vamos a calcular mediante el criterio de la segunda derivada las concavidades y los puntos de inflexión de la función x cuarta más 8 x al cubo el primer paso que tenemos que hacer es calcular entonces la segunda derivada de nuestra función por lo tanto tendremos que derivar la expresión y después volver a derivar la derivada de nuestra f x sería igual a 4x al cubo que es la derivada de x cuarta más 24 x cuadrada que es la derivada de 8x al cubo vamos a volver a derivar y tenemos la derivada de 4x al cubo
sería 12 x cuadrada y la derivada de 24 x al cuadrado es 48 x el siguiente paso va a ser calcular los puntos de inflexión y para esto vamos a despejar la x en la segunda derivada igualada a cero es decir vamos a partir de 12 x cuadrada más 48 x igual a 0 y vamos a despejar la x lo primero que podemos hacer aquí es factorizar el 12 puesto que el 12 está multiplicando a la x cuadrada y en la x tenemos un 48 que es igual a 12 por 4 nosotros podemos factorizar nos
quedaría 12 que multiplica x cuadrada más 4 x ahora aquí simplemente podemos pasar el 12 dividiendo hacia la derecha para eliminarlo y nos quedamos con x cuadrada más 4 x igual a 0 lo que podemos hacer aquí ahora es factorizar la x puesto que tenemos un término en x en cada uno de los términos que están sumando nos queda x que multiplica x 4 es igual a 0 y como aquí tenemos una multiplicación de dos términos que es igual a cero entonces nosotros podemos asumir que si cualquiera de estos términos fuera igual a cero nos
daría nuestra igualdad por lo tanto los separamos en dos en que x sea igual a 0 y aquí tenemos nuestro primer punto de inflexión o bien que x + 4 sea igual a 0 y si despejamos nos dará que x es igual a menos 4 entonces ya tenemos que nuestra función tiene dos puntos de inflexión cuál va a ser el siguiente paso vamos a ver la concavidad de la función a la izquierda y a la derecha de cada uno de los puntos de inflexión por lo tanto vamos a sustituir en la segunda derivada un valor
menor al 1er punto de inflexión que es menos 4 un valor que esté en medio de los puntos de inflexión y un valor que sea mayor al segundo punto de inflexión que es x mayor a 0 vamos a empezar con el que es menor a menos 4 voy a tomar menos 10 tendríamos que la segunda derivada de evaluada es menos 10 es 12 x menos 10 al cuadrado más 48 x menos 10 10 al cuadrado es 100 por lo tanto nos quedan 1200 menos 480 que es igual a 720 lo que vamos a notar es
que el 720 tiene un signo positivo y como nos dio es positivo entonces las funciones cóncava hacia arriba en x menor a menos 4 ahora vamos a hacer lo mismo con el valor que esté entre menos 4 y 0 podemos tomar menos 1 que está en medio de los dos valores y sustituimos en la segunda derivada nos quedaría 12 x menos 1 al cuadrado más 48 x menos uno menos 1 al cuadrado es 1 por lo tanto nos quedan 12 menos 48 que es igual a menos 36 esta vez obtuvimos un signo negativo por lo
tanto la función es cóncava hacia abajo en medio de los puntos de inflexión por último vamos a tomar un valor mayor a 0 podemos tomar el 1 y sustituimos nos queda 12 por 1 al cuadrado más 48 por 1 que es lo mismo que 12 48 y es igual a 60 como tiene signo positivo entonces la función es cóncava hacia arriba a la derecha del segundo punto de inflexión ahora nosotros podemos sustituir los valores del punto de inflexión en la función original para obtener las coordenadas de los puntos en la gráfica y poderlos trazar en
una gráfica si sustituimos el 0 obtendremos que la función es igual a 0 por lo tanto un punto de inflexión está en 0 0 si sustituimos el menos 4 obtendremos que el valor de la función es menos 256 por lo tanto el segundo punto tiene coordenadas menos 4 menos 256 y nosotros podemos trazar estos dos puntos en la gráfica y observar como la gráfica inicia con una concavidad hacia arriba después tiene una concavidad hacia abajo en medio de los puntos de inflexión pasando el segundo punto de inflexión en 0 0 tenemos otra vez una concavidad
hacia arriba como habíamos demostrado con el criterio de la segunda derivada
