Kap. 2.5 Zusammenschaltung resistiver Zweipole - Teil 2

in diesem Vorlesens Video soll es jetzt also noch mal um die Reihen und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen gehen und wir werden das sicherlich ein kleines bisschen schneller abhandeln können da vieles davon schon aus der Schulzeit wahrscheinlich bekannt sein wird also die Reihen und Parallelschaltung von Widerständen so und ich werde das jetzt so handhaben dass ich mein elektronischen Bildschirm quasi jetzt ja mehr oder weniger Teile auf der linken Seite werde ich jetzt also das Beispiel da reinschaltung skizzieren und auf der rechten Hälfte die Parallelschaltung und dann werde ich das so untereinander herleiten das heißt ich werde

diese Trennung jetzt vorerst einmal beibehalten also auf der linken Seite behandeln wir jetzt die Reihenschaltung von zwei Widerständen und auf der rechten Seite die Parallelschaltung von zwei Widerständen so das ist der Widerstand R1 und der Widerstand R2 über den Widerstand R1 haben wir dem Spannungsabfall U1 und über den Widerstand der 2 messen wir den Spannungsabfall U2 und auf der rechten Seite hätten wir hier den Widerstand R1 parallel zum Widerstand R2 und durch den Widerstand R1 fließt der Strom i1 und durch den Widerstand R2 fließt der Strom i2 und in rot zeichne ich jetzt nach ein

den Strom den Strom und die Spannung des resultierenden Scheidung werden von dem gemeinsamen Strom durchflossen und über der gesamt Anordnung habe mit den Spannungsabfall u und bei der Parallelschaltung haben wir also über beiden Widerständen den gemeinsamen Spannungsabfall u und in die Anordnung herein ist jetzt der Strom i okay schauen wir uns also zunächst einmal die Reihenschaltung an wir hatten bereits im vorangegangenen Video geklärt dass die Gesamtspannung die Summe der einzelnen Spannungsabfälle über diesen zwei Polen ist das heißt die Spannung U ist die Summe aus U1 und U2 diese Gleichung kann ich jetzt dividieren durch den

Strom i und erhalte damit folgende Gleichung gut durch i ist gleich U1 durch i Plus und 2 durch i ja und das sind ja jetzt jeweils Widerstandswerte ich halte also auf der linken Seite den Gesamtwiderstand der Anordnung und U1 durch i liefert mir den Widerstandswert R1 und U2 durch i den Widerstandswert R2 das heißt der Gesamtwiderstand der Anordnung ist die Summe der einzelwiderstände und ich kann das auch ausdrücken durch die Leitwerte der Widerstand ist ja der Kehrwert des leitwertes das heißt hier steht eins durch G ist gleich 1 durch G1 plus 1 durch G2 so

und dieses Ergebnis Rahme ich jetzt hier noch mal rot ein für die Reihenschaltung von zwei Widerständen das heißt wir halten fest bei der Reihenschaltung von zwei Widerständen addieren sich die Widerstandswerte bzw es addieren sich die kehrwerte der Leitwerte und als Ergebnis erhalten wir dann dabei ein ersatzanordnung ausgedrückt durch noch einen Widerstand mit dem Widerstandswert R und dieser Widerstandswert er ist also wie oben bereits steht die Summe aus R1 und R2 okay ich komme zur Parallelschaltung hier hatten wir im vorangegangene Video bereits festgehalten dass der Gesamtstrom sich ergibt aus dem knotensatz zur somit der Einzelströme also

i1 und plus i2 und diese Gleichung kann ich jetzt dividieren durch die Spannung ich hatte die U2 geschrieben ist natürlich Uwe entschuldigung ich kann diese Gleichung dividieren durch die Spannung dann steht hier durch u ist gleich i1 durch u plus i2 durch und das sind jetzt alles leidwerder das heißt es steht hier auf der linken Seite der gesamtleitwert G ist gleich i1 durch u das ist der Leitwert G1 plus i2 durch u das ist der Leitwert das Widerstand des R2 also der Leitwert G2 und ich kann das auch ausdrücken durch die Widerstände der Leitwert G1

ist ja gerade der Kehrwert des Widerstandes R1 und der leitet G2 ist der Kehrwert des Widerstand des R2 das heißt ich erhalte hier eins durch R ist gleich 1 durch R1 plus 1 durch ja zwei okay wir halten also fest bei der Parallelschaltung von zwei Widerständen addieren sich die Leitwerte bzw es addieren sich die kehrwerte der Widerstände und als Ergebnis erhalten wir auch hier wieder ein Satz Widerstand mit dem Widerstandswert R so und jetzt wird es ein kleines bisschen umfangreicher und dieser Widerstandswert er ist also wenn ich das zunächst erst doppelbruch darstelle 1 durch 1

durch R1 plus 1 durch R2 und ich kann das auf einem Bruchstrich bringen dann erhalte ich also im Zähler des Produkt R1 mal R2 durch R1 plus R2 und um in vor allen Dingen in Ansätzen dann immer ein kleines bisschen Schreiberei zu sparen hat sich so eine verkürzte Schreibweise in der Elektrotechnik durchgesetzt wir schreiben also verkürzt das ist R1 parallel R2 macht es meistens Notiz das ist also die verkürzte Schreibweise wir werden in der Regel diese verkürzte Schreibweise nicht benutzen um Endergebnisse darzustellen aber um Zwischenergebnis oder Ansätze zur formulieren macht ist die recht günstig um

das etwas übersichtlich zu gestalten so ganz kurz noch die differenziellen Größen also differenzielle Widerstände differenzielle Leitwert bei der Reihen und Parallelschaltung schreibt die Zwischenüberschrift hier mal in die Mitte das verhält sich hier ganz ähnlich ich gehe mal auf die linke Seite wieder für die Reihenschaltung da ist also die differenzielle Änderung der Spannung nach dem Strom also die EU nach der i ist jetzt die U1 nach de plus do2 nach de und das bedeutet dass sich die differenziellen Widerstände R1 und R2 addieren zu einem differenzellen Widerstand R und bei der Parallelschaltung ganz ganz ähnlich ich kann

die oben den oben dargestellten Zusammenhang also auch wieder differenzieren und dann erhalte ich hier die nach die u ist jetzt die Änderung di1 nach die EU + di 2 nach D EU und das führt mich beim parallelscheidung als sie zu dem Ergebnis dass sich die differenziellen Leitwerte g1 und g2 addieren zu einem Leitwert zu einem Differenz okay das nur als Ergänzung in aller Kürze so jetzt werden sie in der in den verrückten Übungen genug Gelegenheit haben um diese rein und Parallelschaltung von Widerständen selber dort zu untersuchen ich gebe ihnen aber mal ein ausführliches vorlesungsbeispiel auf

einer Folie noch mal mit wo ich versuche ihn dieses dieses systematische aufstellen dieses ersatzwiderstandes an so ein abzweigschaltung mal ein bisschen näher zu bringen wir haben also folgende Widerstandsnetzwerk gegeben an den Anschlussklemmen A und B hängt jetzt hier sechs Widerstände R1 bis R6 und gesucht ist quasi eine ersatzanordnung an den Klemm a b so dass wir quasi einen Ersatzwiderstand er ab berechnen oder bilden der das gleiche Klemm Verhalten an den Klemmen ab zeigt das Ergebnis wird das sein und ich möchte Ihnen jetzt mal zeigen wie man schrittweise dorthin kommt wenn sie jetzt schon sehr viel

Übung haben sobald da bei der Betrachtung von rein und Parallelschaltung von Widerständen dann können Sie dieses Ergebnis vielleicht sofort hinschreiben ich werde an dieser Stelle aber mein sehr sehr ausführlichen Weg darstellen der ist vor allen Dingen jetzt hier ein bisschen Anfängern ermöglichen soll diesen Ersatzwiderstand systematisch aufzustellen und zwar empfehle ich jetzt das Vorgehen dass man die Schaltung quasi von innen nach außen betrachtet das heißt wir beginnen ganz innen in der Schaltung und das wäre also diese ganz innen liegen diese Widerstände R5 und R6 und ich Kessel das jetzt hier mal rot ein wir finden hier

ganz innen die Reihenschaltung aus R5 und R6 und die Reihenschaltung liefert uns also die Summe R5 plus R6 so das ist also hier dargestellt das heißt was sie machen können ist sie können was jetzt hier rot eingekesselt ist die Reihenschaltung außer fünf oder sechs können Sie durch einen Ersatzwiderstand darstellen und diese Ersatzwiderstand besitzt die Größe R5 plus R6 wenn Sie den haben dann können Sie jetzt schichtweise über so einer Zwiebel weiter nach außen gehen das heißt sie nehmen den nächsten Widerstand dazu das ist der Widerstand R4 und bilden den Ersatzwiderstand des hier blau umzingelten 2

Pools ja und das ist ja jetzt der Widerstand R4 parallel zu dem roten 2 Polen das heißt hier unten sehen Sie das jetzt das ist R4 parallel zu dem Ersatzwiderstand den wir vor und schon hier rot eingekesselt ermittelt hatten also R4 parallel zur Entscheidung wenn Sie den haben nehmen Sie den nächsten Widerstand das ist der Widerstand R3 der ist in Reihe zu dem Ersatzwiderstand des blauen zweipols das heißt es kommt hier das R3 als Summand noch dazu und wenn ihr noch weiter nach außen gehen dann ist der Widerstand R2 wieder parallel zu dem Ersatzwiderstand den

wir in diesem grünen zweipol erhalten hatten das heißt wir haben hier das R2 parallel zu dem Ersatzwiderstand des grünen zweipols und letztendlich kommt R1 noch in Reihe dazu also als Summand plus R1 so können sie von innen nach außen ihren Ersatzwiderstand quasi durch Ablesen zusammenstellen und es ist jetzt hier formuliert mit Hilfe dieser verkürzten Schreibweise des parallelzeichens und jetzt besteht natürlich noch die Aufgabe das ganze des parallelzeichen entsprechend aufzulösen und das dieses Ergebnis als Bruch darzustellen das mache ich jetzt an dieser Stelle nicht weil das ist in diesem Beispiel mit sechs Widerständen sehr viel Schreiberei

ist ich zeige Ihnen nochmal dass sie das quasi auch als Kettenbruch darstellen könnten auch wenn wir das in dem Fall jetzt so wahrscheinlich nicht stehen lassen würden die Parallelschaltung von zwei Widerständen bei der parallel Entscheidung von zwei Widerständen ist da resultierende Widerstand oder Kehrwert des resultierenden Widerstand ist ja die Summe der Kehrwert der einzelwiderstände und das führt mich dann hier zu dieser Kettenbruch Darstellung es gibt gewisse Problemstellungen wo die Formulierung dieses ersatzwiderstandes als Kettenbruch aus sinnvoll ist in der Regel versuchen wir aber doch tatsächlich den das Endergebnis auf einem Bruchstrich dann zu formulieren okay also

sie werden in der nächsten Übungen genug Gelegenheit haben und das selber mal zu üben es gibt Anordnungen dort können Sie die zusammenschaltungen von Widerständen nicht als rein oder parallelscheidungen auffassen gegeben ist dafür als Beispiel mal diese Brückenschaltung hier sie können jetzt lange probieren Sie werden es nicht schaffen diese Anordnung für Widerständen durch nach rein und Parallelschaltung zu beschreiben das heißt wenn Sie jetzt hier den Ersatzwiderstand an den Klemmen A und B suchen dann müssen sie andere Tricks anwenden und eine Möglichkeit ist also die Umwandlung eines sogenannten Sterns in ein Dreieck oder umgekehrt eine das führt

uns zwar also zu einer standreieck oder dreieckstern Umwandlung ich werde das jetzt auf zwei Folien wirklich nur ganz ganz knapp halten da uns jetzt ein bisschen die Zeit fehlt und das ausführlicher zu besprechen sehen Sie das jetzt quasi mal als eine Art Tafelwerk wo das mal wo das jetzt mal so fallen gelassen wird die ausführliche Herleitung des ganzen da müsste ich dann jetzt mal auf Literatur verweisen das schaffen wir jetzt hier an diese Vorlesung nicht also worum geht's wir möchten Anordnungen die ein sogenanntes Dreieck bilden oder die einen Stern bilden ineinander umformen das so eine

Dreiecks Anordnung sehen Sie hier skizziert sie haben also drei Anschlussklemmen bezeichnet mit AB und C und zwischen diesen Klemmen sitzt jeweils ein Widerstand ja abcl eine stirnanordnung ist dadurch gekennzeichnet dass sie auch drei Anschlüsse haben aber B und C und die Widerstände führen sich das allerdings zusammen auf einem gemeinsamen Knoten in der Mitte das bezeichnen wir als Stern und es gibt Möglichkeiten ersatzanordnungen zu finden so dass sie so eine sternanordnung durch eine dreiecksbeschreibung darstellen und umgekehrt ja und das Ergebnis wie bereits angedeutet lasse ich jetzt einen kleinen bisschen vom Himmel fallen Mal wenn Sie eine

dreiecksanordnung haben und diese in eine sternanordnung überführen möchten also so ein Dreieck sollte eine sternanordnung übersetzt werden dann erhalten Sie den Widerstand RA ich mache jetzt mal ein Beispiel von RA der korrespondierenden sternanordnung durch folgende Berechnungsvorschrift im Zähler steht jetzt das Produkt der Widerstände im Dreieck die an dem Knoten a an der Anschlussstelle a verbunden sind also Rab multipliziert mit RAC das sind diese beiden Widerstände die an der Anschlussstelle a hängen und im Nenner finden Sie die Summe der Widerstände besteht die Summe von R also die Summe Rab + RBC plus RAC und so können

Sie das für die Anschlussstelle B und C Äquivalent machen um ihren Widerstand RB und RC zu berechnen wenn Sie eine sternanordnung gegeben haben möchten die Elemente da 3x Anordnung ermitteln dann geht das am einfachsten über die Betrachtung der Leitwerte dann erhalten Sie also den Leitwert zwischen den Anschlussklemmen A und B das wäre der Leitwert gab durch folgende Berechnungsvorschrift im Zähler steht jetzt stehen jetzt das Produkt der Leitwerte derjenigen Widerstände die an den beiden Anschlussklemmen in der Stern Anordnung verbunden sind also der Leitwert dieses Widerstand des RA und der Leitwert des Widerstandes RB und im Nenner

steht die Summe der Leitwert also die Summe GA plus GB plus GC ja und für die beiden Leitwerte zwischen den Klemmen B und C und A und C erfolgt das analog versuchen Sie doch einmal durch Aufstellen durch kirchhoffschen Gleichungen also im Selbststudium diese transformationsvorschriften sich selber herzuleiten es ist nicht aufwendig oder es ist nicht kompliziert aber ein kleines bisschen aufwändig so rum ist richtig es ist relativ viel Schreiberei aber es ist nicht sehr kompliziert und ich will in die Anwendung jetzt mal an diesem Beispiel der Brückenschaltung zeigen diese Brückenschaltung hatte ich ja eingangs erwähnt und

wir suchen den Ersatzwiderstand dieser Anordnung das heißt was wir jetzt machen ist dass wir das hier vorliegende Dreieck an diesen Klemmen oder an diesem Knoten A B und C transformieren in einen Stern wenn sie nicht glauben dass es sich hier um ein Dreieck handelt dann muss ich ein kleines bisschen an ihre Fantasie appellieren sie können ja diesen Widerstand RA gedanklich um 45 Grad drehen und R3 können Sie auch gedanklich um 45 Grad drehen und dann sehen sie dann haben Sie hier diese dreiecksstruktur ja und das soll transformiert werden in einen Stern das heißt die Knoten

A B und C bleiben erhalten aber wir suchen jetzt ersatzwiderstände vom Knoten a zu einem gemeinsamen bezugsknoten das ist der Widerstand RA und analog dazu ein Widerstand RB und ein Widerstand RC ja wie verhalten diese Widerstand RA RB und RC mit der Berechnungsvorschrift aus der vorangegangenen Folie und dass sie dann so aus also der Widerstand RA zum Beispiel ist also die Summe der Entschuldigung das Produkt der Widerstände die alle am Knoten also R1 und R3 und im Nenner die Summe der drei Widerstände also R3 plus R1 plus R5 und genauso erfolgt das für den Widerstand

RB und den Widerstand RC analog und das Schöne ist warum mache ich das ganze überhaupt für diese resultierende Anordnung mit einem Stern für diese Anordnung kann ich jetzt den Ersatzwiderstand berechnen da ich alle Widerstände durch eine Reihen oder Parallelschaltung ausdrücken kann ja ich habe hier in diesem Zweig die Reihenschaltung von R2 mit RB in diesen zwei habe ich die Reihenschaltung von R4 mit RC diese beiden Zweige sind parallel und zu dieser Parallelschaltung gibt es noch den Widerstand Rahn Reihe dazu das heißt als Ergebnis erhalte ich dann folgendes der Ersatzwiderstand rab ist also dieser Widerstand RA

in Reihe mit der Parallelschaltung aus jeweils diesen beiden Widerständen und ich kann das dieses parallelzeichen noch ausformulieren und erhalte wenn ich jetzt noch zwei zwei vereinfachungsschritte durchführen dieses Endergebnis für die Berechnung des Widerstandes ja ab also diese Stadt drei Transformation an dieser Stelle jetzt hier nur mal in Kürze und ja da appelliere ich an Sie wenn Sie das mal brauchen in ihrem Leben dass sie dann die ich auf dieser Folie beschriebenen nein auf dieser Folie beschriebenen Zusammenhänge zur Transformation da seht ihr dann in einer Tafelwerk da mal nachschauen okay damit bin ich am Ende des

Kapitels 2 zu den resistiven zwei Polen angekommen und wir werden uns dann also in der nächsten Vorlesungswoche mit der scheidungsanalyse bei einfachen Anordnungen beschäftigen