GRINGS - Continuidade de uma função aula 17

bom vamos ver agora quando uma função né é contínua num ponto Qualquer que eu chamei de A então x = a é um valor qualquer PR função ser contínua função FX ser contínua algumas condições tem que ser satisfeita primeiro a função deve estar definida nesse ponto A então a f de a tem que estar definida segunda condição o limite da FX quando x t a Deve existir e a terceira e última condição é o que eu achei cima a f de a tem que ser igual ao que eu achei em B aqui então is tem

que ser iguais bom pessoal eu coloquei isso aqui né de praa eu coloquei mas a gente só vai começar a entender quando começar a aplicar nos exercícios E é isso que nós vamos fazer agora bom Aqui nós temos então uma função que é definida por duas leis esta lei É para quando o X é diferente de 1 e esta é quando o x for igual a 1 e a questão é verifique se a função é contínua em a onde o a para nós aqui é um então nós temos que só lembrar das condições de continuidade

de uma função aqui primeira condição que tem que ser satisfeita a função deve estar definida no ponto x = 1 aqui a então primeira condição que eu chamei de condição a nós temos que calcular o f quando X for exatamente igual a 1 quando X for igual a 1 a função Vale 3 então FX será 3 bom tá definida ela tem uma resposta quando X for igual a 1 Então a primeira condição está satisfeita Vou Colocar assim ó satisfeita segunda condição nós temos lá né vamos ver aqui ó o limite Deve existir quando X tende

a a sendo que o a para nós aqui é 1 então Então nós vamos ver se o limite existe então eu vou calcular o limite desta função quando X tende a 1 Então vou colocar aqui segunda a condição letra b o limite de FX quando X tende a 1 Só vamos pensar um pouquinho pessoal se o X tende a 1 ele é diferente de 1 ele só tende a um ele não é igual a 1 então Tendo isso em mente o X é diferente de 1 embora te próximo essa aqui a nossa lei então colocando

aqui né 3 quando X é diferente de um Essa é a lei que governa x - 1 ora é claro que daí eu tenho que fazer quando tem zero embaixo né porque se vocês olharem bem vai dar zero aqui embaixo eu faço pela direita e pela esquerda então fazendo o limite de 3 sobre x - 1 quando X tende a 1 pela direita e também vou fazer o limite quando X tende a 1 pela esquerda de 3 sobre x - 1 ok se o x se aproxima de 1 mas por valores levemente superiores a 1

então isso aqui vai ser um quase zero positivo Então vai ser 3 sobre um zero quase zero positivo e Nós já tínhamos visto em vídeos anteriores que quando dá um número diferente zero em cima e Zero Isso aqui tende a infinito Então vai der mais dividido por mais dá mais infinito vídeos anteriores eu discuti ISO mais detalhadamente pessoal e quando X tende a 1 por valores abaixo de 1 Isso aqui vai dar 0,999 Men 1 mas vai dar um quase zero negativo mais dividido por um menos menos infinito ora mais infinito menos infinito não deu

igual então eu posso concluir que o limite quando X tende a um de 3 so x - 1 não existe bom a segunda condição não foi satisfeita então a essa função aqui não é contínua para a = 1 ou seja o x = 1 porque a segunda condição não foi comprida Vamos fazer outro exercício para entender melhor essa aplicação Bom agora vamos verificar a continuidade desta função para a igual a 5 onde o X é 5 então Lembrando das condições que tem que ser cumprida a primeira condição a função deve estar definida no C então

Aqui nós temos que calcular quando for igual a 5 é igual a 5 não é diferente de 5 Então se é igual a 5 quem tá valendo é de baixo então letra A calculando né a f de 5 é igual a o X é 5 né então 5 + 5 Isto vai dar 10 então achei um valor tem uma resposta a primeira condição foi satisfeita segunda condição é que o limite Deve existir e esse aí pode ser que dê um pouquinho mais de trabalho então quando X tende a 5 ele não é igual a 5

ele é diferente de C então é a de cima que eu tenho que pegar então letra b o limite quando X tende a 5 de x - 20 5 so x - 5 peguei a de cima porque o X é diferente de 5 ó se eu colocar 5 dentro do X vai dar 5 qu D 25 - 25 vai dar 0 em cima 5 - 5 d 0 embaixo e toda vez que for assim polinômio zer sobre zer É porque tem alguma coisa em cima que pode ser simplificado com a de baixo então fica limite

o de cima aqui eu vou fatorar em forma de produtos notáveis ficaria x - 5 x + 5 sobre x - 5 então eu coloquei aqui em cima já né o produto notável para quem ainda não decorou para quem não entendeu como é que faz eu tenho quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo posso escrever desse jeito e dessa forma eu estou visualizando aquilo que estava dando zero que pode ser cortado este com este bom agora copiando o que sobrou né vai ficar limite fica x + 5 quando X tende a 5 e aí

substituindo 5 + 5 = 10 a segunda condição foi satisfeita porque o Na verdade ele existe eu achei um resultado a terceira condição diz o qu vamos ver aqui a terceira condição diz que o que eu achei na segunda tem que ser igual ao que eu achei na primeira ora a primeira condição deu 10 a segunda condição também o limite deu 10 Então deu a mesma coisa então letra C realmente a f de5 é igual a limite de x - 25 so x - 5 quando X tende a 5 Então fechou todas as condições logo

a função é contínua para x = 5 bom vamos ver a continuidade desta função em torno do x = 4 aqui vamos aplicar Então as condições necessárias para ver se ela é contínua Primeiro vamos ver se ela está definida em qu aqui diz que isto que vale quando X for maior que 4 e isto aqui essa lei aqui Vale quando for menor ou igual a 4 então igual a 4 ela tem que tá definida né em quatro porque o ponto que nós estamos analisando é o 4 e quando é igual a 4 essa lei Então

vamos calcular a letra A F de 4 se existe pega essa lei aqui então 2 x 4 + 3 2 x 4 8 + 3 8 + 3 11 pronto primeira condição satisfeita está definida tem um valor uma resposta então segunda condição o limite Deve existir bom o limite daí é quando tende a 4 daí não é igual a 4 então vou pegar os dois limites pela direita e pela esquerda então a letra B como tem duas leis nós vamos pegar dois limites limite quando X tende a 4 quando X tende a 4 pela esquerda

e também vou pegar o limite né quando X tende a 4 pela direita quando X tende a 4 pela esquerda valores inferiores a 4 daí nós vamos pegar esta lei aqui de cima porque é um pouquinho inferior a 4 2x + 3 então ficaremos com 2x + 3 substituindo 2 x 4 + 3 dá 8 + 3 dá 11 bom um limite existe o limite à esquerda agora vamos ver o limite à direita se ele também existe só que o limite à direita aí o X é levemente superior a 4 então é essa lei que

eu vai governar então voltando e retornando lá vai ficar 7 + 16 so 4 7 + 16 so 4 é 4 e também vai dar 11 OK logo como deu o mesmo valor eu posso concluir disso aqui né que o limite da função quando X tende a 4 por qualquer um dos lados deu 11 então o limite também existe E aí então nós temos que ver a terceira condição que diz que os valores que eu achei na primeira no a e no B ali na condição A e B tem que ser igual Então vamos ver

a primeira condição é 11 a f de 4 é 11 e o limite quando X tende a 4 também deu 11 logo a letra c f de 4 é igual ao limite da função quando X tende a 4 as três condições foram satisfeita então a função é contínua no ponto 4 bom esse exercício encontre o valor de k para que a função seja contínua e aí eu vou começar a aplicar a né as as condições nós tínhamos visto que a função tem que est definida no no ponto que eu Tô analisando Então vamos lá primeira

condição Quem seria a f no ponto um que é o que eu estou analisando ela Então quando for menor ou igual a 1 igual a 1 é essa lei que manda e como é igual a 1 fica 7 x 1 - 2 7 x 1 7 - 2 tá cinco a resposta então aí está cinco Então a primeira condição já achei segunda Condição letra B né o limite Deve existir e neste caso eu vou ter que fazer o limite pelos dois lados porque são duas leis então a letra B seria o limite quando X Eh

vamos botar aqui limite quando X tende a 1 pela esquerda e temos que achar também o limite quando X tende a 1 pela direita só que quando X tende a 1 pela esquerda quem governa essa lei aqui pode ver X levemente inferior a 1 essa lei que eu vou usar aqui então vai dar 7 x - 2 7 x 1 - 2 7 dá 5 e quando X tende a 1 pela direita el levemente superior a 1 então é essa lei aqui que eu vou usar fica KX Então vamos colocar lá na no limite que

nós estamos analisando k x qu substituindo k x 1 qu 1 qu dá 1 fica k para que o limite exista é necessário que o limite da função quando X tende a 1 pela esquerda seja igual né ao limite da função quando X tende a 1 pela direita Então vamos igualar o 5 aqui 5 = k bom este valor de k tem 5 daí o limite existe E aí já achamos o valor de k e aí se o limite se o k for 5 o limite existe o limite né Vai ser da F Dex limite

da FX quando X tende a 1 por qualquer lado terá que ser 5 Então já achamos o valor de k só vamos testar a terceira condição que diz que o que eu achei na primeira coni tem que ser igual ao que eu achei na segunda e realmente aqui ó deu 5 se o k for 5 o limite vai ser 5 então deu igual então a letra c a f de 5 que eu achei na primeira condição é igual ao limite da FX quando X tende a 1 ok se o k for 5 ela se torna

contínua bom aqui nesta questão encontre o valor de k de modo que torne a função essa função aqui contínua no ponto TRS então nós temos aqui novo as condições continuidade da função Num valor qualquer chamado a onde o a é -3 a primeira condição é que ela tem que tá definida nesse ponto que eu estou analisando então a letra a a FX deve estar definida então V botar assim f-3 e quando X é -3 aqui está maior ou igual igual então o igual quando é -3 é essa aqui que vai valer é KX qu Então

nós vamos botar aqui k no lugar do do X eu ponho -3 qu E aí prosseguindo f de -3 = - 3 qu d 9 9 x k paramos por aí o valor do k agora tem um valor que ele pode assumir Então ela está de certa forma definida só tem que saber que k faz ela ficar definida para que todas as condições sejem atendidas a próxima condição é que o limite da função quando X tende a Deve existir e neste caso eu estou vendo que tem um limite tendencioso pra direita tem uma lei e

quando é tendencioso pra esquerda tem uma outra lei então vou fazer bilateral porque tem duas condições então prosseguindo a condição B eu vou achar o limite da função né quando X tende a -3 pela direita quando X tende a -3 pela direita aqui está ó ele é um pouquinho maior que -3 Então essa é a a lei KX Quad e também isso tem que ser igual ao limite quando X tende a -3 pela esquerda quando ele tende a -3 pela esquerda ele é levemente inferior a 13 Então essa aqui é a lei que vai governar

2x + k ora então substituindo aqui dentro né X tende a -3 pela direita bota dentro do x k - 3 qu que vai ser igual substituia dentro do x 2 x- 3 + k aqui Vai dar 9 9 k = -6 + k prosseguindo este k passa pro outro lado 9 k - k = -6 logo 8k ig a -6 k igual a -6 sobre 8 este valor de k ainda se eu dividir por TR em por 2is em cima e dividir por dois embaixo vai ficar que k simplificado vai ser -3 so 4

então achamos o valor de k achamos o valor de k agora vamos ver a terceira condição onde nós sabemos que a terceira condição diz que o limite da FX quando X tende a tem que ser igual a f a que que nós achamos aqui o a é -3 é 9k vamos substituir o k aqui para ver o que que vai dar então nós vamos pegar este valor e vamos ver aqui letra C que a f de -3 é 9 k f de -3 substituindo aqui o k eu achei é -3 so 4 f de -3

- 207 sobre 4 vamos ver se o limite também vai dar isso aqui o limite sabemos que o valor de k que torna esse limite igual a este é - 34 Ora se eu colocar - 34 aqui no lugar desse kó vai dar um valor e se eu colocar aqui vai dar um valor igual então qualquer um dos dois que eu pegar vou pegar o limite que é mais simples né KX qu e vamos ver se esse valor que eu achar poderia pegar essa também vou escolher esta se vai dar a mesma coisa que eu

achei aqui então o limite quando X tende a -3 pela direita de k vezes x qu quando X tende o k nós achamos aqui que é -3 4 então vou botar -3 so 4 e o X tende a-3 colocamos - 3 qu 3 qu d 9 dá -27 so 4 ó realmente o limite tá dando igual eu poderia ter pego 2x + k tem que dar a mesma coisa limite 2x + k quando X tende a 3 A -3 quer dizer pela esquerda o k nós já sabemos o o X tende Então vai f 2

Men 3 e o k conforme foi encontrado é -3 so 4 que que nós achamos aqui 2 x -3 dá -6 - 3 sobre 4 fazendo o mínimo múltiplo comum aqui 4 4 di por 1 dá 4 vezes d -24 4 di 4 dá 1 dá -3 realmente 24 5 x - 27 sobre 4 então o limite deu quando X tende a -3 por qualquer lado da função FX será -27 so 4 que fechou com o valor da função Então como deu igual o limite a função é igual para esse k Então ela é contínua

em X = -3 então ela fica contínua Pessoal esse é o valor de k que torna ela contínua o valor de k que torna ela contínua é -3 sobre 4 bom nesta questão aqui encontre o valor de k que torna a função contín aplicando as condições que a gente já tinha mostrado né primeira letra a a f deve estar definida no ponto a ou seja igual a 3 então primeira condição sendo testada né vamos ver se está definida a f de 3 bom quando o x é igual a 3 a função será 3 então F

de3 tá aqui quando for igual a 3 o X ok primeira condição tá definida segunda condição o limite Deve existir B nesse caso aqui o limite letra B Vamos colocar aqui que o limite da função quando X tende a 3 se o X tende a 3 tanto pela direita quanto pra esquerda é óbvio que ele é diferente de três Então não preciso fazer duas limite tendendo pra direita pra esquerda porque a mesma lei então ele é tendencioso a 3 ele não é 3 ele é próximo de 3 Então vai dar x 2 + k x

x + 2 substituindo o 3 dentro do do x 3 qu + k x 3 + 2 tá = 9 mais 3 k 2 a resposta 11 + 3 x k Então tá o limite de certa forma existe entretanto nós vamos ter que ser obrigado a aplicar a terceira condição onde o que eu achei na primeira condi tem que ser iG que achei na segunda então vamos fazer a letra C agora igualando o que que eu achei no B letra c o limite da F Dex quando X tende a 3 tem que ser igual a

f no ponto 3 o limite da FX quando X tende a 3 eu achei aqui dá 11 mais 3K que vai ser igual a f de3 eu achei a liga é 3 então 3 3 x k = 3 - 11 3 x k = - 8 passa dividindo k = -8 so 3 Ok achei o valor k ao aplicar a terceira condição bom aqui determine o valor de k de modo que a função seja contínua no ponto zer quando a tende a zer recordando as nossas né para ser contínua deve estar definida no ponto o

ponto no caso é o ponto zero então a letra A aplicando quando X for igig 0 Esta é a lei então FX igual a k C - 7 se nós colocar f e 0 aqui como não tem X para substituir o k continua sendo o k - 7 aplicamos né mas não achamos ainda o valor de k que torna ela contínua Então vamos prosseguir né a nossa trajetória a segunda é o limite Deve existir então a letra b o limite da função né o limite da função quando X tende a zero que é o ponto

que nós estamos analisando Ora se o X tende a zero é porque ele não é zero ele é diferente de zero e para diferente de zero tanto pela direita como esquerda essa lei aqui então e na 2 x colocando zer ali e na 2 x 0 fica e na z0 e um número elevado a zer Desde que seja diferente de zer sempre vai dar 1 ok já achamos o limite mas não achamos o k ainda isso porque temos Vamos ter que apelar PR terceira condição que diz que o limite da F x quando X tende

a tem que ser igual a f a só que o A é então eu vou copiar aqui o que eu estou vendo a letra c o limite quando X tende a 0 de e na 2x tem que ser igual a f no ponto 0 F no ponto 0 nós já Vimos que K3 - 7 então este aqui ficará k na 3 - 7 o limite e na 2x quando X tende a 0 nós achamos aqui na segunda condição que é 1 então isolando k passa pro outro lado k C = 7 + 1 k C

= 8 k C pode ser escrito como 2 na 3 pronto logo o k igual a 2 então nós tivemos que usar até a terceira né condição para descobrir o valor do [Música] [Música] k h