Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 06

E aí E aí de segunda a sexta a Jesus cícios E aí E aí a empregada 23 novamente o livro de uma freda e a as três 36 13 16 e 22 a 35 1114 há 42 3 e 11 4377 e a bom Então na verdade da subestação e foi eu quero gostaria de marcar a primeira prova vocês preferem acho que vou marcar para trinta de Abril Tá bom você nunca de Abreu também dá uma terça-feira na quarta é feriado que é o do 1º de Maio O que é eu fico melhor conservação EA segunda

observação e que a prova e trinta de Abril impressão que é uma terça-feira E aí O que é Tá bom então na aula passada a gente estava falando de superfícies mínimas que é um conceito que envolve e a curvatura médio e a nova de hoje a gente vai começar um é a chamada geometria intrínseca um ponto de vista diferente em geometria que você tá interessado em estudar as propriedades geométricas das superfícies que possam ser a posso ser descrita só em termos nos coeficientes da primeira forma fundamental O que significa dizer que você quer estudar a

geometria da superfície sem fazer referência ao espaço certo se você vai vai olhar para superfície como objeto em si pouco se importando com a maneira como ela está colocada no espaço tridimensional é um pouco diferente das superfícies mínimos né em que você tá a usando de maneira fundamental o espaço então o conceito a chave por trás desse audiometria que acredito que já já falei aqui mas eu vou eu vou repetir se diz que uma a aplicação F Entre Duas superfícies s&s Barra o ss bastão superfícies do R3 você disse que a AF é uma isometria

E aí e ela preserva primeira forma fundamental ou de maneira mais intensa que eu digo que ela mas eu merecia a derivada de F preserva produto ficar lá né Se o produto escalar e é preservado e esse aqui tá calculado no ponto f p é igual a buscá-la de vidro e para quaisquer veio w300 em p ert o bom então você disse que um conceito geométrico é intrínseco se ele é invariante por isometrias essa é a ideia um conceito uma a Conceito o geométrico E aí a Edson intrínseco e se a é invariante e por

isometrias de superfícies ó e aqui percebe que existe uma diferença importante entre falar de uma isometria entre duas superfícies e falar de uma isometria do R3 a soma entre as do r393 São ao cliente chamou aquele movimentos rígidos nessa a menos uma translação são transformações lineares ortogonais Quanto que o mais uma entre entre duas superfícies Não não precisa ser não precisa verde o movimento rígido a gente vai ver exemplos aqui a geometria está definida só na superfície é pior então conceito geométrica de tem três conselho variante por isometria superfícies ou em outras palavras e depende

é só e na primeira forma Tá bom então e na primeira fundamental nada mais é do que essa restrição no produto Skala ao espaço o espaço tangente é muito bem a Então você gostaria de saber se essas coisas existem por exemplo vamos fazer só um vou fazer só uma pergunta aqui é a que eu tô falando de superfície mas Digamos que olhar se agora para Curvas e a pergunta vocês a O que que você pode dizer sobre a geometria intrínseca de uma de uma curva E aí E aí ou será que esse é um estudo

interessante ou será que não vocês têm alguma com opinião E aí e é quanto é que tá a esse esse problema na geometria entre si que ela é importante porque por exemplo se você tem uma aplicação entre duas superfícies que preservam produto escalar ela vai preservar o comprimento de curvas né portanto também vai preservar a distância entre pontos que eu vou definir mais tarde mas vocês imaginam que a a distância entre dois pontos sobre uma superfície é o é o menor comprimento né dentre todas as curvas que ligam aqueles: você pode fazer geometria sobre a

superfície e essa questão até tem devemos assim em uma relevância prática um exemplo cartografia né você tá interessado os antigos estavam interessados em saber se era possível a elaborar um mapa que fosse o que fosse fiel e a se fosse fiel as distâncias medidas sobre a superfície terrestre Então pergunta natural é Será que é possível fazer um mapa não é do Globo Terrestre que Preserve é a distância entre dois pontos né onde você mede a distância aqui ao longo da superfície terrestre essa pergunta que aparece por exemplo em cartografia certo o quê que no fundo

consiste em perguntar Será que o plano EA esfera tem a mesma geometria intensifica Será que é possível fazer um mapa né que vai preservar a primeira forma fundamental bom e como que a gente vai aprender na aula de hoje ou talvez na seguinte a gente vai descobrir que a resposta não não não é possível Oi e a razão fundamental de que isso não é possível que existe um invariante e a imprensa o que vai distinguir Entre esses dois objetos vai dizer se não nesse aqui da tanto nesse aqui da outra coisa então eles não podem

ser equivalentes intrinsecamente não existe um invariante intenso pergunta vocês no caso de curvas planas Será que existem variantes em tricot e o natural seria pensar em curvatura tá vamos lá vamos ver que que de fato Essa não é resposta porque imagina que você tem uma curva o Miguel está tem uma curva Alpha de ter e no plano Vamos colocar no plano só pra ficar tá certo uma das primeiras coisas que a gente aprendeu né o início do curso de fato de já deve ter visto muito antes é que toda curva de como regular o que

pode ser re parametrizada pelo comprimento de arco Então vai existir uma existe uma peta né é uma Alfa composta com alguma reparametrização o J E aí e o Jota que uma e eu corresponde a uma reparametrização e tal que essa Beta da parametrizada pelo comprimento de arco de toda por exemplo essa daqui posso que tem então essa outra parametrização Beta que vai percorrer o mesmo traço só que vai fazer isso com velocidade igual um então quê que significa isso nessa linguagem que eu tô colocando e quem é o Beta linha de essa né Isso aqui

é exatamente a derivada da da Beta no ponto é se aplicado o vetor canônico aqui que no caso de um intervalo só tem una e para que seu essa é e não é é só você para me avisar para o comprimento de arco tá me dizendo nada mais nada menos o que que Beta é uma isometria cumprimento desse vetor é um A imagem dele pela derivada de Beta e vai ser um também certo O que significa que toda curva qualquer coisa regular é digamos localmente isométrica o intervalo da reta ou seja não existe geometria intensifica

para curvas você não vai todo duas coisas parece que são sempre localmente isométricos e e é Bico não porque eu tô me restringindo a curvas regulares e E aí A Essência aqui você pode pensar algo poderia ter a auto-interseções né mas você pensaria então do mouse de sessão se percebe apenas localmente digamos é só olhar um pedacinho dela se ela for regular o pedacinho dela não vai ter como parametrização não vai ter alta intercessão não passa a primeira por aqui para depois para depois voltar É mas o conta quanto é esse que duas curvas são

sempre localmente isométricas uma a outra intrinsecamente não quer dizer que vai ter o movimento riso que vai levar nisso na reta não não é um movimento riso Mas é uma é uma isometria intensa e tenta esses dois objetos a curvatura não é um invariante intensivo de cursos que a curvatura da reta zero e bom você tem curvas com cobertura diferente de Zero Certo Ah tá bom tomar auditório aqui a as duas curvas a quaisquer E aí e são sempre uma celulares localmente não são pedras e Tô dando uma interessante da curva do ponto de vista

intenso que vocês sempre estuda uma curva dentro de um espaço no R2 ou R3 pergunta que fica então é que será que então que esse conceito existe para superfícies e a gente vai ver que sim é uma pergunta sobre isso aí E aí é muito bem e a o Ok então vamos ver alguns exemplos né Passa aqui a definição de isometria você disse que ela é local ela está definida só não aberto uma vizinhança né de um ponto na superfície S Vamos colocar alguns exemplos aqui é bom primeiro que é se um simples de fazer

é o plano e o cilindro reto E essas duas superfícies são atualmente isométricas e você pode fazer o seguinte imagina que você tem é aquela história do Papel né você pode pegar um pedaço de papel e enrolar no cilindro sem distorcer as distâncias você tem um cilindro reto aqui o Gabriel X2 + Y2 = 1 por exemplo E essa você lembrou é porque eu eu quero considerar você pode pegar uma parametrização o x que faz o quê E aí se você já estão aí utilização E aí é para pagar por exemplo cosseno de úlcera no

deo vena e as pontas sempre tá sempre no cilindro e se você vai do plano Você lembra se você calcula o é você vai ver que dá um você calcula ufcd que dá zero hoje você dizer que dá um eu posso percebe então que x como aplicação que vai do plano é e dois no cilindro reto e é uma isometria e deixa eu então percebi aqui que tem uma pequena se utiliza a e aqui para falar de a isometria deveria ter dito que ela é um dica é um físico em geral se usa o termo

isometria para também indicar que ela é uma objeção e ainda essa também a noção de trico gratis E aí você fala de isometria local e quando a propriedade Vales ou em você tem que foi morfismo só em em aberto lá no caso aqui não é o mesmo não é uma isometria Global mas sim local eu faço derivada de x preserva o produto escalar certo o Antônio cilindro reto são localmente isométricos Não precisava o raio x eu uso você pode pegar um raio qualquer existe uma maneira de parametrizar que faz isso é verdade é um outro

exemplo que a princípio não dá para suspeitar é que o catenoide e o helicóide são localmente seu metros a comment E aí ah ah eu tinha escrito aqui duas parametrizações nova passada né só lembrar que me quer Ah tá certo gente parametrizou cateroide a pena XV era e a cosseno hiperbólico de ver com o senhor a cosseno hiperbólico de ver a ver Oi e o helicóide eu ficava parametrizado assim Lanches bar Digamos que era a cena hiperbólico de ver cosseno de u a raça hiperbólico de ver sendo Gil e aviso para não era um superfícies

bem diferentes não catenoide era uma superfície de evolução é obtida por votação da do gráfico do Cosseno hiperbólico é a catenária né o aqui é só um parâmetro real e enquanto que o o ele corda era a superfície obtida é uma superfície regrada que era obtida a uma união de retas retas essas que e sobem velocidade constante Ao mesmo tempo giram aqui em torno do eixo Z no chão superfícies muito diferentes uma da outra mas eu afirmo que de fato um pedacinho do helicóide do ponto de vista intenso com a mesma coisa que um pedacinho

do catenoide É possível mandar um outro preservando distâncias a distâncias na superfície né entre dois pontos e a razão é que você calcula você já tem essas parametrizações a primeira você calcula o é a gente já fez esse tipo de conta aqui é UEFI da 0 o ogeda isso aqui e esse você faz para o helicóptero com essa parametrização que repare que vai aparecer a bom aqui aparecer considerável XV por exemplo aparecia o cerne parabólico né ao quadrado mas vem vem um daqui aí fica cosseno hiperbólico quadrado e ele pode acontecer a mesma coisa calma

faz a conta se você verifica aqui há 800 e são exatamente os mesmos né e isso implica que essas superfícies são localmente isométricas porque você pode fazer o seguinte né você pensa ah ah eu tô só interessado em isometria local Tá então não estou me preocupando se é onde que o morfismo não olhando só para para pedaços pequenos você pode pensar na X e como sendo então tô mandando isso aqui e no Café 9 e não ligamos que são aberto o mas seu olhar então para o mesmo aberto o eu tenho uma x/ é só

olhar para o mesmo aberto o eu vou ter uma x Barra que vai me mandar no ele cod o e estas parametrizações têm os mesmos coeficientes da primeira forma fundamental Como que eu posso fazer é só posso olhar para aplicação que faz pelo menos nesse pedacinho aquele que faz a inversa de X composta com x ba-pe E aí Oi e essa aplicação vai ser uma isometria local porque bom porque ela é porque cada x como é que explicou isso o amor talvez é melhor fazer fazer a conta né porque que isso aqui vai ser uma

mais o metaleiro o local G1 Ah pois você pode fazer o seguinte associado a x Você tem os vetores coordenados XXV o e associado a x/você vai ter ver todos os condenados x/uh-x/ver e afirmação é que eu chamar essa Aqui DF digamos e a derivada da F vai mandar o x 1 no Xbox One é isso aqui isso aqui é o de f de x 1 mas o x 1 é derivada da x aplicada o vetor canônico é um e se você usa aqui a regra da regra da cadeia até o dedo x Barra de

x menos 1 de X em mim você fica com de x Barra de um que é o x baú Bom dia analogamente ela vai mandar o XV no x-burguer o maior essas coisinhas aqui são exatamente os produtos né internos esses vetores Jesus ver que formam como um base dos espaços estão juntos eu comecei como o valor da o mesmo né isso implica que a norma do DF melhor coloca a oi oi filho e tem todas as possibilidades aqui né O que é igual X11 E aí a mesma coisa para o x 1 XV o dito

de outra forma posso colocar aqui um X Auto x auto e usando aquela convenção de que uma é o olho já tem o dois né começou a rumar base significa que a derivada de F é uma isometria em cada. Tá E aí tem um pedacinho do catenoide pode ser mandado a um pedacinho elicord preservando lá todo buscá-la cá o sexo a vamos ver um outro exemplo pensando na questão do pedaço de papel né que é outra superfície Vocês conseguem fazer com um pedaço de papel o cocô né não é só o próximo exemplo exemplo 3

é e lá no ícone e também são localmente e isométricos cônico tô pensando ao cone mais simples possível né que é obtido a rodando é uma reta que saia uma semi-reta tem que sair da origem em torno do eixo z a e a cola então como eu posso posso escrever o cone como sendo a o gráfico da seguinte função né o conjunto de todos os pontos da forma a exibição Zé onde o Zé é uma constante vezes a norma do da projeção e o cara simplesmente o número positivo que tem a ver com um ângulo

do cone da minha afirmação é que eu consigo É sim e é tu tá me tirando 10 aqui caso contrário não seria uma superfície regular eu tenho que tirar 10 observação e vamos que eu usar o vértice do Cone né A bom então esse aqui é o Esse é o cone Mas você menos o veste e é uma superfície irregular E aí Oi amor tudo bem então que eu afirmo aqui ele eu posso construir uma uma isometria Ou pelo menos local X que vai mandar o plano no cone e a ideia fazer o que você

faria com um pedaço de papel não quis você vai pegar um retornos a estrutura aqui E aí você vai mandar esse comprimento aqui o não cumprimento desses aqui é chato e fecha identifica esses dois lados aqui pobre outra coisa é e você pode escrever a parametrização Como é que escreve essa e essa parametrização né é a primeira Vou molhar qual que tem que ser abertura Eu quero construir uma isometria Então os cumprimentos preciso ser preservado então Digamos que o ângulo aqui seja Alfa vem sendo que Alpha também né então percebe o que se eu andar

uma distância rua aqui na no eixo X né tipo eu vou comprimento desse pedaço Amarelo aqui é um cumprimento desse pedaço Amarelo aqui tem que ser Rua também Tá certo i a i e como é que o determina então o ângulo do setor né se eu chamar o ângulo do setor de Beta eu vou ter que o comprimento desse semicírculo aqui vai ser a como é que é vai ser Beta precisou saco ro é o raio né e o Beto é o ângulo não falei seu cumprimento do CNC com esse comprimento tem que ser igual

ao comprimento do Círculo inteiro aqui Oi e o comprimento do ciclo inteiro quatro quer é bom o raio desse círculo é exatamente rosto seno de Alfa = não quer oficiando aqui tem um complemento do circo é 2p Rua Seno de Alfa se eles implica que o esse Beta aqui tem que ser dois piercing no vol 1 e esse é o Beta que eu escolho Ah tá certo e a e agora vou pegar um ponto Qualquer aqui Digamos que tem ângulo teta E aí ó e vou escrever que eu for vai ser a imagem dele cone

eu tô usando coordenadas polares né E como que seria essa parametrização né e pegar x de roupa reta e o que é um número positivo o tetra varia entre 0 o Beta certo bom então a imagem desse ponto aqui vai ter que ser um ponto cuja altura qualquer altura é a roupa cosseno de Alfa é uma terceira coordenado eu já sei qual é Tá certo Ah que bom para determinar o segundos e observo que primeiro o rádio o ciclo novamente a Rússia nude Alpha Mas vai ter um ângulo envolvido aqui né então coloco rosto Mundial

esquecendo de alguma coisa a rotina de Alfa o sengoku E aí esse ângulo e tem a ver com o pé tá né é só lembrar da proposição aqui né e a o Beta o ângulo ângulo Beta que corresponde ao ângulo dos pila né o sexo Então tem que dividir por seno de Alfa I love you e essa é a expressão então se você faz o x ro ao invés das variáveis o e ver eu tô usando as letras ruim reto então x ro vai ser a derivada do primeiro da isso aqui o mundial faz pena

de ter um a solução de Alpha que tem o costume de alfa e o x teto vai ser ele valer vai sair uma cena de algo que cancela isso fica menos roupa sendo e deteto sobre seno de Alfa eu vou cosseno e o mundial - whol o plano de aula 1 e não não é a presa que não tem teto preço bom então aí você faz a conta do é seria o x RO é só que vai dar o que você vai ter um corte no quadrado aqui como você não quadrado aqui dá um ou

sobra ao sendo quadrado de Alpha tomar um cosseno ao quadrado de ao falar um a UFPE que é o x roxo esperta e vai ser então ontem eu tenho menos um seno cosseno que vou ficar com mais você nem coçando a zero que também tem 10 ah e hoje vai ser o x Tetris tetra lá bom então fico com o seu quadrado com o sinal quadrado aqui sobra roupa drado isso e ele tem 10 então esses são os coeficientes é mas por outro lado vejo que uma maneira prática de identificar-se duas superfície são a localmente

isométricas é conseguir parametrizações que têm os mesmos coeficientes da primeira forma fundamental por enquanto eu tenho só um parametrização do cônico então preciso conseguir um parametrização agora do plano ou do setor né que tem esses mesmos coeficientes e a canônica não vai funcionar que você usar canônica se conhecendo vão ser constantes mas o g do Cone não tá dando constante aqui bom então a dica é usar com as nossas polares looks barra de rotateto vai ser o ronco assim no teto ou sendo teto bebo a 0 é chata e aí é fácil conta Aparecida que

vê que o e bar vai ser um UEFI/vai se zero e hoje bar vai ser o quadrado Então essa prova que é o plano e o conexão localmente isométricos é uma pergunta aí o ok então a gente ouviu vários exemplos de voltar para e a teoria A grande questão aqui é o dei vários exemplos de superfícies que são localmente isométricas ao que eu não porque eu não fiz que tá faltando E aí as duas pessoas que não sejam a loucamente seu médico tá então incluiu que vai o plano o plano EA esfera vão ser Vamos

dar um exemplo mas eu não provei ainda tá certo então gente com o material que a gente tem até agora a gente não conhece nenhum exemplo de duas superfícies que não sejam atualmente isométricas E aí e é para isso a gente precisa descobrir em variantes precisa descobrir os conceitos que sejam em Valinhos por isometrias pra gente poder fazer fazer testes muito bem agora O Curioso dessa história que é essa a descoberta do galza que a gente vai ver agora o que abriu as portas para geometria riemanniana vou comentar sobre isso depois é meio que uma

descoberta que pode ser feita através de uma questão essencial que quando você fala extrínseco né Tem seco acontecer enfatiza o fato de que o espaço vai ser relevante porque você vai falar então questão é seguinte no caso de curvas planas lembrem que a gente mostrou aqui uma curva plana fica caracterizado pela sua curvatura e de fato qualquer função é a curvatura de alguma curva plana que fica determinada módulo movimentos riscos uma pergunta natural portanto se existe algo desse tipo para superfícies certo tá pergunta que se coloca é a seguinte por exemplo uma pergunta se pode

colocar minha seguinte a e se você tem uma parametrização de uma superfície e a gente já viu aqui que você pode associar então o primeiro você pode associar superfície a primeira EA segunda fundamental que tem uma expressão em coordenadas obtidas da seguinte forma você usa anotação mais concisa eu quero já usou aqui eu chamo DJ produto instalados xj-s a primeira forma fundamental temos também o que eu chamei aqui de Pi RJ eu produtos calado n o J isso aqui é a segunda forma da mental will I J sempre variando entre 1 e 2 a zona

conversa onde que o um corresponde a variável o e o dois a variável ver Tá bom então a gente tem essas matrizes GP que dependem é claro das variáveis viver O que é que eu sei sobre essas matérias E aí e me diga alguma coisa sobre a matriz GJ de Uber em qualquer que é simétrica né então você sabe que a j é simétrica e é uma PJ também né o que eu posso falar mais sobre a Jotta aqui ó O que é invertível mais de fato vale mais né pode mais há de positivo definida

né que se vende um produto está lá positiva defender a me passa as propriedades são sempre satisfeitos a pergunta que você coloca então a imagine agora que você me dá as matrizes como funções das variáveis viver você me dá GJ e o fiz J da maneira que elas estejam simétricas e que a g seja positiva definida a pergunta é será que existe uma superfície e uma parametrização dessa superfície tal que o gênio pe estejam a primeira EA segunda forma fundamental chata pergunta essa é os dados é a da das funções o diferenciáveis e a g

j&j de um aberto o do plano o Guilherme Taís que é G1 e as matrizes GJ e PJ São simétricas E aí em GJ é positiva definida como uma 31 a pergunta é será que existe existe a parametrização em alguma superfície né em alguma superfície ah ah tá ok com o fato de que JJ e PJ São e o que é Lisa Oi gente e como Primeiro segunda fundamental e respectivamente é essa a pergunta que se coloca à a ideia aqui seria buscar uma uma espécie de Teorema Fundamental da superfície descobrir quais são quais são

as quantidades que precisam ser e especificadas para que a superfície fique determinada módulo movimento O resto você pode olhar para a primeira forma fundamental EA segunda forma Fundamental e fazer essa pergunta então quem vai fazer agora é analisar essa pergunta aqui né E vamos então é descobrir o que o galo descobriu a há muitos anos atrás de que a curvatura de Gauss é um invariante em tricot e vai sair da análise dessa questão é curioso porque essa um problema extrínseco né você tá perguntando você pode eu encontrar uma superfície no espaço com essa com essa

propriedade é em qualquer uma pergunta e até fazer isso ok então vamos lá usando analogia com curvas né como é que você estuda aí é esse problema e como é que a gente chegou no Teorema Fundamental de das curvas planas ou das curvas no espaço o show da equação diferencial Mas quem satisfazer essa equação diferencial é E no caso que eu faço planos eram que eu chamei de diedro de frio né ô tenho n a curva do espaço analogamente a gente tinha um triedro de defender no caso uma superfície se você quiser seguir essa essa

naldir E aí se você tem em cada. Aqui dá a superfície Você tem os vetores X11 o XV também tenho n eu quero esse produto escalar o é a ideia para analisar essa pergunta é olhar para esse e esse triedro aqui e vai ser uma função das variáveis viver esse triângulo aqui vai desempenhar o papel do Triângulo defender certo bom então seguir novamente até que fez com curvas Eu pensei que você que você gosta de realizar então é como que esse triedro Faria aqui com as variáveis fui ver você acha que você gostaria de saber

quais são as equações e satisfeitos por isso daqui ó o Ok então vamos lá o ok então você gostaria de escrever as equações e e você vai pegar o que é mais natural então olhar para votação X1 X2 in24 ali então de berival x e com respeito a j derival n com respeito a j também por exemplo o Caio é eu gostaria de ver o que que dá esse daqui certo isso aqui é a derivada segunda do x ou seja a derivada primeira do Chile bom isso aqui vai ser uma combinação linear e tem que

ser né se reescreve a em função do triedro taxa aqui tem que ser uma combinação linear o deixes Cássio e o e doendo não a mesma coisa aqui para o o Renilson a tua e a gente sabia uma parecida também seria má combinação linear de X Castro e tá doendo mas a gente sabe que o Enem unitário Total derivada doendo com esse preto Wii é particular o n você já tem gente então esse esse último aqui não existe o chato é que eu coloco coeficiente Ai Cá é chato pergunta vocês quem é esse coeficiente aqui

eu mais simples de determinar o compadre terminar as coisas sente aqui que você faz aí você pega o produto fica lá por ele né Você sabe que o Pires Joca é exatamente para instalar de X jpn aqui tem que ser pedir a gente quer segunda forma fundamental EA que eu não sei ainda o que é mas eu vou colocar a seguinte notação e a só que eu vou chamar de Gama e j porque dependo de rir DJ e também de Kátia Ah tá bom a matriz a a gente já calculou aqui na uma das aulas

anteriores e não é eu escrevi Exatamente isso daqui e determinei o ar em termos a segunda forma fundamental como é que era isso e a e eles lembram do resultado um a gente pode vou fazer de novo só para gente já treinar aqui né fazer a ideia que você faz o produtos produto interno pelo XJ se você tem n i i [Aplausos] é isso aqui é menos pe j1 é mas por outro lado então pela soma porque a soma de A e kg kj é G1 é só me engana E aí lembra que eu tinha

a seguinte notação e colocava os índices em cima para indicar que isso aqui é a matriz inversa Rua da Matriz a primeira forma fundamental Tá certo e eu quero eu quero ver terminar o as significa que eu preciso me livrar desse jeito que então o que eu faço a multiplicação e verso a Súplica - pe PJ é igual ao somatório e agora somatório fica em L também e eu vou multiplicar e pelo g j l é para em que a você olha para o fato de que G vezes a inversa do G melhor dessa dgsg

da identidade se vocês escrevem isso em notação matricial está me dizendo que a soma de g e j g j k l J é Delta JK e esse é o delta de crônica né que esse aqui dá um se os índices são iguais e 05 centro são diferentes se você já entrada não tá errado né fica isso aí e aqui a ficar essa entrada da Matriz identidade e essa aqui é a ficar essa é uma entrada da Matriz produtos certo um país que eu vou usar aqui e multipliquei pô dois lados por JL e sobem

J não em qualquer j1 e também joga aqui tá aqui vai aparecer matriz-identidade Ah tá bom pouco menos pi DJ vai dar só vem cá e a aí cá Delta a caer en E aí eu esqueci de me explicar lado esquerda ao menos pedir JG j l o somatório pode passar ao menos para cá E aí é chata mamãe isso aqui é um sócio Caio L foram iguais então no final fica menos lá e l o ou seja o aí a e l = - somatório J e do g j l e i E aí

Oi tá ocupado até eu tava muita conta para vocês a é a demonstração do teorema vai ser muito bonito no final a demonstração nem tanto certo vamos lá né Isso aqui é pior se é usar anotação do FG porque ainda tem que abrir tudo né Assim fica mais conciso bom então esse é o ar não é tão significa aqui aqui eu tenho que trocar o cabelo o l pelo cá né bom então aqui na verdade fica assim né é lycra até menos e a lycra uma soma um J2 gjk e e o J2 de croche

croche certo O que significa que os coeficientes da equação de baixo eu já achei em temos a primeira da primeira da segunda forma fundamental também achei esse coeficiente aqui de cima que é o PJ falta encontrar o Gama e JK E aí eu não vou apagar pergunta que bom e o gama JK eles são famosos recebem um nome que aparece geometria em maneira são chamados símbolos de christophe o shorts e símbolos Bom dia cristov o o que quer que vai fazer agora é calcular o símbolo de christophe bom então o que é que tá faltando

fazer só tá faltando pegar primeira equação aqui e fazer o produto Skala para um vetor tangente tem que pegar e fazer o produto Então vamos lá e é para que vocês tem que ter cuidado para não confundir não usar uma letra que já foi usada né que eu tô colocando ela aqui então isso é igual a ou é vou ficar com a soma o programa JK xkx LG km tá é e o e não aparece né o ok então pergunta agora o que que é isso daqui mas e você pode fazer o que você pode

fazer com esse termo aqui né E aí o pai vai fazer o seguinte eu tenho eu tenho nessa ordem aqui e Jota e Ellen né então que eu vou fazer vou passar o J para cá tá certo e depois eu passo o ele para lá e depois eu passo aí para cá aí eu vou ficar novamente com o mesmo mesmo termo só quem vai aparecer com um sinal de menos porque eu vou fazer três vezes e aí depois da para absorver essa ideia é esse cara que ele é vou passar o J para lá então

lembra que tá aqui primeiro vai ter a derivada com respeito ao J e deixa o produto aqui e eu tenho que compensar subtraindo e o x j e g E aí bom então esse tema que eu seguro E aí ó e aqui agora eu passo o l para cá você fica menos a derivada l a XJ e ele fica mais para o final tem que compensar e com XL a e por último agora eu passo ir para lá fica o TJ XL XL - DL a a Suzi XJ é que vai ficar Então vou passar

o ir para lá derivada e dos fios jxl ele tem que compensar subtraindo eu fui entrando aqui me dá novamente o termo com que eu comecei só que com sinal de menos significa que eu posso passar para o lado esquerdo dividido por 2 quem tá no final fica o seguinte fico que eu esse tema aqui vai ser igual a um meio E aí um desses três aqui olha que já posso vou ver a primeira forma fundamental nesse aqui é hoje eu JL esse aqui é o j do GL e esse aqui é o PL dj1

G1 bom então agora dá para calcular o símbolo de christophe quanto que vai dar vou pagar isso aqui tá a tal conclusão é que eu quero isolar os símbolos de christophe né então preciso ainda antes disso multiplicar pelo inverso DG aqui então fico que e a e ficou soma em cada Gama e JK geve que tá escrito ali é que é né o KL o Tom cara multiplicar pelo inverso eu boto por exemplo aqui um LP amanhã me ver o lado direito era é isso aqui em falta multiplicando pelo GL personalizada certo o ok então

agora isso aqui é o sou sua mãe sua mãe ele vai dar identidade Ou Delta KP no final fico como a Gama se você quiser fazer o passo intermediário isso aqui é a soma de Gama e JK Delta café ficar mas esse é o Gama e JP e a conclusão agora que o Gama JP igual E a sua mãe lgg3 é a inversa de uma matriz simétrica então inversa também é simétrica também não é aquele temos cálculo ele fica um meio da seguinte expressão Ah entendi e já JL mais o DJ GL - até l

Oi Gê Jota A o sexo não é só um símbolo de christophe O que é e funciona agora para a gente colocou então todos os coeficientes a é só pergunta você o que é que tem especial do escritório E aí se você compara Então o que é porque tá acontecendo aqui né com que tá acontecendo aqui aqui qual é que chama atenção o que depende só DJ isso seja a observação que sai daqui é que os símbolos e Cristóvão só dependem da primeira forma fundamental 1 E aí a esse poder pensar que é o significa

que o símbolo de Cristóvão são intensas lá bom vamos com calma porque o símbolo de christophe Na verdade ele é uma expressão que ta dependendo do sistema de coordenadas eu ainda não vi nenhum significado geométrico a definição do símbolo de Christopher simplesmente o coeficiente que aparecia não é quando eu faço e quando eu faço essa expressão aqui vou quando eu faço aquele produto Skala Ah mas isso aqui tá usando parametrização alma não tá digamos não é um objeto que eu defini geometricamente Ah tá É mas ele só depende da primeira forma Fundamental e o corolário

é que se agora eu descobri algum conceito geométrico que se inscreva só em termos o símbolo de christophe quando eu olhar para esse conceito em condenado Então esse conceito sim vai ser intenso e bom então diremos que o corolário aqui que todo conceito o geométrico o que pode ser escrito um sonho função dos símbolos de christophe Hon e a intenção é o saco Oi ok E então chegamos lá o primeiro objetivo alcançado a gente descobriu todos os coeficientes aqui das equações e agora minha pergunta é se essas equações aqui tem solução se lembra do problema

original as matrizes estavam dadas esse precisava encontrarmos perfis que tivesse aquelas matrizes como o primeiro segunda forma fundamental para isso esse sistema que precisa ter solução Ah tá então pergunta vocês o que que vai sempre tem solução o que que eu posso fazer E aí E aí oi oi e já dá um exemplo a E se eu perguntar para vocês agora para para essa coração aqui teho deixe Zinho ou é a função de várias variáveis igual a digamos uma f tô colocando o índice em cima só para não confundir com derivada Então pergunta para para

vocês uma coisa assim sempre em solução ou não é O que é toda a função de x 1 I wish o som o Zap e eu tô à efe pergunta se existiu um E aí é vedada a E aí é da da minha pergunta existe uk satisfaz esse esse sistema aqui E aí E aí E aí a primeira pergunta é E se fosse uma variável só a resposta é sim sempre existe preferia simplesmente uma coisa assim né Acho que integral e aí você tem uma baú mas aqui a gente tem mais de uma variável E

aí eu acho que é possível que qualquer para qualquer aqui tem uma solução 11 e deixa eu Existe uma coisa muito simples que a gente pode fazer aqui o melhor com as coisas XJ isso seja se isso aqui tivesse tiver solução né E você lembrar do fato de que o deo deixes J = deu desse jd-xi se chega à conclusão que para que isso tem solução você precisa que a derivada de f i com respeito a XJ seja igual a derivada da FJ a esposa XVI isso que você chama de equações a compatibilidade G1 E

aí e de fato é possível provar recíproca que se SIAEP satisfaz as equações de compatibilidade Então pelo menos na vizinhança de um ponto x0 existe uma solução a press preço sistema com a condição de saudável Ah tá só naturalmente aparece aqui ó para que pensa solução F tem que satisfazer essa propriedade Agora se vocês olham para perguntei para aquele sistema de equações vocês vão ver que isso aqui nada mais é do que uma versão mais complicada da kemilly e para que esse sistema tem a solução será que eu consigo encontrar o x e e 1l

né e eu vou ter condições compatibilidade e que condições são essas e jamais aqui de estrela E para quê e a Estrela tem a sua se o a estrela tem solução e a precisamos e o a solução vai satisfazer a Ah tá E aí G1 eu quero fazer que seu dele vai agora com a espetar a ele sabe que a mesma coisa aqui XVídeos LJ também vai satisfazer que seu derival i Oi Helen você pegou a mim L1 o que tem que ser satisfeito chato agora qual ideia bom eu vou descobrir quais são os equações

compatibilidades ele vai usar aquelas pressões ali verificar o meu sistema e no final cada uma delas aqui vai me dar uma relação entre os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental uma relação que antes era insuspeitada né gente não a princípio e seria possível né fazer qualquer coisa mas de fato não vamos ver que existem relações que essas matrizes preciso satisfazer para que a superfície existo é uma pergunta aí Oi ok bom então vamos lá e agora basicamente só vai ver o que que dá isso aí e depois até preta né as moções de

café como é que começa depois eu escrevo o resultado final começaria assim por exemplo se eu pegar a primeira eu vou ter que x e j l = vou dele vá com respeito a ele a primeira né então você fica assim soma eu encaro isso DL gama-rj tá xk e depois eu vou ter o tempo verbal x Car a respeito a Ellen é isso e a depois eu tenho pjn vai aparecer o DL e pijama Zeni é mas que j n l i e depois eu tenho que te levar a segunda com respeito a j

a a j não j já usei ali né a l o quanto que estudar E aí e vai aparecer até ele d g j k é isso a PJ o skar somando em carnes em kj a Em certas e depois tem que derivar o checar seu menos não a veja Não primeiro pároco PE né a pele de PJ riscar e por último checar o G1 bom então fica x kms 1 Oi e aí você olha agora para os vetores lá x-cart x-cart para xkl em então x carro x carregador e o n Oi e o

ML a ideia digamos reproduzir o sistema né é a ideia agora é usar de novo o sistema e depois separar na parte tangente na parte normal E aí você vai igualar vai olhar para a equação um vai igual a apanhar a proporção Dois igual foi vocês têm que ser iguais isso vai dar uma lista de ir as relações em Paraty e ainda é que você vai usar novamente a estrela e a para substituir a o x caen Oi e o ML mas é e depois você igual né e depois é igual a os coeficientes a

Como fazer equações aqui ó E aí E aí é uma dúvida aí o poder fazer só uma e só para e a Vamos só ver a estrutura do negócio lá dá um salve a estrutura aqui a por exemplo na primeira os ficar já tá bom né objetivo escrever novamente isso como combinação linear de x 1 x 2 e n então aqui já tá feito aqui Você lembra que isso era uma coisa do tipo a Gama x lado de mais um pedaço do Zenit mas aparece novamente o símbolo de Christopher a e esse ano aqui já

tá bom e o pedaço do presidente aqui era da segunda forma fundamental né E aqui aparecer novamente uma coisa do tipo e e fez a mesma coisa aqui xk já tá bom xk já tá bom eu xkl vai ser uma coisa do tipo a cama eu tô tangente mas segunda forma fundamental o desenho certo é Oi ok bom então agora se você olhar por exemplo os coeficientes em que aparece aí e a o x cá né e se você fizer isso que eu estou sugerindo aqui no final vai aparecer o seguinte e vai aparecer é

só que mais em e para que não vai me levar interessa muito a expressão esse o que vai importar vai será a consequência conceitual da história e Oi Micaele isso aqui é a expressão Digamos que vai aparecer no xjl aí essa expressão vai ter que ser igual a mesma pressão trocando o JPL e quando quiser contei pra lá lado esquerdo com direito a gente vai ter aqui troca o JP luellen uma coisa assim ó e tá pronto joga pelo L1 o procon-jp luellen é Ah tá isso daí é e essa chamada equação de Gauss bom

e depois quando você faz a doer fica o seguinte vai ficar derivada de lpj é mais grama e j k i k l novamente só que vai ser igual a mesma expressão trocando o salto pelo o Wii pelo L meu caso aqui eu tenho que ser fiel a minha é a minha notação tá e a e se inscrever o que tá aqui Oi aqui é só marcar E aí é E essas são as equações de Mainardi quase um E aí eu posso aqui é tudo matemática no século 19 a é mais ou menos 1860 e

pouco Gauss manage e o codazzi cobrir independentemente a segunda equação tava interessado em em teoria de superfícies queria responder aquela pergunta nada o que caracteriza o prefixo e descobriram que se você quer que a superfície exista as matrizes de gedipe tem que satisfazer essas relações Essas são as equações de compatibilidade ao complicados mais ação da natureza pode fazer o combate eu sei que eu fiz foi exatamente o que eu faria pedido para derivar aquela relação de compatibilidade lá da teoria do superfície muito bem e agora depois de tudo isso feito que aparece vai aparecer uma

surpresa e ela descoberta né O que é que se você olhar para primeira equação equação do gás você vai perceber o que aparece uma coisa interessante né que a gente pode reescrever essa aqui de uma forma que chama atenção é eu posso reescrever a primeira equação da seguinte forma e a eu vou passar esse termo para lá ou fico com g p aí tenho PL tkj e eu acho que eu esqueci algumas somas Tá mas geralmente quando tem esse repetir você tá somando Oi aqui é a mesma coisa né tá chamando aqui em casa também

ou menos PJ ficar l é igual ao seu lado esquerdo assim e aí o lado direito eu vou ficar então como a seguinte expressão BJ grama e LP ou menos o correspondente trocando l por J depois eu tenho a cama e LK Gama kj pé Ah tá é só manda em casa e novamente ou subtrai correspondente trocando J por ele aqui o quê com essa expressão aqui é porque você tem a matriz da G Ainda mais se você quiser você pode multiplicar pelo inverso para se livrar desse termo aqui pra você a inversa da inversa

é a própria Matriz né então por exemplo se multiplica o gp que é digamos e soma em pé e e assim aqui já tá somando em cais a eu cai cartão repetidos que a gente chama de notação de convenção de Einstein bom é quando você tem uma expressão do tipo uma coisa cinco muito em cima talvez tem outros dentes aqui aí você tem outra com o mesmo índice em baixo e tem muitos em cima e muito embaixo repetidos Às vezes você não escreve o sinal de soma significa e vai chamar uma notação disse que às

vezes eu me esqueço da Sona Mas essa é a ideia né Se tiver a gente repetido se transformando conhecimento em baixo e para que as contas fique mais concisos Ah tá que eu multiplico pela Matriz G só para me livrar desse tema então eu vou ter identidade a Delta q cá o seguinte o final das contas e ficou com isso aqui e LP TJ lugar do carro coloca o que né e vamos lá e o que ele igual a soma em pé de GB que eu tenho que fazer a mesma coisa do lado direito e

aí vem tudo isso daqui e essa é a última forma que eu escrevi aqui ó e hoje já é e eu quero perguntar a vocês então o que é que chama atenção dessa expressão né E aí E aí E aí E aí é é é e ela atenção alguma coisa E você também seja o lado esquerdo eu tô dependendo só da Matriz a segunda forma Fundamental e o lado direito só dá primeiro o site quero saber o que os símbolos e Cristóvão se inscreve só em termos a primeira forma fundamental vai ser curioso né Você

tem dois objetos que são a priori eram para ser independente Mas de fato se você quiser mesmo que a superfície existe essa relação tem que ser satisfeito agora lembra que só que parece como a é uma coisa que a gente já fez o curso que esse tipo de pressão lembra o que é e determinantes mesmo é o que vai fazer agora é lembrar que lembrando né a cobertura de Gauss que era definida como e o produto das corretoras principais também podia ser obtida é a seguinte expressão né mas não passar um clássico serviço aqui bom

e na minha notação que eu tô usando aqui na notação indicial que aqui se usa geometria em Mariana isso aqui é o P12 - P12 quadrado sobre gg22 temos de dois quadrados chato e o seu agora nessa equação na verdade são várias equações né para cada escolha de índices aqui você tem uma equação Se eu escolher então Will L escolhendo o Wii U L como sendo um o que e o J como dois ou temos eu quero equação de Gauss e vai implicar que vou ficar então conferir um e quem 22 - e 12 o

quadrado e é igual bom é igual uma expressão é só depende de Oi Gê Gama Cruzeiro vai jogar um a cama por sua vez só depende de ir digita bem aqui é uma expressão Depende de G Eu quero vaga de G que observa em que Gama já tinha uma derivada de Jenna e tal como tem mais uma derivada aqui se envolve também segunda derivada Ah mas então provando que ainda tem esse denominador né a conclusão é que a curvatura degraus tem uma fórmula do tipo vai ser igual a e a G1 G2 - 12 o

quadrado vez uma expressão que só depende de jer a fazer vários MG uma das elevadas segundos de gelo ou seja a conclusão G1 e como é só depende a primeira forma fundamental você já a curvatura de Gauss é um conceito intrínseco à e se você pensar direitinho Isso é uma surpresa total porque a corretora de galo foi definida em termos as curvaturas principais que faziam uso do espaço na superfície cortava com os planos olhava para essas coberturas essas curvas né tal definição e eu causei inicialmente fazia uso forte do espaço Mas de repente algum momento

a descobrir o que na verdade essa mesma quantidade podia ser calculada Só usando a primeira forma fundamental e mais cedo em todo o conceito geométrico que pode ser escrito em função dos Fundos e Christopher é intenso a conclusão essa chamado teorema egregium em jogar o garoto ficou tão entusiasmado com o teorema nem que ele chamou de Teorema excelente em latim igreja a descobrir o que a curvatura Ah tá ah ah é é invariante E aí e por isometrias e E aí e em outras palavras o km conceito intrínseco à Ah pois só depende o da

primeira forma e tu és o autor emagrecer on do Galaxy e este teorema do gás nos dá esse corolário eu resolvi aquele problema resolve na negativa né mas resolve o problema da da cartografia né eu coronária é muito plana a esfera não e localmente geométricos G1 E aí Oi e a demonstração e é que a curvatura degraus do Plano A 10 a minha cobertura de Gauss é uma esfera já é o é depois do tipo ah ah não tem chance de fazer um mapa totalmente fiel superfície terrestre porque esse mapa violaria o teorema do Galo

as distâncias sejam preservados a primeira forma fundamental seria preservado da os dias então que a curvatura de Gauss também tem que ser preservada isso não pode Isso não pode acontecer um o serviço e é isso Ah não tenho tempo para enunciar o teorema Mas de fato tá no tá no livro A tem o teorema do boné também o século 19 que diz que essas são as únicas equações de compatibilidade ou seja ele diz que se as matrizes que você me deu satisfazem as equações de Gauss Mainardi codazzi Então existe uma superfície que realiza o gênio

pico no primeiro segunda forma fundamental Zeu é o El ter ao fundamental da superfície é mais complicado que o de curvas e curvas os invariantes Era só a curvatura para mais simples e as equações também em caso de Cuba que não tinha coração de compatibilidade qualquer função era curvatura de uma curva e aqui você tem mas o fato é que são as únicas condições que precisa checar para que a superfície ser e para que a superfície existo a só vou dar uma os comentários que terminar esse teorema que ele é fundamental porque é o teorema

aqui digamos assim abriu as portas para geometria riemanniana quem já me trem Mariana você vai estudar variedades diferenciáveis né com uma noção de produtos tá lá em cada espaço tangente seu produto fica lá em casa esse passo tá gente é o que seria a primeira fórmula fundamental de uma superfície EA dimensão pode ser muito alto Então pergunta é você tem então uma uma variedade diferenciável com um produto escalar o e em cada em cada espaço tem gente como é que eu defino curvatura desse objeto aqui não tem espaço só que não está contido Nenhum espaço

cotidiano é um objeto por si só e aí o que o rima fez inspirado no grau hoje eu vou falar isso mais para frente foi o seguinte ele imaginou que bom se eu tenho aqui um ponto da minha da minha Vale da diferenciável o espaço da gente tem dimensão pela 50 por exemplo mas eu posso escolher um subespaço de dimensão dois um plano E aí Ah tá e a imagina que centrado aqui nesse ponto você pega um disquinho de raio Epson Oi e aí você anda em cada direção aqui tangente ao plano Você anda na

na geodésica vou falar de geodésicas mais para frente mas todo mundo tem uma ideia do crítico do que seja né você lá na geodésica que sai com aquela direção tangente então isso gera uma superfície Zinho e vai ter dimensão 2 e as direções tangência que formam um plano de dimensão dois portanto e eu tenho uma primeira forma fundamental ganhar uma superfície de dimensão dois com produtos que é lá em cada em cada. O teorema é grande diz que eu posso calcular e a curvatura de Gauss da superfície S não posso calcular com altura média nesse

seria uma noção extrínseca né mas aí a ideia então definir o que a curvatura correspondente àquele plano Essa é a cobertura de Gauss e da superfície Zinho no.pe e é você vai usar a fórmula do gás e não tem segunda forma fundamental ainda né Aí você usaria uma uma uma expressão então é interessante Porque existe uma uma diferença de ordem assim como se faz o curso de geometria diferencial e o custo em Mariana em diferencial você começa com a teoria clássica de curvas e superfícies no espaço aí de repente você descobre como eu fiz aqui

que pelo que aquela curvatura ali só depende da primeira forma fundamental Oi e aí o Rayman tomou daí para frente né então eu já vou treinar né você faz o erro contrário você começa com Emma definir a curvatura de maneira intrínseca e mais para frente relaciona com a segunda forma fundamental são diferença de pontos de vista eu acho importante aí vocês têm as duas visões então na aula que vem a gente continua falando de geodésicas