Integración numérica - Regla del trapecio

[Música] en este vídeo vamos a conocer la técnica de integración numérica conocida como regla del trapecio como ya pudimos ver en el vídeo anterior los métodos de integración numérica se dividen principalmente en dos grupos el primero de ellos es conocido como los métodos de newton codes y entre otros podemos encontrar la regla del rectángulo la regla del trapecio la regla de simpson y por otro lado tenemos otro conjunto conocido como la integración de romper donde encontramos como método principal el método de extrapolación de romper este vídeo está enfocado en conocer la regla del trapecio el método de integración numérica conocido como regla del trapecio nos ayuda a estimar el área bajo una curva entre los puntos a ive para lo cual tenemos que seguir el siguiente procedimiento el primer paso consiste en dividir el intervalo comprendido entre los puntos a ive en sus intervalos que tienen como ancho delta x donde delta x está definido con la misma fórmula que vimos en la regla del rectángulo es decir delta de x será igual a el límite superior b menos el límite inferior a entre el número de sus intervalos que nos indique el problema a resolver representado con la letra n minúscula el siguiente paso será encontrar los límites de cada uno de los intervalos representado como x day de esta forma con la fórmula que vemos en pantalla es decir x sub índice igual a el límite inferior a más la variable y que multiplica a delta de x con esta fórmula encontraremos los límites x 0 para iu igual a 0 x 1 x 2 y x 3 como podemos ver en este tipo de ejercicios encontraremos n más 1 límites para cada uno de los intervalos dicho de otra forma si tenemos tres intervalos encontraremos cuatro límites en el siguiente paso encontramos la diferencia principal entre las reglas del rectángulo y del trapecio debido a que como su nombre lo indica no dibujaremos rectángulos bajo la curva sino en este caso dibujaremos trapecios y como podemos ver esto parece una mejor idea debido a que gráficamente los trapecios encuentran mayor semejanza a el área bajo la curva para continuar tenemos que recordar cómo es que se calcula el área de cada uno de los trapecios que hemos dibujado bajo la curva tenemos que conocer cuál es el valor de la altura del lado izquierdo en este caso representado como p sub índice 1 y el valor de la altura del lado derecho en este caso simbolizado con la letra b sub índice 2 también si conocemos el ancho de este trapecio en este caso simbolizado con la letra c mayúscula podremos encontrar el área del mismo el cual se encuentra dado por la siguiente fórmula el área de ese trapecio será igual a su ancho es decir se mayúscula multiplicado por la semi suma de cada uno de sus lados es decir b subíndice 1 + b sub índice 2 / 2 si hacemos una semejanza de este trapecio con el trapecio marcado con la letra de subíndice 1 en la figura de la izquierda encontraremos lo siguiente el área del trapecio t sub índice 1 será igual a el ancho del trapecio que en este caso está dado por delta de x por la semi suma de cada uno de sus lados en este caso el lado izquierdo de tf1 estará dado como la función evaluada en el punto x 0 y el lado derecho del mismo estará dado por la función evaluada en el punto x subíndice 1 y por último esta suma la dividimos entre 2 una vez que conocemos cuál sería el área del trapecio número uno podemos encontrar el área del trapecio número dos que en este caso será delta de x por la función evaluada en el punto x 1 más la función evaluada en el punto de x 2 entre 2 y también podemos conocer el área del trapecio 3 que será delta de x por la función evaluada en el punto x 2 más la función evaluada en el punto x 3 entre 2 el área bajo la curva está dada por la suma del área del trapecio 1 más el área del trapecio 2 más el área del trapecio 3 cambiando los valores de t1 t2 y t3 dentro de la fórmula podemos encontrar que el área bajo la curva estaría dada por la ecuación creemos en pantalla como podemos ver tenemos como factor común delta de equis y la división entre 2 por lo tanto podemos factorizar la y nos quedaría de la siguiente forma una vez que hemos factor izado podemos ver el siguiente comportamiento dentro de la fórmula los extremos es decir efe de x0 y fx 3 en este caso son los únicos elementos que no se repiten y todos los elementos que se encuentren en la parte central se encontrarán dos veces dentro de la ecuación por lo tanto esta ecuación la podemos representar de la siguiente forma el área será igual a delta de x sobre 2 por la función evaluada en el punto x0 más dos veces la función evaluada en el punto x uno más dos veces la función evaluada en el punto x dos más la función evaluada en el punto x tres hemos encontrado la representación de la regla del trapecio para este ejemplo en específico sin embargo si deseamos encontrar la representación general de la regla del trapecio será la siguiente la integral entre los puntos a y b de la función de x px se encontrará a través de una estimación de la siguiente forma delta de x entre 2 y como podemos ver dentro de la ecuación general los extremos es decir efe x 0 y fx n se colocarán solamente una vez y cada uno de los elementos centrales es decir la función evaluada en el punto x 1 hasta la función evaluada en el punto x subíndice n menos 1 estarán multiplicadas por 2 a continuación veamos un ejemplo de cómo aplicar la regla del trapecio vamos a resolver el mismo ejercicio que realizamos con la regla del rectángulo es decir la integral entre los límites 0 y 1 de la función e elevada a la equis cuadrada usando la regla del trapecio con n igual a 5 al igual que con la regla del rectángulo el paso número uno será calcular delta x es decir el ancho de cada uno de los intervalos en este caso delta de x será igual a el límite superior b menos el límite inferior a entre n numéricamente esto será igual a 1 - 0 entre 5 que es igual a un quinto y que numéricamente es igual a 0. 2 y colocamos este valor en la esquina superior derecha para futuros cálculos el paso número 2 será encontrar los límites de cada uno de los intervalos es decir utilizaremos la fórmula x subíndice y será igual al valor del límite inferior a más la variable y multiplicada por delta de x el primer límite es decir x subíndice 0 será igual al valor de a en este caso 0 más la variable y en este caso también 0 x 0. 2 y este intervalo en este caso específico nos da igual hacer el límite 1x subíndice 1 será igual al valor de a que es 0 más el valor de y que es uno por 0.

2 y x subíndice 1 será igual a 0. 2 si continuamos calculando cada uno de los límites de los intervalos encontraremos que x subíndice 2 será igual a 0. 4 x subíndice 3 será igual a 0.

6 x subíndice 4 será igual a 0. 8 y por último x subíndice 5 será igual a 1. 0 y los vamos a colocar dentro de la siguiente tabla en el siguiente paso haremos uso de los valores de esa tabla para aplicar la fórmula general de la regla del trapecio por lo tanto en este caso la aplicaremos de la siguiente forma la integral entre los límites 0 y 1 de la función es x cuadrada de x será estimada de la siguiente forma el valor de delta de x entre 2 es decir 0.

2 entre 2 por la multiplicación de la función evaluada en el punto x 0 es decir la función evaluado en 0 más dos veces la función evaluada en el punto x 1 es decir la función evaluada en el punto 0. 2 y si continuamos colocando los valores de x 2 x 3 x 4 y x 5 encontramos la ecuación que vemos en pantalla el siguiente paso será evaluar la función en cada uno de los puntos que nos pide la ecuación general es decir quedaría de la siguiente forma 0. 2 entre 2 x y elevado a la cero al cuadrado más dos veces e elevado a la 0.

2 al cuadrado más dos veces en elevado a la 0. 4 al cuadrado más dos veces en elevado a la 0. 6 al cuadrado más dos veces e elevado a la 0.

8 al cuadrado más y elevado a la 1 al cuadrado con esta ecuación ya podemos hacer el cálculo numérico y quedaría de la siguiente forma 0. 2 entre 2 x 14. 80 65 4 y haciendo esta multiplicación nos queda el resultado como 1.