O QUE SÃO COORDENADAS POLARES?: Como fazer a conversão Exercícios Resolvidos

Oi Oi gente tudo bem O meu nome é Esther me lá se sejam bem-vindos ao final matemática no vídeo de hoje a gente vai falar sobre coordenadas polares aqui em cálculo de várias variáveis Tá bom então assunto que é importante né são os mais para frente e a gente já vai ficar craque nisso agora tá bom então antes de começar dia curte aí embaixo se inscreve no canal e Vamos lá gente então aqui a gente tem o nosso plano cartesiano eixo X e eixo Y que a gente conhece a gente está super acostumado a gente sabe que se a gente precisar representar um ponto desse plano usando esses eixos é só a gente representar a com x e com Y né então por exemplo se eu tenho esse ponto que tá na altura dois em x e tá na altura três em Y eu vou representar esse ponto dois três certo então primeiro a coordenada x depois e da Y isso vale para qualquer ponto que a gente quiser representar aqui então se eu tiver esse outro ponto que tá menos três em x e um em Y ele é o ponto - 31 então é só isso a gente coloca primeiro x depois o y Beleza agora vamos supor que a gente quer representar os pontos do plano com outra linguagem como se a gente quisesse falar outro idioma ali então vamos supor esse ponto aqui só que eu não quero representar ele por x e y eu tô em outro país falando do outro idioma ali que não reconhece XY eu quero representar ele da seguinte forma pela distância dele até origem então por exemplo ali tá 3M da origem Então essa distância entre o ponto EA origem é 3 e aí para não ficar só uma informação muito genérica Eu também quero representar por esse ângulo que ele forma com lei e não tal então aqui vamos supor que ele forme um ângulo de 60° eu vou conseguir representar esse ponto pela distância dele até origem que a três metros e o ângulo desse segmento que com eixo horizontal que é 60° certo então com esses dois parâmetros que são a distância até origem esse ângulo a gente conseguiu representar a localização desse ponto não tem nenhum outro ponto aqui no plano que tem a distância de três metros e o ângulo de 60° qualquer outro qual a distância de três metros e outro ângulo vai estar em outro lugar né Vamos ângulos diferentes por mais que a distância também que seja três metros e qualquer ponto que também tem esse ângulo de 60 graus mas que tem outras distância não se pontos de tamanhos maiores ou menores não ser outros pontos e a justamente sobre isso que falam as coordenadas polares gente a gente consegue escrever o ponto utilizando os parâmetros de módulo eo ângulo então a gente consegue sair das coordenadas cartesianas que aquilo a x e y que a gente conhece e escrever o mesmo ponto em outras coordenadas o outro idioma ali que a gente tá usando e como a gente faz isso bom o módulo é justamente aquela distância do ponto até a origem então por exemplo se a gente tem esse ponto aqui com a gente sabe que o a distância dele até origem bom é o tamanho desse segmento que certo então o quanto demora da origem até o seu ponto é um módulo que a gente vai usar como o primeiro parâmetro já o ângulo vai ser Justamente esse ângulo do segmento com eixo horizontal então usando esse tamanho e esse ângulo a gente consegue representar qualquer. Então se eu trocar o meu ponto de lugar aqui Se ele vier aqui para baixo a gente vai ter a distância dele até Oi e o ângulo dele com eixo horizontal Beleza então cada ponto aqui do nosso plano gente vai ter uma coordenada tanto cartesiana que é com x e y quanto Apolar então aqui a gente consegue representar por x e y vem do eixo horizontal eo eixo vertical ou pelas coordenadas polares vendo a distância eo ângulo é basicamente falar a mesma coisa só que em outro idioma com outra linguagem ali tá mas agora a verdadeira questão como que a gente transforma de x e y para o módulo eo ângulo Então se a gente tem alguma coisa nas coordenadas cartesianas aliás Amazonas e aí a gente quer passar as coordenadas polares como que a gente vai fazer isso bom um ponto em coordenadas polares vai ser escrito pelo módulo R pelo ângulo teto Ah o módulo R é calculado pela raiz quadrada do x ao quadrado + i a entrado então quando a gente já tem o ponto nas coordenadas cartesianas a gente usa essa fórmula Zinha para encontrar o módulo nas coordenadas polares e para gente se encontrar o ângulo teta a gente pode fazer que o peta é o arco cujo o cosseno é o x sobre o módulo R então a gente sempre tem que achar o r primeiro porque a gente precisa dele para achar o teto tá bom Da mesma forma o teto também pode ser o arco cujo o seno é y sobre R ou então a gente pode falar que o peta é o arco cujo a tangente é y sobre X então a gente pode usar alguma dessas três fórmulas para a gente encontrar o nosso teto tá bom gente se você esquecer como encontro de reta é só lembrar de trigonometria aqui a gente tem o nosso. EA distância dele até origem se a gente fechar aqui ó pontilhado e tu é um triângulo retângulo e pelas relações no triângulo retângulo a gente sabe que esse ângulo teta o cosseno dele é o cateto adjacente sobre hipotenusa ou seja x sobre R enquanto os e no dele vai ser o cateto oposto que é o y é que sobre a hipotenusa e por fim a tangente de teto Ah é o cateto oposto sobre o adjacente então Y sobre X então é daí que vem essas relações do teto tá bom gente então quando a gente está falando sobre coordenadas polares a gente tá simplesmente expressando os mesmos pontos do plano só que em outro tipo de quadrado em outra linguagem que a gente vai ter então ao invés de expressar o ponto como X no eixo horizontal e sono este vertical a gente vai estressar por outros dois parâmetros que são a distância até o Oi e o ângulo daquele segmento Então vamos lá fazer exercício para a gente entender bem Como que funciona mas antes da gente continuar Já curte o vídeo embaixo já se inscreve no canal que ajuda muito o canal aqui de novas pessoas Tá bom então vamos lá a gente tem esse ponto em coordenadas cartesianas e a gente quer passar ele para coordenadas polares Então é só a gente usar essa fórmula que a gente viu né o r vai ser essa raiz quadrada aqui e o teto pode ser encontrado por uma dessas três relações Então vamos encontrar o r ele vai ser a raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado então raiz quadrada de quatro mais quatro que a raiz quadrada de 8 Então essa aqui é a distância do nosso.

Até origem à distância dele até 100 Vale raiz de 8 agora eu vou me encontrar o nosso teta a gente sabe que o teto pode ser escrito com o arco cuja tangente ao arco tem gente atende gente é menos um tá bom o arco já tem gente Vale Y sobre X então o arco cuja tangente vale um quem é o angulo que atende gente vale um gente é o ângulo de 45° certo que também pode ser escrito em radianos com o pi sobre 4 então o ponto P em coordenadas polares vai ser o r que raiz de 8 e o Pateta que a pi sobre 4 ou então 45 graus né então a gente conseguiu fazer nossa primeira conversão aqui de coordenadas cartesianas para coordenadas polares a gente então vamos aqui para o geogebra eu vou colocar o ponto 22 que o ponto que a gente trabalhou agora e aparece aqui né ele bonitinho é dois em x e dois em Y aí eu vou fazer o seguinte eu vou traçar um segmento que vai desse e até origem beleza a distância aqui do ponto até 100 aí o que eu vou fazer vou calcular o cumprimento desse segmento que foi formado ó deu 2,82 quem é 2,82 gente é justamente a raiz de 8 que é o que a gente encontrou como o valor R né dessa distância E aí se a gente for ver o ângulo entre o eixo X e o nosso segmento a gente encontra justamente 45 graus agora vamos pra esse aqui o ponto 05 em coordenadas polares primeiro a gente acha o r né então vai ser raiz quadrada de zero ao quadrado mais 5 ao quadrado então raiz quadrada de 25 que é cinco Então sempre que uma das coordenadas for zero e a outra não for o módulo vai ser simplesmente a outra coordenada Tá bom então no caso como X é zero é simplesmente o valor de y que é cinco agora vamos encontrar o teto Ah se a gente for usar o arco Tem gente mais uma vez a gente vai ter o arco cuja tangente é cinco sobre 0 só que a gente cai numa divisão por zero né gente mas sempre que caem algo desse tipo você for pela tangente caiu uma divisão por zero pode ter certeza que o seu ângulo vai ser ou 90 graus ou 270 graus mais ou menos no caso né porque esses são os ângulos que não tem ter gente e por isso que cai nessa divisão por zero aqui tá vendo Então com certeza o ângulo teta para esse ponto que vai ser um desses aqui mais ou menos 90 ou mais ou menos 270 Mas vamos encontrar isso então através do seno e do Cosseno ao tetra é o arco cujo cosseno Vale x sobre r o ou seja o arco cujo o cosseno vale zero quem é o arco cujo cosseno a zero são justamente esses aqui né Mais ou menos 90 graus mais ou menos 270 graus Então vamos pelos e no o teto Ah é o arco cujo o seno é y sobre R Então cinco sobre cinco logo o teto Ah é o arco cujo o seno é um quem é o arco que você não gente se a gente for pensar no circulo trigonométrico onde os e no vale um aqui em 90 graus né ou então é a mesma coisa que menos 270 graus Então se o cosseno Vale 0 e os e no vale um o teto É só pode ser 90 graus então a gente consegue encontrar o nosso. P em coordenadas polares ele vai ser o r que a 5 e o ângulo de e aos que a mesma coisa que pi sobre 2 radianos agora. Menos 10 o módulo que vai ser a raiz quadrada de menos 1 ao quadrado mas era o quadrado então raiz quadrada de um que é o próprio um Então esse aqui é a distância do ponto até origem agora como encontrar o valor de PETA o teto Ah vai ser o arco cujo cosseno Vale x sobre R então o arco cujo cosseno Vale menos um Quem são os ângulos que o cosseno Vale menos um gente pensando no circulo trigonométrico cosseno Vale menos um aqui então o nosso ângulo É esse aqui o ângulo de 180° para gente chegar daqui até aqui logo o teto só pode ser 180 graus mais ou menos 180 graus né gente pode ir para um lado ou para O que é a mesma coisa que pi radianos então nosso.

P em coordenadas polares e vai ser um pe a gente mesma coisa aqui agora. Ai menos 10 e aí o tamanho do segmento a ó que é de Ah até origem vale um certo e o ângulo entre esse segmento e o eixo X é o ângulo de 180° ou então como no caso anterior que a gente viu que o x Era Zero e o y era cinco né aí ó o ângulo entre esse segmento e o eixo X era 90 graus e o tamanho do segmento é cinco que é o módulo que a gente usa na coordenada polar agora vamos fazer o caminho inverso se a gente já tiver um ponto nas coordenadas polares e a gente quiser transformar esse ponto em coordenadas cartesianas como a gente vai fazer bom a gente sabe que a gente vai escrever como X e Y né Oi gente tem esse ponto que com a distância r e o ângulo teta como a gente encontra o x e y que representam esse ponto a gente tem que encontrar as projeções dele no eixo X e no Hecho Y certo bom a gente sabe que o seno do ângulo teto aqui nesse triângulo retângulo vai ser o cateto oposto sobre hipotenusa então isolando y a gente sabe que y é igual RX sendo de teto a mesma coisa para o cosseno o cosseno desse ângulo teta é o cateto adjacente sobre hipotenusa isolando x a gente tem que x RX cosseno de teta portanto são essas relações que a gente vai usar para encontrar o x eo Y nas coordenadas cartesianas Então vamos ver um exemplo a gente tem esse ponto em coordenadas em Paris 3 pi sobre 4 e a gente quer passar por coordenadas cartesianas então o x vai ser três vezes o cosseno de pi sobre 4 o cosseno de pi sobre 4 que no caso é o cosseno de 45 graus vai ser raiz de 2 sobre 2 Então esse é o nosso x Já o nosso Y vai ser três vezes o seno de pi sobre 4 mesma coisa né três vezes raiz de 2 sobre 2 é o nosso Y então o ponto P em coordenadas cartesianas é 3 raiz de 2 sobre 2 e 3 raiz de 2 sobre 2 o x e y são iguais e isso sempre vai acontecer quando o ângulo for de 45 graus ou pi sobre 4 Rad anos agora é esse aqui o ponto um pi sobre 6 está em coordenar em vários a gente quer passar para coordenadas cartesianas o x vai ser R vezes cosseno de teta o cosseno de pi sobre 6 é raiz de 3 sobre 2 né então o X é raiz de 3 sobre 2 agora o y1x o seno de pi sobre 6 então o seno de pi sobre 6 que é o seno de 30 graus é um sobre dois Portanto o nosso.