Variabili aleatorie discrete! Tutto quello che devi sapere!

ciao ragazzi benvenuti sul canale matematica con barbara oggi sono insieme per un video di probabilità che riguarda come riconoscere le variabili aleatorie un video proprio fondamentale per affrontare probabilità e statistica infatti una delle domande che sempre mi viene rivolta dagli studenti anche che stanno preparando i primi esami di e probabilità e statistica all'università e quale formula devo applicare tutto nasce da capire che cosa è una variabile aleatoria e come riconoscerla cominciamo subito eccoci pronti per cominciare questo video che riguarda le variabili aleatorie e in particolar modo vedremo che cosa sono quindi la definizione di variabile

rat oria è anche una definizione intuitiva a che cosa servono e cooper riconoscerle perché queste sono le cose che ci permetteranno poi di risolvere tutti i problemi ora quello che vediamo in questo video sono le variabili alla torre discrete vediamo prima livarna briatore discrete e poi la stessa identica cosa la faremo believer riabilitatori continue innanzitutto cominciamo proprio dalla definizione di variabile aleatoria hicks variabile aleatoria è un'applicazione cioè una funzione che associa ad ogni elemento dello spazio campionario omega un numero reale orale variabile la torre si dividono in discrete o continue sono variabili alla torre discrete

quelle che hanno un numero finito o numerabile di elementi in omega ok come ad esempio immaginate le facce di un dato quindi se lanciamo un dado i possibili esiti sono esattamente 6 da una se le facce del del dado quindi hicks assume solo un numero discreto di valori ok sono invece variabile la gloria in continue quelle variabili a tori che possono assumere infiniti valori ok quello che vediamo nel video di oggi sono le variabili la torre discrete poi come vi ho detto faremo un video successivo per quelle continue adesso questa è la definizione matematica di

variabile aleatoria la definizione intuitiva di patria minatoria è che la variabile da toria ci fornisce una risposta a una certa domanda che noi facciamo su un esperimento che abbiamo condotto cioè improvvisa quello che faccio a me facciamo un esperimento magari lo ripetiamo anche e poi facciamo delle domande su questo esperimento che abbiamo condotto a seconda della domanda che facciamo la risposta ce l'abbiamo grazie alla variabile aleatoria ok quindi in questo video ne vediamo qual è la domanda la risposta che ci fornisce la ics variabile da toria e se conosciamo la variabile aleatoria e quindi sappiamo

quale variabile utilizzare per rispondere quella determinata domanda del problema conosciamo la funzione di densità di probabilità che è la probabilità che l'aics summa un certo valore e k fissato questa è la chiave di tutto quello che facciamo oggi infatti pensate ad esempio che sull'esperimento dell'ance di 100 monete eque possiamo fare diverse domande possiamo chiederci qual è il numero delle teste che abbiamo ottenuto in questi 100 lanci oppure potremmo chiederci dopo quanti lancio ho visto la prima testa oppure possiamo ancora chiederci qual è il più piccolo numero di lanci che deve effettuare per vedere le prime

cinque teste a seconda di questa domanda xc fornisce la risposta cominciamo dalla prima distribuzione allora se un evento si può dividere in successo e insuccesso quindi abbiamo solo due possibilità allora qual è la probabilità di avere successo qual è la proprietà di avere insuccesso la risposta ce la fornisce la azione di bernoulli quindi diciamo che hicks variabile aleatoria e distribuita come una bernoulli di parametro p dove p è la proprietà di avere successo ovvero la ics può assumere solo due valori che sono uno nel caso di successo zero nel caso dell'insuccesso e la probabilità che

hicks assume il valore è 1 cioè la proprietà di vincere in quel singolo esperimento è pari a p quindi proprietà di successo mentre la probabilità di perdere quindi di avere insuccesso è la proprietà complementare ovvero uno meno p ogni qualvolta il singolo esperimento la posso classificare in successo in successo siamo di fronte a una distribuzione di bernoulli un esempio di questo può essere il lancio di una moneta il lancio di una moneta solo due possibilità testa o croce quindi se io mi chiedo quale l'abilità di avere successo dove è successa ad esempio è ottenere testa

quello che sto facendo che sto classificando il lancio della moneta come vinco perdo e quindi un mezzo sarà la proprietà di successo se la moneta era qua è un mezzo sarà quella di insuccesso cioè della provera complementare ovvero ottenere croce però la stessa distribuzione si può applicare non ha un lancio di una moneta manca un lancio di un dado perché possiamo dire vinco se esce il numero uno perdo in tutti gli altri casi di conseguenza la novità di vincere quindi quella che si verifichi l'evento successo quindi che esce uno sarà un sesto la priorità di

perdere quindi insuccesso è data invece dall'abilità complementare ovvero cinque sesti seconda distribuzione supponiamo che sull'esperimento noi vogliamo sapere il numero totale di successi ottenuti in m prove indipendenti quindi quello che stiamo facendo e che stiamo ripetendo uno stesso esperimento m volte alla fine dell'esperimento quindi quando ho condotto questi m prove indipendenti mi chiedo quante volte ho vinto allora la risposta quindi la variabile aleatoria che entra in gioco per contare questo numero di successi è la distribuzione binomiale di parametro n il numero di prove effettuate ep dove per rappresenta la proprietà di successo nel singolo esperimento

perché perché quando effettuiamo n provi indipendenti ogni singola prova sarà una cena bernoulli perché la possono classificare in vinco perdo quindi successo in successo e così via per tutte le prove fino a completare la n prove alla fine delle quali vado a vedere il numero di successi che ho ottenuto quindi sto contando m bernoulli indipendenti e siccome ogni bernoulli vale 01 sommare n bernoulli significa a contare il numero di successi e la somma di n bernoulli indipendenti e appunto una binomiale di parametro n p visto che conosciamo la variabilità storia conosciamo la sua funzione di

densità quindi la probabilità che hicks assuma un certo valore k quindi la proprietà di avere esattamente k successi in m prove indipendenti è data dal coefficiente binomiale n scelgo kb la proprietà di successo alla cappa perché devo aver vinto esattamente k volte per uno meno p quindi la proprietà di perdere quindi aveva complementato alla n meno k perché se ho vinto k volte vuol dire che le rimanenti n meno capovolte devo per te andiamo avanti con un'altra distribuzione supponiamo di voler conoscere il numero di prove indipendenti per vedere il primo successo quindi che cosa significa

significa che noi ad esempio lanciamo una moneta e la lancerò tante volte fino a che non ottengo il primo successo in quel momento mi fermo quindi di quante prove ho bisogno per vedere il primo successo per rispondere a questa domanda abbiamo bisogno della distribuzione geometrica di parametro p ovvero vi rappresenta sempre la proprietà di successo adesso qual è la proprietà che hicks sia uguale a k cioè qual è la probabilità che devo avere effettuato esattamente k prove per vedere il primo successo questa probabilità è data da allora ve lo rappresento così se queste sono le

prove il numero di prove io farò il primo esperimento supponiamo di perdere secondo esperimento perdo continuo continuo fino al k meno 1 esimo esperimento e hulk appesi mo vinco quindi devo aver perso k meno 1 volte quindi scriverò uno meno p alla cappa meno 1 e alla cappelli ma trova ho vinto quindi compro il rappi perciò la geometrica a funzioni densità pari a p per uno meno p alla cappa meno uno adesso per quanto riguarda la distribuzione geometrica questa gode di un importantissima proprietà che si chiama assenza di memoria significa che ad ogni esperimento che

io conduco ogni prova che io conduco o esattamente due possibilità o vinco perdo ok e questo si ripete per ogni singola prova e ad ogni prova mi ritrovo sempre nella stessa situazione di vero vinco perdo indipendentemente da tutto ciò che è successo prima della ennesima prova questo significa assenza di memoria ad ogni evento ad ogni ad esempio lancio di una moneta e operò sempre un mezzo di proprietà di avere testa un mezzo di proprietà di avere croce indipendentemente da quanti lancio effettuato indipendentemente dal numero di teste di croce che sono uscite in tutti i precedenti

lanci questa è una guida fondamentale e pensateci bene è quello che succede con in nel gioco dei numeri ritardatari cosa che non andrebbe mai fatta perché ogni estrazione del gioco dell'enalotto il superenalotto la proprietà che un numero venga estratto è esattamente identica alla probabilità che questo sia stato estratto prima è che venga estratto successivamente quindi non si deve mai giocarli sui numeri ritardatari perché quel numero potenzialmente potrebbe mai non uscire così come uscire e non c'è una regola che ci dice come quando dovrà uscire e noi sappiamo semplicemente l'aquila come il quale in quel estrazione

lui potrà uscire ma mi sto riferendo a quella singola estrazione e non a tutte le estrazioni precedenti o quelle o quelle future questa mi raccomando tenete l'ho sempre a mente quarta distribuzione quando vogliamo contare il numero di prove indipendenti da effettuare per ottenere il cappellino successo quindi quello che stiamo facendo e che stiamo facendo delle prove ripetute e mi fermerò quando ho visto il tappe sim successo ho bisogno della variabile aleatoria distribuita come la binomiale negativa di che parametri n il numero di prove di cui ho bisogno k il numero dei successi che voglio avere

in quelle mm prove ripetute e p la proprietà di successo che del dell'esperimento allora la probabilità che hicks sia uguale a k cioè di avere il cappellino successo in quelle n prove è dato dal coefficiente binomiale n meno 1 scelgo k meno uno per p alla k1 meno p alla n meno k quinta distribuzione vediamo nel dettaglio quello che chiede allora stiamo effettuando un'estrazione senza rimpiazzo da un'urna quindi noi stanno estraendo da un'urna che contiene n grande elementi un campione grande n piccolo ok e ci chiediamo in questo campione che ne abbiamo estratto quindi n

piccolo qual è il numero di palline bianche che abbiamo estratto quindi che abbiamo ottenuto sapendo che nell'urna sono contenute n palline totali m grande palline totali delle quali però m solo bianche e le risultanti quindi m meno m saranno le mere allora la distribuzione che ci viene in aiuto per contare il numero quindi di successi in un campione estratto da un campione più grande è la variabile e per geometrica di parametro p quindi la funzione di densità di probabilità p ovvero la proprietà che xe uguale a k k conta il numero di successi cioè il

numero di palline bianche che sono presenti all'interno del campione estratto n piccolo ok prese da un'urna dove abbiamo m palline totali dato an grande ok questo è dato da la frazione dove sopra abbiamo il coefficiente binomiale m scelgo k ovvero k palline bianche estratte tra le m palline bianche presenti per il coefficiente binomiale devo avere se k sono selezionate tra le m bianche vuol dire che dovrò selezionare le restanti palline tra le bene quindi nn c'e il venne meno cappa su tutte le possibili estrazioni di m palline tra le n presenti ovvero m grande scelgo

n questa è la variabile iper geometrica ultima distribuzione discreta se vogliamo contare il numero di successi che accadono in un certo intervallo di tempo quindi il tempo è la nostra limitazione perché noi vogliamo che in un certo range di minuti secondi ore accada qualcosa e devono accadere un certo numero di successi allora la variabile ad oria che conta i successi in un intervallo di tempo è la distribuzione di poisson di parametro lambda la distribuzione di possono non ci permette di determinare il numero medio di successi in un certo intervallo di tempo e lambda rappresenta proprio

questo numero medio di successi per n in grande e quando la proprietà p che si verifichi successo è molto piccola e in questo caso se hicks distribuita come una passione di parametro lambda la probabilità che xe uguale a k cioè esattamente k successi in questo intervallo di tempo dove lambda rappresenta il numero medio di successi è dato da e alla meno lambda per lambda alla cappa su k fattoriale questo video ve lo dovete riguardare cento volte perché è la chiave di lettura di improbabilità e se iniziato a ragionare in questo modo sicuramente le cose si

fanno più semplici quando affrontato un problema quindi leggete il testo individuate in quale di questi casi siete e quindi la vostra distribuzione in risposta alla domanda che vi è stata fatta di conseguenza se avete la distribuzione avete la funzione di densità che quindi vi permette di calcolare la proprietà richiesta è chiaro che questo è un primo video che vi deve aiutare a riconoscere le variabili aleatorie perché di fatto quando noi conosciamo una variabile aleatoria hicks non conosciamo solo la funzione di densità hicks che è la probabilità che xe uguale a k ma conosciamo anche la

sua funzione di ripartizione sua la probabilità che xe a minor uguali di k conosciamo anche la funzione generatrice dei momenti conosciamo anche qual è il suo valore atteso conosciamo qual è la sua varianza conosciamo qual è il suo scarto quadratico medio quindi se noi conosciamo la variabile a torchia siamo in grado di rispondere a tutto ok ci vediamo al prossimo video ciao