eu fizer essa conta aqui essa razão de inteiros que eu queria e eu vou chegar aproximadamente nesse daqui e eu pensei bom como eu consegui representar um número uma dízima periódica com uma razão de inteiro só por causa das séries as séries das sequências tô mudando um pouco a página agora deixando a série geométrica de lado

que eram as partes mais complicadas né por isso que tinha mais exemplos agora um pouco mais tranquilo começa a série harmônica ela é caracterizada pelo termo um sobre m Então antes a gente tinha lá o a vezes é elevado a n - 1 agora eu tenho o característico é um sobre ele a renova a gente tem a possibilidade dela ser infinita ou parcial Simone foi um fica um sobre um Cilene fere dois na segunda posição um sobre dois ficam sobre dois Cilene foi três na terceira posição 1 sobre 3 não ficam subi três e assim

vai então até uma carinha bem bonitinha né Bem Simples diferente da geométrica ela um pouco mais fácil de identificar analisando a convergência divergência desse tipo de série da harmônica a gente vai perceber que ela é sempre divergente esse resultado vai vir um pouco mais para frente eu vou explicar o porquê disso mas a gente pode ver no gráfico não parece tanto aqui aqui parece que ar ela vai começar a convergir em algum valor né porque ela tá crescendo Meio devagar mas ela cresce devagar só que ela sempre continuar crescendo vocês podem entrar nesse link aqui

para dar uma conferida no gráfico mas por mais que visualmente não pareça tanto né que ela vai divergir que ela vai ir para o Infinito ela é assim divergente a gente vai é pertinho então para PC série é um outro tipo de sério diferente da harmônica ela vai ser caracterizada pelo termo um sobre m = harmônica só que se n vai estar elevado a p e é possível ver que harmônica então é uma percebe porque se for um e me levado a um ficar um aí eu tenho um sobre ele é uma harmônica tão harmônica

é um caso da ter série né quando o pé e Vale 1 o tanto que é cara da Periferia infinita e parcial é praticamente a mesma né da harmônica só que a diferença que sempre vai ter esse termo pé aqui que o exercício vai determinar para você para analisar a convergência divergência da ter série A gente vai ter que testar para diferentes valores de p isso é uma coisa um pouco complicada de fazer mas vamos fazer alguns testes aqui se eu te for menor quiseram eu vou ter o limite né para testar convergência do Entender

no infinito G1 sobre elevado app para resolver isso daqui eu posso pensar o seguinte se o meu pé menor que zero vamos assumir por exemplo que ele é menos um tem um número menor que zero bom então teria um sobre m elevado a menos 1 e para trocar esse expoente eu posso inverter essa fração então ficaria n levado a primeira sobre um é uma propriedade das fracções ele basicamente eu tenho então não posso ignorar isso daqui posso ignorar isso aqui eu tenho 1 m esse meu n tá atendendo o infinito então meu limite vai entender

por infinito também porque só tenho nl bom então a gente tem uma divergência porque tenho de pro infinito chutando agora que meu pé zero que que você vai fazer o ar eu voltei um é sobre elevado a zero elevado a zero qualquer coisa levado a 0 vai dar um fica um sobre um G1 E por que que ela Diverge nesse caso porque Lembra daquela regrinha que a gente conversou aqui atrás né lembrem-se disso se o limite da sequência não existir ou ele for diferente de zero que esse caso aqui naquele é um então é diferente

de zero eu sei que a série vai divergir então por causa desse resultado eu sei que minha série Diverge porque o limite é diferente de zero e agora com o pé valendo um que aquele caso da harmônica que eu falei porque fica um sobre ele é levado a um vão ficar um sobre ele se eu eu não tá atendendo é finito Eu tenho um dividido por infinito que vai se aproximar de zero Ah mas isso não significa necessariamente que a série converge é porque lembra né Se vocês lembrarem dessas condições aqui volta um pouco na

aula mas se dá zero não significa necessariamente que a série convergem Ah então tá gente fez as análises um treino meio matemático Mas e aí qual que é a conclusão que a gente chega disso para poder criar uma regra mais geral a gente precisa de um artifício que não tem ainda que é o teste da integral que eu vou apresentar na próxima aula então eu vou simplesmente passar para vocês essa esse resultado né se o meu perfil é o maior que um até série vai convergir E se ele for menor é igual a um ela

vai divergir novamente a série harmônica é uma prefere com P = 1 por isso que ela sempre divergente lembra que eu tinha falado lá atrás que ela era sempre divergente por mais que o gráfico não parecesse tanto né ela parecia que ia parar de crescer mas ela na verdade está crescendo então o gráfico não é tão fácil de ver de entender mas com esse resultado aqui a gente entende o porquê que ela sempre divergente e Esses foram os últimos conceitos para apresentar hoje agora como sempre tem aqui as formas e os conceitos principais para você

que quer revisar aula ou consultar fazendo exercício enfim eu tenho conceito da série infinita as propriedades que eu apresentei das séries convergentes e tem esses laje aqui que é muito importante muito muito importante para a gente fazer isso muito que é os três tipos de sério então a geométrica e os valores para Cola converge ou Diverge harmônica e até série com esse a gente encerra aula eu sei que o conteúdo disseres ele é um pouco mais pesado do que as sequências que a gente tava vendo mas também se se tivesse ficado alguma dúvida vocês podem

me perguntar como sempre nos comentários falar o que vocês acharam da aula se ele ficou fácil de entender ou não enfim vão me dando um feedback eu vou ajudando vocês e acho que é isso tá aparecendo aí para vocês a tela das doações para você que quer apoiar o canal com qualquer valor Além disso você pode deixar um like também mandar para algum amigo também tá a matéria enfim canal também tem várias outras coisas interessantes então você pode dar uma olhada mas é isso obrigado pela atenção e a vez de vocês nas próximas aulas