Condições suficientes para que uma função de duas variáveis seja diferenciável (Tópico 11, parte 2)

[Música] [Música] com este teorema a gente tem algumas facilidades nem vamos ver o que acontece vão pegar uma função um exemplo aqui é eu quero fdx y igual logaritmo de um mais x quadrado mais simples 14 a quarta peça funciona pergunta ela é diferenciável em todos os pontos então a pergunta f é diferenciada falar que é diferencial em todos os pontos de um conjunto se já seja a troca por é diferenciado em r 2 quando eu falo que é diferenciado num conjunto significa diferenciado em cada ponto do conjunto então essa é a pergunta para responder

bom sempre dá pra calculado elevada parcial e depois fazer aquele limite na hora esse seria a 1 um jeito direto de fazer mas com este teorema que eu posso fazer eu posso calcular derivados parciais então vou calcular df del che dxy isso a gente sabe fazer só usando regras de derivação é quanto daqui da derivada do lugar íntimo que a 1 sobre o que está lá dentro vezes na derivada do que está lá dentro relação x que é 2 x 1 então dá 2 x sobre o mais x2 mais em 2012 a idéia é fidel

y a 4 desculpa eu quiser incrementar um pouquinho e é esquecer depois que dada a elevada em relação à y é de novo é derivado logaritmo que a 1 sobre o que está lá dentro vezes a derivada do que está dentro em relação a isso que é 4 y cubo então vai ficar 4 y ao cubo sobre um mais x quadrado mais íntima quarta tudo bem que você sabe dizer sobre essas funções são contínuas porque elas são contínuas em todo o plano o que está no denominador nunca 0 e são funções policiais né são expressões

ou renomear então são funções podem nomear mais consciente de duas por nomear o denominador nunca se anula elas são contínuas em que pontos em todos então como ela são contínuos em todos os pontos há a função é diferenciável a ef é diferenciado em todos os pontos tudo bem ficou mais fácil né pelo menos a gente este teorema serve pra evitar aquele limite grande diminui um pouco trabalho eu queria falar duas coisinhas uma é que se você tem só para simplificar é o jeito de falar a gente a [Música] gente pode abreviar tudo isso dizendo que

uma função se uma função tem as derivadas parciais contínuas são funções contínuas num certo conjunto um sub-conjunto lá a gente diz que elas que a f1 é de classe c dor se um tá dizemos só vai ficar mais fácil que f é de classe c1 em 1 a 1 o s1 aqui é porque é derivada de primeira ordem se fosse a derivada segunda seria a classe c2 então seus derivados são contínuas você diz que é de classe c1 é e aí pô o corolário se você tem uma função que é de classe c1 é diferenciada

se f é de classe c1 então f é diferenciada aqui é melhor dizer qual é um conjunto bom o que acontece é assim ó vão pensar numa escada dinha a gente viu funções contínua cef é contínua digamos um conjunto mais fácil pensar assim contínua num conjunto a thá ea gente viu num patamar de exigência maior a gente tem as funções diferenciáveis porque eu tô falando que é um patamar superior né toda diferenciável contínua nem toda continua diferenciado a gente já viu pra provar que nem toda continua diferenciado a gente já viu um ou dois exemplos

né então a recíproca é fácil né essa flecha desce mas pra falar mano isso não acontece e agora a gente colocou aqui em cima f é de classe c1 em a isso implica mas daqui pra cá é falso já existem funções que são diferenciáveis e que não tem derivadas parciais contínuas e pra cá é falso tá então pra isso a gente precisa mostrar um exemplo tá então vamos ver então vamos ver um exemplo de uma função que é diferenciava e não tem derivada contínua num ponto é um exemplo eu vou pegar essa aqui ó fc

x y e é x quadrado mais limpo ao quadrado sendo de um sobre x quadrado mais impressionou quadrado se xy for diferente de 0 10 e 0 x e y forem igual a zero zero nós vamos provar que verificar que f é diferenciado e eu na origem né mas eu é fidel x basta uma né de xy é df a função da f 2 x não é contínua em 0 0 qual é o trabalho que vai dar o que eu tenho que fazer é mostrar que é diferenciado vamos lá a primeira coisa é que eu

tenho que calcular as derivadas parciais no 00 vamos lá que é do fd ao x 00 isso aqui é tem que fazer limite o limite de que o df de x 0 - fd 00 sobre x - 0 quando shiten a 0 tá certo essa é a definição de derivada parcial se muda só a primeira coordenada calcula a diferença sobre a diferença no no acréscimo que você deu e faz e se consciente aqui limite vamos lá isso aqui dá limite quanto da fd x 0 quando y é zero fica x quadrado x quadrados e no

de um sobre x quadrado tudo isso sob xf de 000 né e aí eu faço limite praxes tendendo a zero mas antes de fazer o limite a gente sempre fica um pouquinho isso aqui dá limite de x cena de um sobre x quadrado quando che tende a 0 e agora esta função é limitada está sempre entre 01 a desculpa entre - junho e essa aqui tende a zero então essa aqui vai para zero essa aqui é limitada então o limite é 0 bom demais que têm que fazer a derivada em relação à y leo é

fidel y calculada em 0 0 dá pra perceber que não vai mudar nada só vai mudar o nome da letra então fazendo igualzinho vai dar zero e agora que eu preciso fazer limitam tá bom vamos lá eu tenho que fazer limite e quando hk tende a zero zero de f1 de zero mais h0 mais cá - fd 00 - a derivada da efe em relação à x calculado em 100 vezes h - do fdny calculado 100 vezes ficar tudo isso sobre a norma de atacar quando a gente fizer essa conta não lá vamos ver o

que dá isso aqui é zero isso aqui também a 0 e esse aqui é zero então eu tenho que fazer limite quando hk tende a zero a origem né vamos ver isso aqui é h ao quadrado mais caro ao quadrado seno de um sobre a qual khadr ado mais calcada grado - monte de 0 sobre raiz quadrada dh o quadrado mais caro quadrado é bom vamos simplificar essa esperança aqui quanto a isso quando a agatha tende a zero zero só que dá um número sobre a raiz dele da raiz dh o quadrado mais caro quadrado

cena de um sobre a gal quadrado mais caro ao quadrado e agora dá zero porque porque senão é uma função limitada e quando hk tende a zero zero isso é o que vai ficando pequenininho vai pra 0 a 0 isso aqui vai para zero é uma função que tende a zero vez uma limitado mente da sé com isso tudo né eu concluí que f é diferenciado em 0 0 agora a parte b eu quero mostrar que é do fd ao x não é contínua em 0 0 e aí como é que faz a gente o

que eu tenho que fazer aqui um limite que é o limite vocês viram que já apareceram até agora já apareceram dois tipos de limites e um terceiro que como é que a gente mata com uma função não é contínuo como é que a gente mostre uma função é contínuo eu tenho que olhar é que se o limite dessa função então no caso é o do f10 x de um outro ponto net xy dá ou não né odell efe dell x no ponto então aqui pra xy entendendo-a 00 é essa pergunta não é um outro tipo

de limite que nós vamos fazer é bom para eu começar a atentar responder eu preciso primeiro calcular o que é isso quando xy não é zero e se já tenho pronto nessa conta já fiz isso aqui é zero e eu tenho que fazer essa outra conta aqui tudo bem tá então quanto da dell é fidel x pra essa função x2 mais y 2 c no de um sobre x 2 na recepção 2 que que é pra x y diferente de 00 enquanto da dell é fidel x de x e y cadê a função está lá

em cima eu vou levar relação à x aa a aa expressão que está na primeira linha tudo bem dá o que tem uma um produto né então vou ter que usar a regra do produto então dá derivada do primeiro que é 2x vezes o segundo que é cena de um sobre x 2 mais simples 12 mas o primeiro que é x 2 mas sempre 12 vezes a derivada do segundo vamos lá derivada de cena de um sobre estes dois na exibição 2 da o que você nu de um sobre x 2 mas eles não 2

vezes a derivada de diz que está aqui dentro que é menos 2 x sobre x quadrado mais y quadrado ao quadrado tá bom eu vou pôr um colchete aqui pra não causar ambigüidade né vamos simplificar isso aqui dá 2x cena de um sobre x quadrado mas eles não quadrado - 2 x 6 concordam e se x 2 mas enfim 12 cancelas aqui então sob a um denominador x quadrado mais simples um quadrado no denominador cosseno de um sobre x quadrado município no quadrado tá bom essa é a derivada em relação à x num ponto x

y fora da origem se eu fizer limite para a x y tendendo a zero 0 dessa expressão é que é isso aqui que eu tenho que calcular isso aqui se eu fizer limite que será que vai acontecer então quero fazer limite fra x e y se aproximando de 00 dedel efe del che dxy bom ó se vocês olharem esse pedaço esse pedaço aqui não é problema né porque aqui eu tenho uma limitada e uma que vai pra 0 então é o limite desse pedacinho da área 0 o problema é esse pedaço aqui aqui eu tenho

uma limitada mas essa aqui não tende a zero na verdade quando você pegar por exemplo y igual a zero e olhar só o x variando isso aqui vai estar atendendo infinito então esse limite aqui porque ele não existe né como é que eu poderia mostrar que esse limite não existe esse limite aqui não existe foi lá que a gente prova que ele mentiu eu tenho que achar um caminho que não dá certo por exemplo nesse caso vamos ver pegar é del efe dell x de tempo 0 já pra começar desse pedaço aqui vai dar 2

t c no de um sobre ter quadrado menos dois terços sobre ter quadrado cosseno de um sobre quadrado está simplificando não vai caber de novo né isso aqui é 2t seno de um sobre ter quadrado - 2 sobre ter um conselho de um sobre ter quadrado é bom a gente ver que quando tende a zero isso aqui vai para 0 e esse aqui o conselho é uma função que varia entre menos 11 e conforme o tse aproxima de zero ele vai ficar oscilando bem bem rápido entre -1 e esse 2 sobre te vai crescer então

se tem uma função que oscila mas vai pra cima e muito para baixo conforme o t diminui ele vai aumentando mais ainda essa amplitude aqui não é um coisa não é bem amplitude mas é um número que está multiplicando esse conselho vai aumentando cada vez mais tá essa seria uma ideia intuitiva se eu quisesse provar rigorosamente que esse limite não existe que eu poderia fazer eu poderia pegar alguns teça específicos e pega quando te 1t tal que o conselho da um né você vai assim se faz pega teve quando é que o conselho dá um

quando te é da forma a 1 sobre t tem que ser da forma do escape conca inteiro certo então te dá forma um sobre do escape e aí você pega cara diferente de zero fazendo estes daqui você faz a conta aqui dá sempre um e aqui vai tender a vai aumentar você faz o que a crescer e somente então não tende a zero já já já daria pra mostrar né que eu sei que isso aqui é zero já dá pra mostrar que o limite não dá zero mas se você quiser provar que não existe aí

você pega mais um e faz cossenos e menos um e ver que aqui dá dá errado da negativa então por esse caminho não da sé da outra coisa na verdade da inffinito né peguei um alguns valores de ter pra mostrar que isso aqui tá época ficando cada vez mais longe de zero então esse limite não é zero ea funcionam é contínuo bom vamos lá esse quadro aqui só que é importante né sabem que essas implicações são verdadeiras cedesse a escadinha e não sob a subida é fácil bom deixa só eu eu deixar ele sozinho de

casa para casa é a eu tenho fdx y igual à x a quarta sobre x quadrado mas senti um quadrado sim xy não é a origem e 0 na origem essa função apesar de ser quebradinha vocês vão mostrar que ela é de classe c1 em todo o plano está a mostrar e aí que vocês podem concluir e led inflação ela é diferenciada [Música]