O QUE SÃO AUTOVALORES E AUTOVETORES?: Exercícios Passo a Passo | Álgebra Linear

Oi Oi gente tudo bem Meu nome é Ester Velasquez e sejam bem-vindos ao canal matemática e o vídeo de hoje a gente vai começar a falar sobre autovalores e autovetores aqui em álgebra linear Tá bom então antes de começar já curti aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá Oi gente vamos supor que você tá trabalhando ali com processamento de imagens no seu computador e aí você tem essa imagem original que você vai multiplicar por uma matriz vamos chamar essa Matriz de matriza tá bom quando você multiplica essa imagem pela Matriz a você vai

ter uma transformação que vai distorcer a sua imagem Então olha só o que aconteceu aqui a gente tem a mesma imagem só que ficou meio distorcida ali né dê umas mudadas alguns ângulos ficaram meio diferentes então a gente fez essa transformação linear na nossa imagem e o que a gente vai notar aqui é o seguinte a gente pode lidar com vetores de várias direções aqui na nossa imagem então tem esse Vitória que tem o vetor da madeira lá trás o vetor da orelha do Fred da língua dele então vamos pensar no seguinte se a gente

pensar aqui na orelha e na língua o que aconteceu quando a gente fez a distorção e o que que mudou nesses vetores Você pode até pensando Nossa mudou completamente né imagina é muito distorcida só que gente se a gente for ver aqui com vetor da orelha não mudou tanto assim né Ó que ele tava apontando para baixo e quando a gente distorceu a imagem ele continua apontando para baixo só o tamanho dele diminuiu o da língua por outro lado tava apontando ali para diagonal lado direito e aí mudou completamente né começar apontar para diagonal no

lado esquerdo tá mas o que quer dizer isso que por exemplo vetor da orelha continua na mesma direção mesmo depois que a gente fez a transformação linear o que isso quer dizer o que esse vetor tem de especial a gente vamos chamar esse vetor aqui da orelha de Vetor V tá bom e o que aconteceu aqui foi o seguinte a gente fez a multiplicação da Matriz a pelo vetor V sendo que a é a matriz de distorção e como resultado a gente obteve esse Victor aqui que tá a direção tá aqui na nossa linha vertical

certo então quando a gente fez essa transformação linear a gente teve como resultado um vetor que tá na mesma linha que o vetor v o que a gente sabe sobre vetores colineares quando a gente tem dois vetores Paralelos que estão na mesma direção pode ter certeza que um é múltiplo do outro Tá bom então esse aqui você tem o vetor um é por exemplo aqui você vai ter o vetor algum escalar Alpha vezes um Então sempre que a gente tem vetores Paralelos eles vão ser múltiplos logo a gente pode falar que quando a gente fez

a multiplicação da Matriz a pelo vetor ver que o vetor da orelha a gente obteve um vetor que é paralelo ao vetor então lambida um de lambadão escalar vezes o vetor v e esse lambda única coisa que ele fez foi diminuir o tamanho do vetor que exatamente que aconteceu aqui né e o vetor permanece na mesma direção só que com tamanho menor já o vetor da língua a gente não pode falar a mesma coisa né se isso aqui a gente chamar de Vetor u quando a gente fez a multiplicação do vetor com a matriz EA

que a matriz de distorção a gente teve um vetor completamente diferente em outra direção de outra tamanho Então esse vetor u não tem essa mesma propriedade do vetor V Tá mas o que o vetor V tem de especial aqui o que quer dizer a transformação do vetor V te dado um múltiplo dele o vetor colinear ele gente o vetor V vai ser um autovetor dessa nossa transformação linear porque quando a gente fez essa transformação a gente obteve um vetor paralelo o que ler antes enquanto isso esse lambida vai ser o alto valor relacionado a esse

autovetor V então alto vetor É porque quando a gente faz a transformação dele O resultado vai ser um vetor colinear e o alto valor é justamente o que Vai Multiplicar esse resultado então quanto colinear será que vai ser enorme aqui será que vai ser pequenininho Então quem vai determinar tanto sentido quanto o módulo vai ser esse lambida se ele for negativo a gente está mudando ao sentido também gente então o que a gente vai pensar que é o seguinte imagina que eu tenho esse vetor aqui nessa direção desse tamanho e aí eu multiplico ele para

o matrizar que a nossa transformação linear Quando eu fizer isso eu vou ter um outro vetor como resultado E aí eu vou ver será que ele tá na mesma direção ou será que mudou completamente a direção quando a gente fez essa multiplicação pela Matriz a se continuar na mesma direção que ele era antes quer dizer que isso é um autovetor da sua matriz a o quanto ele aumentou ele e eu diminuiu vai ser aquele lambida que é o alto valor associado a esse alto retorno agora se mudar completamente de direção aí já não vai ser

um autovetor da sua matriza Tá bom então falando de forma matemática gente se a gente tiver uma transformação linear que a multiplicação de uma matriz quadrada a vezes o vetor de entrada a gente vai falar que o nosso alto vetor vai ser um vetor V não nulo olha só que é muito importante ele não pode ser nulo E aí quando a gente multiplica uma matriz a a polícia vetor a gente vai obter um múltiplo de si mesmo vetor ou seja houve não vai mudar de direção quando a gente multiplicar ele pela matriz A então ele

tem essa propriedade ali especial que quando a gente faz a transformação linear dele ele vai continuar na mesma direção Pode ser que ele mude sem e o módulo mas a direção vai ser a mesma e aí a gente vai ter um número real que é o lambida multiplicando o autovetor e esse lambida é o que a gente vai chamar de alto valor Tá mas até o momento está muito teórico Vamos colocar em prática isso para a gente entender de fato o que tá acontecendo Então a gente tem essa matriz quadrada 1423 a matriz a e

a gente quer encontrar os autovalores e autovetores dela ou seja a gente quer encontrar ver e lambida Tá OK quando a gente faz a vezes ver a gente obtém lambida vezes ver vamos lá o primeiro passo nesse tipo de exercício encontrar os autovalores tá bom E para isso a gente vai fazer o seguinte a gente tem a matriz aqui e a gente vai lembrar também da Matriz identidade lembra que a diagonal principal dela é um E o restante é zero aí o que a gente vai fazer é multiplicar a matriz identidade e por lambida que

é o lembra que a gente quer encontrar a gente vai fazer lambda vezes e e isso vai ser lambida 00 lambda para gente encontrar os autovalores da Matriz a o que a gente vai fazer é o determinante da matriz a menos lambda vezes e tem que ser igual a zero os valores de lambidas que cumprirem com isso vão ser os nossos altos valores Então quem é a menos lambida vezes vai ser essa Matriz menos essa então de uma forma geral que a gente vai fazer é só tirar o lambda da Diagonal principal então um menos

lembra 3 - lambida o restante permanece igual ou então essa é a matriz a menos lambida vezes e agora a gente vai fazer o determinante dela então essa diagonal multiplica e essa que multiplica um sinal de menos lembra lá determinante de 2 x 2 então o um monte de ar menos lambda vezes e vai ser um menos lambida X3 - lambada da Diagonal aqui para o lado direito - 4 x 2 da Diagonal para o lado esquerdo e isso tem que ser igual a zero para que a gente encontra em nossos altos valores para a

gente encontrar o lambda gente vai ter que fazer a distributiva aqui para gente chegar em uma equação que a gente consiga resolver Tá bom então a gente tem um x 3 que é 31 vezes menos lambida que a menos lambida aqui menos três lambidas e menos com menos mais lambda ao quadrado e tudo isso menos oito igual a zero portanto a gente tem lambda ao quadrado menos quatro lambida - 5 = 0 então é só a gente resolver essa equação do segundo grau para a gente encontrar os valores de lambda que satisfazem com isso esses

valores vão ser os nós O valor está bom então vamos resolver isso aqui o delta vai ser B ao quadrado que dá 16 - 4 x 1 x menos cinco então o nosso Delta vai dar 36 tá bom Portanto o lambidão vai ser menos B + raiz de Delta sobre dois a então lambidão das 5 e o lambda 2 Vai ser 4 - 6 sobre dois que dá menos um e é isso aí encontramos nossos dois altos valores para essa Matriz lá agora que a gente tem os autovalores a gente consegue encontrar os autovetores Vamos

lá ver gente quando a gente tem alto valores eles são Associados a algum alto vetor então alto valor cinco é associada determinado autovetor e autovalor menos um associado outro alto vetor Então a gente vai encontrar separadamente quem é o autovetor e aqui e quem é o autovetor aqui tá bom para gente encontrar os autovetores a gente vai fazer a matriz a menos lambida vezes e vezes o autovetor que a gente quer encontrar no caso vamos chamar aqui de x e y já que nossa Matriz é dois por dois a gente pega um vetor de duas

coordenadas e isso tem que ser igual o vetor nulo 00 então sempre a gente vai usar esse passo aqui para encontrar os nossos altos vetores Tá bom então a primeira coisa que a gente vai fazer em relação à alto valor 5 a gente vai subtrair 5 na diagonal principal da Matriz Então a gente vai ficar com menos 54 dois e três menos cinco então isso aqui é o a menos lambda vezes e com lambida valendo cinco aí a gente multiplica isso por x e y e e fala a00 o que a gente quer encontrar aqui

é o vetor x y que o nosso alto vetor Então é só a gente fazer essa multiplicação de matrizes aqui encontrar o x e y que satisfazem com o sistema então ao fazendo a multiplicação das matrizes a gente vai ter menos 4 x + 4y na primeira linha e na segunda 2 x - 2Y então aqui a gente cai no sistema - 4 x + 4y = 0 e 2 x - 2Y = 0 nas duas linhas se a gente isolar uma variável da outra a gente encontra que x = y logo a gente pode

falar que o vetor x y pode ser escrito assim XX Já que as duas variáveis são iguais e isso é a mesma coisa que um parâmetro vezes um é um esse um é justamente o nosso autovetor associado ao alto valor lambda = 5 Então é só revisando para encontrar os autovalores a gente fez o determinante de A menos lambda II C = 0 para encontrar os autovetores a gente faz a menos lambida vezes vezes x y ser igual a zero zero então agora vamos encontrar o autovetor quando o alto valor é menos um o primeiro

passo é pegar diagonal principal da Matriz a e fazer menos menos um então um menos - 1 e 3 - menos um com isso a gente vai ter dois aqui 42 e quatro aí a gente se multiplica isso pelo vetor x e y que é o vetor que a gente quer encontrar igual a zero zero fazendo a multiplicação de matrizes aqui a gente vai ter 2x msaa o Y nas duas linhas né porque as duas linhas são iguais isolando x do Y em qualquer uma das duas equações que são iguais a gente vai ter 2x

= -4 e y e dividindo os dois lados por dois a gente tem x igual - 2Y isso vai dar para gente que o vetor x y que satisfaz com isso aqui vai ser menos dois y&y né substituindo X por - 2Y isso é y vezes menos 21 que é o autovetor associado ao alto valor -1 a gente então o que aconteceu aqui a gente encontrou esses dois altos valores e aí a gente encontrou os autovetores aos quais eles estão Associados Mas então que isso quer dizer na prática se a gente pegar a matriz a1423

e multiplicar por um dos nossos out e a gente vai ter que encontrar um múltiplo deles necessariamente Nesse caso tem que ser eles mesmos x esses altos valores Então vamos testar se a gente multiplicar a matriz A pelo vetor 11 que é um dos nossos autovetores como que vai ficar na primeira linha fica um vezes um que é um mais quatro vezes um que é quatro e na segunda linha duas vezes um mais três vezes um com isso a gente encontra 55 que é a mesma coisa que cinco vezes o vetor 11 então era só

em uma síntese multiplicação de matriz A gente provoca o resultado realmente condiz com a teoria de autovalores e autovetores porque quando a gente multiplicou a matriz pelo autovetor dela a gente obteve um múltiplo dele e que no caso foi ele multiplicado pelo alto valor cinco agora vamos ver quando me explica pelo alto vetor - 21 a gente vai ter uma vezes menos dois que é menos 2 + 4 x 1 e aqui duas vezes menos dois que é -4 + 3 x 1 isso que vai dar menos dois mais 4 a 2 menos 4 +

3 é menos um que é a mesma coisa que menos um vezes menos 21 ao nosso alto valor -1 e nosso alto vetor - 21 então foi isso que aconteceu na imagem que a gente viu lá atrás gente quando a gente multiplicou a orelha pela Matriz a gente obteve um retorno na mesma direção só que x 1 lambida gente então agora vamos ver esse caso que é uma matriz 3 por 3 e aí a gente quer encontrar os autovalores e autovetores dela bom para Alto valores a gente vai fazer menos lambida em todos os elementos

da Diagonal principal então aqui 2 - lambida 35 E aí aqui 2 - lambida de novo 100 e 3 - lambida aí a gente vai Calcular o determinante dessa matriz e ver quais são os valores de lambidas que condizem com isso ou então calculando o determinante da matriz 3 por 3 e a gente faz esse esquema que dá diagonais nessa primeira diagonal a gente vai ter 2 - lambida ao quadrado porque tem esse e tem esse né vezes 3 - lambida essa segunda aqui vai zerar essa aqui também vai zerar E o restante todos estão

zerando né gente então a gente fica só com isso aqui igual a zero e aí a gente vai Quais são os valores e lambda que satisfazem as igualdade nesse caso Como já tá fator a Dinho ficou até simples né gente qual é o lambida quiserem isso aqui qual é o nome do que faz 2 - lambidas e zero lambida = 2 e aqui lambida = 3 é só que coisa gente os autovalores que a gente encontrou aqui são justamente os elementos da Diagonal principal é coincidência nesse caso não gente porque a gente tem uma matriz

triangular superior sempre que a gente tiver uma matriz desse tipo que esses elementos aqui são 10 os nossos altos valores vão ser justamente os elementos da Diagonal principal Tá bom então quando você vê uma matriz desse tipo aqui já pode concluir Quais são os altos valores agora vamos para os autovetores primeiro a gente tira o alto o valor dois de todos os elementos da Diagonal principal E aí nossa Matriz fica assim né a gente vai multiplicar ela por um vetor x y z que é o Victor que a gente quer descobrir igual a isso a

000 fazendo a multiplicação das matrizes aqui na primeira linha a gente vai ter 3y + 5z = 0 e nas e a gente tem Z = 0 x = 0 substituindo que a gente tem três Y mas era igual a zero e portanto Y também é zero Tá mas a gente chegou aqui ya0 1500 e o x gente o x pode ser qualquer valor diferente de zero porque se ele for 0 nosso Vitor vai ser nulo EA gente não pode ter um alto vetor nulo né Mas qualquer outro valor de X condiz com autovetor condiz

com essa igualdade Porque como ele some aqui no nosso sistema ele não faz diferença certo é a gente pode colocar qualquer valor nele que o sistema é válido logo o nosso alto vetor para o alto valor dois vai ter uma forma genérica x00 para qualquer valor de X diferente de zero então você pode pegar por exemplo x = 5x = 10 9 qualquer valor de X diferente de zero vai ser um autovetor aqui e agora vamos encontrar o autovetor relacionado ao alto valor lambda = 3 que o outro alto valor que a gente achou aqui

primeiro a gente faz menos três nos elementos da Diagonal principal E aí Multiplica pelo vetor x y z fazendo a multiplicação das matrizes a gente vai ter - x + 3y + 5z = 0 e menos y mas é igual a zero da segunda equação a gente chega que z = y substituindo isso na primeira a gente tem - x + 3 e já que y = z + 5z = 0 portanto x = 8 Z dessa forma nosso Vetor pode ser escrito assim ó oito Z logo esse é o autovetor relacionada ao alto valor

lambda = 3 e esse aqui o setor relacionado a lambida = 2 portanto gente se a gente pegar a matriz A e multiplicar por um vetor no formato x 0 0 a gente vai ter algum múltiplo de si x100 x 2 e se a gente pegar essa matriz A e multiplicar por 81 a gente vai ter o vetor 8 1 x 3 certo bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir e se inscreve no canal compartilha com seus amigos e segue o canal matemática lá

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