Revisão - Cálculo I | Prof. Dr. Othon Winter

o Olá pessoal meu nome é ótimo muita e a gente vai fazer hoje então a revisão de cálculo um que é o que vocês viram longo desse nesse bimestre aqui ó inicialmente aqui tem a definição de limite Mas vamos diretamente já o que interessa em termos de aplicações de cálculo né se a gente pegar o cálculo de limite de uma função constante de uma função atípica pela constante essa constante pode ser colocada para fora se não tiver adição né de duas funções para que a gente vai calcular o limite pode calcular o limite de cada

uma delas e depois fazer adição tiver o produto a mesma coisa calcula o limite de cada uma depois do produto e a divisão também a divisão a gente só tem que tomar cuidado com relação a essa função G não ser igual a zero no caso-limite Tá certo vamos ver alguns exemplos se eu tivesse a função aqui que ela é dividido em duas partes para x maior que 3 e três e aí se eu quiser calculou o limite vindo pela esquerda pela direita a história dos limites laterais você vier pela esquerda vou ter que usar a

função que que vem da esquerda x - 1 E aí seu cálculo limite vai dar 263 - 12 se eu fizer pela direita e vou ter que pegar a função que vem pela direita para ti esmalte três Então coloca ali 3X mais quatro com x = 3 vai dar 13 né esse é um caso bem alimentado só para para lembrar caso mais interessantes por exemplo se não tiver a utilização do limite fundamental limite fundamental esse daqui se ela deixe sobre x quando X tende a zero igual um gente já analisou esse naturalmente e ele serve

para resolver problemas como esse daqui se tiver o limite dos ela de 5 x sobre 4 x eu tenho 5x ali não tem um X Então como é que eu faço Olha a mesma ideia a gente coloca ele é daqui para fora e aí a gente pode fazer uma mudança de variáveis os cinco sistema de u e de modo que a gente vai transformar esse o = 5x consequentemente x é igual o sobre 5 veja que quando X tende a zero o também vai entender essa então a gente pode trocar esse limite ou linha de

decência curtir sobre estes consistem reserva no limite e cena de um sobre o quando o trem da Serra e o cinco fica do lado de fora agora se a gente olhar em termos de hoje exatamente aqui tá no limite fundamental talvez dá um umas 5 a 5 e a gente vai querer um quarto do lado de fora então a resposta dentro de casa vai ser 5:00 né E no caso do limites infinitos são aqueles que a resposta do limite vai dar infinito a gente pode pegar esse exemplo aqui ó 1 sobre x + 3 e

fazer o limite tanto pela esquerda quanto pela direita Observe que x igual a Teresa aqui vai ser aquele denominador mas se eu vi aquela direita ele parece que eles vão dar resultados diferentes tiver lá pela direita eu pegar o número um pouco maior que 3 por exemplo 3,0 T colocar 3,01 aqui vai dar 10 um denominador então eu vou ter 001 denominador então vou ter que ir aqui esse número vai ser um sobre isso vai dar sem 10 ao quadrado se aumento é coloco mais mais próximo três então a diferença fica das suponhamos aqui a

diferença da 10,5 então um sobre isso vai dar 10 a quinta e consequentemente quanto mais próximo chego do três vendo pela direita e vai dar um número que vai ter na infinito positivamente por outro lado se virar para a esquerda pegar para 2,9 aqui 2,9 menos 300 0,8 décimos limite você pegar 12,99 doido só que vai dar negativo pedaços em negativo e consequentemente conforme o estilo mais próximo de três vinhos pela esquina ou segundo menor que 35 vai dar negativo atender o limite vai entender a menos infinito tá no caso de a gente tem um

limite aqui tende a infinito né então limite de uma função quando X tende a infinito é existem vários casos mas a gente faz com a gente tem razão de polinômios a gente vai utilizar ou polinômios de modo geral a gente vai utilizar a seguinte estratégia por exemplo visual vejo aqui a gente tem esse olho nome em cima e por enorme embaixo aqui essa divisão de Florianópolis se a gente coloca como é que a gente atacar esse problema a gente pega a maior potência de todos a gente tem e coloca ela com o Oi gente olhar

que morde todos os dias aqui coloca x aqui de residência em cima e embaixo e fazendo isso a gente pode cortar esses aqui então aqui e aí a gente vai usar seguinte ideia lembrar que o limite de 1 sobre X elevado a n quando X tende a infinito é igual a zero sejam sobre x quando X tende a infinito da Zero ou se eu preciso ao quadrado sobre x Ao Cubo Um Só precisa quinta quando X tende a infinito da Zero então cada um desses termos que estão aqui dentro parece em cima vão aprender usar

em baixo o segundo tempo para entender a 0 o primeiro apenas vai sobreviver Então a gente vai ter que vai sobrar é em cima 10 embaixo número 3 não é 0 dividido por 3 que do país a zero os limites são importantes também para a gente descobrir a continuidade de uma função Num dado. Todo gente tem uma função f e a gente quer saber se ela qual Tina no ponto lá a gente tem que obedecer essas três condições aqui primeiramente a ser definida neste ponto a ou seja ela fazer parte do domínio da função o

limite da função quando X tende a Tem que existir e essa terceira condição que acaba englobando as dos anteriores né esse limite tem que ser igual valor da função então pra ocorresse terceiro aqui tem que existir a função naquele. Tem que ser definida e limite Tem que existir Então você precisa aqui acaba englobando as duas anteriores mas se uma delas furar a gente já sabe que a função não é continuar naquele ponto vou pegar aqui um exemplo a gente vê essa função definida essas três partes né Maior quiser melhor quiser igual a zero você tiver

sabem zero como é que a gente vai analisar esse pau primeira função existe e ela é definida esse valor zero sim para x = 0 no parecendo então o primeiro quesito tá atendido o segundo a questão do limite existe o limite eu gastei meu limite da função quando X tende a zero existe que a gente faz a gente faz ele pela direita e depois para esquerda fazendo pela direita vai dar esse cosseno vai dar um né quando chego ali zero fazendo pela esquerda ele vai ser um menos x colocando aqui vai dar menos um então

deram valores diferentes pela direita pela esquerda então a conclusão que não existe o limite isso não existe o limite nesse ponto dessa função nesse ponto x igual a zero Então porque ela não é continua nesse caso Então isso é para analisar continuidade E aí e a partida de limite a gente entrou na no conceito de derivação e derivada é dada em termos e limites e a derivada na realidade ao reflete dado uma função a taxa de variação daquela função esse essa funciona com sede aqui algumas regras lembrando algumas refere-se a função concentra derivadas ela se

eu tivesse A Concept da função com as para constante para fora da derivada se eu tiver a sombra de duas funções a derivada dele para cada uma delas e soma ou subtrai ar se eu tiver o produto como é que o produto dele uma vez a outra depois a a outra vez ela anterior é de cada vez uma delas e se eu tiver uma divisão de F / G como é que eu faço eu pego hoje derivada de f - f e derivados e divido pela G ao quadrado essas cargas a gente vai utilizar elas

com muita frequência então um exemplo E se eu tivesse produto como é que eu faço eu pego o primeiro tempo aqui entre parentes e deriva segundo quatro fiz um pouco antigo e depois mais pega o segundo e dele com o primeiro se eu tiver uma divisão como é que eu vou fazer então se eu tivesse a divisão aqui tá em te pego podemos de cima derivo ele vejo de baixo menos o debaixo derivado vejo de cima e tudo isso divisa pela de baixo ao quadrado então assim por diante é Como assim gente utiliza essas propriedades

é então da derivada de x elevado a n Caio O N E digo de menos um favor não expoente em menos um te acontecendo da mega-sena se Acenda cosseno tangente secante ao quadrado exponencial ela própria ln-1 sobre x e por aí vai então vou fazer aqui por exemplo se a gente tiver uma função com três partes aqui tem o cosseno ali n&o perguntando o oceano da menos sendo ele não sobre x e esse problema gente olha como teria dessa forma que a gente vai fazer esse tipo de derivação se eu não tiver uma derivada de

ordem superior e que é derivado mais de uma vez você tiver aqui essa função por exemplo normal que a derivada dela daí se derivar mais uma vez que que não correr eu derivo novamente aqui então quatro vezes 25 sente soco e aqui 24x dele vai mais uma vez terceira vez vai ficar dessa forma quarta vez se eu levasse Uma quinta vez aqui daria simplesmente 600 eu não posso ir derivado em vezes cada vez utilizando a mesma regra depois acerto e com relação a derivação a gente pode ter uma função composta né então você tem uma

função y&g de uma função f de x eu posso ter uma função que exige bola f de x com pontos e aí como é que eu derivo a função y em relação a x y e o 11º ela em relação ao e depois uma relação x isso eu posso fazer para várias derivadas né tiver para as funções compostas vou pegar aqui um exemplo se a gente tiver essa função y igual esse parentes aqueles Poliana vou parentes elevado a 7 horas então posso separar o que tá dentro do parecem eo e depois o y está vai

ficar gente uhuu o assédio É esse aqui é certa ele vai a faço 7 visou a sexta e depois então eu derivar a segunda parcela poder levar algo em relação a gente então dei deu desde sanduíches vai ser de y teu Deuses E aí eu coloco até umas duas parcelas aqui a primeira depois de vencer a derivada da segunda tá certo aqui é um outro exemplo tem gente de raiz quadrada de dois x como é que eu faço isso eu posso pegar tangente a ser derivado eu pego tudo que tá aqui deixando de um ou

raiz quadrada também se ele vai perguntar aqui dentro deixamos de ver E aí eu vou fazer dydx como se ali só deu deu o dever e dvdx você para então elas vão ficar calcular cada uma delas separadamente e depois fazer um produto delas simplifique chegou na solução final aqui então a regra da cadeia pode ser utilizada vários várias vezes utilizando a derivação a gente viu que tem uma regra muito útil para calcular seus limites então quando eu tiver uma determinação do limite do tipo zero sub-zero o infinito sobre o infinito e a função que eu

tenho nada da divisão é de duas funções basta derivar a primeira a parte de cima isoladamente depois a parte de baixo isoladamente o resultado desse limite é igual resultado do limite original então derivando às vezes facilita sempre fica como ter isso vamos ver aqui um exemplo se eu tivesse a função aqui ó as duas vezes além de x sobre x malhação quando X tende a um aqui embaixo vai dar ou menos 10 e lá em cima lnx L1 também a senhora dá uma determinação 0 sobre 0 que que eu faço direito em cima derivado Aliene

a 1 sobre x verão abaixo derivado X1 E aí eu tenho aqui que esse limite aqui vai dar dois então esse limite aqui é igual o limite original essa ideia para calcular via l'hôpital aqui um outro exemplo e que eu vou ter uma exponencial sobre x quadrado quando X tende a infinito aí eu vou ter infinito em cima infinito embaixo como é que eu faço derivo elevado a x elevado a ele próprio x quadrado x subsidiando aqui vai Touch novo infinito sobre o infinito que que eu faço de livro mais uma vez a regra continua

sendo válida que vai ficar dois e agora se eu botar infinito sobre 12 pela infinita então sair daí em relação a essa ideia de utilizar a regra de l'hôpital moto aplicação interessante cima que tem utilizado o derivadas e quando a gente Analisa uma função a gente quer saber onde a função da crescente decrescente a concavidade dela pontos de máximo ou mínimo então aqui temos um exemplo esse polinômio aqui se a gente pegar ele foi estudar a gente vai então como é que a gente faz isso através das derivadas então a gente faz a derivada primeira

igual ela zero para achar lembra que a derivada ela calcula a taxa de variação da função Então se ela varia positivamente ela tá crescente levaria negativamente ela tá decrescente para a gente igual a zero para achar os pontos que fazer essas separações então derivando aqui a gente faz isso encontra nesse exemplo aqui vai ser a para os valores - 1 e 2 então a gente vai ter o trecho antes de dois confiantes de menos um entre menos 12 e acima de 2 3 vai ter três intervalos Oi gente tudo esses três intervalos e deixa eu

pegar cada um dos intervalos eu pego para saber por exemplo no intervalo melhor queimá-los ontem menos infinitas menos um basta substituir o valor qualquer nesse intervalo aqui e verificar se a positivo negativo ou se a gente colocar por exemplo menos dois aqui a gente vai ver que isso aqui vai dar um número positivo então ela vai ser crescente nesse primeiro intervalo que vai dar uma derivada positivo deixa eu pegar além de dois a gente se eu colocar o valor três aqui a gente vai fazer a conta e vai vir aqui também vai dar positivo também

vai ser crescente então esses dois intervalos vai ser crescente e se a gente pegar e tentar não valor entre os dois pontos nesse intervalo intermediário entre menos 22 por exemplo teste o valor 0 logo 0 que vai dar negativo então a derivada é negativa então vou ter que nesses dois intervalos de levar da Positivo nesse intervalo ela é negativa Isso significa que ela crescente aqui e nesse último ela vai ser decrescente a Oi e aí se organizar ela vem crescente chega menos um depois ela é decrescente então menos um ponto de máximo isso ela vem

da crescente chega em dois depois se torna acrescente o valor dois vai ser um ponto de mínimo então assim a gente viu onde cresce decrescem ponto de máximo e mínimo Mas eu posso ver também a questão da concavidade da corra eu tenho que ir para a derivada seguinte então de livro mais uma vez a função fica dessa forma igual a zero e aí eu voltei aqui quando eu colocar que eu x igual a meio vai ser ar e ainda vou ter valores menores que meio e maior que meio e vou analisar o que que ocorre

para valores menores que meio então pega um valor menor que nem eu por exemplo zeros colocar zero aqui vai ser negativo então derivada segunda vai ser negativa nesse trecho então a concavidade com a derivada segunda negativa porque a qual cavidade é para baixo ela tá virada para baixo vou pegar o valor aqui maior do que isso aqui por exemplo se eu pegar a maior que meio você pegar um por exemplo vai dar 12 - 66 vai dar Oi e aí então qual cavidade vai ser para cima Vai ter virada para cima então eu descobri aqui

a concavidade dela e esse ponto aqui quando fiz eu amei então a concavidade A Lavinha voltada para baixo e depois se virou para cima então é um ponto de mudança chamado ponto de inflexão aí se a gente olhar aqui no o gráfico dessa função que a gente acabou analisar a questão esses três pontos né então aqui o ponto de máximo que a gente achou lá no menos um ela vem crescente depois fica decrescente aqui ao ponto de mim decrescente depois acrescente a gente fica com cavidade aqui que era para baixo e aqui para cima e

esse cara aqui o valor x igual ao meio é quem faz essa separação entre concavidade para baixo concavidade para cima Até um ponto de inflexão Esse ponto vermelho os pontos azuis um AD ponto de máximo e outro de mínimo e agora a gente vai para a integração para a integração é interessante pensando conceito de primitiva tá então o que que ocorre quando a gente tinha função essa tabela que eu mostrei para você já hoje e aí a gente segue né para fazer a derivada a integração é como se fosse a anti derivada é a volta

então se eu tiver eu tinha coluna da esquerda e gerava da direita pela derivada da Integração vou sair da direita e voltar para a esquerda é basicamente essa ideia então até que a integral de f em nos coletivos da x vai dar F maiúsculo DX mais uma constante porque aqui é muita graus F mental sempre tem que acrescentar consegue e essa F mas o senhor é primitivo é aquela quem eu derivo F maiúsculo chegou no f minúsculo tá então ver um exemplo se eu tiver esse polinômio aqui como é que eu resolvo Oi aquela ideia

quem é que eu tenho que derivar para chegar em 2x ao cubo ou vai ser meio de X a quarta dessa aqui ó tá eu quatro ficar 24 dias por um X ao cubo e assim por diante Então a gente vai procurar quem é primitiva cuja derivada vai gerar esse tempo que eu quero fazer a integração sem integral foi definido ou seja tem uns limite aqui vão de até bem lembrar que o ar sempre menor que o Bê E aí até então na integração Olha que o cálculo aqui a primitiva dessa F vai ser o

F maiúsculo eu vou substituir os valores final menos o Inicial quiser maior menos ou menor que o bebê o valor com a E aí eu não preciso daquela constante de integração Então se a gente olhar aqui é um exemplo você tivesse integral Aqui 0up sobre 2D - seno de x mais elevado a x posso separar né Integração em duas partes pega a primeira minha nossa existência derivada do Cosseno levado cosseno menos Então vai ser o cocielo elevado a x a própria lâmpada x e vamos colocar esses crimes integração substitua-o por um valor e nesse final

e fácil menos prová-lo os cálculos e chego aqui então resultado o resultado numérico eu não vou ter mais agora que ela constante de integração que também integral definida tem os limites de integração a outra aplicação importante que a gente viu é o cálculo diária área delimitada para o curva toque se não tiver duas duas Cubas cena de x 400 x a gente quiser calcular a área entre elas muitas valdissera pi sobre 4 e a gente pode olhando aqui o gráfico tá então aqui ó a gente tem 200 ele está cubo Azul tá lá só depois

vai descer e aqui do Cosseno tá descendo depois vai subir até aqui a gente vai estar o x aquela onde Cruz os dois eu fiz sobre quatro e eu quero essa área delimitada entre as duas coisas a vermelha EA preta né a integral dessa integrar a curva vermelha aqui eu vou ter a área abaixo da curva vermelha isso é integrada preta vou ter abaixo dela como eu quero entre as duas eu tenho que fazer da Vermelha menos A da Preta descontente aqui então vai ser a do Cosseno - adoção Então é isso que a gente

vai fazer a gente vai pegar agora vai fazer então eu quero área vou fazer a integral do Cosseno menos o do sendo porque aqui tá em cima mesmo só que tá embaixo muito no intervalo disseram que 64 e aí eu fazer essa integração do Cosseno mas não esquecendo a cena o seno e do Cosseno da menos então vai ficar sendo mais cedo mas com seu aqui dizer Oi tia o que que eu faço substitua o valor final a opção de 42 temos menos o valor inicial e calcula isso aqui e chegou o resultado dessa área

e desta que me dá a área dessa curva dessa área dessa região delimitada entre a curva vermelha EA Cuba preta para x entre 0 e pe 104 passado é um os cálculos integrais existem diversos métodos né e o alguns deles a gente vai discutir aqui o gente já viu vamos fazer hoje um deles mais simples é um de substituição de variáveis você muda variável se eu tivesse integral Aqui deixa eu pegar um tempo tá dentro da raiz aqui e chamar de U Observe o que que tem 12 x Esse é uma constante na Praia Grande

X Ele é constante em relação a x Eu tenho um x quadrado a derivada de cio vai aparecer 12 x ele acho que até 2x aqui do lado de fora você pegar o igual esse tema derivada dele vai dar 2x Se eu soubesse tudo bem e também integral muito simples integral de raiz de Uber E aí você interessa aqui no E aí eu volto e substitua o valor original quem que é o mesmo x quadrada mas é o quadrado e é isso aqui como ela integral indefinida tem que sempre colocar constante de integração dela tá

certo o outro médico integração muito utilizada e nem pegar o compacto é Então aquela ideia você tem uma integral de o dever vai ser igual UV - integral DVD na realidade eu tenho a integração aqui é um ver um exemplo aqui para ficar bem claro por exemplo essa aqui x 10 elevado a x DX eu vou separar isso aqui dois pedaços um vai ser o e outro vai ser o dever então se eu chamar o simplesmente difícil deu vai ser nesses e o ver vai ser aqui é o que sobrou aqui elevado a x E

aí se isso aqui é o dever o Henrique vou ver quem é ele é uma notícia deles e que volta vai cair isso aqui é um Silver é esse aí então vou poder trocar vejo que eu fiquei com o TV esse daqui x Mas vê se tempo e vai ser o resultado desse over - integral DVD eu ainda vou ver quem é o elevado a x quem é a primeira parte menos integral de v deo mas veio aqui mesmo ele era XT Wings eu fico muita grau Bem Mais Simples resolver Veja a íntegra a original

que eu tinha aqui então essa integral Aqui integral de é elevado a x a própria elevado x eu substituo aqui ou desses nós temos só rearranja que algebricamente e vou ter uma constante integração a integral indefinida não tenha sempre a constante integração e para encerrar a gente tem aqui o método de frações parciais depois a gente vem integrais com essa cara aqui por exemplo de x sobre x quadrado mais B ao quadrado B que é uma constante aprendizado é interessante esse exercício que vale para quaisquer valores de bebê que eu colocar aqui para esses casos

a gente vai de chegar a algo parecido como é que eu faço esse x quadrado eu não sei onde vai ser integral diretamente x quadrado menos o teu quadrado eu posso separar com x mais B vezes um tempo é esse produto é igual isso aqui que tá aqui embaixo isso daqui eu posso ser sempre separar as ações parciais só com essa base e um só conhece denominador vai ser um aqui que eu preciso calcular x menos bem mais um bebê mas eu escolhi Com estes mais bebezinho e aí tem que calcular se a receber como

é que é o cálculo isso aqui é só um pouquinho de áudio eu pego esse tema aqui retorna para esse ou seja dentro voltar multiplicou as fases aqui e aí vou ter que ir lá vai tá multiplicado cruzamento que x mais b e o bebezão aí está multiplicando x - b então é isso que eu faço aqui ó E aí eu abri essa parte de cima é igual a um porque aqui em baixo tá tudo igual Então esse como você gosta a parte de cima então vou ter o armas de multiplicar o x e vou

ter essa tema aqui entre parentes multiplicando X elevado a 0 e 1 né então fiz a primeira X elevado a zero e aí eu posso separar então que do lado esquerdo ele tem a unidade não tem ninguém com X então a Mas você tem que parecer ela é a e do lado esse outro temos X elevado a zero é um Então esse lobo aparece aqui tem que valer um E aí então em função disso eu tiro dessa primeira parte que o igual a menos B E aí o substituto na segunda parte e aí consigo descobrir

que o a vai ser um sobre dois bebezinho e o bebê menos 1 sobre 2 mesinhos vai - B para guardar um simplesmente menos outro aí então posso substituir esses dois caras aqui de volta aqui o ar e o Bê E aí fazer essa integral e essa que você mais fáceis agora do que aquela integral original e esse que eu faço substitui separo aqui eu vou ter integral da esquerda da direita veja aquela são análogas a única diferença esse sinal de menos aqui embaixo como é que eu vou resolver elas Eu Vou Chamar esse denominador

aqui de 11 e aí ficou um sobrinho odeo vai dar o próprio DX aqui também si mesmo ou de outra metade destes eu consigo resolver essa integral vai dar simplesmente Marlene porque ele n que dá um sobre o lembro E aí fazendo isso então eu consigo não Olá tudo para aquela com menos Conta outra com mais né E aí eu voltei Então essa daqui com menos e outra conversa só lembrando lá vou voltar eu tinha um sinal de menos aqui na frente essa aqui vai dar aquele Eliene com o menos e outro vai dar o

Eliene com o mais e aquele menos que tinhamos aqui é linda a diferença oferece salientes Eliene da divisão eu com isso a gente fecha aqui uma revisão e todo esse conteúdo não espero que vocês tenham acompanhado o curso e faça um pouco mais exercício revejo meus conceitos e boa prova para para todos muito obrigado