en esta ocasión vamos a ver qué son los menores y cofactores la definición de determinante es de cierta manera recursiva primero se definen los determinantes de orden 2 como iniciamos luego de 3 y así se invocan estos de 3 invocan a los de orden 2 luego los de orden 4 invocan a los de orden 3 y así se continúa por eso es una manera recursiva entonces tenemos esta definición se aa una matriz cuadrada de orden n con entradas reales entonces vamos a definir el menor como m mayúscula y j del elemento j como el determinante
de la matriz de orden n 1 es decir de un orden menor a la matriz original si la matriz es de orden 10 en los menores van a ser de orden 9 estos menores se obtienen de a al eliminar la fila y y la columna j encima el factor cj está dado de esta manera es menos 1 elevado a la suma de y con jota es decir de ese elemento por el menor bueno ya qué nos referimos con esto por ejemplo imaginen que yo tengo una matriz a la forma a 1-1 12 así hasta a
1 n luego a 21 a 22 a 12 n hasta a n1 n2 a nn pues bien si a mí me piden el menor por ejemplo 2,1 entonces s está asociado al elemento a 21 de la matriz por lo tanto el menor tengo que eliminar tengo que eliminar la fila 2 y la columna 1 y el menor sería tomar el determinante de lo que queda es decir a 12 así hasta a 1 m el siguiente ya desapareció sería a 32 hasta a3n y el último pues bueno sería an-2 n en esta materia determinante proviene de
una matriz de n 1 por n menos unos cuantos menores va a tener una matriz de entradas n por n bueno pues tantas como elementos tiene es decir n cuadrada ahora bien los factores en una matriz es decir al elemento a 11 se le asocia el factor ce 11 al elemento a 12 el c 12 y así buenos y los dispongo en una matriz vamos a llamarle a esa matriz la matriz de cofactores de a y ya que estamos en este tema como colación vamos a definir lo que se conoce como la adjunta de a
definimos la matriz adjunta de a y la vamos a denotar como a bj de adjunta de a y la vamos a definir como la matriz transpuesta de la matriz de cofactores esto es la adjunta de a es la matriz de cofactores transpuesta veamos este ejemplo sobre menores y con factores pero para calcular la adjunta de esta matriz entonces la matriz de cofactores se va a calcular así c 1 1 c 12 etcétera la matriz es de entradas es de 3 x 3 entonces tiene que la matriz de cofactores tiene que ser 3 x 3 también
recuerden que se 11 dijimos que va a ser menos 1 elevado a la suma de la entrada cuál es la entrada 11 entonces 11 y el menor es el 11 por el factor c 12 pues va a ser menos 1 elevado a la 12 por el menor 12 y así con la entrada c 13 bueno va a ser menos 1 elevado a la 13 el menor 13 y así con todos los demás calculando esta matriz de cofactores bueno menos 1 al cuadrado pues es 1 entonces no lo pongo y el menor 11 me dice toma
la matriz a y elimina la fila 1 y la columna 1 y lo que queda tómale en determinante y ese es el menor 11 es decir 2 - 1 - 20 aquí está el siguiente tengo menos 1 al jugo es decir esto es menos 1 aquí está el 5 y el menor 12 pues me dice la fila 1 columna 2 elimina las y quédate con lo que queda y toma el determinante es decir 4 menos 1 004 menos 100 en el siguiente caso bueno es menos 1 a la cuarta por lo tanto es 1 y
el menor 13 bueno me dice elimina la fila 1 y columna 3 y quédate y toma el determinante a lo que queda es decir 4 2 0 - 2 si continuamos así con los demás bueno vamos a obtener esta forma observen que los signos se van alternando más - más y se inicia aquí con más buenos y de menos luego más y así con todos si desarrollamos cada uno de estos determinantes de orden 2 que ya sabemos hacerlo bueno pues va a ser 2 x 0 0 - menos 2 - 1 hay un menos en
donde va a quedar menos 2 el siguiente hay un menos aquí 4 x 0 0 y 0 x menos 10 x menos 104 x menos dos menos 8 y el otro es 0 entonces menos 8 y así con los demás y obtengo esta forma entonces esta es la matriz de cofactores simplemente nos hace falta transponer esta matriz y listo esa es la matriz es decir es la matriz adjunta y ya que estamos hablando de la matriz adjunta tenemos este teorema decimos que una matriz es no singular es decir es invertible si y sólo si el
determinante de esa matriz es distinto de cero es decir este sí solo si pues bien me quieres y si la matriz es no singular entonces se tiene que cumplir que su determinante es distinto de cero y por otra parte si yo supiera que el determinante de una matriz es distinto de cero pues entonces la matriz tiene que ser invertible o no singular además la inversa de esa matriz ya calcula de esta forma es decir el recíproco del determinante multiplicado por la adjunta de la matriz a la que acabamos de calcular entonces si me pidieran la
inversa de la matriz a el determinante habría que calcular los si es distinto de cero bueno tomo el recíproco y ya que calculé la adjunta bueno lo multiplicó y ese es la inversa el determinante de aa la menos uno bueno se calcula como el recíproco de terminar te vea y tenemos un caso muy especial aquí para los orden 2 que todavía no nos metemos con orden 3 para el caso de una matriz de orden 2 digamos de la forma a b c y de la inversa de esa matriz siempre y cuando el determinante sea distinto
de 0 eso quiere decir aún no se calcula de esta manera 1 en 3 determinante de a burla adjunta pero fíjense que la adjunta es de esta manera que se hace bueno se invierten estos elementos de la diagonal principal es decir a por de y a los otros elementos de la otra diagonal simplemente se les antecede un signo entonces veamos algunos ejemplos entonces determine la inversa de a en caso de existir vamos a pensar que es esta matriz es 4 534 el determinante de éstas es 16 menos 15 es uno que es distinto de ese
no quiere decir que es invertible existe entonces a es no singular y se calcula de esta manera uno entre el determinante de aperos uno entre uno es uno y la adjunta bueno se cambian el 4 con el 4 que es el mismo y cambiamos los signos de la otra diagonal lift esta sería la inversa otro ejemplo determine la inversa de esta matriz la matriz de rotación que vimos anteriormente ya sabemos que su determinante es 1 por lo tanto es distinto de 0 es no singular como se calcula su inversa bueno nuevamente uno entre el determinante
de a que es uno determinante y la adjunta en este caso se cambian jose no por coseno que es el mismo y se antecede el siglo aquí menos por menor ahora es más y ahora es menos simplemente cambia ese signo cuál es la interpretación de esta matriz de rotación en cuanto a su inversa pues bien la matriz a hace una rotación en el sentido antihorario mientras que la inversa lo hace en el sentido horario entonces veamos otros ejemplos determine la inversa de a para esta matriz menos 3 1 sus raíces 2 - raíz de 2
2 entonces calculemos su determinante sería menos 6 menos por menos dar más y me da 1 me da menos 5 que es distinto de 0 el recíproco de menos 5 es un tinto menos un quinto y la adjunta bueno se cambia el 2 por el 3-2 por menos 3 nos queda 2 - 3 y los signos exámenes de la otra de un alto sería menos unos reyes 2 y raíz de 2 [Música] [Aplausos] [Música]
