História do Cálculo - Funções (Parte I)

Hoje a gente vai começar a falar Eh indiretamente sobre uma noção que é fundamental no ensino básico que é noção de função né e Normalmente quando a gente vê alguns relatos históricos sobre a noção de função a gente vê um uma sequência de definições né de diferentes definições de função e em que algumas propriedades que a gente conhece hoje na noção de função de função são identificadas em povos antigos né então por exemplo eh uma das das associações que a gente pode fazer com a noção de função é a noção de correspondência né Então essa

ideia de correspondência que é por exemplo uma tabela né já teria uma ideia de correspondência então suponhamos que tem uma tabela aritmética vezes 5co ao um eu associo cinco ao dois eu associo 10 ao três eu associo 15 ao quatro eu associo 20 assim por diante essa ideia de correspondência contida nessa tabela faz com que algumas pessoas digam que o algum antecedente da noção de função já estaria presente nas tabelas babilônicas por exemplo né da das quais nós já falamos aqui essa interpretação é muito aproximativa né e não tem muito sentido histórico porque obviamente para

você fazer essas tabelas você não precisa de uma definição de uma noção de função né né então o que a gente vai tentar ver aqui é quando essa noção se tornou necessária no desenvolvimento da matemática e porquê né então na na nossa aula sobre viet e sobre Descartes nós já falamos rapidamente da diferença dos trabalhos dos de um e de outro sobre as equações indeterminadas né então Descartes já trabalharia com equações indeterminadas a diferença entre uma equação nada e uma equação indeterminada é que na equação determinada você procura o valor da incógnita né seria uma

equação e na e equação indeterminada por exemplo uma equação desse tipo que a gente sabe que é equação de um círculo a variação de uma das variáveis leva a variação da outra variável então eu tenho duas coisas variando variando né então essa seria uma equação indeterminada na linguagem da época porque a a gente não acha um valor para x e y ambos os valores variam e nos dão uma curva né então a gente já pode dizer que aí existia uma relação funcional que seria essa relação entre duas variáveis né entre duas coisas que estão variando

então no no Descartes na época do Descartes isso já tava presente dessa maneira né ainda sem se definir explicitamente O que é uma função e eh isso associado com o trabalho de alguns físicos Né desde Galileu os físicos estudam o movimento estudam as trajetórias e no estudo do movimento também existem variáveis né coisas que estão variando né então Eh por exemplo S ig a g sobre 2 t qu a equação da queda livre né então eu tenho que quando a variável tempo varia a distância percorrida também varia então também é uma relação entre duas variáveis

que já era representada por uma trajetória Então essa associação entre movimento curva trajetória a gente já pode dizer que aqui a ideia de variação se insere ainda que não exista uma definição de função mas essa ideia vai ser fundamental na noção de função bom a noção de de função propriamente dita é um pouco surpreendente ela só se desenvolve no contexto da discussão sobre o cálculo infinitesimal e sobre a legitimidade dos procedimentos do cálculo infinitesimal então por exemplo hoje em dia em um curso de cálculo um curso de cálculo um né a gente começa com uma

definição desse tipo seja f de R em R uma função então a derivada F linha de x é definida como como f Dex + H menos F linha de x é definida como FX + H - FX sobre h eu tomo esse limite quando H tende a zero né então eu parto de uma função dada e defino a derivada dessa função a ordem histórica como as coisas aconteceram foi exatamente o oposto disso a de derivada veio antes da noção de função Então esse é um exemplo onde a ordem lógica da exposição da Matemática inverte a

ordem da descoberta né porque a noção de função ela foi forjada né ela foi inventada pelos matemáticos justamente para dar consistência à noção de derivada que já era utilizada mas que sofria uma série de críticas Então a gente vai mostrar justamente como eram esses trabalhos né No No início do cálculo infinitesimal quando ainda não existia uma noção de função Então a gente vai mostrar como se fazia um cálculo diferencial sem funções né Principalmente nos trabalhos de lebn e depois falar um pouco sobre as discussões que tiveram lugar a partir desses procedimentos empregados nesse cálculo então

o libis ele mesmo afirma que um dos trabalhos que inspirou o seu cálculo diferencial foi um trabalho de Pascal chamado tratados dos quartos de círculo e que nesse trabalho eh existe uma uma relação que o próprio Pascal não percebeu e que o libis percebe como sendo fundamental para compreender o que é o cálculo diferencial né então Eh eh a gente vai ver aqui nesse Exemplo né que é justamente o exemplo tratado por Pascal Mas visto de uma nova forma por libes em que eu tenho um quarto de círculo né então esse essa curva seria um

quarto de círculo e a relação que o libes percebe nessa figura Dá Lugar Ao triângulo característico que é um traço da obra de lies que vai ser fundamental no desenvolvimento do cálculo diferencial né então Eh eu traço eu pego um ponto Qualquer no círculo né traço um raio que seria essa esse segmento aqui e traço uma tangente ao círculo por esse ponto né o ponto D por exemplo e depois eu traço uma paralela a essa linha ligando o ponto D ao a essa linha ac e Marco aqui um ponto que eu vou chamar de I

né então o labn ele afirma que existe uma relação entre esse triângulo d e a e o triângulo que eu posso formar traçando agora duas paralelas a ac e AB por D então eu trago isso aqui um novo triângulo e aqui eu marco dois pontos que eu vou chamar de k e Cinha e aqui eu marco um ponto Ou melhor aqui eu vou chamar de e e linha e aqui eu marco um ponto k né eu vou botar essas letras para ficar igual é o que a gente tem no livro né que é assim bom

E aqui de novo eu tenho um triângulo retângulo que vai ser esse triângulo é k é [Música] linha o triângulo é k é linha então o leibes eh diz que é fundamental observar que existe uma relação de semelhança entre esses dois triângulos como é que a gente pode observar essa relação de semelhança ora eu aqui no triângulo dia a gente tem aqui um ângulo reto então a soma desse ângulo com esse ângulo tem que ser um ângulo reto né e aqui a gente pode observar que esse ângulo então né que é esse mesmo ângulo também

é um dos ângulos de um triângulo retângulo que a gente poderia observar aqui Ora como esse ângulo é reto esse ângulo é o que falta a esse para ser um reto né então obviamente esse ângulo é igual a esse aqui né eu posso observar rapidamente a semelhança desses dois triângulos né esse laranja e o triângulo dia ora mas se esse ângulo é igual a esse nesse triângulo retângulo aqui esse ângulo tem que ser igual a esse então aqui eu teria um ângulo igual a esse né que é esse ângulo aqui Ora agora pegando o triângulo

e k é linha se esse ângulo é igual a esse esse ângulo tem que ser igual a esse então eu tenho aqui que esse triângulo é k é linha é semelhante ao triângulo dia bom o fundamental aqui é o seguinte o libis utiliza essa semelhança para afirmar o seguinte que quando e e El linha se tornam muito próximos e essa grandeza é linha k e é k se tornam Não atribuíveis essa é exatamente uma linguagem do lies ou seja se e e l linha se tornam muito próximos né obviamente esse triângulo vai diminuir e linha

k vai ficar muito pequeno e e k vai ficar muito pequeno então essas grandezas e linha k e Ek seriam grandezas não atribuíveis Ou seja menores do que qualquer grandeza dada infinitamente pequenas Quando essas grandezas se tornam não não atribuíveis há uma relação entre elas que permanece sendo atribuível e permanece sendo atribuível por quê Porque a relação entre elas tem uma semelhança com a relação entre di e e a então ele chama linha k de d e e k de DX e ele afirma que quando essas grandezas se tornam não atribuíveis dy e DX se

tornam não atribuíveis dy sobre DX é atribuível certo porque ela pode ser dada exatamente pela razão né isso seria uma razão que pode ser dada pela razão entre entre di e i a uma vez que esses dois triângulos são semelhantes então o que que o Li está dizendo aqui é uma coisa importantíssima ele tá dizendo que a relação ou a razão entre duas grandezas não atribuíveis pode ser uma grandeza atribuível né a qual se pode atribuir um valor é um pouco isso que tá eh que o le está pensando né então existe uma diferença de

natureza entre ent essas quantidades e a relação entre elas então no cálculo diferencial leibniziano é fundamental compreender que dy DX não é uma divisão entre dois números e sim uma relação entre duas quantidades não atribuíveis né então alguns eh ele sofreu muitas críticas né Por eh utilizar essa relação justamente porque muitos de seus contemporâneos atribuíam essa relação a uma divisão né E que seria a divisão de duas grandezas que se tornaram menores do que qualquer quantidade dada então que seriam seria zero sobre zero que não tem sentido né que é justamente as grandezas não atribuíveis

eh esse procedimento do libis né só um um adendo eh nessa demonstração da semelhança desses dois triângulos a gente usou fortemente o fato de que esse ângulo é um ângulo reto porque a gente tá numa circunferência e na circunferência o raio é perpendicular à tangente então a gente poderia dizer que esse procedimento Só serve paraa circunferência Mas não é verdade porque o libes teve a preocupação de estender o mesmo raciocínio para curvas mais Gerais né então se eu tenho aqui uma curva geral nesse caso eu traço novamente a tangente por um ponto M dessa curva

traço aqui uma paralela Marco um ponto P em um dos eixos né no caso no eixo das abscissas e aqui novamente a gente tem ele traça um triângulo um triângulo característico né eu vou colocar aqui os nomes iguais Aos aos que estão no livro n e r ele traça um triângulo característico e ele afirma novamente que essa quantidade seria d y e essa quantidade seria DX e com base na semelhança entre esse triângulo e esse triângulo aqui ele afirma que D DX vai ser igual a essa relação né essa razão vai ser equivalente a razão

entre MP que é na verdade a ordenada y e esse segmento aqui TP que é a subtangente o que que é subtangente é a projeção em um dos eixos no caso do Eixo das abscissas da porção de tangente entre o ponto de tangência e o ponto em que essa reta encontra esse eixo né Então essa relação também permite entender a relação entre grandezas não atribuíveis como uma quantidade atribuível né então eles t esse procedimento para curvas quaisquer e opera com essas quantidades né isso eh eh serve como legitimação para um procedimento que era muito frutífero

na época que era a operação com as chamadas quantidades infinitamente pequenas então por exemplo se eu quero né suponhamos que a gente tem aqui uma parábola eu pego dois pontos x x + DX esse aqui seria y e y + dy né e a gente quer determinar a tangente em um ponto suponhamos nesse ponto aqui então o que que a gente faz eu sei que é dy né a diferença entre esses dois pontos né que seria dy vai ser igual a quem a x + DX qu - x isso aqui é igual a x qu

+ 2x DX + DX qu - x qu que é 2x DX + DX qu e aqui vem um argumento que era fundamental no cálculo diferencial da época usado por diversos pensadores não somente pelo libes que dizia o seguinte a desculpe aqui é DX que dizia o seguinte como isso daqui é uma quantidade muito pequena e é essa quantidade muito pequena ao quadrado esse termo é muito menor que esse porque esse é só uma quantidade infinitamente pequena então uma quantidade infinitamente pequena ao quadrado é muito menor incomparavelmente menor que simplesmente uma quantidade infinitamente pequena então

eu posso desprezar esse termo o que nos dá D igual a 2x DX ou dy DX = a 2x ou seja apesar do liis dizer que essa relação atribuível não é uma divisão entre duas quantidades ele operava como seus contemporâneos com essas esses infinitamente pequenos como se fossem quantidades Então isso que deu margem a muitas críticas ao cálculo diferencial bom E essas eh críticas né como eu já disse viam justamente nessa divisão entre infinitamente pequenos algo Indefinido né algo que não existe então Eh era preciso legitimar o cálculo infinitesimal e o próprio libis eh deu

uma série de justificativ para esse cálculo e uma das mais convincentes é justamente essa daqui né alguns historiadores da matemática como por exemplo Hank Boss num artigo sobre o cálculo de li diz que as críticas que a maioria das críticas que ele sofreu é ao enxergar essa relação como uma divisão entre quantidades não perceberam que o cálculo diferencial leibniziano se baseia naa S diferencial e não nos infinitésimos né então é é sempre fundamental pro liis escolher a variável em relação a qual se quer diferenciar né então Eh o fato de que a variável Y é

vista sempre em relação com uma outra variável x a variável em relação a qual se quer diferenciar faz com que implicitamente a gente possa enxergar no cálculo leibniziano uma relação funcional entre essas duas variáveis né uma variável não existe independentemente da outra ela é sempre função da outra Apesar de que essa noção não tá definida no cálculo leibniziano né ele até utiliza a palavra função mas com sentido completamente diferente ele diz por exemplo que a tangente exerce uma função em relação a essa curva a subtangente exerce uma função a normal a esse ponto exerce uma

função então a subtangente a tangente a normal seriam funções da curva né ou seja esse sentido é muito diferente do sentido que a gente entende como função a noção de função que aparece já esboçada ainda que não explicitamente no cálculo labnano se relaciona exatamente com o fato de que a relação d y DX é pensada independentemente dos seus termos né difícil conceber isso mas a matemática lida em muitos momentos com isso uma relação que é independente dos termos né ela tem uma natureza diferente dos termos que compõem essa relação a gente vai dar exemplo de

algumas dessas críticas né do teor de algumas dessas críticas que lienes e o cálculo diferencial em geral sofreram na época então por exemplo berkley publicou em 1734 uma obra cujo título fala por si só né o analista ou um discurso endereçado a um matemático Infiel na qual é examinado se o o objeto os princípios e as inferências da análise moderna São concebidas de um modo mais distinto ou deduzidas de um modo mais Evidente do que mistérios religiosos e Questão de Fé essa Era exatamente eh o esse Era exatamente o título do livro do berkley e

a gente já percebe que ele atribui o sucesso do cálculo diferencial a um certo mistério né o mistério teria a ver justamente com o estatuto dessas quantidades infinitamente pequenas né Outra eh outra citação um pouco menos irônica né do que a do berkley é uma citação do livro do Carnot chamado a metafísica do cálculo infinitesimal já do final do século XVI 1797 onde ele afirma não houve descoberta que tivesse produzido nas Ciências Matemáticas uma revolução tão feliz e tão rápida quanto a da análise infinitesimal nenhuma forneceu meios mais simples nem mais eficazes para penetrar no

conhecimento das leis da natureza decompondo assim dizer os corpos até os seus elementos ela parece ter indicado sua estrutura interior e sua organização mas como tudo que é extremo escapa aos sentidos e a imaginação só pode se formar uma ideia imperfeita desses elementos espécies de seres singulares que tanto fazem o papel de quantidades verdadeiras quanto devem ser tratados como absolutamente nulos e parecem pelas suas propriedades equívocas permanecer a meio caminho entre a grandeza e o Zero entre a existência e o nada Então essa citação do Carnot exprime muito bem o espírito da época porque ele

destaca ao mesmo tempo o sucesso de se empregar os métodos do cálculo infinitesimal ou seja eles são proficuos eles dão resultados e a dificuldade em determinar o estatuto dessas quantidades que seriam infinitamente pequenas que permanecem seres entre o zero e alguma coisa né entre a existência e o nada né então o que que são os infinitamente pequenos o que que são essas quantidades menores do que qualquer quantidade dadas Dad senão zero né então esse era um eh era era exprimia muito bem o espírito da época e como eu já havia citado esse Historiador Hank Boss

eh afirma que um dos principais enganos dos estudos sobre a origem do cálculo principalmente nas asas análises sobre leibes é ele diz né a preocupação comum dos historiadores com as dificuldades associadas à infinita pequenez das diferenciais distraiu sua atenção do fato de que na prática do cálculo labnano as diferenciais quase nunca aparecem como entidades solitárias as diferenciais estão localizadas em sequências sobre os eixos sobre a curva e sobre os domínios das outras variáveis são variáveis que dependem elas mesmas das outras variáveis envolvidas no problema e e esta dependência é estudada em termos de equações diferenciais

ou seja o que esse Historiador da matemática que é recente afirma é que a maioria dos estudiosos sobre a história do cálculo infinitesimal acreditou de certa forma na palavra daqueles comentadores da época do libris né um pouco depois do século XVI e acabou por não perceber que no cálculo diferencial leibniziano essas quantidades nunca aparecem sozinhas mas sempre como relações diferenciais essas relações diferenciais que como eu disse já exprimem de certa forma uma relação de dependência entre duas variáveis né duas coisas que estão variando conjuntamente que é a ideia fundamental da noção de função que foi

inventada depois de libes justamente para legitimar os procedimentos do cálculo né Então a partir dessa discussão sobre a legitimidade do cálculo e dos infinitamente pequenos alguns autores eh propuseram noções de função que teriam por por objetivo justamente fundar o cálculo sobre novas bases então um exemplo dessa definição é a definição de bernui que se correspondia com libis né que tem muita influência do cálculo leibniziano e que em 1718 num artigo apresentado à academia de ciências de Paris ele define cham somamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta de um modo qualquer desta grandeza variável

e de constantes essa definição é parecida com a com a definição que eiler apresenta um pouco mais tarde que exerceu muita influência sobre a matemática da época com sua introdução à análise infinita de 1748 em que ele logo no início apresenta uma definição de função uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica com composta de um modo qualquer desta quantidade e de números ou de quantidades constantes ou seja nessas definições a gente vê que primeiro para se fazer uma introdução a análise infinitesimal é preciso começar de uma definição de função mas nessa definição

a função é identificada a sua expressão analítica né então a função Seria algo composto de um modo qualquer da variável e de constantes e aqui eu poderia ter funções de muitos tipos eles enumeram Essas funções como sendo funções polinomiais funções trigonométricas funções exponenciais e etc né então eu tenho expressões compostas de um modo qualquer de quantidades variáveis e constantes então aqui a definição de função é identificada a sua expressão analítica e vai ser esse o modo que os analistas do século XVII vão encontrar para legitimar os procedimentos do cálculo é justamente reduzir esses procedimentos a

uma análise algébrica que entende função que parte do conceito de função entendido como uma expressão analítica então a gente vê no título da obra de Lagrange que foi fundamental nesse movimento que elucida esse objetivo já no título né o título do de um livro muito conhecido de Lagrange é teoria das funções analíticas contendo os princípios do cálculo diferencial livres de qualquer consideração de infinitamente pequenos evanescentes limites e fluxes e reduzidos à análise algébrica de quantidades finitas ou seja infinitamente pequenos eh fluxes que é o nome que Newton vai dar para essas quantidades e todos esses

termos devem sumir da análise e o cálculo deve ser reduzido à análise algébrica né então esse vai ser eh o modo como a noção de função vai ser introduzida pelos analistas do século XVII para resolver os problemas relacionados à legitimidade do cálculo diferencial a partir de liberes e Newton né mas eh já nessa época convivia com essa eh noção de função né foram as primeiras definições explícitas de função são essas definições que a gente mostrou que é a noção de função como expressão analítica mas convivia com essa noção noções mais Gerais de função por exemplo

no problema das cordas vibrantes né então o o dalber já tinha se colocado o problema de saber a solução da do problema das cordas vibrantes que é o seguinte eu pego uma corda elástica fixo por duas extremidades a partir de uma forma inicial da corda Eu solto e eu quero estudar as vibrações que essa corda vai sofrer e o delber deu um resultado né uma solução pro problema considerando que a forma inicial da corda seria dada por uma expressão analítica Então eu tenho [Música] aqui duas extremidades né zero e l tem uma corda que pode

ter uma forma qualquer mas que pro dalber essa forma Inicial antes de eu soltar a corda né dela a vibrar seria dada por uma expressão analítica o eiler já contesta essa restrição porque ele afirma que a forma inicial de uma corda no problema físico pode ser arbitrária né não precisa ser dada por uma expressão analítica eu posso ter uma forma traçada à mão livre eu posso ter uma forma qualquer então o o eiler em outros trabalhos diferentes desse que eu citei já admite a possibilidade de que a função seja uma função arbitrária né dada por

uma curva traçada a mão livre que seria uma curva qualquer e não necessariamente expressa como algebricamente como uma expressão analítica então eh a gente poderia dizer que o dalber é deixa que o seu conceito de função limite à configurações iniciais da corda né enquanto o eiler permite que a variedade das formas iniciais da corda Estenda o seu conceito de função e essa do conceito de função essa generalização do conceito de função vai se dar eh em seguida Justamente a partir de problemas físicos né tanto esse da corda que no futuro Daniel bernui vai propor que

a forma inicial da corda possa ser expressa por uma série trigonométrica e o problema também do calor estudado por fourrier e é no contexto de estudar a solução desse problema do calor né da propagação do calor em uma chapa que vai se colocar a questão de saber quando uma função pode ser expressa por séries trigonométricas que a gente chama hoje de série de fourrier e É nesse contexto que dirle e outros matemáticos vão propor uma noção de função mais geral já utilizando alguma ideia relacionada a variável como elemento de um conjunto numérico né que é

uma noção que não existia na época e que a generalidade das funções que aparecem Nesse contexto vai levar a uma definição cada vez mais abstrata de função então para terminar eu gostaria de fazer um pequeno comentário sobre o modo como a gente ensina função normalmente né normalmente no ensino fundamental a gente parte de uma definição de função aquela que todo mundo conhece né dados dois conjuntos etc isso daqui não seria uma função para ser função eu tenho que eu não posso ter um elemento levando em dois aqui mas eu posso ter dois levando em um

aqui etc etc vocês conhecem bem essa definição então a gente apresenta essa definição e em seguida estuda somente funções lineares e quadráticas e um pouco de trigonométricas exponenciais e fica completamente sem explicação por que que foi necessário uma definição tão abstrata em termos de conjuntos numéricos se as funções que a gente vai estudar efetivamente são tão particulares Na verdade são funções de R em R as funções que a gente estuda no ensino fundamental E ainda por cima lineares quadráticas e Talvez algumas poucas outras Então para que uma definição desse tipo se a gente vai estudar

funções tão particulares né esse é um problema que não fica resolvido no ensino e que a história pode ajudar a entender né porque na verdade na história a ordem foi completamente inversa isso daqui foi aquilo a que se chegou por último a partir de uma multiplicidade de uma complexidade enorme do universo das funções que foram aparecendo em conexão com esses problemas físicos em um primeiro momento e em um segundo momento já numa discussão mais abstrata sobre a função sobre as propriedades das funções e algumas funções chamadas de patológicas monstruosas que os matemáticos propuseram para testar

os limites das suas definições a partir do século XIX eu não vou entrar nesses detalhes porque nos afastaria do nosso tema aqui mas fica esse entrio né que esse abismo que existe entre a generalidade da definição de função que a gente usa no ensino fundamental e as funções efetivamente estudadas pode ser eh melhor compreendido com a utilização da