Função Modular: Equações Modulares (Aula 4 de 5)

Olá pessoal tudo bem vamos continuar com o assunto de função modular só que agora vamos ver especificamente as equações modulares tá vamos ver diversos tipos de equações modulares abordando a definição inclusive propriedades que já foram tratadas em aulas anteriores acerca do módulo beleza vamos começar vem comigo aqui ó Então pessoal equações modulares diz o seguinte equações modulares são aquelas em que a incógnita aparece dentro de módulos tá então quando nós tivermos a incógnita normalmente é o x né aparecendo no interior de módulos nós temos a equação modular Assim como nós temos aqui no exemplo ó

do item a olha incógnita aqui ó o x está dentro de módulo então isso aqui é uma equação modular beleza pessoal para respondermos isso daqui ó vamos ter que lembrar o seguinte Olha só módulo de um número X por exemplo igual a k repara o seguinte Pessoal esse valor do X aí ele pode ser exatamente igual a k ou esse x pode ser menos o k Ferreto Por que que o x aqui pode ser k positivo ou pode ser k negativo pelo seguinte amigo olha só nós temos que módulo do x ou seja substituindo o

X por K módulo de K O resultado é k concorda comigo agora substituindo o X por menos o k módulo de menos o k O resultado é k também por isso que esse x aqui ó ele pode ser tanto o k positivo quanto o k negativo Ok então pessoal sabendo disso daqui nós podemos dizer o seguinte que módulo de x - 3 por ser igual 5 esse x - 3 aqui ó ele pode tanto valer 5 positivo quanto valer 5 negativo isso porque o módulo de 5 O resultado é 5 e o módulo de -5

o resultado também é 5 Beleza então para resolvermos isso daqui ó nós primeiramente vamos considerarmos o x - 3 valendo 5 Olha só o x - o 3 O resultado é 5 e depois vamos fazer x - o 3 pode valer então menos o 5 OK agora olha só resolvendo aqui ó pulando esse -3 lá para o lado direito ele passa positivo nós vamos ter então que o x = 5 + esse 3 X = 8 beleza ou o x - 3 = -5 pula Então esse -3 lá para o lado direito ele fica positivo

nós vamos ter então que o x é igual Men o 5 + o 3 fica - o 2 Beleza então nós temos o seguinte nós temos uma solução para essa equação e a solução é a seguinte o x pode valer tanto o -2 quanto o 8 ok reparem pessoal que é muito importante que você entenda aquela propriedade ali tá que tem tudo a ver com a definição módulo de x = k significa que o x pode ser tanto k positivo como o k negativo Ok então por isso nós pegamos ali ó o x - 3

igualamos a 5 e depois igualamos a - 5 encontramos duas soluções para essa equação modular uma vale -2 e a outra Vale 8 repara o seguinte se nós colocarmos o x valendo -2 não fica -2 com -3 isso não dá -5 e módulo de -5 quanto é que é 5 Beleza agora trocando o x ali por 8 ficamos com quanto 8 - o 3 dá 5 e o módulo de 5 O resultado é 5 ok pessoal então tanto o x valendo menos dois quanto valendo 8 tá certa essa equação modular beleza vem comigo aqui ó

e vamos ao item B que fala o seguinte ó nós temos aqui ó que módulo de 2x + 1 O resultado é menos o 4 pessoal cuidado cuidado aqui ó a gente sabe que módulo de um valor x o resultado ele é sempre maior ou igual a zero isso porque módulo de um número Nunca será negativo Aqui tá dizendo que módulo de 2x + 1 o resultado tá sendo menos o 4 pessoal módulo de um número aqui ó jamais Pode ser -4 então nós temos o seguinte que não há valores de x que façam com

que essa equação seja verdadeira ou seja não existe valores de x para que o resultado final seja -4 se não existe pessoal solução é o quê conjunto vazio tá então bolinha com esse tracinho aqui representa conjunto vazio cuidado tá pessoal módulo de um número nunca pode ser negativo por isso não há valores de x que satisfaçam essa equação modular beleza vem comigo aqui ó vamos agora ao item C que diz o seguinte nós temos o módulo dessa fração aqui ó valendo 2 tá dizendo o seguinte ó para x diferente de 3 por que o x

deve ser diferente de TR Ferreto pelo seguinte repar se nós colocarmos aqui no denominador 1 x = 3 nós ficamos com 3 Men o 3 dá 0 e denominador igual a 0 não existe tá pessoal então por isso ele já tirou a possibilidade do X ser igual a 3 Ok então como nós vimos antes pessoal olha só o que tá no interior do módulo Aqui ó pode assumir tanto o valor 2 positivo Como assumir o valor 2 negativo porque o mulo disso daqui deu dois então vamos começar com esse dois aqui ó ou seja seja

o x - 1 dividido pelo x - 3 O resultado é 2 bom como é que a gente resolve isso daqui ó uma equação simples tá o que está no denominador ele vai passar para o outro lado multiplicando Então nós vamos ter que o x- o 1 é igual ao 2 que multiplica o quê o x - o 3 tudo bem o que acontece agora é o seguinte esse do ele faz a propriedade distributiva tá tá ou chamado chuveirinho Aí nós ficamos com o lado esquerdo valendo x - 1 e do lado direito nós vamos

ter 2 x o x dá 2x 2 x o -3 - o 6 Ok vamos passar um traço aqui ó nós vamos ter então o seguinte Passa esse x aqui lá para o outro lado ele passa negativo e passa esse -6 lá para o outro lado ele passa positivo ok o que tem x manda para um lado que é somente número manda para o outro lado Então nós vamos ficar com esse 2x menos esse x aqui ó ficamos apenas com o X em um lado da igualdade e esse -6 passando para o lado esquerdo nós

ficamos com + 6 com -1 nós vamos ter x = 5 Beleza então encontramos primeiramente x = 5 aqui agora o segundo passo pessoal nós fazemos Então essa fração igual men2 vamos fazer aqui ó x- 1 dividido por x- o 3 O resultado é Men o 2 então novamente ó passa o -3 multiplicando nós vamos ter que o x - 1 é igual Men o 2 que Vai Multiplicar todo esse denominador aqui tá então x - o 3 ali agora aquele -2 como nós vimos antes ó ele vai fazer a distributiva aqui e nós vamos

ficar com x - 1 é iG Men 2 ve X Men o 2x -2 x -3 + 6 Ok faz o seguinte ó Passa esse -2x lá para o lado esquerdo fica positivo e passa esse -1 para lá direito fica positivo também ok então nós vamos ficar com x somado com ess 2x nós ficamos com 3 ve o x e este -1 passa para o outro lado fica mais 1 + 1 7 ou seja o x = 7 3 tá multiplicando 10 dividindo né 7 ter OK então temos aqui o segundo valor de x que

satisfaz essa equação pessoal então nós podemos escrever o seguinte que a solução para essa equação modular é primeiro x valendo 73 e o segundo x valendo 5 beleza agora desce comigo aqui ó e vamos para o item D que diz o seguinte Olha só nós temos aqui o módulo de X elevado Quad - 3 x o módulo de X - o 10 = 0 repare o seguinte ó o que nós temos aqui ó é uma equação modular porque nós temos a incógnita dentro do módulo beleza mas repare o seguinte nós temos aqui ó o expoente

dois isso daqui Então pessoal tá cheirando uma equação do segundo grau Como assim Ferreto equação do segundo grau pessoal faça o seguinte ó faça uma transformação de variável da seguinte forma aonde nós tivermos o módulo de X troque por exemplo por y tá a letra aqui pouco importa eu vou escolher o y tá então aqui ó vamos copiar essa equação aqui embaixo só que no lugar de módulo de X Vamos colocar o Y como é que nós ficamos então ficamos com y qu - 3 x o módulo de x que no caso agora vale Y

tá - o 10 = 0 pessoal agora vamos resolver normalmente essa equação do segundo grau tá vamos começar aqui ó identificando os coeficientes A B e C beleza notem que o a é o coeficiente aqui do Y qu ele Vale 1 tá o b é o coeficiente do Y aqui que vale menos o 3 tudo bem E o termo independente aqui ele vale menos o 10 agora vamos descobrir aqui ó o discriminante para essa equação do segundo grau Olha só o Delta que é o discriminante é dado por B qu - o 4 X O

a x o c Ferreto o que que é o discriminante mesmo É aquela parte que está dentro da raiz quadrada lá da fórmula de báscara tá então substituindo no lugar do B vamos colocar o -3 então ficamos com -3 elevado quadado - o 4 X O a que vale 1 vezes o c que vale menos o 10 tudo bem O discriminante aqui ó deu quanto -3 qu 9 positivo -4 x 1 isso aqui dá -4 -4 x - 10 Opa + 40 ou seja o discriminante aqui ó 9 + 40 resultado é 49 pessoal lembra

o seguinte ó um discriminante sendo positivo ou seja maior do que Zero isso faz com que as duas raízes aqui ó da equação do segundo grau elas sejam duas raízes reais e distintas Então as duas raízes ó y1 e Y2 lembra que as raízes aqui são Y porque a equação é y qu - 3y - 10 = 0 Ok então essas duas raízes elas são reais e distintas agora quais são essas duas raízes pessoal vem aqui ó colocando na fórmula de básica nós temos o seguinte y = - o b B mais ou menos raiz

Quad de Delta Ok tudo isso dividido por 2 vez o a ou seja o y é iG menos o b como o B vale -3 então menos o-3 3 positivo mais ou menos ra quadr de Delta pessoal se o delta aqui ó ele vale 49 ra 49 resultado é 7 isso tudo dividido por 2 ve o a como o a Vale 1 2 x 1 2 ok aqui vai surgir Então as duas raízes vamos chamar de y1 e y 2 Ok olha só primeiramente com o sinal positivo 3 + o 7 dá 10 10 dividido

pelo 2 5 agora 3 - o 7 isso aqui dá menos o 4 - o 4 divido 2 então dá menos o 2 ok pessoal o seguinte ó nós encontramos aqui as duas ra uma delas valendo 5 e a outra valendo menos o 2 pessoal dois comentários primeiro é o seguinte nós poderíamos ter encontrado o y = 5 e o y = -2 através da soma e produto tá Acredito que muitos de vocês utilizam a soma e produto ao invés da báscara tá sem problema algum aqui por didática eu utilizei a báscara agora o segundo

ponto a comentar aqui é o seguinte nós vamos pegar agora esses valores de y que nós encontramos e substituímos lá em cima na mudança de variável que nós fizemos lá isso porque nós nós temos que encontrar o valor do X e não o valor do Y como a gente acabou de encontrar aqui ok vem comigo aqui ó Então pessoal como nós vimos ó lembra que o módulo de X nós trocamos por y o primeiro Y que nós encontramos foi o y = 5 Então nós vamos poder dizer que o módulo de X Ele vale o

5 ou Ok o segundo Y que nós encontramos foi o Y = -2 ou seja o módulo de X também pode valer o menos o 2 agora repare o seguinte Olha só pela definição módulo de x = 5 significa o qu pessoal que esse x aqui ele pode tanto ser o c positivo como ser o c negativo Ok sem problema algum agora na segunda parte aqui ó nós temos que módulo de X assumiu valor negativo pessoal isso aqui não pode acontecer Ok então nós vamos ter aqui ó para valor do X o conjunto vazio aqui

não vai existir valor de X tal que o módulo dê valor -2 então dessa forma aqui pessoal nós temos que a solução para essa equação modular é o x valer menos o 5 ou x valer 5 positivo beleza desce comigo aqui ó e vamos para o item e nós temos o seguinte ó módulo dessa expressão algébrica aqui ó valendo um repara o seguinte que nós vimos nos itens anteriores é que essa parte dentro do módulo aqui ó se Aqui nós temos o resultado um significa que tudo isso daqui ó ou pode ser o um positivo

ou pode ser o um negativo beleza primeiramente vamos pegar isso aqui ó igualar a um positivo ou seja x qu - o X Men 1 = a 1 tudo bem Aqui nós temos então uma equação do segundo grau primeira coisa que nós vamos fazer é passar esse um para o lado esquerdo ele passa negativo Então nós vamos ter aqui o x qu - o x agora esse -1 recebendo -1 fica - o 2 = 0 tudo bem vamos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de báscara tá Então primeiramente vamos identificar os coeficientes

a b e c o a é o coeficiente do X qu ele tá valendo 1 o b é o coeficiente do X aqui ó tá valendo - o1 e o se é o termo independente sendo representado pelo - O2 tudo bem agora o discriminante lembra que a fórmula é b qu - o 4 X O a x o c então substituindo nós vamos ter o seguinte o B vale -1 então ficamos com -1 e elevado ao quadrado - o 4 X O a que vale 1 vez o c que vale menos o 2 tá então

abre parênteses menos o 2 ali isso vai dar um discriminante igual -1 qu 1 positivo -4 x 1 isso dá - o 4 - o 4 X O -2 resultado é mais 8 ou seja o discriminante 1 + 8 O resultado é 9 pessoal tal como aconteceu no item anterior o discriminante assumiu um valor positivo ou seja maior do que Zero Isso significa que as duas raízes nesse caso ó o a incógnita é x né Então as duas raízes X1 e X2 elas são reais e distintas agora quais são essas duas raízes vem comigo aqui

ó nós temos pela fórmula de báscara que o X é dado por - o b mais ou menos ra qu Delta que nós já calculamos tá e tudo isso dividido por 2 vezes o a então o x olha só menos o b como o b aqui ele vale -1 então menos o b fica os-1 1 positivo mais ou menos raiz Delta como Delta aqui ó pessoal Vale 9 √ 9 resultado é 3 dividido por 2 x o a ou seja 2 x 1 2 Então vamos encontrar aqui as duas raízes vou chamar de X1 e

X2 tem alunos que colocam x linha x duas linhas sem problema algum Então olha só 1 mais o 3 dá 4 dividido por 2 2 agora 1 Men o 3 isso dá menos o 2 dividido por 2 isso dá -1 Então até o momento encontramos duas raízes uma valendo 2 e a outra valendo men1 pessoal Não se perca nas contas aí ó primeiramente nós igualamos essa expressão a agora vamos igualar a -1 beleza aqui embaixo Olha só nós temos então que o x Quad - o x - 1 o resultado agora é -1 beleza o

que acontece aqui ó este -1 com este -1 cancela e nós vamos ter então que o X elevado Quad - o x O resultado é zero pessoal repara o seguinte essa equação do segundo grau ela está no formato incompleto Então não é necessário fazer o cálculo das raízes utilizando a fórmula de máscara ou som produto pega aquilo ali coloca o X em evidência e arche diretamente as raízes beleza vem comigo aqui ó como o x está presente nesse termo e nesse termo Podemos colocar ele em evidência então x abre parênteses Olha só x ve quanto

que dá x a qu x x x x x quanto que dá - o x -1 tá fecha parênteses ig a 0 Olha só x x x x qu x x -1 - o x Beleza agora é o seguinte ó faça essa análise Aqui nós temos dois fatores o primeiro Vale x e o segundo Vale x - 1 a multiplicação deles tá valendo Zero O que que significa significa que ou este x aqui ó ele é igual a 0 ou o x - 1 é iG 0 Tudo bem então vamos lá primeiramente colocando o x

= 0 ou o x - 1 iG 0 pessoal passa o men1 pro lado direito nós vamos ter então que o x é igual 1 olha aqui ó Encontramos então X1 e X2 que são as raízes ou seja 0 e 1 para essa equação do segundo grau que está aqui ok então pessoal pra solução dessa modular os valores de x possíveis são -1 2 0 e 1 Vamos colocar em ordem Ó -1 0 1 e 2 tá aqui ó todos os valores eles fazem parte da solução dessa equação modular aqui pessoal vamos agora ao item

F repara que novamente nós temos uma equação modular isso porque a incógnita aqui ó está dentro de um módulo agora repare o seguinte nós temos aqui ó esse x aqui ó dentro de um módulo e esse x está fora de um módulo como é que a gente vai resolver isso daqui pessoal vamos lembrar uma propriedade ó que nós vimos lá na aula do tá propriedade que que diz essa propriedade diz o seguinte ó que o módulo de X elevado ao quadrado isso aqui é a mesma coisa que o módulo de x o quadrado aqui do

lado de fora e tudo isso é a mesma coisa que o x qu repare o seguinte ó o que nós temos aqui ó é o x qu no interior do módulo Ou seja é esse daqui ó que a gente pode fazer ó no lugar desse carinha aqui ó colocarmos o x qu sem problema algum por causa dessa propriedade Então nós vamos ter o seguinte ó reescrevendo ó no lugar de módulo de X qu Vamos colocar apenas o x qu Já que é a mesma coisa tá - o 7 x o x - o 8 =

0 tudo bem agora olha só temos aqui uma equação do segundo grau então para resolvê-la vamos encontrar primeiramente os coeficientes tá identificar eles o a é o coeficiente do X qu Vale 1 o b é o coeficiente do X Ele vale menos o 7 e o se o termo independente que nesse caso vale o -8 tudo bem agora o discriminante como nós vimos ele é dado por B qu - o 4 X O a x o c então substituindo nós vamos ter o seguinte o B vale menos o 7 ou seja - o 7 elevado

qu - o 4 X O a que vale 1 ve o c que vale - 88 ok então nós vamos ter aqui que o discriminante - 7 qu isso aqui dá 49 Positivo tá - 4 x o 1 isso dá - o 4 - o 4 x -8 isso dá + 32 pessoal nós temos o seguinte que o delta aqui ou seja o discriminante é 49 + 32 resultado é 81 e como nós vimos né pessoal o discriminante sendo maior do que z0 nós vamos ter aqui duas raízes X1 e X2 OK são são duas

raízes reais e distintas Beleza agora para encontrarmos essas duas raízes Olha só vamos fazer aqui ó pela fórmula de máscara o x = - o b mais ou menos ra qu Delta que nós já calculamos dividido por 2audio de Delta pessoal o delta ele Vale 81 √ 81 9 dividido por 2 x o a como a Vale 1 2 x 1 2 Então nós vamos ter aqui duas raízes Vamos colocar aqui ó X1 e X2 essas duas raízes valem 7 + 9 isso aqui dá 16 16 di 2 primeira raiz Vale 8 agora 7 -

o 9 dá Men 2 - o 2 di 2 - 1 pessoal então encontramos aqui ó as duas soluções para essa equação modular Ou seja a solução é o conjunto formado por -1 e 8 ok pessoal então é muito importante que você lembre algumas propriedades acerca do módulo aquela propriedade ali ó de módulo de X qu é igual a módulo de X o quadrado fora e isso é igual x qu essa propriedade é muito importante que você memorize beleza vem comigo aqui ó vamos descer agora ao item G que está aqui assim repare que novamente

nós temos aqui uma equação tá pois está igual a zero só que nós temos uma equação modular porque nós temos a incógnita aqui ó colocada no interior de um módulo agora o seguinte repar nós temos aqui o x qu não tem módulo nele e Aqui nós temos o módulo de x agora repar o seguinte pessoal de acordo com a propriedade anterior que diz que módulo de X qu é igual a módulo de X todo ele elevado ao quadrado isso aqui é igual a x qu nós podemos dizer tranquilamente ó que esse x qu aqui ó

é a mesma coisa que módulo de x e o quadrado aqui fora ó tudo bem já que isso daqui ó é verificado aqui ó módulo de X qu iG tudo bem Então olha só trocando aqui ó e continuando escrevendo ó mais 3 ve o módulo de X Men 18 = 0 primeira coisa que nós vamos fazer aqui é o que mesmo nós vamos pegar esse módulo de x e substituir por uma variável no caso vou chamar de y então copiando aqui embaixo ó pessoal trocando módulo de X por y nós vamos ter que Y Y

qu somado com 3 vees o y Men o 18 isso daqui é igual zer então nessa equação do segundo grau aqui ó identificando os valores A e C que são os coeficientes de y qu no caso aqui o a Vale 1 o b Vale 3 positivo e o c tá sendo representado pelo Men 18 e nós vamos ter o seguinte que o discriminante que é dado por B qu - o 4 X O a x o c será o seguinte o b Vale 3 então teremos 3 qu - o 4 X O a que é

1 ve o c que vale menos o 18 tá então o discriminante é igual 3 qu 9 - 4 x 1 dá -4 -4 X 8 isso dá + 72 então + 72 e o nosso discriminante então dá 9 + 72 81 e como nós vimos antes ó um discriminante maior do que Zero Isso resulta em duas raízes nesse caso as raízes são Y né porque a variável aqui é y então y1 e Y2 duas raízes reais e diferentes agora para descobrirmos elas pessoal olha só o y iG - o b + ou menos ra

Delta que nós já descobrimos dividido por 2 x o a essa aqui é a fma de báscara né então o y é igual - o b como o b Vale 3 então ficamos com menos o 3 mais ou menos ra qu Delta pessoal o delta Vale 81 e 81 O resultado é 9 tudo isso dividido por 2 x o a como a Vale 1 2 x 1 2 tudo bem agora então essas duas raízes ou seja y1 e Y2 elas valem - o 3 com + 9 isso dá 6 dividido por 2 1 é a

nossa primeira raiz agora com o sinal negativo menos o 3 com Men 9 isso dá menos 12 divid por 2 - o 6 então nós temos aqui ó os dois valores de y tá agora pessoal cuidado o seguinte ó esses valores de Y não são a soluções para aquela equação modular nós temos que fazer o seguinte pegar esses dois valores de y e substituirmos ali na nossa mudança de variável que nós fizemos ou seja o módulo de X = Y primeiramente nós vamos fazer o módulo de x = 3 e depois o módulo de x

= - 6 beleza vem comigo aqui ó então Olha só pessoal vamos para o lado direito aqui ó e nós temos então que o módulo de x é igual a y nós podemos dizer então que o módulo de X primeiro valor que ele assume é o 3 tá ou o módulo de X o segundo valor que ele assume é o menos o 6 tá então menos o 6 aqui primeiramente pessoal Olha só módulo de x = 3 Isso significa que esse x aqui ó ele pode tanto ser o 3 positivo quanto o 3 negativo já

que módulo de 3 é 3 e módulo de -3 é 3 também agora esse outro módulo tá dizendo que ele vale menos o 6 pessoal o módulo valendo menos o 6 isso não existe de forma alguma ou seja os valores de x aqui ó não existem tá então para esse caso aqui o conjunto é vazio Então as únicas duas soluções que satisfazem essa equação modular aqui ó é a seguinte ó são as seguintes 1 x Vale menos o 3 e o outro x Vale 3 tudo bem agora pessoal vamos ao item h e repara o

seguinte ó nós temos aqui ó uma equação modular isso porque nós temos a incógnita no interior de módulo tá isso sem problema algum agora o seguinte repare que nós temos módulo do lado esquerdo e módulo do lado direito Ok para resolvermos isso daqui gente nós temos que lembrar uma propriedade que diz o seguinte quando nós tivermos por exemplo módulo de a igual a módulo de B que nós vamos fazer é sempre o seguinte Olha só nós primeiramente vamos dizer que o a ele vale B tá e depois nós vamos dizer que o a ele vale

menos o b beleza propriedade bem importante tá pessoal Então nesse caso no item H nós vamos dizer o seguinte que o 2x - o 7 primeiramente Ele é igual a x + 4 e depois nós vamos dizer que o 2x - o 7 é igual ao oposto de X + o 4 ou seja - x- o 4 Ok vem comigo aqui ó Então primeiramente ó pessoal o 2x - o 7 isso aqui é igual a x + o 4 tá e depois vamos dizer olha só ou depois vamos dizer que o 2x - o 7

tá é igual ao oposto de x + 4 pessoal oposto de x + 4 troca o sinal do X e troca o sinal do 4 tá então fica - o x - o 4 beleza pessoal isso por causa dessa propriedade se módulo de A é igual a módulo de b então a iG B ou a = - o b Ok resolvendo aqui nós temos o seguinte vamos passar esse x aqui ó lá para o lado esquerdo trocando o sinal negativo e esse -7 passa para o lado direito trocando para o sinal positivo Então nós vamos

ter 2x Passa esse x pro lado esquerdo fica negativo é igual a 4 que já está do lado direito ele vai receber aqui o + 7 2x - o x x 4 + 7 11 então nós temos aqui a nossa primeira solução Beleza agora a segunda solução vem aqui ó estee - x passa para o lado esquerdo fica positivo e este -7 passa para o lado direito ele fica positivo também então nós vamos ter que o 2x mais esse x ó 2x + o x é igual -4 tá ele vai receber o s positivo Tudo

bem então nós vamos ficar com dois x + x fica 3 x o x - 4 com + 7 isso dá 3 e o 3 tá multiplicando 10 dividindo Então nós vamos ter que x = 3 di 3 o x = 1 nós temos aqui a nossa segunda solução então pessoal só escrevendo a solução nós temos que o x tanto pode ser o 1 como pode ser o 11 Ok vamos finalizar agora pessoal com essa letra i olha só que equação modular importante Aqui nós temos uma equação modular justamente porque a incógnita encontra-se dentro do

módulo Tá mesmo que aqui encontra-se fora agora o seguinte nós temos aqui ó módulo de x + 1 igual a uma expressão algébrica do lado de cá e o cuidado que você deve ter aqui é o seguinte como nós temos aqui ó módulo de x + 1 o resultado do lado de cá pessoal o que que acontece com ele ele necessariamente deve ser mais maior ou igual a zero concorda comigo então a primeira coisa que nós vamos fazer é analisar o lado direito dessa equação modular tá Então pessoal dessa forma nós vamos ter que o

2 x o x - o 6 acaba sendo maior ou igual a z0 este -6 aqui ó passa pro lado direito fica positivo Então nós vamos ter que o 2 ve o X é maior ou igual a 6 o 2 tá multiplicando 10 dividindo então o X é maior ou igual 6 di 2 3 tudo bem Então pessoal nós devemos tomar o cuidado do seguinte as soluções que aparecerão para essa equação modular elas devem ser maiores ou iguais a três Beleza agora o seguinte seguindo o que a gente já viu nas equações anteriores Pessoal esse

x + 1 aqui ó ele pode tanto valer o 2x - o 6 tá como também pode Val o oposto dele ou seja o oposto de 2x - o 6 é - o 2x + o 6 tá isso porque o módulo pessoal pega tanto valor positivo como oposto dele ok então vamos fazer aqui embaixo ó nós temos então que x + 1 pode valer 2x - o 6 tá ou o x + 1 pode valer o -2x + 6 Beleza agora resolvendo Olha só nós temos o seguinte vamos passar esse x lá para o lado

direito ele fica negativo e esse -6 passa para o lado esquerda ele fica positivo Então esse 2x vai receber esse - x vai ficar então 2x - o x enquanto que esse 1 aqui ele vai receber o + 6 tudo bem 2x Men o x fica x 1 + 6 7 primeira solução está aqui agora na segunda solução nós vamos ter o seguinte vamos passar esse -2x para o lado esquerdo ele fica positivo e este 1 para o lado direito ele fica negativo então o x irá receber o 2x positivo isso aqui é igual 6

tá com este -1 ou seja x + 2x 3 x o x 6 - 1 O resultado é 5 se o 3 tá multiplicando x desce dividindo ou seja o x = 5 di por 3 ou seja 5/3 temos aqui a nossa segunda solução pessoal agora você deve se perguntar o seguinte Será que o x = 7 e o x = 5/3 esses dois valores fazem parte da solução dessa equação modular Será pessoal repare que nós temos uma restrição o X Ele deve ser maior ou igual a 3 o x = 7 beleza fechou agora

o x = 5/3 pessoal 5/3 é um valor menor do que 1 mas como a gente viu que o x deve ser maior ou igual a 3 esse x = 5/3 ele cai fora definitivamente tá então a única solução é x = 7 beleza vem comigo aqui ó então X = 5/3 está fora e a única solução é o x = 7 beleza pessoal certo então pessoal Chegamos Ao Final De Mais uma aula tá vimos essa aula tratando sobre equações modulares diversas maneiras que a equação modular pode ser cobrada em Provas vestibulares E por aí

vai espero que você tenha entendido que tenha te ajudado bastante nesse assunto pessoal se você gostou da aula Clica ali em curtir tá faça comentá divul seus amigos e nós nos vemos nas próximas aulas um bom estudo e até mais