INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Definição e Soluções de EDOs

Oi Oi gente tudo bem O meu nome é escreve lasque-se sejam bem-vindos ao canal tema Teca no vídeo de hoje a gente vai começar um novo curso aqui no canal que é o curso de equações diferenciais Tá bom então na sala a gente vai ver uma introdução do que são equações diferenciais e quais são as classificações que a gente pode fazer para elas Tá bom então antes de começar já curti aí embaixo se inscreve no canal e Vamos lá gente para começar vamos lembrar o que a gente fazia lá em calculo1 em relação as derivadas

então lá em cálculo quando a gente tinha uma função e a gente queria encontrar derivada delas a gente usava uma das técnicas que a gente aprendeu Como regra do produto regra da cadeia do quociente Então vamos encontrar a derivada dessas funções aqui f de x é o ler elevado a 2x Nesse caso a gente tem a função 2x dentro da função olha um X então a gente tem uma função dentro da outra nesses casos a gente viu que a derivada a gente vai encontrar a partir da regra da cadeia Então vamos lá como vai ser

o f linha de x que a gente também pode chamar de DF DX outra anotação né vai ser a derivada de 2x que a função de dentro vezes a derivada de other elevado a 2x que a função de fora com isso a gente encontra que a derivada do f de x é duas vezes other elevado a 2x certo agora vamos encontrar derivado do GX Nesse caso a gente também tem a função 2x dentro da função seno de x então uma função dentro da outra portanto a gente vai ter que o gelinho de x que a

gente também pode chamar de DG DX né derivada de G em relação e vai ser a derivada de 2x a derivada do seno de 2x com isso a gente se encontra que a derivada de GTX é duas vezes o cosseno de 2x certo Tá mas então lá em calculo1 o que a gente fazia era encontrar a derivada das funções então a gente tinha uma função e a gente usava determinada técnica para derivar sua função agora qual é a diferença disso que a gente vim cálculo um porque a gente vai começar a ver agora gente quando

a gente fala de equações diferenciais esse diferencial aqui já vai lembrar derivadas mas o que vai acontecer em relação as derivadas aqui nesse caso a gente não vai simplesmente pegar uma função e derivada o que vai acontecer aqui é que a gente vai ter uma equação envolvendo derivadas quem quer encontrar Qual é essa função que está derivada que que satisfaça nossa equação Então nesse caso por exemplo a gente quer encontrar uma função f de x que a nossa função y né tá o que a derivada dela mas ela mesma resulte em other elevado a 2x

Então a gente tem encontrar justamente no função que satisfaça e isso aqui então quando a gente fala de equações diferenciais a gente vai ter uma igualdade nessa igualdade a gente vai ter derivadas envolvidas e a gente quer encontrar essa função y que satisfazem a igualdade Então quais são as funções que quando a gente daria uma vez e soma com a função sem derivar a gente encontra olha elevado a 2x Então as funções que satisfazem com isso aqui são as soluções dessa equação diferencial tá bom mesma coisa aqui a gente quer a função que quando a

gente deriva ela duas vezes e soma com duas vezes a primeira derivada a gente vai encontrar x ou seja a gente vai lá deriva uma vez deriva outra depois soma com a primeira derivada multiplicada por dois o resultado disso o resultado dessa expressão tem que ser x E aí a função f de x que a gente também chama de y que vai satisfazer essa igualdade vai ser a solução dessa equação diferencial a gente Lembrando que derivadas tem duas notações né Tem s d f 10 x ou efe linha de X então aqui a gente também

pode escrever assim ó Y duas linhas mais duas vezes Y linha igual a x então é a mesma coisa só que escrita com notações diferentes Agora vou aprender como a gente pode classificar as equações diferenciais a classificação a famosinha assim que a gente tem das equações diferenciais e que é o que a gente mais vai usar nesse curso são as equações diferenciais Ordinárias conhecidas também como e de voz então quando a gente tem equações diferenciais Ordinárias as derivadas da nossa equação são sempre em relação a mesma variável então aqui por exemplo a gente tem duas

derivadas envolvidas e as duas são as derivadas de y em relação a x a derivada de y em relação a x duas vezes né segunda derivada e aqui a primeira derivada de y em relação a variável x aqui mesma coisa derivada de y em relação a x a gente não tem nenhuma outra variável envolvidas nas nossas derivadas Então sempre que a gente tem algo desse tipo a gente tem uma e de ó Tá bom mas o que seria uma equação diferencial não ordinária é quando a gente tem derivadas em relação as variáveis diferentes e isso

a gente vai chamar de equações diferenciais parciais Tá bom então que seria ter derivadas parciais na nossa expressão vamos supor que a gente tem uma função O dxy que é 2 x + 3y concorda comigo que a gente pode derivar isso aqui tanto em relação a x quanto em relação à Y se a gente derivar em relação a x ou Y é constante E se a gente derivar em relação a y o X é constante Então a gente tem essas duas opções para derivar o Woody XY e a justamente sobre isso que vai falar as

equações diferenciais parciais Olha só esse primeiro exemplo a gente tem a derivada parcial de um em relação a x mais Y vezes a derivada parcial de u em relação à Y Então a gente tem duas derivadas e cada uma está em relação ao é diferente igual aqui embaixo a derivada em relação a x e aqui tem a derivada em relação ats Então como a gente mudou a variável com qual a gente tá derivando a gente não tem mais uma idiota bom nesse caso é uma equação diferencial parcial outra classificação que a gente pode fazer nas

equações diferenciais é a ordem da equação diferencial que a gente tem para a gente saber qual é a ordem é só a gente ver a derivada de maior ordem da equação então lembra que a gente tem a primeira derivada a gente tem a segunda derivada a gente pode ir até enésima derivada dependendo da função certo e a justamente Essa ordem da derivada que a gente vai ver para saber qual é a ordem da nossa equação diferencial Então nesse caso a gente tem essa é a derivada que é de segunda ordem certo e a gente tem

essa aqui que é de primeira ordem Então qual é a eu sei quais são diferencial segunda ordem né gente porque a maior ordem que a gente tem aqui é dois aqui a gente tem uma de terceira e uma de primeira Qual é a ordem dessa equação diferencial terceira ordem né então é isso aqui é uma ideia porque ela é ordinária tem relação apenas uma variável e é de 3ª ordem e essa aqui que é uma equação diferencial parcial Qual é a ordem dela bom a gente tem uma derivada de ordem 2 outra de ordem 2

e uma de ordem um Então vai ser de segunda ordem porque uma a maior ordem que a gente tem aqui na derivada é a ordem dois a gente não tem nada maior que isso outra classificação que a gente consegue fazer para as nossas equações diferenciais é se elas vão ser lineares ou não lineares a gente a partir desse momento a gente vai falar apenas sobre e Deus tá bom a gente vai dar um foco especial para essa classificação e aí mais para frente a gente volta a falar das parciais bom então o que é uma

Edo linear vamos ver esses dois exemplos que a gente tem aqui o que a gente consegue perceber em comum nessas duas equações primeiro a variável dependente Y então dependente porque a y em função de X né então a gente chama de variável dependente então y e as derivadas dele são todos degraum então a gente não tem por exemplo um y ao quadrado aqui um isso uma linha Okubo tudo que tá envolvendo Y tá sempre com expoente 1 isso é levado a um a segunda derivada elevada um a primeira derivada levado a um a gente não

tem nada ao quadrado a Cuba elevada quarta nenhum expoente diferente de um então isso aqui é o primeiro requisito para que nós sair de ó seja linear o segundo requisito é que nem um coeficiente Depende de y Então o que é o coeficiente é o quê e aplicando o de y então que está multiplicando as derivadas e a gente pode ver que realmente todos eles ou são constantes ou estão apenas em função de X então isso é o segundo requisito para que nós sair dela seja linear aí você fala nossa mas é que a gente

tem Y vezes DX gente isso é uma coisa que a gente vai ter que lidar porque nem sempre a equação diferencial vai ver no formato bonitinho que a gente está acostumado Às vezes a gente vai ter que manipular isso aqui para conseguir escrever no formato de uma ideia e como a gente faz bom a gente quer que apareça dydx que é o formato que a gente está acostumado Então é só a gente dividir tudo por DX por quê Porque aí vai aparecer esse dydx aqui portanto essa e de ó vai ficar escrito assim x vezes

dydx mais a y x 1 né porque corta deixa isso com de x igual a zero então agora sim tá escrito em um formato bonitinho porque apareceu dydx aqui para gente que realmente essa e de ó tá Cumprindo com os dois requisitos para que seja linear logo essas duas equações diferenciais que a gente tem aqui são e de seus lineares tá bom e o que seria uma ideia não linear por exemplo olha esse primeiro exemplo aqui a gente tem um coeficiente dependente de y então ele não está cumprindo com esse segundo requisito aqui porque ele

está multiplicando a segunda derivada Mas é uma coisa que envolve Y já nesse segundo exemplo a gente tem um y ao quadrado e isso tá indo contra o primeiro requisito que fala que todo Y só pode ter expoente um agora a gente nessa aula a gente não vai aprender necessariamente como a gente encontra a solução de uma ideia é mas a gente vai entender agora como essas soluções tem que se comportar Então o que há soluções vão cumprir ali Para que sejam soluções das nossas ideias Tá bom então nesse primeiro exemplo a gente quer mostrar

aqui para qualquer constante Car essa expressão é uma solução da nossa ideia então a gente tem um Y aqui que é o menos other elevado a menos ter menos cá mais 2 e a gente quer provar que essa função é solução da Edo ó tá bom E isso para qualquer constante cá então a gente quer provar que o cá pode ser 25 mil independente do valor de k isso aqui vai ser uma solução então o primeiro passo pra gente mostrar que essa função é uma solução é a gente encontrar primeiro é derivado dela para a

gente conseguir substituir aqui na expressão Então como a gente vai encontrar derivada de y bom aqui na primeira parte a gente vai a cadeia porque a gente tem menos ter menos cá dentro da função - other elevado a x Então a gente tem uma função dentro da outra e portanto a derivada disso vai ser a derivada de menos te menos cá que é o que tá dentro vezes a derivado de Fora que é menos other elevado ao menos ter menos cá e isso tudo mais a derivada de se dois aqui então o y linha vai

ser a derivada de menos ter menos cá como o k é uma constante a derivada dele é zero e a derivada de menos te é menos um certo agora derivado de menos olha elevado ao menos ter menos cá vai ser o próprio - other elevado ao menos ter menos cá e a derivada de 2 = 0 então por fim a gente se encontre que a derivada de y fazendo menos com menos aqui vai dar mais e portanto é o ler ao menos ter menos cá então agora a gente já tem a nossa derivada que a

gente pode substituir aqui nessa expressão Então vamos lá para que esse Y seja solução a gente tem que provar que a derivada dele mas ele mesmo tem que resultar em dois então vamos lá a derivada dele é o ler e levado ao menos te menos cá e ele mesmo é menos Oi ler e levado ao menos ser menos cá mais dois então aqui a gente substituiu a derivada e aqui só a função fazendo a distributiva do sinal aqui a gente vai encontrar olha elevado a menos ter menos cá - other elevado ao menos ter menos

cá mais 2 só que que a gente tem dois termos iguais com sinais opostos então a gente pode cortar os dois né vai dar zero e portanto a gente encontra que isso é igual a dois logo tá aprovadíssimo que realmente esse Y e é uma solução da série de porque quando a gente substituiu a derivada é mais ele mesmo o resultado realmente deu dois e você reparou que realmente independente da Constante k independente do valor dela esse Y sempre vai ser solução porque o ôca Some aqui e aqui então ele é totalmente indiferente para essa

equação diferencial ele não vai fazer diferença independente do valor que ele tiver o cá pode ser 3 - 24, cinco que não faz diferença portanto para qualquer constante Caca isso aqui vai ser uma solução da nossa ideia a gente então vamos ver um exemplo o gráfico que só para a gente ver que realmente faz sentido tenho que imita soluções aqui em vermelho a gente tem a função menos olha elevado a menos ter menos cá mais 2 e aí a gente pode variando o valor da Constante KC e a gente vê que realmente Nossa função longa

né a gente está mudando e e aqui tá mas se Nossa função muda a edel não teria que mudar tudo bem Vamos colocar aqui a expressão daí a gente tem é filhinha de X + f de x gente olha isso exatamente igual a dois tá na reta do Y = 2 independente do valor de cá que eu coloco o que é fininha mas F tá sempre dando dois ó ele não está mudando mesmo que esteja mudando o valor de k então todas essas curvas aqui independente do valor de cá que eu tô colocando vão ser

soluções para essa ideal porque todas elas quando a gente faz é filhinha DX mas fdx o resultado dois olha só que beleza gente tá então no exemplo anterior a gente tinha uma solução geral que tava em função de uma constante k qualquer e a gente provou que era solução da nossa ideia agora a a solução bem específica que não depende de constantes é oxe só elevado a x e pronto e a gente quer provar que isso é uma solução para essa e deu aqui Então primeiramente a gente tem que encontrar primeiro a derivada e a

segunda derivada para a gente conseguir substituir aqui nessa expressão e provar que o y é solução Tá bom então como a gente encontra a primeira derivada bom como a gente tem a multiplicação de duas funções o x multiplicando o óleo elevado a x a gente vai usar a regra do produto Tá bom então a derivada do primeiro vezes o segundo normal mas o primeiro normal vezes a derivada do segundo e portanto a gente encontra que o y linha é um vezes other elevado a x + x other elevado a x e isso colocando o óleo

elevado a x em evidência fica other elevado a x + 1 Tá certo então essa aqui é a nossa primeira derivada e para gente encontrar a segunda derivada a gente vai ter que derivar essa primeira aqui E para isso a gente também vai usar a regra do produto então a derivada do primeiro vezes o segundo normal mas o primeiro normal vezes a derivada do segundo então a segunda derivada vai ser other elevado a x + 1 + olha elevado a x 1 colocando ordem elevado a x em evidência a gente encontra ó elevado a x

+ 2 certo então agora que a gente tem a segunda derivada e a primeira a gente consegue substituir nessa expressão e ver se realmente isso aqui Vai resultar em zero se resulta em zero está provado que o y é uma solução então vamos lá a segunda derivada é olha elevado a x + 2 ou menos duas vezes a primeira derivada que é other elevado a x + 1 tudo isso mais a função que é x other elevado a x fazendo a distributiva dos termos aqui dentro do parênteses a gente vai encontrar essa expressão E aí

vamos ver o que a gente consegue fazer ó esse vai sumir com esse aí a gente consegue somar esses dois que eles são termos iguais né com isso a gente vai ter duas vezes x vezes olha elevado a x que a soma desses menos duas vezes x other elevado a x que esse termo aqui que sobrou E aí como a gente tem termos iguais com sinais opostos e isso vai ser igual a zero Então tá aprovado que é uma solução da nossa Edu então X ao elevado a x é uma função que se a gente

derivado duas a fazer menos duas vezes a primeira derivada e somar função sem derivar O resultado é zero a gente lembrando que quando a gente vai mostrar que determinada função é solução da nossa ideia a gente não pode partir da Igualdade Tá bom então não poderia já começar a falando que tudo isso é igual a zero eu tenho que ir provando passo a passo até realmente falar ó é igual a zero Então como aqui eu tô provando uma coisa quero chegar em uma solução final que me mostra que realmente é igual a zero eu não

poderia ficar aqui ó tudo isso é igual a zero que vai ser igual a zero que vai ser igual a zero a gente tem que ir indo até a gente falar não realmente vai valer zero Tá bom mas gente tanto nesse caso quanto no anterior a gente viu soluções que são escritas como y = f de alguma coisa nesse caso que é pedir ter e nesse segundo caso e y = f de x nesse caso a gente pode O que é que soluções são soluções explícitas porque a gente consegue escrever Y em função de alguma

coisa agora a gente também vai lidar às vezes com soluções implícitas então lembra lá quando a gente falava de derivadas implícitas que a gente tinha que derivar a função implicitamente as vezes isso vai acontecer e essas soluções são as soluções que a gente vai chamar de implícitas Então olha esse exemplo que a gente tem que provar que x ao quadrado mais y ao quadrado menos 16 igual a zero é uma solução dessa e de concorda comigo que essa expressão não está escrita como y = f de x ela foi nada de forma implícita para gente

então para gente provar que ela é uma solução dessa ideia a gente vai ter que derivar implicitamente ou então vamos lá usar o que a gente sabe sobre derivada implícita para derivar essa expressão a gente vai ter a derivada em relação a x ao quadrado mais a derivada em relação a x de y ao quadrado menos a derivada em relação a x de 16 e tudo isso é igual a derivada em relação a x 0 então a gente tá derivando cada um dos termos a nossa expressão Então qual é a derivada em relação a x

de x ao quadrado bom nesse caso é só usar a regra do tombo né Aí fica dois x agora a derivada em relação a x de y ao quadrado Nesse caso a gente deriva o y normal pela regra do Tombo só que aí a gente vai ter que multiplicar por dydx aí a derivada em relação a x de 16 é zero porque ele é uma constante ead01 relação a x também é zero então a gente encontra essa expressão agora vamos isolar O dydx que é o que a gente quer a gente vai ter que dydx

X o 2Y = - 2x então passando esse termo para o outro lado e aí passando 2Y para o outro lado dividindo a gente encontra que dá Y de X = - 2x sobre 2Y cortando dois em cima embaixo a gente encontra menos x sobre y que é justamente o que a gente tem aqui ao logo a gente encontrou que dydx é igual menos x sobre y derivando essa expressão implicitamente portanto Realmente isso aqui é uma solução da nossa e de só que é uma solução implícita agora é o seguinte Será que a gente pode

falar que isso aqui é uma solução para x entre menos infinito e mais Infinito ou seja isso vai ser uma solução para todo o valor de X não gente porque é isso que x ao quadrado mais o quadrado menos 16 igual a zero é a equação de uma circunferência centrada na origem e essa circunferência tem raio 4 portanto ela só tem x entre -4 e quatro Oxe só tá definida para se solução nesse intervalo entrou nesse caso a gente não fala que ela solução do menos infinito até o mais infinito Tá bom mas fique tranquilo

que a gente vai colocar melhor nisso mais para frente gente agora para fechar vamos falar sobre o PV iq é quando a gente tem as condições iniciais da nossa equação diferencial e a partir disso a gente consegue matar esse probleminha da Constante então lembra que a gente viu que uma equação diferencial pode ter infinitas soluções se a gente tiver as condições iniciais para que ele sistema para que a equação enfim a gente consegue encontrar uma constante ou duas enfim para satisfazer essas condições Então nesse caso por exemplo e tem essa equação diferencial e a solução

geral dela é nada por essa expressão então para infinito os valores de k essa é a solução da nossa equação diferencial só que aí vamos supor que o exercício falou Para gente que o yd090 Ou seja quando t = 0 a função ydt também é igual a zero a partir dessa informação super base que a gente consegue encontrar a constante Car para esse probleminha que a gente está lidando Então a gente vai fazer Y de 0 a igual - other elevado a menos 10 - cá lembra que a gente está substituindo ter por zero né

mais dois E isso tem que ser igual a zero Então a gente vai ter menos other elevado a menos cá porque ficou - 01 - caqui é menos cá mais 2 é igual bom Então olha elevado a menos cá vai ser igual a 2 e aqui a gente vai ter que fazer uma passagem super importante relacionado ao Eliene que a gente vai usar muito nesse curso Então vamos revisar quando a gente tem l i n d a = b o que isso tá falando para gente tá falando que olha elevado AB = porque o Eliene

nada mais é do que o log na base the other Então lnd já igual AB significa que olha ^ B variar Então como que é Nossa incógnita tá no expoente a gente quer tirar ela daqui então a gente vai passar nossa expressão para esse formato como que vai ficar menos cá que é o que está aqui no expoente vai ser l e n do que tá aqui do outro lado então menos kln de 2 e aí multiplicam é super menos um a gente encontra cá igual menos lnd dois então esse é o valor de k

que cumprir com essas condições iniciais de y jee0 ser igual a zero logo se a gente substituir o ca por menos lnd dois a gente vai encontrar uma função tal que o y de zero vale zero beleza gente então a partir das condições iniciais dadas pelo enunciado a gente consegue encontrar a constante na nossa solução geral bom gente então foi isso no vídeo de hoje espero que vocês tenham gostado dessa primeira aula sobre delas esquece de curtir e se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e segue o que não vai ter uma técnica lá

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