Mathematik Vorlesung 2

Hallo und herzlich willkommen. Ich begrüße euch sehr herzlich. Großartig, dass ihr hier im Hörsaal seid. Ich grüße alle Leute, die im Stream dabei sind oder sich das Video etwas später anschauen. Wir sind immer noch im Kapitel 7, ja, so wie letzte Woche. Wir hatten letzte Woche die erste Hälfte geschafft. Wir sind bis zum Thema Elastizitäten gekommen und da machen wir dann heute weiter. Also, ihr seht, wir Sind ziemlich in der Mitte. Komme ich da direkt hin? Jo. Elastizität, was ist das noch mal? Das ist ein Maß für die Sensibilität einer Funktion. Genau. Miss dieses Maß,

wenn ich das Argument der Funktion um 1% verändere, um wie viel Prozent verändert sich dann der Funktionswert? Also z.B. Gewinnfunktion, ja, ich erhöhe meine Inputs um 1%. Um wie viel Prozent wird sich mein Gewinn verändern? Wenn sich mein Gewinn gar nicht verändert, Heißt es, ich bin bereits zum Optimum. Also deswegen ist das, wenn mein Gewinn steigen würde, sollte ich die Inputs erhöhen. Wenn mein Gewinn sinken sollte, soll ich die Inputs senken. Wenn es gar keine Veränderung gibt, weiß ich, ich bin im Optimum. Wir benutzen eben diese Elastizität relativ häufig, ja, um zu messen, wie prozentuale

Veränderungen sich auswirken. Ihr seht hier noch mal die Formel für die Elastizität, die ist ein bisschen komplizierter. Es gibt hier So Artefakte. Ich würde gerne wissen, wo kommen. Ich das festgeschraubt. Ja, ist festgeschraubt. Mal gucken. Ähm, wie ist die Formel für die Elastizität? Wir müssen erstmal die Ableitung bilden von der Funktion. Das heiß F Strich ausrechnen, das ganze dann mit x multiplizieren und dann wieder durch f(x) teilen. Das ist alles. Ich hatte letzte Woche ein bisschen begründet, warum, wieso, weshalb, wegen diesen relativen Änderungen. Aber das, Was wichtig ist, steht auf der Folie. Das ist die

Formel für die Elastizität. Die werdet ihr auch außerhalb dieser Vorlesung öfters benutzen. Also ihr werdet auch in anderen Vorlesungen über die Elastizität sprechen. Deswegen macht es durchaus Sinn, diese Formel zu lernen. Wir hatten auf dieser Folie aufgehört letzte Woche und das soll quasi ein Beispiel dafür sein, wie wir die Elastizität benutzen. Und zwar ist hier Eine Nachfragefunktion gegeben, die heißt D von P. D steht für Demand. P, das ist der Preis. Also je nachdem welcher Preis auf dem Markt herrscht, sagt uns die Nachfragefunktion, wie viele Einheiten nachgebragt werden, ja, wie viel man verkaufen. Und wir

sehen, das ist so eine Stückweise lineare Funktion. Also, wenn der Preis kleiner ist als sechs, dann haben wir hier diesen diagonalen Teil auf dem Grafen, Diesen hier. Ich nehme mal besser die Hand. Und wenn der Preis größer ist als 6, dann ist die Nachfrage einfach gleich 0. Und wir werden uns hier gleich auf dem Bereich konzentrieren, wo der Preis kleiner ist als sech, also auf diesen Bereich. Und wir wollen jetzt mal für diesen Bereich die Elastizität ausrechnen und checken, wo ist der größer als -1 und warum ist der kleiner als -1. Warum uns die -1

so interessiert, das kommt erst später. Ja, Das werden wir zwei, drei Folien später kennenlernen. Wir können aber schon mal sagen, die Elastizität ist immer negativ. Woran liegt das? Ich schreibe hier oben noch mal die Formel auf, aber diesmal nicht mit F, sondern mit D. Also D strich von P* P get durch D von P. Das ist die Formel für die Elastizität, aber jetzt eben nicht mehr für eine Funktion f, sondern für eine Funktion d. Und die Variable Heißt nicht mehr x, sondern p. Das passiert andauernd, dass ich einfach die Namen für die Sachen verändern. Das

ist immer negativ, weil also zumindest immer in dem Bereich, der uns hier interessiert, in diesem Bereich hier, weil die Nachfragefunktion eben eine negative Steigung. Die erste Ableitung der Nachfragefunktion, die ist kleiner als null und deswegen ist auch der gesamte Ausdruck kleiner als die Elastizität oder genau gesagt die Preiselastizität der Nachfrage ist immer negativ. Manchmal sprechen wir von einer hohen und von einer niedrigen Elastizität. Ja, wir me manchmal ist das so in Textbüchern formuliert und dann ist irgendwie implizit der Absolutwert von der Elastizität gemeint. Also hoffentlich ist das im Textbuch dann so geschrieben, dass man das

aus dem Kontext heraus gut verstehen kann. Er meistens meint eine kleine Elastizität, eine eine negative Elastizität, die aber in der Nähe von 0 ist, also größer als -1 ist und eine hohe Elastizität, eine Elastizität, die eben weit weg ist von der Null, die dann kleiner ist als -1. Ich möchte jetzt dieses Diagramm noch mal ordentlich aufzeichnen im größeren Maßstab und dann fangen wir einfach an mal auszurechnen, wo ist die Elastizität größer und wo ist die kleiner als -1? Einmal gucke ich aber noch mal ganz kurz, ob im Stream alles okay ist. Also, ich bin sehr

leise, leider. Das war letztes Mal schon so. Das Dumme ist, ich habe hier im Regler volle Lautstärke, also lauter kann ich hier das nicht einstellen und auf dem Video ist es, glaube ich, wieder geheilt. Das ist ein Problem vom Stream. Ich muss ja, ich nehme jetzt mal ganz kurz die Zeit und gucke mal in den Einstellungen, Ob ich da mit dem Stream noch irgendwas verändern kann, aber ihr seht es, da ist zum Audio nichts mehr gegeben. Das tut mir voll leid für die Leute, die jetzt im Stream dabei sind. Also nachhalt im Video, da ist

es dann wieder okay. So, jetzt versuche ich mal diese Nachfragefunktion schön aufzumalen in einem Diagramm. Ihr seht, ich habe Kästchen hier drin. An der vertikalen Achse. Also das, was wir als Y-Achse bezeichnen, tragen wir jetzt den Preis auf und an der horizontalen Achse die Menge, den Funktionswert d von P. Ja, das ist super ungewohnt. Man denkt eigentlich immer, der Funktionswert gehört an die Y-Achse und das Argument, was man in Definition reinsteckt, an die X-Achse. Aber das ist so eine Konventionen der in den Wirtschaftswissenschaften die Menge immer auf die horizontale und den Preis Immer auf die

vertikale Achse. So, dann hatten wir hier verschiedene Achsenabschnitte. 2 4 Hier oben schreibe ich die sechs dran. 2 4 6 und hier unten die acht. Und dann können wir hier diese Linie malen, die die Nachfrage Funktion repräsentiert. Das hier ist die Nachfrage. Ich schreib die aber noch mal hin. Also d von P = 8- ich spickel noch mal 4/3 p und ich schreib mal dahinter für P kleiner= 6. Okay. Und jetzt sollen wir die Elastizität ausrechnen. Also noch mal die Formel dafür. Die Elastizität hat die Formel D von P* P ge D von P. Und

jetzt müssen wir uns überlegen, was ist die Ableitung? Na, die Ableitung ist dieser Steigungsparameter. Dieses -4/ D3, das ist die Ableitung. schreib ich mal dazu d str von p, Weil die Nachfragefunktion linear ist, ist die Steigung immer konstant. Also können wir jetzt hier schreiben, das ist -4/3 mal p get geeilt durch. Und jetzt schreibe ich nicht d von p, sondern ich setze die Funktion ein. 8 - 4/3 von p. Das ist eine komplizierte Formel, die ich noch vereinfachen möchte, damit wir da nachher ein bisschen besser mit umgehen können. Was können wir alles machen? Als erstes

Würde ich die drei hier, diese drei, die würde ich gerne in den Nenner reinmultiplizieren, ne? Ihr seht, da steht 43, da würde sich was wegzen. Also haben wir -4* p. 3 x 8= 24 und dann aus 4/3 wird dann nur die 4, also -4. Und jetzt seht ihr, dass da auch noch eine 4 ist, die man kürzen könnte. Also, wenn ich Zähler und im Männer dur teile, dann kriege ich - p. So, 24 dur 4 6 - p. Dieser Ausdruck ist ja deutlich einfacher. Mit dem können wir besser arbeiten. Wir sollen jetzt prüfen, wann ist

die Elastizität größer oder kleiner als -1? Ich nehme jetzt nun mal den ersten Fall. Also, das hier ist größer als -1. Ich schreib das in eine Zeile, dann kann man das besser sehen. Also - p ge 6 - p ist größer als -1. So, wie können wir das auflösen? Jetzt müssen wir hier eine Besonderheit betrachten. Wir haben ein Minuszeichen davor beiden auf beiden Seiten. Wenn wir jetzt das Minuszeichen loswerden wollen, müssen wir auf beiden Seiten mit -1 multiplizieren. Wenn wir aber auf beiden Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, dann dreht sich die Umgleichung

um. Also das heißt, wenn ich jetzt mit -1 multipliziere, das Minuszeichen also wegmache, dann steht da p 6 - größer als -1, sondern kleiner und jetzt nicht -1, sondern +1. Ja, das Ungleichheitszeichen jetzt multipliziere ich auf beiden Seiten mit 6 - p, weil p kleiner ist als 6. Ja, vielleicht sollte ich hier ein stricktes kleinerzeichen mal dahinmalen, weil wenn p = 6 ist, kriegen wir auch ein Problem. Wenn P kleiner ist als 6, dann ist der Nenner positiv. Das heißt, hier dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht mehr um. Dann haben wir P ist kleiner als 6

- P. Das - P von der rechten Seite bringe ich jetzt auf die Linke Seite. Dann haben wir p + p, also 2p ist kleiner als 6. Jetzt teile ich noch durch 2 und dann haben wir es endlich. P ist kleiner als 3. Also, ich markiere mal den Anfang. Das hier war der Anfang. Die Elastizität ist größer als -1, also zwischen 0 und -1. Genau dann, wenn p kleiner ist als 3. Und das trage ich jetzt noch mal in das Diagramm ein. Also hier haben wir die 3 und in dem Bereich, Wenn P kleiner ist

als 3, dann ist die Elastizität größer als -1. Und genauso können wir das auch umgekehrt sagen. Also, wenn P zwischen 6 und 3 ist, dann ist die Elastizität kleiner als -1. Das hilft uns in der Anwendung, die wir gleich sehen werden. Aber ich möchte das grafisch noch ein bisschen weiter illustrieren. Wenn ich mal hier bei der bei p = 3 gucke und rüber gehe zum Graf, Dann komme ich genau bei diesem Punkt hier an. Hier wäre die Menge 4. Ja, und das ist was, was euch bei linearen Nachfragefunktionen eine super Abkürzung. Wenn ihr eine lineare

Nachfragefunktion habt, dann ist immer genau in der Mitte der Punkt, der diese beiden Bereiche trennt. Wir nennen das hier den unelastischen Bereich. Und dieser Bereich hier ist der elastische Bereich. Wie können wir das interpretieren? Wenn wir im unelastischen Bereich sind, wenn also die Elastizität zwischen 0 und -1 ist und wir eine Preisveränderung um 1% haben, dann ist die Mengenveränderung um weniger als 1%. Also die Menge sinkt unterproportional zum Kiss. Ja, sie sinkt, weil die Elastizität negativ ist. Und wenn wir im elastischen Bereich sind, dann ist die Mengenveränderung Prozentual größer als die Preisse, also überproportion. Und

deswegen unterscheidet man diese beiden Bereiche der Nachfolge. Ich komme gleich noch mal auf dieses Diagramm zurück. Gibt's bis hierhin schon irgendwelche Fragen, Anmerkungen oder Kommentare? Okay, dann gucken wir mal, wie es weitergeht. Ansonsten unterbrecht mich einfach zwischendurch, wenn es was gibt. Wir kommen jetzt zu einer Eigenschaft Der Elastizität bei Produkten. Und dann werden wir diese Eigenschaft direkt mal anwenden auf äh den Erlös, der ja ein Produkt ist. Also, ich habe hier eine ein Produkt von Funktionen. Die beiden Funktionen heißen f und G. Und ich will jetzt die Elastizität von diesem Produkt ausrechnen. Das heißt, ich

muss hier einmal das Produkt ableiten. Hier seht ihr das Strichlein. Hier oben kommt in den Zähler das Argument X und in den Nenner kommt jetzt Das Produkt. Und hier auf dieser Folie steht die Elastizität eines Produktes ist die Summe der Elastizität. Also, man kann sich die Regel eigentlich ganz gut merken. Man darf nicht sagen, das ist die das Produkt der Elastizitäten, sondern die Summe der Elastizitäten. Also, ich kann die Elastizitäten einzeln ausrechnen, dann drauf allieren und dann habe ich die Elastizität vom Produkt. Ich würde das gerne kurz begründen. Falls ihr euch mal nicht sicher seid,

dann versucht die Begründung noch mal nachzuvollziehen und dann kann man sich das vielleicht besser merken. Also, ich schreib das noch mal ab. f(x) g von x, das ganze abgeleitet mal x gee dur f(x) g von x. Das möchte ich jetzt ausreichen. Und ihr seht, wir haben da die Ableitung von einem Produkt. Also brauchen wir die Produktregel. Ich möchte hier f von(x)* g von x Ableiten. Und wie war das noch mal mit der Produktregel? Das ist f von x* d von x. Erster Faktor abgeleitet. Der zweite Faktor bleibt so wie er ist. Dann kommt ein Pluszeichen.

Dann f von x mal g x. Also der zweite Ableitfaktor wird dann abgeleitet und den Rest schreibe ich erstmal ab. Also an dieser Stelle von hier nach hier habe ich die Produktregelutzt. Schreib das mal das da drüber. Produktregel. So. Und im nächsten Schritt möchte ich jetzt den Bruch, der da rechts neben der Klammer steht, in die Klammer reinmultiplizieren. Also, das ist f von x* g von x. Und jetzt kommt der Beruf mal x durch fx mal g von x. Und dann das zweite Element in der Klammer f von x* g von x und dann wieder

mal der Bruch x geteilt durch fx mal g von x. Und jetzt seht ihr, dass wir in beiden Teilen was wegkürzen können. In dem ersten Ausdruck steht das G vor dem Bruch, dieses hier und einmal im Nenner, das kürze ich weg. Im zweiten Ausdruck steht das F vor dem Hof und im Nenner auch das dreht sich weg und dann bleibt genau das übrig, was da oben in der Folie steht. Also das ist dann f von x* x ge f von x, also die Elastizität von f und dann g von x mal x ge von x.

Das ist die Begründung dafür, warum die Elastizität eines Produktes die Summe Der Elastizität ist. So, das benutzen wir jetzt und zwar für den Erlös. Der Erlös, vielleicht halte ich das mal kurz hier im Hörseil fest, damit man das noch sehen kann, wenn wir das gleich anwenden. Der Erlös ist einfach, man kann auch sagen Umsatz oder Ausgaben oder Einnahmen. In allen Fällen ist das immer Preis. mal Menge Ausgaben. Wenn ich halt fünf Einheiten kaufe zum Preis von sieben, muss ich 5 x 7 Geld bezahlen. Wenn ich das verkaufe, kriege ich 5 x 7 Geld zu mir

und so weiter und so fort. Das heißt, wir haben hier zwei Funktionen. Wir haben hier eine Funktion, das wäre die Funktion f und hier eine Funktion, das wäre die Funktion G. Jetzt müssen wir also, wenn wir die Elastizität von dem ganzen Erlös ausrechnen wollen, einmal die Elastizität von D ausrechnen und einmal Die Elastizität von P. Also, wir können auch noch mal die Produktregel anwenden und alles noch mal Schritt für Schritt ausrechnen. Wir müssen es aber nicht, ja? Wir können jetzt einfach sagen, das ist D str p ge d von P. Das ist die Elastizität der

Nachfrage. Und jetzt, ich glaube, ich benutze mal die Notation, die wir hier auch sehen mit den DS. Also klein D von groß D von P klein d P. Also diese Schreibweise hier, das ist einfach nur eine andere Schreibweise für d str von p. So. Und jetzt benutze ich die gleiche Schreibweise für den zweiten Faktor für das p. Also jetzt kommt die Elastizität für P und dann schreibe ich DP über DP mal P ge p. Ja, ist ein biss fühlt sich irgendwie komisch an, das so umständlich aufzuschreiben, aber wenn ihr euch mal überlegt, p ist gleichzeitig

der Funktionswert und das Argument. Ja, wenn Ich dann also p um 1 % erhöhe, dann muss auch der Funktionswert p um 1% erhöht werden. Das heißt, bei diesem zweiten Faktor muss die Elastizität gleich 1 sein und das ist genau das, was hier steht. Also, das ergibt 1. Also können wir sagen, der äh Erlös hat folgende Elastizität. Das ist die Elastizität nach dem Preis von der Nachfrage + 1. Und das ist manchmal extrem praktisch. Ja, wenn ich die Elastizität vom Erlös Ausrechne, brauche ich nur die Elastizität der Nachfrage zu nehmen und eins draufzuzen. Und jetzt ist

die Frage, wann ist die Elastizität des Erlöses gleich 0? Also schreib mal alles ab. Die Elastizität des Erlöses ist ja gleich die Elastizität von der Nachfrage + 1 = 0. Genau dann, wenn die Elastizität der Nachfrage -1 ist. Und das ist genau die Grenze, die wir eben haben. So, jetzt gehe ich noch mal in das Diagramm zurück. Dann können wir nämlich sagen, wir können diese beiden Bereiche dafür benutzen, um zu gucken, ob der Erlös steigt oder ob der Erlös sinkt. Im unelastischen Bereich ist nämlich die Elastizität der Nachfrage größer als -1. Und das bedeutet, wenn

ihr da mal rüber guckt auf die andere Folie, dass die Elastizität vom Erlös größer ist als null. Also, wenn wir im unelastischen Bereich sind, dann führt eine kleine Anhebung des Preises zu einer Steigerung des Erlöses. Und genauso ist es andersrum, also im elastischen Bereich. ist die Elastizität der Nachfrage kleiner als -1 und deswegen ist die Elastizität des Erlöses kleiner als 0. Also, wenn der Preis Bereits höher ist als drei, dann würde eine Anhebung des Preises zu einer Reduktion des Erlöses und das ist eine wichtige Information für uns. Ja, wenn wir irgendwie versuchen unseren Gewinn zu

maximieren, dann können wir dran denken, der Gewinn ist die Differenz aus Erlösen und Kosten. Und das heißt, wir haben hier eine Hälfte der Gewinnmaximierung quasi schon ein bisschen behandelt. Okay, was ist der das mathematische, was Wir mitnehmen bis jetzt von heute? Die Formel für die Elastizität ein und zweitens die Elastizität von einem Produkt ist die Summe der Elastizität. Das war das zweite, was wir uns für heute schon mal mitnehmen. Kommen wir zur Elastizität von Potenzfunktion. Das habe ich heute morgen in der Übung A schon ganz kurz angeschnitten. Es wird auch noch mal morgen in der

Übung Thema sein, weil die beiden Übungen sollen identisch sein und Wir sollen jetzt mal für eine Potenzfunktion die Elastizität ausrechnen. Huch, jetzt habe ich auf zurückgeklickt. Kleiner null. So. Und zwar, was ist die Funktion, die ich meine? Diese hier. Also, wir nehmen eine Konstante groß A und multiplizieren die mit x hoch R. Das ist eine Funktion, die ist gar nicht so leicht, außer wenn r = 1 ist z.B., aber im allgemeinen ist sie nicht so Leicht und deswegen wird die Formel für die Elastizität erstmal kompliziert, aber dann total einfach. Also, ich muss jetzt erstmal hier

die Formel mir anschauen und sehe, ich brauche die Ableitung. Das heißt, ich muss von dieser gelben Funktion erstmal die Ableitung bilden, damit ich das in die in die Elastizitätsformel einsetzen kann. Also, ich rechne jetzt aus f str von x. Wie ist die Ableitungsregel hier? Der Exponent wandert nach vorne, also r mal a mal X. Und jetzt muss ich eins vom Exponenten abziehen. Das ist die Abwehrung. Und das setzt sich in die Formel für die Elastizität ein. Also r* a mal x hoch r - 1. Und jetzt kommt dieser Bruch. Im Zähler steht das x, im

Nenner steht die Funktion. Aber jetzt schreibe ich nicht f von x, sondern ich setze die Funktion ein, nämlich a* x hoch r. Im ersten Schritt bringe ich jetzt diesen Teil der Ableitung und dieses x zusammen. Und das kann ich machen, indem ich das X vor dem Bruch multipliziere. Also ich mal schreiß mal hier hin. R* A* X hoch R - 1* X und dann kommt der Bruch. Also das das X ist einfach nur nach vorne geband und jetzt sehen wir hier das Produkt aus X hoch r - 1 und aus X. x ist ja das

gleiche wie X hoch 1. Das Heißt, wir haben hier das Produkt von zwei Potenzen, die die gleiche Basis haben, nämlich X. Und das Produkt können wir ausrechnen, indem wir die Exponenten einfach addieren. Ich schreibe hier mal den Exponent dazu. Das ist x hoch 1. Das heißt, dieser grüne Ausdruck wird zu r* A* X hoch r -1 + 1 und dann kommt der Bruch a mal X R. Und ihr seht, im Exponenten kürzen sich die beiden Einsen weg. Das heißt, wir haben r* a* x hoch r mal 1 dur a mal x hoch r. Hier kürzt

sich noch viel mehr weg. Also diese Potenz a mal X hoch r kommt im Zähler und im Nenner vor. Wir können die beide wegstreichen und es bleibt nur das R übrig. Und das meinte ich mir total einfach. Also, wenn ihr erkennt, hier handelt es sich um eine Potenzfunktion, dann könnt ihr einfach den Exponenten nehmen. Ja, dann schaut euch einfach den Exponenten an. Dieses R, das ist die Elastizität. Und das ist manchmal total hilfreich. Also, wenn ihr seht, da steht z.B. Wurzel X, dann ist der Exponent ein/H/B. Dann wisst ihr, wenn ihr x um 1% steigert,

dann steigert sich der Funktionswert um einen halben Prozent. Das war jetzt eigentlich schon alles zu Elastizitäten. Wir werden nächste Woche in der Übung noch mehr zu Elastizitäten machen, aber für die Vorlesung soll es erstmal reichen. Habt ihr noch direkt Kommentare dazu? Falls nicht, gehe ich einfach mal weiter zum nächsten Thema, aber ich halte die Folie hier im Hörs noch fest zum Thema Stetigkeit. Ihr habt alle diese Definition von Stetigkeit im Kopf, die eigentlich super gut funktioniert. Ich kann sagen, dass eine Funktion stetig ist, wenn ich den Grafen dazu zeichnen kann, ohne den Stift abzuheben. Mit

anderen Worten, wenn der Graf keine Sprungstellen hat. Und in den allermeisten Fällen reicht uns diese Intuition eigentlich aus, aber trotzdem hin und wieder müssen wir es ein bisschen besser definieren und das soll jetzt eben passieren. Ihr seht hier im linken Diagramm eine Funktion, die stetig ist im Punkt x0 und im rechten Diagramm seht ihr ein anderes Beispiel, wo an der Stelle x0 eben eine Sprungstelle ist. Und jetzt wollen wir definieren, was das genau heißt, Sprungstelle oder keine Sprungstelle. Vielleicht fällt zunächst mal auf, dass wir erstmal sagen, eine Funktion ist stetig an einer ganz bestimmten Stelle,

die heißt hier x0. Und wenn wir diesen Zusatz weglassen an einer ganz bestimmten Stelle, wenn wir einfach nur sagen, eine Funktion ist stetig, ohne die bestimmte Stelle zu nennen, dann heißt das, die ist überall stetig. Ja, an allen Stellen, die man sich vorstellt. Ah, bevor die Definition kommt, erst noch mal ein paar paar Rechenregeln, aber die sind so intuitiv, die hat, wenn man die einmal gelesen hat, dann hat man die auf jeden Fall drauf. Also, wenn ich zwei stetige Funktionen addiere, dann ist die Summe auch stätig. Wenn ich eine Differenz bilde, ist die Differenz auch

stätig. Wenn ich ein Produkt bilde, ist das Produkt auch stetig. Wenn ich einen Koffizienten bilde, ist der Koffatient auch stätig. Ja, ihr merkt, äh da gibt's Auch gar keine Ausnahme. Also, ich kann auch eine Potenz mir anschauen, also wo die Basis eine Funktion ist, wenn die Funktion stetig ist, dann ist auch die ganze Potenz stetig. Und der letzte Punkt ist vielleicht ein bisschen schwieriger, aber genauso intuitiv. Wenn f eine Umkehrfunktion hat, also eine inverse Funktion und f stetig ist, dann ist auch die inverse Funktion stetig. Also, wir können uns merken, dass durch die normalen Rechenoperationen,

Die wir vornehmen, plus minus mal geteilt und so weiter, dass da die Stätigkeit erhalten bleibt. Und ganz unten auf der Folie steht was ganz Wichtiges, was wir immer wieder benutzen werden. Wenn wir eine Funktion haben, die aus vielen einzelnen Teilen zusammengesetzt sind, ist durch plus minus mal geteilt, was auch immer und die einzelnen Teile alle stetig sind, dann ist diese zusammengesetzte Funktion auch stetig. Ja, und diesen Satz müssen Wir benutzen, wenn wir beantworten sollen, ob es eine super komplizierte Funktion jetzt stehen ist. Hier kommen also jetzt erstmal drei Beispiele. Vielleicht schnappt sich jeder und jede

von euch eine dieser drei Funktionen und prüft nur für diese eine Funktion mal, ob die Funktion stetig ist. Sobald ihr irgendwo eine Sprungstelle entdeckt habt, braucht ihr nicht weiterprüfen. D könnt ihr sagen, die ist unstätig. Jetzt lasse ich euch noch mal 2 Minuten und dann frage ich einfach mal in die Runde, ob jemand was rausgefunden hat. Okay. Hat sich jemand von euch eine der drei Funktionen rausgesucht? und rausgefunden, dass die stetig oder unstätig ist. Da oben kommt eine Wortmeldung. Bitttechön. Ähm da ja, jetzt wird's schon leiser. Super. Kannst du es noch mal sagen? Oh, ich

müsste, ich habe es schon wieder nicht verstanden, aber jetzt ist es Heute nicht spät. Also, die Antwort war richtig. Ich wiederhole sie noch mal, damit sie alle hören können. G ist nicht stetig. Weil sie mehrere Sprungstellen haben. Wo sind denn die Sprungstellen? Ja, sag bitte. Genau, genau. Super. Also, wir haben hier zwei Sprungstellen. Einmal an der Stelle x = 1 und einmal an der Stelle x = 2. Wie kann man das feststellen? Lass uns mal ein X anschauen, was ganz knapp hinter vor der ein noch steht. Also, ich sag jetzt mal, ich schreibe jetzt mal

auf g von x - y. Ja, das soll eine ganz kleine, aber positive Zahl sein. Also ist positiv und ganz nah an der Null. Dann kann ich hier in die Definition von der Funktion G schauen und sagen, wenn x kleiner ist, ach, wieso habe ich denn hier x geschrieben? Ich muss hier natürlich 1 schreiben. Also, wenn x kleiner ist als 1, dann ist der Wert gleich 0. Und jetzt mache ich das gleiche in die andere Richtung. Also g von 1 + y, dann ist das x also größer als 1 und dann sehe ich, das ist

0,7 ist nicht der gleiche Wert. Ja, und das ist auch egal, welches EP ich nehme, solange das klein genug ist, ändert sich das nicht. haben wir zwei verschiedene Werte, also muss dann Sprung stellen. Und genau das gleiche können wir auch Machen an der Stelle 2. Also g von 2 - y= 0,7 und g von 2 + y = 1. Also haben wir schon wieder zwei verschiedene Funktionswerte, egal wie klein es geht, also wenn das gegen 0 geht, ist immer noch der der gleiche Zusammenhang da. Also G ist nicht stetig. Können wir hier dazu schreiben. Was

ist was ist der Inhalt von G? G könnte z.B. eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sein, also eine sogenannte Verteilungsfunktion, So wie ihr sie in der Statistikvorlesung benutzt oder noch benutzen werdet. Was ist mit F und H? Hat sich jemand mit F oder mit H beschäftigt? Wie sieht's da aus? Wie kann man das, wie kann man da überhaupt dran gehen an das Problem? Also, eine Möglichkeit ist immer den Grafen von der Funktion zu malen und wenn man das schafft, ein Stift abzusetzen, dann kann man sich sicher sein, die ist stetig. Aber wenn ihr euch Mal die Funktion f anschaut,

also ich könnte das jetzt nicht so einfach mal, ich wüsste nicht, wie der Graf da aussieht. Das heißt, wir müssen nur noch irgendwie anderen äh ein anderes Vorgehen finden. Wer möchte sich daran wagen? Wichtig ist, habe ich das noch offen? Nee, habe ich nicht mehr offen. Ich gehe mal auf die Folie von eben. Diese Folie meine ich dort. Der untere Absatz, ne, Der sagt, wir können eine komplizierte Funktion in ihre Einzelteile zerlegen und die Einzelteile separat prüfen. Und wenn die Einzelteile durch plus minus mal geteilt miteinander verknüpft sind, dann ist auch die ganze Funktion stetig.

Ja, und die Einzelteile müssen natürlich auch ständig sein. Und genau das würde ich jetzt mal bei F machen. Also, wir haben hier eine Potenz und die ist stetig. Dann mache ich mal ein Haken dran, Vielleicht in grün. Dann haben wir 4 x Wurzel X. Wurzel X ist auch eine Potenz. brauche ich gar nicht neu hinschreiben. Das ist ja x hoch 1/2, also x hoch 2 ist stätig, x hoch/ ist auch stätig. Wie sieht's hier aus? Also bei den nächsten Teil ist schon wieder eine Potenz plus, dass wir in der Potenz halt noch 1 + x

stehen haben, aber 1 + x ist auch eine stetige Funktion. Also das Ganze hier schon wieder eine Potenz, das funktioniert auch. Das heißt, diese komplizierte Funktion f von x ist additiv zusammengesetzt aus stetigen Funktionen und damit ist sie auch stehig. Schreibt das mal ein bisschen umgangssprachlich dazu. Alle Einzelteile sind stetig oder Einzelfunktionen sind stetig und das heißt, die Summe ist auch Stetig. Okay, wie funktioniert das bei H? Da haben wir diese Fallunterscheidung, genauso wie bei G. Also bei G haben wir festgestellt, genau an den Stellen, an diese Fall, wo diese Fallunterscheidungen gemacht werden, ist die

Funktion unstätig, weil links und rechts von den Stellen jeweils unterschiedliche Funktionswerte herrschen Können wir das bei der letzten Funktion H genauso machen? Im Prinzip schon. Also, wir können einerseits die Sprungstelle anschauen, aber einen Schritt vorher würde ich noch gerne machen. Wir können uns auch erstmal die einzelnen Bereiche anschauen. Also der Bereich x kleiner = 1, das die Funktion einfach nur durch x gegeben, also x hoch 1. Ja, das ist stehen. Also dieser Bereich bereitet uns keine Probleme. Und der Bereich x größer Als 1 haben wir die Wurzel von x, da ist eben die Funktion auch

stätig. Wurzel Funktion sind bestätigt. Das heiß, wir müssen jetzt tatsächlich nur noch die Stelle x = 1 uns anschauen. Und deswegen mache ich das genauso wie eben. Also, ich nehme mir ein größer als 0, was aber schön nah an den Null ist. Da kommt eine Wortmeung. Bitteschön. Genau. Wir wollen jetzt die Funktion untersuchen. Wie sieht die links und rechts von der Stelle x = 1 aus? Noch mal bitte. Also hier steht jetzt ähm die schwache Ungleichheit x kleiner = 1. Stimmt, wir könnten uns auch einfach den die Stelle anschauen. Ist gleich 1 und ist ein

ganz kleines bisschen größer als 1. So könnten wir das auch machen. Okay, also ich schaue mir jetzt mal an h an der Stelle = 1, also x = 1 und da muss ich einfach nur x hinschreiben, also hier in diesem Fall gleich 1. Und jetzt erhöhe ich das x um Ein ganz kleines bisschen. Das heißt, ich gucke mir an h an der Stelle 1 + y und das ist dann die Wurzel von 1 + y. Und jetzt schaue ich mir an, was passiert, wenn das immer weiter gegen 0 geht. Also, ich mache hier mal so

ein Pfeil. Wenn das EP jetzt immer kleiner wird, dann konvergiert diese Wurzel gegen 1 + 0 und das ist gleich 1. Das heißt, links und rechts von dieser Grenze Ist die ist der Funktionswert tendiert ja quasi zum gleichen Ergebnis und deswegen ist die Funktion ständig. Da gibt's keine Sprungstime. Okay, was wie kriegen wir raus, wenn kein Grenzwert da ist? Oder wie definieren wir das formal? Das ist jetzt das, was ich eben eigentlich vor dem Beispiel machen wollte. Wir haben hier auf der linken Seite die Situation, dass der Funktionswert immer näher an die Zahl B Dran

kommt, die Zahl B aber niemals erreicht. Und das wird durch diese Pfeilspitze hier gekennzeichnet. Also Pfeilspitze bedeutet, wir dürfen kleiner als ein x0 sein, aber nicht gleich x0. Und sobald das x = x0 ist, springt der Funktionswert auf den Wert a und von dort aus geht es dann stetig weiter. Und das ist eben eine grafische Veranschaulichung davon, was passiert, wenn wir keinen Grenzwert haben. Das Müssen wir jetzt noch ein bisschen besser bekündern. Und dazu brauchen wir einfach diese Unterscheidung zwischen wir gehen von links an x0 dran und wir gehen von rechts an x0 dran. Diese

Unterscheidung ist wichtig und das nennen wir linksseitiger Grenzwert bzw. rechtseitiger Grenzwert. Also, wir haben hier einmal die Situation, dass das x von links an x0 dran strebt und das kennzeichnen wir, indem wir an das x0 so ein Hochgestelltes Minus dran machen. Diese Notation bedeutet, wir roben uns so Zentimeter oder Millimeter für Millimeter von links an das x0 dran und unten beim rechtsseitigen Grenzwert seht ihr so ein hochgestelltes Plus. Das heißt, wenn wir hier noch mal eine Folie zurückgehen, ja, dann seht ihr, wenn wir von links an das X0 uns ran tasten, dann kommen wir immer

näher an B dran. Deswegen ist der linksseitige Grenzwert Ein B. Und auf, wenn wir von rechts dran gehen, dann ist der rechtseitige Grenzwert A. Und eine Funktion ist stetig, wenn der linksseitige Grenzwert dem rechtseitigen Grenzwert entspricht. was auf dieser Folie offensichtlich nicht der Fall ist. Also hier steht noch mal das, was ich eben in Worten gesagt habe, ein bisschen komplizierter ausgedrückt mit dem offenen Intervall von A bis B. Ja, und Dann sagen wir, wenn wir uns von links innerhalb dieses Intervalls bewegen, jetzt bin ich gerade in der Folie verrutscht, an irgendeinen Punkt x0, der in

diesem Intervall liegt, aber der darf auch an der rechten Intervallgrenze liegen. Ja, wenn wir von links da dran gehen und der Wert f von x0 gleich diesen Wert von f von x0 ist, ja, dann ist der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert. Das heißt, die Funktion ist sowohl linksseitig Stetig als auch rechtseitig stätig. und dann ist sie insgesamt stetig. Ich gebe zu, dass es ein bisschen theoretisch alles und wenn wir das in der Praxis machen, dann geht das alles viel schneller. Da muss man gar nicht so penibel da drauf gucken. Jetzt gehen wir aber einen

Schritt weiter und zwar haben wir bis jetzt immer gesagt, dass das x gegen irgendein X0 strebt, also z.B. gegen die einmal von links, einmal von rechts. Genauso Darf das x aber auch gegen unendlich streben oder gegen minus unendlich. Auch dann können wir Grenzwerte definieren. Das sind sogenannte Grenzwerte im Unendlichen. Es darf sogar zwar nicht so ganz streng mathematisch, aber in unserem Viv Kontext ist das völlig okay. Es dürfen sogar dieses A oder das B positiv unendlich oder negativ unendlich sein. Das gucken wir uns mal im Bild an. Hier seht ihr sowas. Das was wir hier

sehen Sind, da haben wir ein endliches A und ein endliches B. Das sind die y Achsenabschnitte, die man hier sieht. Aber wenn das X gegen positiv unendlich strebt, dann seht ihr, dass der Graf immer näher an diese obere gestrichelte Linie kommt. Der Funktionswert nähert sich also beliebig nah an A, dann ist A der Grenzwert, wenn X gegen unendlich geht. Und wenn wir x nach links laufen lassen, also gegen minus unendlich ist genau andersrumpunkt, dann wandert der Funktionswert immer näher an das B dran. Ja, und dann ist der Funktion der Grenzwert für x minus unendlich =

b. Also auch sowas ist erlaubt. Auch sowas machen wir. Dann habe ich eben gesagt, die Grenzwerte dürfen auch unendlich oder minus unendlich sein. Das sehen wir hier mal als vertikale Asymptote. Wie lautet die Funktion, die hier betrachtet wird? 1 ge x + 2 zum. Das soll eine Beispielfunktion sein. Ihr Seht, wir kriegen ein Problem, wenn x = -2 ist. Also genau an dieser Stelle hier müssten wir eigentlich durch 0 Quadrat teilen, also durch 0 teilen. Und das dürfen wir natürlich nicht. Das heißt, die Funktion ist an der Stelle -2 gar nicht definiert. Wenn wir aber

ein ganz kleines bisschen nach links von der -2 gehen, also ganz nah an die -2 dran kommen, dann steht hier in den Klammern eine Zahl, die nahe null ist, nicht gleich null ist, sondern Nahe 0 ist. Wenn wir das quadrieren, ist es noch mal näher an der Null dran. Und wenn wir den Kehrwert davon bilden, dann kommt eine riesig große Zahl raus. Also, wenn wir ganz nah an der -2 von links dran sind, ist der Funktionswert super groß. Und das gleiche gilt aber auch, wenn wir ganz nah rechts von der -2 sind. Auch dann ist

der Funktionswert super groß. Das heißt, in beiden Fällen, egal ob wir uns von links an die -2 nähern oder von rechts an die -2 nähern, Der Funktionswert haut gegen positiv unendlich ab. Und deswegen ist der Grenzwert da eben positiv unendlich. Was würde passieren, wenn wir das Quadrat hier nicht hätten? Ich mache mal das Bild für die gleiche Funktion, aber ohne das Quadrat. Dann brauche ich ein Koordinatensystem. So, hier ist y, hier ist X und ich brauche wieder die -2, die steht jetzt mal hier. Und wenn wir die Funktion f(x) = 1 dur x + 2

uns anschauen, also ohne das Quadrat im Nenner, dann überlegt mal, wenn wir uns der -2 von rechts nähern, also -2,1 sagen wir, also falls x größer ist als -2, dann gilt x + 2 größer als 0. Ja, also wir gehen jetzt von rechts an die -2 dran. Das heißt, dann würde der Funktionswert gegen positiv unendlich abhauen und der Graf sieht dann ungefähr So aus. Es geht natürlich dann nicht wieder nach oben, der bleibt schöner an der x-Achse. Und wenn x kleiner ist als -2, dann gilt x + 2 ist kleiner als 0. Das heißt, wenn

wir von links an die -2 dran kommen, dann haut der Funktionswert nach unten ab, also gegen minus unendlich. Dann sieht das Ganze so aus. Ja, und dann sieht man, die streben nicht gegen den gleichen Wert, die Streben nicht beide gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich. Das heißt, diese Funktion, die wä nicht stetig. Okay, Eigenschaften von unendlichen Grenzwerten. Stellt euch mal vor, wir haben zwei Funktionen, die heißen wieder f und G und die hauen beide gegen unendlich ab. Ja, die werden beide immer größer, wenn x gegen irgendeinen Wert x0 strt. Dann können wir uns ja

überlegen, was passiert eigentlich mit der Summe Von den beiden Funktionen? Ja, wenn die beiden einzelnen gegen unendlich abhauen, dann wird auch die Summe gegen unendlich abhauen. Okay, check. Was passiert mit dem Produkt? Wenn beide Faktoren gegen unendlich streben, ja, dann wird auch das Produkt dieser beiden Faktoren gegen unendlich streben. Auch das ist irgendwie leicht nachzuvollziehen. Also hier diese beiden Zusammenhänge. Was passiert aber mit den jeweils Gegenüberliegenden Rechenoperationen? Was passiert hier, wenn wir hier ein Minus stehen haben oder hier ein geteilt? dann können wir keine allgemeine Aussage treffen. Also für manche Beispiele würde die Differenz dann

gegen null, für manche anderen gegen positiv unendlich, für manche anderen gegen negativ und endlich kommen wir. Also bei der Differenz können wir nicht einheitlich sagen, das Geht immer in eine Richtung und genau das gleiche gilt für den Quotienten. Das heißt, wir können hier diese Rechenregel tatsächlich nur für Summen und für Produkte benutzen, aber nicht für Differenzen und für Koordenten. Jetzt versuchen wir dieses Konzept der einseitigen Grenzwerte auf das Konzept der Ableitung zu übertragen. Das Tolle ist, die Ableitung ist ja ein Grenzwert. Wir erinnern uns, Das ist ja dieser Ausdruck, der hier steht für Delta x

gegen 0. Jetzt gibt's hier ein mini kleines Detail, nämlich diese -1 an der 0. Und das bedeutet, wir schauen uns jetzt eine Veränderung Delta x an, die negativ ist. Also, das heiß, wir gehen auf der X-Achse ein kleines bisschen nach links und schauen uns an, wohin konvergiert dieser Differenzenkurtizent. Und dann machen wir genau das gleiche mit einer Abweicherung nach rechts. Ja, Da erhöhen wir das x ein bisschen. Also Delta x geht gegen 0 hochgestellt plus. Und dann kriegen wir noch eine andere Ableitung und das ist die linksseitige Ableitung hier mit dem Minus dran. Das ist

die rechtsseitige Ableitung mit dem Plus. Und wenn beide Ableitungen gleich sind, dann ist die Funktion differenzierbar. Also, wenn wir jetzt habe, ich glaube, ich habe direkt eine Grafik, die kann ich glaube ich direkt benutzen. Nee, habe ich nicht. Also muss ich gleich eine malen. Und das mache ich, glaube ich, direkt auf der nächsten Folie. Auf der nächsten Folie steht, dass eine stetige Funktion nicht notwendigerweise differenzierbar sein muss. Und was nehme ich jetzt für eine Funktion? Ich nehme eine Funktion mit Knick. Also, wir wissen, Knicke sind für Ableitungen immer sehr ungünstig. Dann kommt hier das Y

hin, hier das X Und ich benutze die Betragsfunktion. Also, die Betragsfunktion hat diesen Grafen hier und die heißt y = der Betrag von x. Also an dieser Stelle soll eine Null sein. Lass uns noch mal kurz überlegen, wie ist der Betrag definiert? Schreibe ich mal hier hin. Der Betrag von x = Fallunterscheidung - x, falls x kleiner als 0 ist und + x, falls x größer als 0 ist. Was ist mit x = 0? Kann ich auch dazu schreiben. Der Betrag ist dann 0. falls x = 0 ist oder ich setze das Gleichheitszeichen an einer

der beiden Ungleichungen. Jetzt können wir prüfen, ist diese Funktion stetig? Und dazu müssen wir erstmal die beiden Abschnitte überprüfen. Also -x ist kein Problem. -x ist eine stetige Funktion. + x ist auch eine stetige Funktion. Und dann müssen wir gucken, ob genau an dieser Stelle, Wo der Fall unterschieden wird, der gleiche Funktionswert angenommen wird. Und wir sehen, wenn x gegen 0 von links kommt, dann ist -x auch sehr nah. 0 geht gegen 0. Wenn x gegen 0 von rechts kommt, ja, dann wird der Funktionswert auch immer kleiner, geht auch gegen null. Die Funktion ist stetig.

Ja, wir können diesen blauen Grafen hier zeichnen, ohne den Stift abzufügen. Okay, jetzt sollen wir aber argumentieren, dass die nicht Differenzierbar ist. Wie machen wir das? Dazu bilde ich jetzt erstmal den linksseitigen Grenzwert wie auf der Folie davor und das mache ich auf einer neuen Folie. Also, ich rechne jetzt aus den Grenzwert von Delta x gegen 0, aber von der linken Seite von diesen Differenzenquizen, also f von und ich will ich will mir eine bestimmte Stelle angucken, ja, die ist schon natürlich die Stelle von dem Knick, also 0 + Delta x - f von 0

und Das teile ich durch Delta x, also Die null, die ihr hier in dem f drin seht, das ist das x0. Und jetzt kann ich in die Definition von der Funktion reinschauen und einfach mal einsetzen. Also limes von Delta x gegen 0 mit dem hochgestellten Minus. Jetzt muss ich nachgucken, was ist der Funktionswert an der Stelle 0 + Delta x, wenn das Delta x negativ ist? - Delta x muss da oben hinstellen. Muss ich da oben hinschreiben, Was ist der Funktionsp an der Stelle 0? Die 0 und dann muss ich noch durch Delta x teilen.

Und jetzt seht ihr, da kommt -1 raus. Also das ist, ich kann es mal vielleicht noch mal hier hinschreiben, der Limes von Delta x gegen 0- von Delta x ge delta x und das ist = 1 und dann ist natürlich auch der Grenzwert gleich -1. Also bildlich gesprochen, wenn ich auf Irgendeinem Punkt hier links auf dem Grafen muss das natürlich jetzt wieder freigeben bin und ein Steigungsdreieck einzeichne, wo die rechte Seite des Steigungsdreiecks das Null ist, aber ganz egal, wie weit ich nach links gehe, hat dieses Steigungsdreieck immer die Steigung -1. Und jetzt mache ich

genau das gleiche auf der anderen Seite. Da ist die linke Ecke von dem Steigungsdreieck die 0. Und ganz egal, Wie weit ich nach rechts gehe, die Steigung ist immer +1. Jetzt muss ich noch einmal formal aufschreiben. Also jetzt der rechtseitige Grenzwert delta x gegen 0 + f von 0 + delta x - f von 0 geteilt durch delta x. Ja, der die Formel sieht genauso aus wie oben drüber, aber jetzt muss ich aufpassen. Jetzt ist dieser Ausdruck hier positiv und hier oben war der Ausdruck negativ und deswegen bin ich in dem anderen Fall von dem

Betrag drin. Das ist der Limes von Delta x gegen 0+. Ich kann in die Definition von dem Funktion reinschauen. Hier steht's. Ja, hier eben war das x das Delta x kleiner als 0, jetzt ist das Delta x positiv. Jetzt muss ich da Delta x hinschreiben. Wieder -0 geil durch Delta x. Delta x ge delta x= 1. Das heißt, der Grenzwert ist auch 1. Und wir haben hier zwei unterschiedliche Zahlen. Also der linksseitige, die linksseitige Ableitung ist nicht das gleiche wie die Rechtsseitige Ableitung. Deswegen ist die Funktion nicht differenzierbar. Das schreibe ich noch einmal auf. Die

linksseitige Ableitung ist nicht gleich der rechtsseitigen Abseitung. Uiuii,i also rechts seitig und deswegen ist die Funktion nicht differenzierbar. Ist nicht differenzierbar, heißt, sie hat keine Ableichung an dieser einen Stelle. Ähm, das schreibe ich aber noch mal in ander Farbe dazu. An der Stelle x = 0. Und hier auch noch mal an der Stelle x = 0. Wenn wir irgendeine andere Stelle angucken, ist es kein Problem. Ja, nur an dem Knick gibt es hier diesen Unterschied. Okay, wir haben also gesagt, eine stetige Funktion muss nicht notwendigerweise differenzierbar sein. Ja, es gibt schnige stetige Funktionen mit Knicken,

die sind genau an diesen Knicken nicht differenzierbar. Auf dieser Folie wird das Ganze umgedreht. Ja, hier steht eine differenzierbare Funktion ist notwendigerweise stetig. Lass uns mal überlegen, wie wir das begründen können. Also, wenn f Differenzierbar ist, falls f differenzierbar ist, ich schreibe hier abgekürzt dibar, dann gilt, dass der Grenzwert von x äh von Delta x gegen 0 von f(x) + delta x - f von x delta x = f str von x ist. Ja, das bedeutet differenzierbar. Und jetzt muss ich mir überlegen, wie kann ich das in Steigkeit übersetzen? Ich setze jetzt mal für Delta

x, ich schreib das ein bisschen anders mit x1. Nee, ich lasse es so. Ich lass es so. Also mit x + delta x lasse ich jetzt einfach so. Wenn es wenn ich zeigen will, dass die Funktion stetig ist, dann muss ich zeigen, dass der Unterschied zwischen f(x) + delta x und f von x, dass dieser Unterschied gegen 0 geht. Okay, das heißt, ich kann jetzt auch mal folgende Funktion anschauen. Ich schaue mir an f(x) + Delta x - f von x geil durch Delta x mal Delta x. Also ich multipliziere das einfach mit Delta x.

Das ist ja das gleiche wie ich lasse hier ein bisschen Platz. f von x + delta x - f von x. Dann wenn ich das ganze mit delta x multipliziere, dann kommt da einfach diese Differenz raus. Das haben wir früher mal, also letzte Woche noch nicht ganz so lange her, Delta yt. Und jetzt bilde ich auf beiden Seiten den Grenzwert. Also der Limit von Delta x gegen 0 von Diesem linken Ausdruck muss dann auch der Limit von Delta x gegen 0 von dem rechten Ausdruck sein. Jetzt wissen wir aber, dass wir den Grenzwert von dem

Produkt auch in das Produkt reinziehen können. Also, wir haben ja hier auf der linken Seite so ein Produkt stehen. Ich habe hier das Grenzwert von dem ganzen Produkt. kann ich also auch einzeln aufschreiben, also limes von Delta x gegen 0 von dem Differenzenquizienten mal den Limes von Delta x gegen 0 von Delta x und auf der rechten Seite habe ich eine Differenz und ich kann den Limit wunderbar auch in eine Differenz reinziehen. Also limes limit alles das gleiche. Delta x gegen 0 von f von x + delta x - den Limes von Delta x gegen

0 von f von x. Entschuldigung. So, was sehen wir jetzt Hier? Hier ist die Definition von der Ableitung. Das ist einfach f strzierbar. Also existiert diese Ableitung. Was steht hier auf der rechten Seite? Der Grenzwert von diesem rechten Ausdruck ist einfach gleich 0. Also haben wir hier die Ableitung mal 0. Was ist hier auf der Seite zu sehen? Der Grenzwert von der Konstanten ist einfach die Konstante selbst. Also das Hier wäre f von x. Und auf der linken Seite haben wir einfach, dass die Funk, dass dieses Delta x gegen 0 geht. Das heißt, das hier

muss auch f von x sein bzw. das wissen wir noch nicht. Das lass ich einfach mal so stehen. Also, das wissen wir noch nicht. Das wollen wir noch zeigen. f von x + delta x und das Minuszeichen muss ich noch dazu schreiben. Das heißt, wir haben argumentiert, auf der linken Seite haben wir eine Ableitung mal 0. Irgendwas mal 0 = 0. Das heißt, wir können sagen, wenn wir jetzt diese Gleichung sozusagen umformen, dass der Grenzwert von Delta x gegen 0 von f von x + delta x - f von x = 0 ist oder g=

f von x ist. Und das ist nichts anderes als dass die Funktion f stätig ist. Also das bedeutet, f Stätig. Also, was merken wir uns? Die Begründung müsst ihr euch nicht merken. Könnt ihr euch merken, wenn ihr wollt. Wir merken uns, jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar. Okay, das heißt, Differenzierbarkeit ist eine ein viel stärkeres Konzept als Stätigkeit. Wir sind schon ziemlich weit, aber ich glaube, zwei Sachen kommen noch, die Relativ schwer sind. Das eine ist der Zwischenwertsatz. Das ist einfach ein mathematischer Satz und da werde ich euch tatsächlich

den Beweis ersparen, weil der schon ziemlich schwer ist, der Beweis. Aber ich möchte trotzdem, dass ihr den Inhalt dieses Satzes kennt und zweitens, dass ihr wisst, wofür wir ihn brauchen. Also kommen wir erstmal zum Satz. Wir brauchen als Voraussetzung, dass eine Funktion stetig ist auf einem Abgeschlossenen Intervall. Das abgeschlossene Intervall hat hier die Intervallgrenzen A und B. An den eckigen Klammern erkennt man, dass es abgeschlossen ist. Also abgeschlossen bedeutet, die Intervallgrenzen sind im Intervall enthalten. Der Zwischenwert sagt setzt der Zwischenwertsatz sagt nun, wenn die Funktion stetig ist, dann gibt es zwischen dann gibt es für

Jede Zahl, die zwischen f von b und f von a liegt und die Zahl heißt hier y, einen Wert c, s, dass die Funktion an der Stelle C den Wert y hat. Also, wir können uns eine beliebige Zahl zwischen den beiden ähm Funktionswerten an den Intervallgrenzen aussuchen und finden dann irgendwo in der Mitte vom Intervall einen Punkt, an dem die Funktion diesen Wert annimmt. Wofür brauchen wir das? Wir brauchen das, um zu argumentieren, dass es ein Marktgleichgewicht gibt, wenn die Nachfrage und die Angebotsfunktionen stetig sind. Und das würde ich euch gerne einmal illustrieren. Also, die

Anwendung mache ich einmal grafisch. Äh ich schreib mal da drüber, worum es eigentlich geht. Anwendung Existenz Marktgleichgewicht. Also an die vertikale Achse kommt der Preis, an die horizontale Achse kommt die Menge. Q steht für das englische Wort quantity gleich Menge. Schreib mal da drunter in Klammern Menge. Jetzt schreibe ich jetzt male ich da mal eine Nachfragefunktion rein. Und das einzige, was ich möchte, ist, dass diese Nachfragefunktion zwei Eigenschaften hat. Die eine Eigenschaft heißt, sie ist stetig und die andere Eigenschaft heißt, die Nachfrage geht gegen null, wenn der Preis gegen unendlich geht. Oder nicht gegen unendlich,

wenn der Preis Irgendwann zu groß ist, ist die Nachfrage gleich 0. Das heißt, die Nachfrage hat hier irgendwo ein Achsenabschnitt und danach sinkt die Nachfrage auf irgendeiner Art und Weise. Ja, das kann eine lineare Funktion sein, eine quadratische, wie auch immer, aber sie muss sinken, ja, sie muss monoton fallen für alle Preise, die eben hier dazwischen liegen. Und das ist die Funktion D. D steht für Nachfragefunktion. Schreibe ich dazu? Demand gleich Nachfrage. Und jetzt mal haben wir dazu eine Angebotsfunktion und die soll quasi die umgekehrte Eigenschaft haben. Wenn der Preis gleich null ist, dann wird

nichts angeboten und dann steigt sie irgendwann. Das ist S fürs Supply bzw. Angebot. Ja, und auch die Funktion Soll stetig Sein. Und jetzt aus dieser Argumentation können wir halt sagen, hey, es gibt irgendwo einen Preis, der hier diesen Schnittpunkt beschreibt oder der an diesem Schnittpunkt liegt und das ist der Gleichgewichtspreis. Ich wollte es eigentlich in schwarz machen noch mal. Das ist das P-S und dann haben wir auch eine Menge dazu. Hoppla, Noch mal. Das ist das Qstern und das nennen wir Gleichgewicht. Der Schnittpunkt von Angebot Nachfrageurve für diesen Preis P-Stern wird genauso viel nachgefragt wie

angeboten. So, wir können es kurz überlegen, unter welchen Umständen könnte es hier ein Fail geben? Ja, wann gibt's kein Gleichgewicht, wenn z.B. die Nachfragefunktion genau an der Stelle P-Stern Eine Sprungstelle hat. Ja, wenn genau da die Nachfragefunktion über die Angebotsfunktion drüber hüpft, dann gibt's halt kein Markleich. Wie äh benutzt man jetzt den Zwischenwertsatz? Also, ich möchte jetzt den Zwischenwertsatz dafür benutzen, um das zu zeigen. Und was brauchen wir? Wir brauchen eine Nachfragefunktion, die nennen wir D. Und die brauchen ein paar Eigenschaften. Also die brauchen erstmal die Eigenschaft D muss stetig sein, sonst kann das Ganze

schiefgehen. Dann an der Stelle null muss die Nachfrage positiv sein und wenn der Preis gegen unendlich geht oder einfach nur groß genug wird, dann geht die Nachfrage gegen null. Das heißt, es gibt einen Preis, also das folgt jetzt hier raus. Es gibt einen Preis P quer, sass d von P klein ist, also nahe 0 für alle Preise, die größer sind als p quer. Nehmen wir einfach mal größer gleich. Jetzt machen wir genau das gleiche für die Angebotsfunktion. Angebotsfunktion, die nennen wir groß S. Auch S soll stetig sein und S an der Stelle 0. Ja, was

heißt das? Also, der Preis ist gleich 0. Würdet ihr irgendein Produkt verkaufen, wenn ihr nichts dafür bekommt? Natürlich nicht. Also normalerweise ist das Angebot an der Stelle 0 = 0. Und wenn der Preis gegen unendlich geht, ah, hier habe ich den Preis gegen null, muss hier gegen unendlich schreiben. Wenn der Preis gegen unendlich geht, dann haut mir auch das Angebot gegen unendlich ab. Wenn ihr unendlich viel Geld für ein bestimmt Produkt bekommt, dann möchtet ihr auch so viel wie Möglich davon produzieren. Und dann können wir also sagen, es gibt einen Preis, den nennen wir wieder

genauso P quer, so dass S von P größer ist als D von P für alle. P größer = P. Also irgendwo sind wir links an dem Diagramm. Wenn der Preis nahe null ist, dann ist das Angebot kleiner als die Nachfrage und irgendwann sind wir ganz oben in dem Diagramm. Wenn der Preis groß ist, dann ist das Angebot größer als die Nachfrage. Das ist das, was ich freue. So. Und jetzt sagt der Zwischenwertsatz, irgendwo in der Mitte muss es einen Preis geben, sodass die sich kreuzen und dass diese beiden Kurven sich genau berühren. Und dafür definiere

ich mir eine neue Funktion, nämlich die Überschussnachfrage Und die heißt mal Z von P und die ist definiert als D von P - S von P. Und wir können sagen, an der Stelle 0 ist diese Überschussnachfrage positiv. An der Stelle P quer ist die Überschussnachfrage negativ und Z ist außerdem stetig, weil D und S beide stetig sind. Und deswegen kann der Zwischenwertsatz benutzt werden. Ich muss hier unten äh weiterschreiben. Zwischenwert Satz, der sagt, es gibt ein eine Zahl, die zwischen der positiven Zahl z0 und der negativen Zahl z quer liegt, nämlich die Zahl 0 und

ein Argument P Stern, sodass Z von P Stern Stern g= 0 ist und das ist dann der Gleichgewichtspreis. Also der Gleichgewichtspreis bewirkt, dass die Überschussnachfrage gleich ist. Okay, Das war der ein dicker Brocken und jetzt kommt der letzte letzte Happen für euch, nämlich die Regel von Lopital. Und dann könnt ihr alles, was mit Ableitung zu tun hat, was ihr in diesem Semester für die Mathe braucht. Aber die Regel von Lopital jetzt auch noch mal in sich, aber eigentlich, wenn man nur die Regel sich anschaut, ist es gar nicht so schwer. Lasst mich das ein ganz

kleines bisschen einführen. Wir haben gesagt, wir dürfen Nicht durch null teilen. Ja, wenn wir durch null teilen, passieren schlimme Dinge. Stellt euch mal vor, an einer bestimmten Stelle x0 hat die Funktion g den Wert 0, ne? Also die kann links von x0 positiv sein und rechts davon negativ oder umgekehrt oder immer positiv oder immer negativ, aber an der Stelle x0 ist die Funktion g = 0. Jetzt nehmen wir eine andere Funktion f, die positiv ist an der Stelle x0 und wir rechnen den Kozienten aus f(x) gex. Da im Zähler was positives steht und der Nenner

gegen null geht, haut uns der Bruch gegen positiv unendlich ab. Das heißt, wir dürfen nicht durch null teilen, aber wir denken uns dann einfach, der Bruch wird unheimlich groß, der Bruch wird unendlich groß an der Stelle. Das gleiche können wir sagen, wenn f an Der Stelle x0 negativ ist. Ja, dann bezah dann teilen wir eine negative Zahl durch 0. Geht natürlich nicht, aber wir können so tun, als ob der Bruch einfach minus unendlich wäre. Also diese beiden Fälle, die können wir super gut händeln, ja? Die machen uns nicht so viel Probleme. Aber was passiert, wenn

f selbst 0 wird an der Stelle x0? Ja, und wir hatten das letzte Woche bei einem bestimmten Problem, da hieß der Bruch irgendwie e hoch x - 1 geil Durch e hoch x. Nein, das war nicht letzte Woche, das war die letzte Vorlesung vom Vorkurs und darauf werde ich heute noch mal zurückkommen. Ja, was passiert, wenn wir ein Bruch haben, wo sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen null geht? Dann haben wir 0 geil durch 0 und wissen überhaupt nicht, was da los ist. Die Regel von Lopital hilft uns da aber weiter. Und wie

wie lautet diese Regel? Wir müssen beide Funktionen ableiten. Also f str ausrechnen, G ausrechnen, jeweils die Ableitung an der Stelle x0 ausrechnen und dann steht hier, dass der Bruch gegen den Bruch der Ableitungen an der Stelle x0 konvergiert. Das ist die Regel von Logital. Ich mache das jetzt erst anhand eines Beispiels und dann möchte ich die Regel begründen. Also Beispiel der Bruch e hoch x - 1 ge x. Die Leute, die im Vorkurs waren, denen kommt das bekannt vor. Da haben wir das erste Mal Über Grenzwerte gesprochen. Ich möchte mir anschauen, was passiert, wenn das

x gegen 0 läuft. Ja, wir können uns mal den Zähler anschauen und ausrechnen ech 0 - 1, ja, das ist 1 - 1, das ist gleich 0. Das ist der Zähler. Was ist mit dem Nenner? Ja, der Nenner ist einfach nur 0, da brauchen wir gar nichts auszurechnen. Das heißt, wir haben hier 0 gee dur 0. Und wie Funktioniert jetzt die Regel von Lopital? Da müssen wir ableiten. Ich radiere das mal eben wieder weg, was wir hier haben. Jetzt müssen wir ableiten und zwar müssen wir ausrechnen ech - 1 einmal abgeleitet geteilt durch ja x

abgeleitet nach x ist einfach nur 1 und zwar an der Stelle x = 0. Also leiten wir mal e hoch x ab. Ja, wenn wir e hoch x ableiten, kommt wieder E hoch x raus. Die -1, die fällt einfach weg. Das heißt, das ist gleich e hoch x, aber x an der Stelle 0, also e hoch 0. Die -1 hier, die fällt weg beim ableiten und dann steht da noch geteilt durch 1. E hoch 0 ist aber wieder = 1, also 1 ge 1. Insgesamt kommt da also eine 1 raus. Wir können jetzt mit der

Regel von Lopital sagen, dass dieser Bruch gegen eins konvergiert, genauso wie wir das im Vorkurs nur mit dem Taschenrechner verifizieren können. Ich mach gleich noch ein Beispiel dazu, aber jetzt kommt erstmal die Begründung. Ja, warum gilt diese Rechenregel? Dazu schreibe ich diesen Bruch noch mal auf. f(x) ge von x. Was haben wir für Voraussetzungen? Wir haben Voraussetzung, dass f an der Stelle x0 = 0 ist. Wir haben die Voraussetzung, dass g an der Stelle x0 = 0 ist. Und wir haben die Voraussetzung, dass die Ableitung von der Funktion g an der Stelle x0 nicht gleich

0 ist, weil Das gleich wieder im Nenner stehen. So, jetzt schreibe ich diesen Bruch hier einmal kompliziert auf. F von x, davon ziehe ich jetzt ab eine 0. Also, ich ziehe ab f von x0. Im Nenner mache ich genau das gleiche. Ich ziehe von g von x eine 0 ab. Also g von x0. Jetzt teile ich Zähler und Nenner durch eine Zahl und zwar durch die gleiche Zahl. F von x - f von x0 teile ich durch x - x0 und das gleiche mache ich im Nenner auch. Ich teile g von x - g von

x0 durch x - x0. Ja, hier brauche ich an der Stelle noch, dass x nicht das gleiche ist wie x0. Das heißt, ihr seht jetzt im Zähler den Differenzenkoquzienten von f und im Nenner den Differenzenquizienten von g. Und wenn ich jetzt den Grenzwert bilde, dann kann ich den Grenzwert in Zähler und Nenner Reinziehen und dann kommen die Ableitung raus. Also genau das mache ich jetzt. Der Grenzwert von x gegen x0 von fx ge von x ist also der Grenzwert von dem Differenzenquatienten von fon x gegen x0 geteilt durch den Grenzwert von x gegen x0 für

die Funktion g. Und da die beiden Funktionen differenzierbar sind, steht hier oben f an der Stelle x0 und hier unten g an der Stelle x0. Also, wenn wir manchmal nicht so genau wissen, was 0 durch 0 sein soll, dann sollten wir die beiden Teile, also Zähler und Nenner, einmal ableiten und uns die Ableitungen anschauen, dann den Quotienten der Ableitung. Jetzt kommt das Beispiel, was einen ökonomischen Hintergrund hat. Und zwar geht es um Kostenkurven. Also, wir nehmen jetzt mal eine Funktion C. Das soll eine Kostenfunktion sein. Und aus dieser Kostenfunktion können wir Verschiedene Teilfunktionen bilden. Wir

können z.B. sagen C von X ist äh besteht aus Fixkosten, die immer anfallen, egal wie groß das X ist und aus variablen Kosten. Also das hier sind die Fixkosten und das hier sind die variablen Kosten. Für die variablen Kosten gilt, dass wenn ich da für x eine 0 einsetze, dass dann 0 rauskommen muss. Also CV an der Stelle 0 = 0. Wenn hier jetzt was positives rauskommen würde, na Dann würde man diesen diese Konstanz den Fixkosten zuen. Was gibt es noch für Kostenkurven, die wir daraus entwickeln können? Wir können die Grenzkosten definieren. Ja, das ist

die Ableitung der Kostenfunktion und wir können die Durchschnittskosten definieren. Also C von X ge, das sind die Durchschnittskosten und die bestehen einerseits aus den Durchschnittlichen Fixkosten und andererseits aus den durchschnittlichen variablen Kosten. Ja, und dieser letzte Teil, der ist jetzt wichtig. Das sind die durchschnittlichen variable Kosten. Und hier haben wir das Problem, wenn wir den äh Achsenabschnitt von den durchschnittlichen Variablenkosten Ausrechnen wollen, dann würde im Zähler eine Null stehen und im Nenner würde eine Null stehen. Und manchmal möchte man wissen, wie groß sind die durchschnittlichen Variablenkosten, wenn wir quasi quasi die Firma erst aufmachen, bevor

wir die erste Einheit produziert haben. Also uns interessiert dieser letzte Bruch an der Stelle null, also die durchschnittlichen Variablenkosten. Was soll da rauskommen? Ja, und da Können wir eben den Satz von Lopital benutzen. Wir können jetzt sagen, das wäre eigentlich 0 durch 0, aber das können wir nicht ausrechnen. Also benutzen wir hier den Satz von Lopital. Das ist gleich die durchschnittlichen Variablen Kosten an der Stelle 0 einmal abgeleitet geteilt durch 1. Ja, warum 1? Wir leiten x nach x ab, dann bleibt 1 übrig. Und jetzt kann man sich fragen, was ist diese Ableitung der durchschnittlichen

Variablenkosten? Das ist ja f + cv von x einmal abgeleitet und ihr seht, dass hier beim ableiten die Konstanten die Konstante f wegfällt. Also das ist einfach CV str von x. Also die Grenzkosten sind gleichzeitig auch die Ableitung der Variablen Kosten und wir können sagen, die Durchschnittliche variable Kostenfunktion hat den gleichen Achsenabschnitt wie die Grenzkostenfunktion. Also das ist das gleiche wie C strich an der Stelle 0. Also, wenn wir die Grenzkosten kennen, kennen wir auch den Y-Achsenabschnitt von den variablen Kosten. Das war's für heute. Ihr wart echt tapfer. Vielen Dank. Ihr seht hier noch kurz

die Zusammenfassung und wir sehen Uns, wenn ihr wollt, nächste Woche wieder.