FUVEST 2023/2 - 2ª fase - Q2 - Considere a, b e c

Oi bom dia tudo bem com vocês lembra de mim ainda não faz assim ó anota para não esquecer a nota galera nesse vídeo vou fazer a resolução da Questão dois da Fuvest 2023 segunda fase eu vou sair da frente para você ler pausa o vídeo ler primeiro depois eu faço com você tá bom tá aqui ó pronto pausa deixa eu sair da frente para ficar mais aqui no cantinho Lê aí depois eu faço com você foi pausou Tá bom então antes da gente começar não esquece de deixar o seu like já se inscreve no canal

dá um Peteleco no Sininho para ser notificado das próximas lives E no meio do exercício se você tiver dúvidas manda aqui nos comentários que eu tiro para você vamos lá Considere a b e c pertencentes aos reais e a função f domínio reais contra domínio reais dada por f de x = ax² + b + c esse daqui é o esqueleto de uma função de segundo grau né cujo gráfico é uma parábola de fato e tem a determina os valores de A B e C para que f de um seja um F de zero seja

zero e f de -1 seja um e tem a maravilhoso bem clássico cara de primeira fase inclusive tá bom se eu tenho três parâmetros eu preciso de três pontos para criar três equações e conseguir fazer um sistema Esse é um jeito de resolver esse tempo Provavelmente você já viu esse jeito antes então vou mostrar um outro jeito mais legal imagina o gráfico olha só eu tenho aqui um eixo Y e eu tenho um eixo X tá legal eu sei que o gráfico da parábola vai ter que passar pelo par ordenado 1 e 1 para direita

um para cima vai ter que passar pelo par ordenado 00 que tá aqui e vai ter que passar pelo ordenado menos um e zero então menos um é tipo aqui mentira menos um e um né que vai ser esse ponto aqui ó beleza ele tem que passar por esse ponto esse ponto e esse ponto tá bom o gráfico da parábola vai ser mais ou menos assim beleza que até dá para chutar qual que é mas eu não quero chutar não olha a loucura que eu vou fazer eu vou pegar na minha mente e baixar esse

gráfico eu vou pegar cada ponto do gráfico que tava aqui ó e eu vou transladalo uma unidade para baixo que a mesma coisa que levantar o eixo X né comunidade por que que eu tô fazendo isso porque se eu fizer isso concorda que esse ponto e esse ponto passam a representar as raízes e uma vez que eu sei as raízes eu posso usar essa fórmula aqui ó Y igual a que multiplica x menos uma raiz vezes x menos a outra raiz tá igual aí já sai as raízes só que esses dois pontos eles não são

da função original né a função original eu peguei a parábola aí desse imunidade então para voltar para parar a bola certa eu subo a humanidade e como é que eu subo uma unidade eu simplesmente venho aqui adiciona um Olha que maravilhosa essa técnica no lugar do R1 eu posso ir lá e colocar menos um aí aqui vai virar mais um no lugar do R2 eu posso colocar um que são esse e esse x tá legal aí quando eu somei um eu volto para o original a única coisa que eu preciso descobrir agora é o a

qual ponto que eu não usei eu não usei o 00 então eu posso no lugar do Y colocar zero igual a vezes aí no lugar do X eu coloco 0 tinha aquele mais um de volta pegou aqui deu um aqui deu menos um a multiplicação deu menos um pesadelo menos a mais um passo menos lá para lá deu a então daqui eu concluo que o A é igual a 1 e portanto eu tenho que y é igual a 1 vezes x + 1 x - 1 + 1 Y que nesse caso vou chamar de f

de x por causa denunciado vai ser igual a isso aqui ó é uma diferença de quadrados parece aí moço aqui pronto Isso aqui é uma diferença quadrados ele é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo mais esse um aqui ó ficou fx = X quadrado x quadrado é a mesma coisa que um x ao quadrado mais 0x + 0 ou seja o a é um ou B é zero e o c é zero e isso daqui mata o item a era que ele queria saber né uau precisava fazer com essa técnica Claro que

não né mas eu sei que você sabe fazer de outra maneira então eu queria te ensinar algo novo tá legal esse é o item a E com isso a gente consegue ir para o item b de bola qualquer dúvida aí nos comentários beleza vamos lá e tem b de bola para a = -1 B = 4 determine o valor de c de modo que a área do triângulo abv seja 32 unidades de área onde V é o vértice da parábola representado por F esse daqui dá mais trabalho e tem bebê bem mais difícil que o

item a né como já era de se esperar Vamos pensar eu sei que a função é dada por y igual a menos x ao quadrado + 4 x x + 6 porque a gente tinha essa fórmula que toda e ele me deu o a e o b beleza aí eu sei que a área desse triângulo é 32 a área desse triângulo é base vezes altura dividido por 2 O que que é a altura a altura pessoas é o y do vértice certo eu vou fazer isso daqui de uma forma legal também vamos lá para valer

a pena você ter vindo assistir até o final do vértice beleza que que é a base a base é isso aqui tudo concorda comigo que eu posso pensar assim ó esse ponto aqui é uma das raízes né R2 e 0 esse daqui é outra raiz R1 e 0 tá legal se eu fizer a distância do R1 até o R2 e dividir por 2 eu vou ter a base concorda eu vou ter essa medida como é que a distância mesmo você quer mais avançadinho distância é a diferença em módulo é R1 menos R2 em módulo cara

pode ser R2 menos R1 pode também só que R1 menos R2 em módulo é a distância daqui até aqui essa distância do a até o b é isso tudo dividido por 2 Beleza então qual que é a área do triângulo em questão a área do triângulo a ver [Música] é base QR 1 - R2 em módulo dividido por 2 vezes altura que é o y do vértice vezes meio porque é um triângulo tá legal e o enunciado diz que isso tudo tem que dar 32 32 unidades de área tá vamos pensar em cada uma dessas

coisas então começando pelo R1 menos R2 concorda que por Bhaskara as raízes são menos B mais ou menos raiz quadrada de Delta sobre dois a eu posso separar essas duas raízes assim ó eu posso falar que o R1 por exemplo é menos B menos raiz de Delta sobre dois a e o R2 é menos B mais raiz de Delta sobre dois a Lembrando que ele me deu a né Ele falou que o ar é menos um então aqui fica menos dois tanto em cima quanto embaixo repara que se eu subtrair se eu fizer R1 -

R2 Olha que lindo R1 - R2 que que vai acontecer ambos estão sobre -2 certo significa que tudo vai ficar sobre menos dois só que aí eu tenho menos B subtraído de - b então essa parte vai cortar E aí fica menos raiz de Delta menos menos raiz de Delta menos raiz de Delta menos raiz de Delta que dá menos dois raiz de Delta Se eu colocar em módulo sinal também não é importante é isso aqui tudo corta Isso aqui vai me dar raiz de Delta beleza uma bonitinho isso daqui tá vou apagar agora essa

parte pode voltar se você quiser tá legal eu tenho isso o módulo de R1 menos R2 é raiz de Delta e o y do vértice Y do vértice tem fórmula é menos Delta sobre 4a o a menos 1 então fica sobre menos 4 totalizando Delta sobre 4 pronto se eu substituir eu vou ter raiz de Delta aqui sobre 2 então raiz de Delta sobre dois x y do vértice Delta sobre 4 vezes meio igual a 32 agora eu vou brincar de potências pessoas concorda que raiz de Delta é Delta elevado a meio vezes Delta elevado

a 1 a gente conserva a base e somos expoentes meio mais um é três sobre dois Então olha que lindo fica Delta elevado a 3 sobre 2 embaixo ficou 2 elevado a 1 2 3 4 aqui tá 2 elevado a 5 vezes 2 elevado a 4 dá 2 elevado a 9 então ficou Delta elevado a 3 sobre 2 = 2 elevado a 9 aí se você é bom de propriedades de potência eu posso cortar esse três com esse 9 dá 3 passa-se dois multiplicando fica 6 então Delta é 2 a sexta que é 64 tá

legal então daqui eu concluo que Delta 64 deixa eu apagar aqui colocar 64 posso por aqui direto assim maravilha mas para que que eu tô fazendo isso que ele quer o cezinho né quem que é Delta Delta é B ao quadrado o b a gente sabe ó é 4 então 4 ao quadrado menos 4 vezes a que é -1 x c que ia ser mesmo isso tem que dar 64 daqui eu consigo descobrir o valor do cezinho deu 16 + 4c = 64 então cesinho é igual 64 - 16 dá 50 e menos 2 48

por 4 da 12 cesinho é igual a 12 de um jeito meio diferente então se você entendeu o que eu fiz Depois tenta refazer sozinho tá bom a partir da sua própria memória se você não entendeu o que eu fiz eu te convido a participar aqui Dos comentários e tirar suas dúvidas tá bom E aí a gente vai para bucha do exercício que costuma ser o item C né como é que eu vou fazer esse tem que ser vamos ver deixa eu tirar minha cabeçona gigante da frente se essa solução Já Foi útil para você

até aqui e você quiser me ajudar deixa um like tá bom ele me ajuda bastante vamos lá então item C considere uma nova função G domínio dela é reais contra domínio reais também Ai meu Deus tá bugado aqui de novo né pronto domínio reais contra domínio reais a função dada por g de T = cosseno de T função trigonométrica que envolvida em se o A3 e o c menos 8 determine para quais valores de Bezinho a equação f de G de T possui ao menos uma solução real muito interessante Então a função composta aqui né

pessoas vamos lá que que eu sei antes de eu ficar grandão de novo eu sei que f de x é igual a x ao quadrado mais b x + c o enunciado me disse isso lá em cima lembra tá aqui ó antes de começar os itens tá legal nesse item Ele me disse que o a Vale 3 então 3X ao quadrado e ele me disse que o C Vale 8 na verdade menos oito então BX - 8 A pergunta é o Bezinho que tá aqui beleza ele disse também que g de t é igual a

cosseno de t e ele quer saber para quais valores de pezinho a equação f de G de t = 0 possui ao menos uma solução real Então vamos entender o que tá acontecendo aqui pessoas para que uma equação de segundo grau finge que é assim ó finge que é isso daqui igual a zero por um segundo para que essa equação de segundo grau tenha pelo menos uma raiz real eu preciso que o delta dela o delta da função f seja maior que ou igual a zero Porque caso contrário se o delta fosse negativo fosse menor

que zero Então essa função não teria nenhuma mais real as duas raízes seriam imaginárias tá legal então essa já é uma condição para que a equação 3x² + BX - 8 = 0 tenha pelo menos uma raiz real eu preciso que ela tenha uma raiz real só que ele não tá perguntando sobre essa equação ele tá perguntando na verdade sobre a equação três vezes cosseno ao quadrado de t + b vezes cosseno de T - 8 = 0 então o resultado da raiz dessa equação será na verdade a imagem da função G será o resultado

final da função cosseno de t e se você lembrar bem das suas aulas de trigonometria a função cosseno de T tem um valor mínimo e um valor máximo o valor mínimo que a função cosseno de T pode assumir é menos um e é o valor máximo da função cosseno de T é um positivo Então para que essa condição seja satisfeita Não só eu preciso que o delta da função f seja maior que ou igual a zero como eu também preciso que as raízes dessa função que pelo menos uma raiz pelo menos uma raiz esteja entre

-1 e 1 beleza porque se pelo menos uma raiz da função f estiverem entre -1 e 1 Então ela pode ser o resultado do Cosseno de alguém Beleza então já tem essa primeira treta aqui nesse item C cabulosíssimo né cabulosíssimo beleza Colocar assim pelo menos uma raiz de F né de f Deixa eu pensar um segundo agora que eu vou fazer aqui tentar imaginar gráfico tá queria muito que vocês vissem que tá passando na minha cabeça para vocês verem o que que vocês podem pensar como é que é o gráfico da função f um esboço

do gráfico da função f é uma parábola que com qualidade para cima porque o coeficiente dominante é positivo então parábolas com cavidade para cima vamos ver o delta dela rapidão o delta da função f é B ao quadrado menos 4 vezes a que é 3 vezes c que é - 8 B ao quadrado mais 1296 96 como enunciado diz lá em cima que o b é real então B ao quadrado é com certeza um número Positivo né na verdade zero ou mais né então b² + 96 é 96 ou mais então isso daqui já é

com certeza estritamente maior do que zero então isso aqui não é um problema para gente ó o delta dessa função Com certeza maior que zero com certeza vai ter duas raízes reais distintas tá legal então eu sei que essa função corta o eixo X em dois pontos isso é uma coisa importante outra coisa importante é onde ela corta o eixo Y e eu sei que ela corta o eixo Y não menos 8 menos 8 negativo então o eixo Y pode estar aqui assim pode estar mais para cá pode estar aqui no meio sei lá onde

é que ele tá Tá bom eu vou colocar aqui por exemplo Beleza então eu sei que ela tem que passar aqui pelo 0 e -8 tem que passar por aqui interessante Maravilha Deixa eu tirar isso daqui um pouquinho e jogar esse ponto um pouco mais para baixo eu preciso que pelo menos uma das raízes de F esteja entre -1 e 1 Vamos marcar algum e o menos um nesse gráfico aqui ó aqui tá um aí fora de escala mas tá bom E aqui tá o -1 Quais são as possibilidades que a gente tem para esse

gráfico entre essa parábola ou ela é Ela tem que passar por esse ponto aqui e ela tem que ser de contabilidade para cima Então ela pode ser assim ó ela vem de trás do -1 passa por aqui e chega atrás do um essa é uma possibilidade essa possibilidade é boa porque uma das raízes ó está entre -1 e 1 são a possibilidade de boa ou ela pode vir aqui ó pode passar pelo menos um e vir para cá pode estar entre ou menos um e um e depois vir para cá as duas raízes podem estar

entre menos um e um e pode acontecer isso aqui ó tá bem feio mas é isso aqui ó Esse é o único caso ruim Concorda porque nesse caso aqui ó tanto essa raiz quanto essa não estão entre -1 e 1 ou seja nessa situação esquisita aqui ó ou a raiz é maior do que um ou a raiz é menor do que menos um e nesse caso ela não vai poder resultar no cosseno de t tá legal então o único gráfico que eu não quero é um gráfico tipo esse aqui deixa ele um pouquinho mais mas

assim ó tá bom esse é o único gráfico que eu não quero tá E aí olha só que legal pessoas nessa situação concorda comigo que o y associado ao menos um tá para baixo é negativo em outras palavras f de -1 é negativo e o y associado ao 1 é negativo f de um é negativo tá legal esse daqui ó é o único caso que não satisfaz o que eu quero Então o que eu quero é A negação disso A negação dessa frase aqui ó é a seguinte o f de -1 tem que ser maior

que ou igual a zero ou o f de um tem que ser maior que ou igual a zero tá legal se f de um for para cima ou f de menos um for para cima Então vai ter que ter uma raiz entre -1 e 1 e aí ela vai poder ser o resultado de cosseno de T E aí o enunciado estará satisfeito vou apagar esse gráfico e vamos ver o que que sai daqui agora f de -1 é menos um ao quadrado que é 1 x 3 que dá 3 menos B - 8 maior que

o igual a zero ou f de um que é três vezes um ao quadrado que é 3 mais B menos 8 maior igual a zero aqui dá 5 negativo Passa esse para lá menos cinco tem que ser maior que ou igual a B então eu tenho daqui que B tem que ser menor que ou igual a menos 5 ou 3 - 8 dá menos cinco passa para lá vai dar mais cinco B tem que ser maior ou igual a 5 positivo Qual a pergunta considere g de r$ 10 funciona dada por isso determine para quais

valores de b a equação tal possui pelo menos uma raiz uma solução real a resposta desse exercício é essa aqui ó o b tem que ser menor que ou igual a menos 5 ou maior que ou igual a 5 positivo e tem que ser cabulosíssimo deixa eu ver sem dúvidas aqui no ao vivo tem algumas dúvidas deixa eu ver dúvida porque A negação de e virou ou no item C já é uma questão de lógica Tá vou falar rapidinho mas se eu tenho uma proposição p e uma proposição que A negação disso Será A negação

do primeiro aí troca o conectivo lógico e viral A negação do segundo Tá bom então por isso que A negação do e virou com palavras mais mais simples pensa assim ó nessa sala tem pessoas que gostam de matemática e pessoas que gostam de português A negação dessa frase é nessa sala tem pessoas que não gostam ou não tem pessoas que gostam de matemática ou não tem pessoas que gostam de português Concorda porque basta que uma dessas duas sentenças seja negada para que o e seja negado beleza bom eu vou encerrar a gravação Aqui eu tiro

mais dúvidas da galera que tá ao vivo você que tá assistindo depois Espero que tenha sido útil para você não esquece de se inscrever no canal dá um Peteleco no Sininho para participar das lives aqui com essa galera sempre às vezes um beijo e até a próxima questão tchau