então Eh até agora nós chegamos eh e Montamos o alicerce importantíssimo Porque a partir de agora nós vamos entrar num ponto crucial do met elementos finitos um divisor de áquas é importante que a gente nunca perca Essa visão Geral do método né então eu vou voltar lá naquela nossa montagem em que a gente fez um mapa doé elementos finitos né Você tem uma estrutura que você quer analisar você subdivide a estrutura em elementos os elementos estão conectados nos nós a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura só que antes antes
o processo de de de montar rigidez É somar força força tem direção e sentido então aí que se justifica a presença do sistema local e global de coordenadas Então o que nós fizemos nós usamos a mola como um elemento fundamental para entender o processo de montagem até porque o conceito de rigidez ó a mola nós já falamos sobre isso a mola não tem noção da importância que ela tem ela é muito mais importante do que pensa né então ó Isso aqui é uma mola Isso aqui é uma rigidez da estrutura nesse ponto então como é
uma força associada a um deslocamento unitário força tem direção em sentido surge a ideia do sistema local e do sistema global de coordenadas quer dizer você vai subdividir a estrutura em elementos os elementos estão conectados nos nós a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura você vai somar força e como força tem direção e sentido se você tiver 1 milhão de elementos você vai fazer antes 1 milhão de transformações a rigidez do elemento ela é transformada a sua matriz do sistema local para o sistema global e depois que você monta
a rigidez da estrutura quando você acabou de montar a matriz de rigidez da estrutura o determinante é igual a zero fatal error você tem uma singularidade aí você aplica as restrições aplicou as restrições você aplica o carregamento aí você vai resolver um sistema de equação do tipo F = k Delta o subproduto disso é o cálculo dos deslocamentos modais E aí entra a segunda grande etapa que agora nós vamos começar a preparar o caminho a partir do conhecimento do deslocamento do nó você calcula o deslocamento dentro do elemento o grande o objeto do elementos finitos
essa a segunda parte que nós vamos fazer a partir de agora é claro que sem a primeira você não faz a segunda né alguns dizem que essa é a parte mais importante do método realmente que é a formulação dos elementos e que nós vamos caminhar paraos elementos bit tridimensionais só que nós vamos usar alguns artifícios positivos né para tornar o assunto menos sofrido você utilizou a mola para entender o procedimento de montagem Porque é simples trabalhar com a mola mas o conceito é absolutamente Universal o conceito de rigidez está presente em cada ponto do seu
modelo que SOS nós e em cada direção e isso juridicamente é representado por uma mola depois você usou o elemento de treliça que era uma mola cuja constante elástica era EA so L para entender a transformação de coordenada depois Nós estudamos o elemento de viga que era o primeiro elemento no qual você tinha quatro comportamentos diferentes convivendo juntos Independentes entre si dentro da hipótese da linearidade agora que nós Montamos o problema geral cujo subproduto foi calcular o deslocamento dos Nós a grande Pergunta em elementos cíes é o seguinte a partir do instante que eu tenho
deslocamento no nó o que que acontece dentro do elemento Isso é um problema físico Claro Olha eu vou pegar essa viga eu vou aplicar o deslocamento do nó o elemento se deforma Essa é a ideia é conhecer matematicamente como que eu traduzo o deslocamento dos pontos que estão dentro do elemento e como consequência a sua deformação E aí entra um conceito chave né que a gente usava na matemática que são as técnicas de interpolação elas vão ser vitais para que a gente possa entender a partir do deslocamento nodal como se determina o deslocamento dentro do
elemento só que aí algumas questões são muito sutis que vão mostrar né a diferença Sutil entre os elementos unidimensionais e bidimensionais nós vamos voltar no conceito de rigidez nós chegamos a desenhar uma chapa lembra do k J na matriz de rigidez o que que é o k J Além de estar na linha i e na coluna J ele representa fisicamente um conceito claro o que que é o k e j é a força no grau de liberdade I quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade j e os outros estão bloqueados com isso
você montava um sistema de equação algébrica tá certo o que que acontece quando você trabalha com os elementos mais simples né que são os elementos elos unidimensionais isso se aplica a mola a treliça e a viga o significado físico do k J é o que a gente acabou de falar agora é a força no grau de liberdade I devido a um deslocamento unitário no grau de liberdade J agora por que que eu consigo calcular isso ou uma outra maneira de falar isso que a gente já tinha comentado por que que o elemento de viga é
um elemento exato Por que que o elemento de viga é um elemento exato Então vamos voltar no conceito o que que é o k J é a força no grau de liberdade I quando eu dou um deslocamento unitário no grau de liberdade j o fato de ag gente dizer que eu consigo calcular a força aqui devido ao deslocamento unitário aqui envolve um conceito muito Sutil Qual é o conceito quando você aplica um deslocamento unitário aqui essa força não surge imediatamente aqui né aparece como assim uma intuição cósmica Ela já apareceu aqui não na hora que
você dá um deslocamento unitário essa força caminha dentro do elemento como uma força interna até que ela chega aqui ela aplica uma força no apoio e o apoio reage então o conhecimento dessa força associado ao deslocamento que eu dou aqui pressupõe que eu conheço como a força caminha dentro do elemento que eu conheço a força interna Por que que o elemento de viga é um elemento exato porque quando você dá um deslocamento unitário aqui ou um deslocamento Delta na teoria de viga a função que dá a deformada da Viga é conhecida de forma exata na
teoria de viga é por isso que esse k j a força em I devido ao deslocamento unitário em j é calculada de forma exata dentro das hipóteses da teoria de viga que a gente já viu ou seja se eu consigo dando deslocamento unitário me di essa forma de forma exata essa força de forma exata é porque eu conheço como ela caminha e se eu conheço como ela caminha eu tenho que conhecer a deformada exata dela aqui e é isso que acontece na teoria de viga tá claro o que nós estamos falando eu dou um deslocamento
unitário e eu vero força na teoria de viga isso é calculado de forma exata por quê Porque eu conheço de forma exata como essa força caminha essa força interna e por que que eu conheço de forma exata porque eu tenho a deformada de forma exata se você colocar um eixo Y e x aqui você sabe exatamente de forma exata descrever matematicamente Qual é essa função Esse é o resumo da história nos elementos mais simples o método é direto qual é o significado do k e j é a força no grau de liberdade I devido ao
deslocamento unitário no grau de liberdade J é possível calcular os deslocamentos dentro do elemento a partir do deslocamento nodal de forma exata é isto aqui eu dou um deslocamento a função matemática é isso aqui A viga é a função Trace o eixo X e um y e Trace essa função eu eu conheço da teoria de viga essa função de forma exata elemento bidimensional Ou tridimensional posso pensar que o k e j como nós vimos lá naquela Chapa é a força no grau de liberdade I devido ao deslocamento unitário no J lembra o que que é
o k 158 é a força no grau de liberdade 15 quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade oit e os outros estão bloqueados posso pensar assim posso não só posso como devo tá certo o problema é que eu não consigo calcular isso de forma exata Essa é a questão Como diz um amigo meu isso é muito complicadíssimo então eu tenho dois problemas dois um que é a dificuldade né matemática e tem um que esse sepulta qualquer pretensão que eu tenho de calcular de forma exata então eu vou fazer uma uma consideração aqui
Imagine que eu tenho uma viginha essa viginha faz parte de um Pórtico e eles trocam ação aqui no nó essa viga e essa viga do Pórtico elas só trocam ação no nó elas não trocam ação no contorno um o contorno de uma viga não interage com o contorno da outra que que eu quero dizer em outras palavras se eu pegar essa viga aqui isoladamente e eu pegar um carinha aqui que pesa 45 kg aí o cara fala falo pro cara o seguinte Olha dá um deslocamento unitário aqui nessa viga e apli com uma força tá
claro carinha bem Magrinho cheirinho cozinho dá um deslocamento unitário aqui ó e mede a força que você vai aplicar agora você pega a mesma viga e pega um cara grande forte aqueles caras que faz 30.000 exercícios por dia que tem um braço desse tamanho e pede para esse cara aplicar o mesmo deslocamento unitário que o cara Magrinho apli ou seja o cara Magrinho deu um deslocamento unitário nessa viga o cara super forte deu o mesmo deslocamento unitário nessa viga a força é diferente não é igual tá claro o que eu tô falando eu quer dizer
o seguinte se você dá um deslocamento unitário aqui nessa viga eu não tô dependendo da rigidez do cara que tá do lado se eu tiver um vigão aqui e eu dou um deslocamento unitário e eu tiver uma viginha e eu dou o mesmo deslocamento unitário a força que eu tenho que aplicar aqui é a mesma é por isso que o elemento de viga eu consigo determinar a rigidez dele de forma exata independente do cara que tá no vizinho independente do Contorno primeiro porque esse problema é resolvido exato na teoria de viga Sabe por que eu
tô falando isso imagina que eu pegue aqui essa Chapa Eu V comparar com esse Pórtico na realidade esse Pórtico aqui as vigas só trocam ação pelo Nó Mas isso acontece na realidade e no modelo agora quando eu pego essa Chapa aqui essa Chapa que tá aqui ó ó a chapa aqui olha o modelo aqui esses trechos que são os elementos são apenas nos nós no modelo mas na realidade eles estão conectados no contorno eles estão conectados no contorno mas o meu modelo simplificadamente só considera conectado no nó agora vamos pensar junto a seguinte situação vamos
imagina que essa Chapa Aqui tem uma espessura de 1 mm e esse cara do lado tem uma espessura de 1 mm aí eu bloqueio too do mundo e dou um deslocamento unitário aqui ó eu vou dar um deslocamento unitário e os outros estão bloqueados no modelo eles só estão conectados no nó mas na realidade eles estão conectados no contorno Então vamos pensar a situação real que eles estão conectados no contorno aí eu vou lá e dou um deslocamento unitário nesse pontinho aqui os outros estão bloqueados na hora que eu faço isso se esse cara do
lado tiver espessura 10 mm e esse tiver espessura 1 a força que eu preciso aplicar aqui para dar o mesmo deslocamento é a mesma se a rigidez desse cara é muito maior que esse aqui não é Ou seja se eu tenho uma chapa de um e aqui de um e eu dou um deslocamento e ele tá conectado no contorno na realidade se eu fizer a mesma coisa e aqui tiver uma chapa de 10 a força que eu preciso aplicar aqui para levantar esse cara se ele tiver com um vizinho de 10 mm é diferente em
resumo Quando é que eu vou conseguir resolver esse problema nunca nunca jamais eu vou conseguir resolver esse problema então aí é que entra o conceito que nós vamos falar daqui a pouco que é o conceito central da segunda parte do elementos finitos o fato de eu dar um deslocamento unitário na viga e eu conhecer a força que aparece aqui é pelo fato que eu conheço de forma exata essa deformada num elemento B bit tridimensional essa deformada não é conhecida de forma exata primeiro porque a gente falou né que se eu tiver os quatro nós e
der um deslocamento for querer representar essa função isso é muito complicadíssimo como diz o amigo meu e segundo Essa é para tirar qualquer esperança e o cara abraçar derrota ele tá conectado no contorno na realidade mas no modelo só tá no nó que são coisas diferentes ou seja a deformada é exata quando eu dou um deslocamento unitário no elemento bidimensional e bloqueio os outros eu não conheço como é que o engenheiro faz quando ele não conhece de forma exata uma função por exemplo uma das maneiras pouco elegantes de dizer isso é que ele chuta uma
função né Isso aí é meio desagradável ele atribui uma função ele propõe uma função de sorte que aquela função represente uma tentativa do deslocamento que ele vai ter quando dá um deslocamento nodal nós estamos falando em última análise de quê do fenômeno de interpolação da técnica melhor dizendo de interpolação ou seja quando você tem um elemento finito e você aplica o deslocamento nodal a técnica usada para se chegar no deslocamento dentro a partir do deslocamento nodal são as técnicas de interpolação é isso que se faz em elementos finitos numa outra maneira de dizer então nós
vamos fazer isso por partes ou seja nos elementos Bi e tridimensionais eu posso dizer que o k e j é a força no grau de Liberdade I devido ao deslocamento unitário em J posso e devo o problema e a maneira como você chega nisso não é dando deslocamento unitário medindo de força que você faz numa viga existe uma técnica aproximada para fazer isso ou seja o conceito de rigidez do elemento e rigidez da estrutura ele continua presente como anteriormente A questão está em Como determinar esse k j e aí nós vamos precisar de um conceito
Vital que é o conceito de energia que nós vamos usar adiante que é o conceito de trabalho virtual só que isso tem duas etapas então na primeira nós vamos entender a técnica de interpolação como que como que a partir do deslocamento nodal a gente chega no deslocamento dentro de elemento e como consequência na deformação do elemento agora como é que a gente determinou a rigidez daquele elemento sem dar deslocamento em medir força isso nós vamos fazer mas vamos começar primeiro por uma maneira mais operacional depois a gente faz isso aí tá claro aí desempenha papel
fundamental o conceito de trabalho virtual que nós vamos falar ou seja estrutura elemento rigidez de elemento rigidez de estrutura sistema adequação determina zero aplica a restrição calcula o deslocamento no nó para calcular o deslocamento do nó eu preciso ter a rigidez do elemento como é que eu faço a rigidez do elemento em elementos exatos unidimensionais dando deslocamento unitário medir força e nos B tridimensionais o conceito é o mesmo só que não é dando deslocamento unitário Med força tem uma Mandaqui Tá certo então Qualquer que seja o elemento finito o significado do k J na matriz
de Vig é a força no grau de liberdade I devido ao deslocamento unitário no grau de liberdade J você dá um deslocamento unitário e mede força em todos os elementos finitos o significado disso é sempre o mesmo ocorre que nos elementos unidimensionais como no caso da Viga esse k J é calculado de forma exata porque você conhece o campo de deslocamento de forma exata então aí entra a questão de como conhecendo deslocamento aqui eu chego aqui então uma das técnicas né que nós vamos usar direto aqui é a técnica de interpolação através dela por intermédio
dela nós vamos formular todos os elementos finitos agora como é que o cara calculou para um elemento bit tridimensional o k J sem dar deslocamento unitário Med força tem um outro caminho para fazer isso que vai ser extremamente importante que é o conceito de trabalho virtual nós vamos falar sobre isso e e nada ficará aqui sem conseguir ser demonstrado apenas que por uma questão de facilidade de entendimento nós vamos começar isso daí de uma forma mais operacional primeiro ou seja quando você fala em formular um elemento finito técnicas matemáticas de interpolação nós vamos usar que
nós vamos começar a falar agora né tô falando o seguinte você tem a estrutura você divide em elementos elementos estão conectados dos nós a partir da rigidez de cada elemento você determina a rig desde a estrutura o determinante é zero se aplica a restrição aplica o carregamento calcula o deslocamento dos nós a partir do deslocamento do nó nós vamos ver como é que determina a função de interpolação que permite calcular o deslocamento dentro do elemento agora como é que se faz isso num elemento bit tridimensional isso nós vamos ver adiante então para entender a técnica
de interpolação que nós vamos usar em todos os elementos olha só o que nós vamos fazer assim como a gente usou a mola para entender o processo de montagem como a gente estudou a treliça para entender a transformação de coordenada nós vamos utilizar o elemento de viga que nós Já estudamos para entender nele o processo de interpolação se a gente conseguir entender e formular o elemento de viga por intermédio da interpolação nós vamos ampliar para todos os outros elementos finitos Sem sofrimento então nós temos essa questão aqui né Eh essa parte de como se determina
a rigidez de um elemento bidimensional que nós vamos fazer interpolação também tá envolvido o trabalho de realizado por uma força conceit de trabalho energia que nós vamos estudar depois e a energia de deformação porque quando você pega uma viga e você interpola o deslocamento ela se deforma Então ela tem uma energia de deformação envolvida isso vai fazer parte da nossa conta que nós vamos abordar depois então vamos partir agora pro estudo da interpolação que é o que nós vamos fazer em todos os elementos finitos usando o elemento de viga como um pano de fundo agora
aqui merece uma observação cuidadosa nós já Vimos que no âmbito da análise linear o elemento de viga ele pode trabalhar na forma axial na forma de flexão num plano na forma de flexão no outro plano e na torção como os quatro comportamentos são independentes entre si o que nós vamos fazer nós vamos estudar um desses comportamentos que é a flexão de viga a parte da flexão Ou seja a partir do deslocamento do nó nós vamos tentar descobrir o deslocamento dentro de elemento e como se faz a interpolação para chegar nesse deslocamento então aí é um
conceito matemático que todos têm né todo todos têm esse conceito que eu quero dizer é o seguinte esse conceito matemático todo mundo já usou isso daqui uma vez na vida né então antes de chegar no elementos finitos eu vou fazer a representação eh da interpolação Num caso simples em dois casos simples e aí a partir do momento que a gente relembrar o critério matemático para fazer isso nós vamos passar pro elemento finito a única questão diferente no elemento finito é que você tem um conteúdo físico muito bem claro você tem o deslocamento nodal e a
função matemática Vai representar o deslocamento dentro do elemento é que na matemática você interpola para abrir o raciocínio né era comum isso fal Vamos estudar interpolação quer Fal vou usar a interpolação não meu filho Isto é para abrir o raciocínio depois você vai usar isso daí alguma vez aqui o sentido físico é concreto Nós vamos interpolar matematicamente só que é uma grandeza física é deslocamento eu tenho o deslocamento do nó e eu quero determinar o deslocamento dentro do elemento usando a técnica de interpolação para aqueles que tem saudade das saudosas aulas de termodinâmica lembra você
tinha Temperatura entalpia temperatura entalpia e lá no bituin lá entre eles O que que você fazia você interpola você Calculava numa temperatura intermediária o valor da entalpia ou de outras grandezas térmicas é a mesma coisa que nós vamos fazer aqui a partir do deslocamento nodal conhecido que acontece nesses dois pontos que são os nó no caso da Viga você vai determinar a função que determina o campo de deslocamento dentro do elemento usando a técnica matemática de interpolação depois nós vamos expandir pros elementos Bi e tri dimensionais Ok é o que nós vamos fazer agora i
