Mathematik Vorlesung 4

Hallo und herzlich willkommen zur Vorlesung Mathematik. Wir haben wieder Montag, wir haben wieder 11:4 Uhr. Das hier ist die vierte Vorlesung in diesem Wintersemester und ihr seht es, es geht um Optimierung. Also, wir näheren uns dem Ziel der Vorlesung. Was ist das Ziel? Ihr sollt Optimierungsprobleme lösen können mit mehreren Variablen unter Nebenbedingungen. Und in diesem Kapitel geht's erstmal um die Optimierung mit einer Variablen und ohne Nebenbedingungen. Aber Schritt für Schritt kommen wir jetzt dahin, wo wir hin wollen und wir können ganz viele Sachen benutzen, die wir bisher hergeleitet haben. Bevor ich inhaltlich einsteige, habe ich

eine organisatorische Sache. Ich habe gesehen, dass die Tutoriumsplätze fast vollständig belegt sind und auch wenn sich das komisch anhört, ich freue mich da voll drüber, weil das ist ein Freiwilliges Angebot. Also einerseits von uns als Fakultät, wir kriegen dafür kein Geld von der Uni, weil man kriegt normalerweise jetzt z.B. für diese Vorlesung kriegen wir Geld von der Uni, für die Tutorien kriegen wir kein Geld, das finanzieren wir einfach so und ihr bekommt keine Credits für die Tutorien. Das heißt, ihr geht da intrinsisch motiviert hin und dann freut es mich natürlich, wenn das Angebot auch funktioniert

und Angenommen wird. So, aber es ist trotzdem unbefriedigend, wenn Leute ein Tutorium geben wollen und kein Platz mehr da ist. Deswegen habe ich im Model Arbeitsraum eine kleine Abfrage gestartet. Die ist bis Freitagnacht offen und da gibt es nur eine einzige Option, die man anklicken kann und die heißt, ich bin noch aktiv. Das heißt, wenn ihr ein Tutoriumsplatz habt und den auch behalten wollt, dann klickt da bitte drauf und dann behaltet ihr den. Und alle anderen, die da nicht drauf klicken, die geben ihren Platz frei für die anderen Leute, die noch ein Platz suchen. Bitttechön,

da oben kommt eine Wortmeldung. Die ist seit letztem Jahr geschlossen. Ah, danke für den Hinweis. Dann habe ich das Datum noch nicht von 24 auf 25 geändert. werde ich sofort nach der Vorlesung machen. Das ist ein wichtiger Punkt. Also vielleicht mache ich es jetzt direkt und Nicht, dass ich es nachher noch vergesse. Ich glaube, das kann ich mit einem Klick machen. Die Leute, die im Hörsaal sind, die sehen jetzt hier den Arbeitsraum aus von einer lehrenden Person. Und jetzt kann ich hier die Verfügbarkeit einstellen und zwar natürlich nicht 24, sondern 25. So, jetzt ist die

auch frei und da gibt's überhaupt keinen Zeitdruck. Ja, Ihr könnt das egal wann bis Freitag machen und alle Leute, die das anklicken, behalten ihren Platz. Also es gibt nicht irgendwie so ein Konkurrenzkampf deswegen. Okay. Gibt's von eurer Seite noch andere organisatorische Punkte oder vielleicht auch andere Fragen, inhaltliche Fragen, was auch immer sehe ich jetzt nicht. Ja, ansonsten schreibst mir einfach eine E-Mail. Wenn Es geht, schreibt an [email protected] de oder kommt in meine Sprechstunde, die ist direkt immer montags nach der Vorlesung von 2 bis 3. Dann werf ich jetzt noch einmal einen kurzen Blick in den

Stream, um zu gucken, ob da alles läuft. Ja, der Ton ist sehr leise. Das ist ein Problem irgendwie in diesem Rechner und ich habe das nicht gelöst bekommen. Es tut mir voll leid für die Leute, die im Stream dabei sind. Ich glaube, im Video Ist es einigermaßen okay, aber hier an dem Pörserrechner kriege ich das nicht anders eingestellt. So, das ist der Überblick und das Thema Optimierung ist wieder ein größeres Kapitel. Das heißt, das werden wir heute auf keinen Fall abschließen. Es wäre mir irgendwie recht, wenn wir da so zweieinhalb Vorlesung für brauchen, vielleicht zweimal.

Mal gucken. Ich werde heute Eigenschaften sehr stark benutzen aus dem Kapitel 7. Das heißt, Ableiten müssen wir können und aus dem Kapitel 8, wir müssen wissen, was Konkavität und Konvexität ist. Ich werde aber an dem entsprechenden Punkt natürlich noch mal darauf zurückkommen. Am Ende von Kapitel 8 haben wir gesagt, wir können uns diese Sache mit den Ungleichungen sparen, wenn wir auf die zweite Ableitung gucken. Ja, ganz kurz zusammengefasst. Zweite Ableitung kleiner gleich 0 heißt die Funktion des Konkav. Zweite Ableitung größer gleich 0 Heißt die ab die Funktion des Konvex. Und diese Eigenschaft brauchen wir jetzt

in Kapitel 9. Aber im ersten Teil von Kapitel 9 möchte ich noch nicht die zweite Ableitung benutzen. Na, da werden wir erstmal versuchen über die Eigenschaften der ersten Ableitung zu argumentieren, ob die Funktion jetzt koncav ist und ob wir dann ein Maximum oder ein Minimum gefunden haben. Das heißt, wenn ihr euch auf diese heutige Vorlesung noch mal vorbereiten wollt, Wenn ihr gerade das Video schaut, dann guckt euch vielleicht noch mal die erste Hälfte vom Kapitel 8 an, wo es noch nicht um die zweite Abreitung geht. Wir definieren jetzt, wir starten heute mal ganz klassisch. Wir

starten mit einer Definition. Also, das sind die Dinger, die wir suchen, die Extremstellen. Extremstellen, das ist ein Sammelbegriff für Maximalstelle und Minimalstelle. Ja, also das heißt, es kann eins von beiden Sein und wir müssen es einmal definieren. Eine Maximalstelle von der Funktion f, das ist die Stelle, an der die Funktion f den größten Funktionswert hat. Die habe ich hier auf dieser Folie C genannt. Und es gilt also, dass der Funktionswert für alle anderen Xe kleiner oder gleich ist wie an der Stelle C. Dann nennen wir das Maximalstelle, also das Argument, was wir in die Funktion

reinstecken, die Variable heißt maximalstelle. Der Wert der Funktion an dieser Stelle heißt maximal Wert. Ja, und wenn wir beides meinen, dann sprechen wir einfach von Optimum oder Maximum. Ja, besser Maximum. Optimum könnte dann auch ein Minimum sein. Eine Minimalstelle ist eigentlich genauso definiert, bloß andersrum. Also an einer Minimumstelle ist der Funktionswert kleiner als an allen anderen Stellen x. Ja, die Stelle an der das Minimum ist, nennen wir Minimumstelle. Den Funktionswerten Nennen wir Minimumwert und das Ganze nennen wir Minimum. So, jetzt habe ich hier die Ungleichungen jeweils schwach. Die können natürlich auch strickt sein, aber nur

wenn wir nicht x = c bzw. x = d zu lassen. Also, wenn diese Ungleichung strickt ist für alle x, die nicht gleich c, dann haben wir eine strikte Maximumstelle bzw. das gleiche für ein Minimum. Stricktes Minimum. Eine strickte Maximumstelle bedeutet halt, dass die Funktion an der Stelle nicht flach sein darf. Wenn die an der Stelle flach ist, dann hätten wir mehrere Maximalstellen nebeneinander. Das bedeutet auch, dass die Funktion nicht irgendwie so wellenförmig verlaufen darf und an verschiedenen Wellenhöhenpunkten den Maximalwert hat. Ja, das wäre kein stricktes Maximum, weil ich dann einfach mehrere Stellen gebe, die

den gleichen maximalen Wert haben. Bei einem normalen Maximum ohne das Wörtchen strickt wäre das durchaus erlaubt. Ja, also es kann sein, dass die Funktion mehrere Maximalstellen hat, wo der der Maximalwert der Funktion jeweils gleich hoch ist, aber es kann nur eine strikte Maximalstelle. Hier habe ich das einmal aufgezeichnet. Wahrscheinlich habt ihr so ein ähnliches Bild auch im Kopf. Also, wir haben hier ein Grafen von der Funktion und an einer Stelle ist der die y Koordinate am Höchsten und das ist der Maximalwert und der ist an der Stelle f von c. C ist die Maximumstelle und

ihr seht, dass dieses Maximum auch ein stricktes Maximum ist. Egal, wie weit wir nach links oder nach rechts gehen. Dieser Maximalwert wird nirgendwo anders mehr annehmen. Jetzt ist es so, dass viele Resultate, die wir für ein Maximum finden, genauso für Minima gelten oder andersrum. Ja, das heißt, oftmals definieren wir nur das eine von beiden oder besprechen Eigenschaften von dem eigen einem von beiden und können dann direkt darauf schließen, wie das denn andersrum wäre. Und mit andersrum meine ich eigentlich nur, dass man die Funktion mit -1 multipliziert. Ja, was passiert denn, wenn ich diese Funktion oder

dies Funktion mit -1 multipliziere? Was passiert mit den Grafen? Der Graf wird einfach nur an der x-Achse gespiegelt und dann sieht das so aus. die gestrichelte Linie oder Kurve, Das ist der Graf von - F und ihr seht da, wo das Maximum von f, ist automatisch das Minimum von - heißt, wenn wir Maximum verstehen, haben wir eigentlich auch Minimum drauf oder umgekehrt. Jetzt möchte ich zu dem hinkommen, was wir eigentlich aus der Schule wirklich ähm oft schon gehört haben oder oft angewandt haben. Wie findet man Maximum? Das Vorgehen ist erste Ableitung bilden, vielleicht 0 setzen,

nach x auflösen. Ja, das ist das Vorgehen, wie man Maximum findet. Und dieses Vorgehen würde ich gerne einfach Schritt für Schritt begründen, weil es gibt ja so ein paar subtile Eigenschaften. Dieser Punkt heißt Bedingungen für innere Extrempunkte. Was ist ein innerer Punkt? Dazu müssen wir noch mal überlegen, wie sind Funktionen definiert? Funktionen haben einen Definitionsbereich. Der Definitionsbereich ist die Menge Aller Zahlen, die wir in die Funktion reinstecken dürfen. Z.B. ist der Definitionsbereich von der Wurzelfunktion, das sind alle Zahlen, die nicht negativ sind. Ich darf keine negativen Zahlen in die Wurzel reinschreiben. Und dieser Definitionsbereich, der

kann einen Rand haben. Wenn wir bei der Wurzel bleiben, dann ist der Rand von den nicht negativen Zahlen die Null. Ja, da hört's auf. Und dieser Rand ist Im Definitionsbereich enthalten. Ich darf die Null in die Wurzel reinstecken. Und ein innerer Punkt ist nun ein Punkt im Definitionsbereich, der nicht auf dem Randt. Okay. Und um diese inneren Punkte geht es hier auf der Folie. Also, wir haben eine Funktion und die das steht hier, die ist jetzt auf einem offenen Intervall definiert. Was ist das noch mal? Also Intervall heißt alle Zahlen zwischen A und B. Und

wenn die Klammern da rund sind, heißt es, dass die Zahlen A und B nicht im Intervall enthalten sind. Ja, die dürfen nicht in die Funktion reingesteckt werden. Das bedeutet, dass alle Punkte, die hier in diesem offenen Intervall sind, innere Punkte sind. Ja, wenn der Rand in dem Intervall nicht enthalten ist, dann kann es keine Randpunkte geben. Jetzt nehmen wir also diese eine Funktion, die auf so einem offenen Intervall definiert ist und die sei Differenzierbar. differenzierbar bedeutet, sie hat eine Ableitung und zwar überall auf diesem Intervall. Nicht nur an einer Stelle, sondern an allen Stellen können

wir die Ableitung ausrechnen. Grafisch gesprochen, sie hat nirgendswo ein Knick und sie hat auch keine Sprungstellen. Ja, wir haben gelernt beim Differenzieren, wenn die Ableitung existiert, dann muss die Funktion an der Stelle auch stetig sein. Sie darf dann Keine Sprungstellen. So, jetzt nehmen wir uns einen von diesen Punkten raus, die Intervall sind. Und für diesen einen Punkt, den wir x0 nennen, soll die erste Ableitung ungleich 0 sein. Also entweder positiv oder negativ. Die darf nicht gleich 0 sein. Jetzt kommt hier die Behauptung, dann kann das keine Maximumstelle von f sein. Ja, was hat das damit

zu tun, was ich vorhin gesagt habe? Wenn wir Maximum Suchen, erste Ableitung gleich 0 setzen nach x auflösen. Das ist so das normale Vorgeht. Und hier steht nun, wenn die Ableitung nicht gleich 0 ist, dann kann es kein Maximum sein. Das sozusagen eine Verneinung von der Ausgabe, also eine doppelte Verneinung von dem, was ich vorher gesagt habe. Wenn wir also irgendwo ausrechnen, dass die Ableitung an einem Punkt positiv ist oder negativ ist, dann wissen wir sofort: "Hey, das kann kein Maximum sein." Das möchte ich jetzt hier einmal begründen. Ich möchte diese Aussage irgendwie logisch herleiten.

Dann lass uns mal kurz überlegen, was ist noch mal f str von x0? Wie war das noch mal definiert? Das war ja als Grenzwert definiert. Dann schreiben wir nim für ein X, das gegen x0 geht und zwar von diesen Differenzenkurtizen. Also f von x - f von x0 ge x - x0. Und diese Definition möchte ich jetzt gleich Benutzen. Bei der Begründung, die ich jetzt mache, kommt es darauf an, ob die erste Ableitung positiv ist. oder negativ ist. Ich nehme jetzt mal an, dass die Ableitung positiv ist. Ja, die soll ja nicht gleich null sein.

Zwei Fälle sind möglich. Deswegen nehme ich jetzt mal an, dass f von x0 positiv ist. Die Begründung für negativ würde analog genauso funktionieren. Und wer möchte, kann das Dann nachher einfach mal selber probieren, wie das wäre, wenn die erste Ableitung negativ wäre. So, jetzt muss ich noch was zu diesem Grenzwert sagen. Wir haben gesagt, der Grenzwert existiert, wenn dieser Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert und dem rechtsseitigen Grenzwert ist. Linksseitiger Grenzwert bedeutet, wir nähern uns diesen x0 von links und rechtsseitiger Grenzwert bedeutet, wir Näheren uns den x0 von rechts. Jetzt möchte ich mir nur Xe anschauen,

die größer sind als X0. Das heißt, ich möchte mir nur mal den rechtseitigen Grenzwert anschauen. Also, es soll gelten, dass u das war falsch. Dieses F strich nicht einfach nur der Grenzwert ist, sondern der rechtsseitige Grenzwert. Deswegen schreibe ich da so ein Plus an das x0 dran. uns von rechts da dran und dann können Wir sagen, dass f von x - f von x0 ge x - x0 und jetzt ohne dieses Grenzwerköns, ja, also ich schaue mir jetzt ein x an, was größer ist als x0, schreibe ich mal daneben hier für x größer als x0,

was aber ganz ganz nah dran an x0 dran ist also für x größer als 0 und x nahe genug an x0. Ich geh nur so ein Mikrometer Nach rechts und wenn jetzt eben die erste Ableitung positiv ist, dann muss der Grenzwert davon positiv sein und dann muss der Bruch auch positiv sein, wenn ich noch nicht bei dem x0 angekommen bin. Also, das muss größer als 0 sein. Und ab jetzt wird's wieder ein bisschen übersichtlicher. Ich habe ja gesagt, das x soll größer als x0 sein. Also kann ich doch diese Ungleichung hier, ne, diese Ungleichung Mit

dem Nenner multiplizieren mit x - x0 mit was positiven und dann bleibt die Ungleichung erhalten. Also habe ich jetzt auf beiden Seiten mal x - x0 multipliziert und dann kommt bleibt nur der Zähler übrig. Der Zähler ist positiv und das kann ich jetzt wieder umformen. Zu f von x ist größer als f von x. So, das gilt jetzt nicht notwendigerweise für alle x, sondern das Gilt nur für dieses eine x, was ganz nah rechts neben x0 sitzt. Und deswegen muss ich dieses x nahe genug an x0 ein bisschen genauer aufschreiben. Also, wir wissen, dass das

x0 hier in dem offenen Intervall ist. Und diese Schreibweise, die sieht ein bisschen komisch aus. Das kann ich auch so schreiben. A ist strick kleiner X0 ist str kleiner B. Das bedeutet dieses X0 Element ist dieses von dem Intervall. Liegt irgendwo im Intervall. So, wenn jetzt mein X ein kleines bößchen größer ist als x0, aber nicht viel größer, dann ist hier zwischen dem X0 und dem B noch ein bisschen Platz. Das heißt, ich kann auch sagen, dass das x zwischen x0 und b ist. Ja, also das x0 ist irgendwo in dem offenen Intervall drin und

zwischen der rechten Intervallgrenze und dem x0 ist noch Platz für mein X. Und jetzt kann ich also sagen, der Funktionswert für dieses x ist größer als der Funktionswert an der Stelle x0. Also kann x0 keine maximumstellung sein. Das ist das ganze Argument. Ist keine Maxstelle. So, wie wäre das jetzt, wenn ich mir die linke Seite von x0 anschaue? Ja, muss ich genau andersrum argumentieren und dann kann ich auch eben mit äh einer ähnlichen Begründung sagen, dass x0 Keine Maximumstelle ist. Wie sieht das aus mit einer Minimumstelle? Eigentlich ganz genauso. Ja, probiert das einfach mal aus.

Im Prinzip gibt's vier Fälle. Einmal Maximum und einmal Minimum. Und einmal geht's darum, ob ich rechts neben nicht x0 bin oder links neben x0 bin. In allen vier Fällen kann man das Argument bringen, was ich jetzt hier gebracht habe. Und somit können wir also sagen, hey, wenn die Ableitung ungleich 0 ist, dann kann es keine Maximumstelle sein Und auch keine Minimumstelle. Und das habe ich auf der nächsten Seite noch mal aufgeschrieben. Das steht genau hier, ne? Wenn die erste Ableitung ungleich null ist, dann kann ich keine Maximum und keine Minimumstelle haben. Und jetzt drehen wir

diese Aussage um und bekommen die notwendige Bedingung erster Ordnung, die ihr kennt. Die notwendige Bedingung erster Ordnung lautet: Falls ich eine innere Extremstelle habe, also falls mein x0 in diesem offenen Intervall ab ist und falls es eine Extremstelle ist, also ein Maximum oder ein Minimum, dann muss die erste Ableitung gleich 0 sein. Okay? äh eine Kleinigkeit, die ich noch dazu sagen sollte. Die Funktion muss natürlich überhaupt eine Ableitung haben. Also hier oben steht f differenzierbar. Wenn das eine Funktion mit Knicken ist, dann kann ich das Leider nicht mehr so anwenden. Aber wenn ich weiß, die

Funktion ist differenzierbar, sie hat überall eine Ableitung und ich weiß, sie hat irgendwo ein Maximum im Inneren ihres Definitionsbereiches, dann kann ich sagen, dann muss die erste Ableitung an dieser Stelle gleich 0 sein. Und deswegen finden wir diese Punkte so toll, wo die erste Ableitung gleich 0 ist und geben denen einen eigenen Namen. Und zwar sind das Stationäre Stellen oder auch kritische Stellen. Das bedeutet aber noch nicht, dass jede stationäre Stelle Maximum ist. Und das ist der wichtige subtile Punkt. Ihr müsst immer dran denken, in welche Richtung ihr dieses Argument benutzt. Wenn ihr wisst, dass

es ein Maximum ist, dann folgt daraus, dass es eine stationäre Stelle ist. Das ist die richtige Richtung. Andersrum funktioniert das nicht. Und für dieses andersrum habe ich euch ein paar Gegenbeispiele mitgebracht. Die sehen wir z.B. hier. Da seht ihr auf dem Grafen zwei Stellen, an denen die Ableitung gleich 0 ist. Aber nicht jede dieser stationären Stellen ist ein Maximum. Ja, wir können also nicht so vorgehen. Erste Abwertung ist gleich 0. Aha, also haben wir ein Maximum. Das geht nicht, nur anders. Also hier hätten wir jetzt ein Maximum An der Stelle C, ein Minimum an der

Stelle D. Prima. Aber es kann auch anders sein. Z.B. wie bei diesem Graf. Dieser Graf hat überhaupt keine stationäre Stelle. Woran liegt das? Das liegt daran, dass dummerweise genau an der Stelle, wo der Graf ist, ein Knick ist. Das heißt, genau an der Stelle, auf die es ankommt, ist die Funktion nicht differenzierbar. Also können wir hier sagen, es gibt zwar einen Extrempunkt, das ist der Punkt D, Aber die Funktion ist nicht differenzierbar, deswegen können wir nicht diesen zwingenden Schluss machen. Die erste Ableitung muss gleich null sein. Was kann noch schief gehen? Mal schauen. Hier sehen

wir drei Punkte, an denen die erste Ableitung gleich 0 ist. X1, X2, X3. Aber bei keinen von diesen drei Punkten haben wir ein Maximum. Und das liegt daran, dass das Maximum kein innerer Punkt ist. Ja, das Maximum liegt hier am Rand und nicht im Inneren des Definitionsbereiches. Diese notwendige Bedingung erster Ordnung, die funktioniert nur, wenn das Extremum im Inneren des Definitionsbereiches ist. Jetzt geht's darum rauszufinden, haben wir ein Maximum oder ein Minimum bekommen? Ja, ihr seht den Grafen und ihr seht natürlich ist an der Stelle x0 ein Maximum. Aber wie können wir das Rausfinden, ohne

dass wir den Grafen zeichnen müssen? Manche Funktionen sind so kompliziert, dass es uns wirklich schwer fällt, den Grafen dazu aufzuzeichnen. Das heißt, wir müssen auch erkennen können, ob wir ein Maximum haben oder ein Minimum, wenn wir uns die Struktur der Funktion anschauen. Und damit meine ich auf dieser Folie die erste Abreifung. Was gilt denn links von der Maximalstelle? Links vom Maximum muss notwendigerweise gelten, dass die Funktion immer größer wird, also dass die erste Abreitung größer gleich 0 ist. Das sehen wir hier links von x0. Erste Ableitung größer gleich 0. Und wenn wir vom Maximum nach

rechts weitergehen, dann sinkt der Funktionswert. Das heißt, hier ist die erste Ableitung kleiner gleich. So, wenn wir jetzt die erste Ableitung Multiplizieren mit dieser Differenz, dann kommt raus, dass dieser Ausdruck immer kleiner gleich 0 sein muss. Und zwar egal, ob wir links von x0 sind oder rechts von x0. Schauen wir uns mal genauer an. Also hier in diesem Bereich, da ist das x kleiner= x0 und das bedeutet, dass x - x0 kleiner gleich 0 ist. Das heißt, wenn wir hier eine nicht negative Zahl f von x0 nee f x, Entschuldigung, Das ist größer gleich 0

multiplizieren mit x - x0 und das ist kleiner gleich 0. Dann haben wir größer gleich mal kleiner gleich kommt kleiner gleich raus. Jetzt machen wir das gleiche mal auf der rechten Seite von x0. Also hier da gilt, dass x größer = x0 ist bzw. x - x0 größer gleich 0. Und wenn wir das jetzt mit der ersten Ableitung multiplizieren, dann haben wir hier die erste Ableitung ist kleiner gleich 0. Der Funktionswert Wird ja kleiner, weil x - x0, das hier ist größer gleich 0. Das heißt wieder geldt, das ganze Ding ist nicht kleiner als x,

sondern kleiner als 0. Das heißt, egal ob wir uns links oder rechts vom Maximum befinden, diese Ungleichung ist kleiner gleich 0. Selbst wenn wir uns genau an der Maximumstelle befinden, dann kommt gleich 0 raus und auch das gilt. Das heißt, wir können uns diese Ungleichheit hier merken. f(x) Mal x - x0 und wenn diese Ungleichung immer kleiner gleich 0 ist, egal welches x wir einsetzen, dann muss x0 eine Maximumstelle sein. Wir brauchen dafür die zweite Ableitung nicht. Wir brauchen nicht zu wissen, ob die Funktion koncav ist. Ja, es kann Funktionen geben, da funktioniert das nicht.

Es kann Funktionen geben, die dann hier hinten irgendwo wieder hochgehen und dann wieder runter. Ja, dann würde Dieses Argument leider nicht klappen. Aber wenn diese Ungleichheit gilt, dann können wir direkt sagen, x0 ist ein Maximum. Das radiere ich mal wieder weg. Und wir werden nachher genau diese Bedingung noch mal benutzen. Ja, ich habe ziemlich viele Beispiele dabei, die wir durchrechnen können. Angewandte wirtschaftswissenschaftliche Probleme und dann erinnern wir uns hoffentlich noch an diese Umgleichung. Wie sieht das aus, wenn wir ein Minimum finden? Eigentlich genauso nur andersrum. Also, wenn eine Funktion die Eigenschaft hat, dass sie links

vom Minimum immer kleiner wird, also hier ist die Ableitung immer kleiner gleich 0, fmer kleiner gleich 0 und auf der rechten Seite ist fich immer größer gleich 0. Dann passiert genau das gleiche wie auf der Folie eben. Bloß auf der linken Seite multiplizieren wir dann was Negatives mit was Negatives. Also f von x0 mal x - x0 ist hier kleiner gleich 0 und hier ebenfalls kleiner gleich 0 und minus mal minus gibt plus. Also das ganze ist dann größer gleich 0. auf der rechten Seite mal umgekehrt, da ist F* x - x0, das hier ist

größer gleich 0, das hier ist größer gleich 0 und plus mal plus ist wieder plus, also größer gleich 0. Das heißt, wenn wir Eine Minimumstelle suchen, dann können wir uns die gleiche Bedingung wie eben anschauen. Plus muss das dann nicht kleiner gleich 0 sein, sondern größer gleich 0. Okay, stellt euch mal vor, wir haben eine Funktion, die nicht konkarb ist, wo wir also dieses Argument mit der Konkavität nicht benutzen können, was vorher äh was wir heute nächste Woche behandeln werden. Dann können wir immer noch diese Ungleichheit Benutzen. Ich möchte euch dafür ein Beispiel bringen aus

der Statistik und zwar versuche ich jetzt mal die Dichte der Normalverteilung zu zeichnen und die sieht so aus. Das ist so eine Glockenkurve. So, es hat fast gefunktioniert. Bloß muss ich die Y-Achse ein bisschen verschieben. So, also das hier soll x y sein und y = F von X und das soll die Dichte der Normalverteilung sein. So, wir sehen, dass diese Funktion nicht konkav ist. Also, wir können hier eine Verbindungslinie einzeichnen. Wir nehmen zwei beliebige Punkte auf dem Grafen, z.B. diese hier. Und dann sehen wir, die Verbindungslinie liegt oberhalb des Grafens. Das heißt, die Funktion

ist nicht koncav. Ich kann zwei andere Punkte nehmen, das ist genau andersrum. Da liegt die Verbindungslinie unterhalb des Grafens. Das heißt, die Funktion ist auch nicht Konvex. Jetzt schreibe ich mal dazu, weder konkave noch Konvex. Und wir können aber das Argument von der Folie davor benutzen. Also wir können hier sehen, bis hier gilt, dass F strit ist. Ja, wir können das auch mit strich Größer schreiben und hier ist f str von x kleiner als 0 und deswegen gilt an der Stelle x0 = 0. Also das ist das hier dieser Punkt. Deswegen können wir sagen, f*

mal x - x0 kleiner als 0 für alle x, die nicht gleich x0 sind. Wenn ich für x = x0 einsetze, dann habe ich das ganze nicht gleich. Und deswegen kann ich sagen, an der Stelle x0 ist ein Maximum. Ohne dass ich den Grafen zeichnen Müsste, ich muss quasi nur die Ableitung der Funktion bilden und dann diese Umgleichung hier. Okay, für Minimum nochmals Wiederholung, für ein Minimum muss einfach nur diese Ungleichung andersrum sein. Dann haben wir Minimum an der Stelle X. Jetzt haben wir also die Möglichkeit mit der ersten Ableitung nicht nur Kandidaten für Maximumstellen

zu finden. Ja, innere stationäre Punkte Sind ja nur Kandidat für extrem stellen, sondern wir können mit der ersten Ableitung auch charakterisieren, ob ein Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist. Also, wenn wir aus den Beispielen, die wir zuvor grafisch gesehen haben, ich gehe noch einfach mal zu einem Beispiel zurück zu, sagen wir mal, ja, doch, das hat mir ganz gut gefallen. Zu diesen Beispielen, da haben wir drei innere stationäre Punkte und allein daran, dass sie stationär sind, können wir noch nicht erkennen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Wenn wir jetzt z.

mal das X3 uns anschauen. Ja, dann können wir sagen in diesem Bereich, ich muss die Kle anders malen. In diesem Bereich gilt F größer als 0 und in diesem Bereich gilt auch f ist größer als 0. Das heißt, in diesem Bereich gilt f von X mal x - x0 kleiner als 0, weil das x kleiner ist als Ah, jetzt kann ich hier auch x3 schreiben, weil das x kleiner ist als x3 und in dem Bereich daneben f x mal x- x3, das ist positiv und deswegen kann ich sagen, hey, wir haben ja wieder Minimum noch

ein Maximum. Okay, wir werden das später Sattelpunkt, wenn wir jetzt hier hingehen, dann würde das Argument trotzdem funktionieren. Also hier Gilt F ist kleiner als 0, hier ist F ist größer als 0. Und das heißt, hier würde links und rechts von x1 gelten f von x mal x - x1 ist kleiner als 0. Ja, dann können wir sagen, x1 ist ein Maximum. Aber Vorsicht, es ist ein Maximum in einem kleinen Bereich des Definitionsbereiches. Also, wir sehen, dass z.B. ab hier die erste Ableitung wieder positiv wird. Das heißt, das Argument, was ich eben benutzt habe, um

zu sagen, dass x1 ein Maximum ist, das gilt sozusagen nur bis zu dieser Grenze und das gilt nicht auf dem kompletten Definitionsbereich. Also zwischen A und X2 können wir sagen, x1 ist eine Maximalstellung. Aber wenn wir uns den kompletten Bereich zwischen A und B anschauen, dann ist X1 natürlich keine maximalstelle und da werden wir später den Unterschied zwischen Maximum und lokalen Maximum noch bekommen. Ja, das werden wir später Unterschreiben. Okay, wo war ich stehen geblieben? Auf dieser Folie, wenn die Ungleichungen gestrickt sind, haben wir strickte Extremstellen. Und strickte Extremstellen bedeutet, es gibt nur eine. Es

gibt nicht mehr. Jetzt kommen wir zu dem der zweiten Eigenschaft und das zielt so ein bisschen in Richtung zweiter Ableitung, aber wir wollen immer noch ohne zweite Ableitung arbeiten. Also wir wollen die Zweite Eigenschaft Konkavität und Konvexität auswechseln. Was steht hier genau? Erstens x0 ist eine stationäre Stelle von f. Hier steht nicht, dass f differenzierbar sein muss. Das heißt, es kann sein, dass es die erste Ableitung gar nicht hat und dass die zweite Ableitung auch nicht existiert. Hier steht auch nicht, dass x0 ein innerer Punkt sein muss. Ja, theoretisch könnte x0 jetzt auch ein Randpunkt

sein. Unter ersten steht jetzt, wenn F concave ist, dann ist x0 eine Maximumstelle und andersrum, wenn x wenn f konvex ist, dann wäre x0 eine Minimumstelle. Und jetzt möchte ich mit euch zusammen rausfinden, hä, warum gilt das? Ja, das so ist, ist wahrscheinlich vielen von euch bewusst. Die Frage ist nur, warum? Und dazu möchte ich ein Diagramm zeichnen, was wir noch aus Kapitel 8 haben. Ich ähm ich glaube, ich krieg das Schnell gezeichnet. Muss jetzt nicht noch mal in Kapitel 8 reingehen. Also, ich male jetzt hier mal irgendeine konkabe Funktion rein. Z.B. die hier. Y

= F von X. Ja, warum ist die Konkaave? Ich nehme irgendeine Verbindungslinie. Die Verbindungslinie liegt unter dem Graf. Okay, jetzt schaue ich mir einen bestimmten Punkt an an irgendeiner Stelle, z.B. an dieser Stelle Und den nenne ich mal x0. Und jetzt zeichne ich eine Tangente an die Funktion an, genau in diesem Punkt. Mal gucken, ob ich das hinkriege. Genau. Und jetzt ist noch mal die Frage, was war noch mal die Gleichung für diese Tangente? Ja, und da können wir uns dran erinnern. Wir brauchen diese lineare Approximation. Die Tangente ist eine Linie, also wir Brauchen die

Approximation. Ersten Grad ist die lineare Approximation. Und wie wie ging die noch mal? Das war f an der Stelle x0 + die erste Ableitung an der Stelle x0 mal x - x0. Das ist die Tangentengleiche. Und in Kapitel 8 haben wir diese Folie benutzt, um zu zu behaupten oder zu zu argumentieren, falls f konkav ist, dann gilt, dass die y Koordinate von der Tangente immer oberhalb von der y Koordinate von Grafen liegt. Also die Tangente liegt komplett über dem Grafen. Also f von x0 + f von x0* x - x0 ist größer. Ja, wir haben

hier nur konkav und nicht streng konkav, also größer gleich f von x. Also die Tangente liegt komplett über dem Graf. Das haben wir benutzt in der letzten Woche. Jetzt haben wir auf dieser Folie aber noch eine Zusatzbedingung. Ja, wir haben Einerseits die Bedingung hier, wenn F koncav ist, das hier, aber andererseits haben wir auch noch, dass x0 eine stationäre Stelle sein soll. Und das nutze ich jetzt mal aus. Also falls x0 stationär ist, dann bedeutet das, dass die erste Ableitung von der Funktion f, ah, hier brauchen wir doch die erste Ableitung, dass die gleich 0

sein soll. Okay. Und das setze ich jetzt in der Ungleichung oben drüber ein und dann steht da nur noch f von x0 ist größer f von x. Und damit haben wir gezeigt, dass x0 eine maximum ist. Ja, diese Ungleichung, die muss gelten für alle x und damit gilt auch das hier für alle x. Also, wenn wir eine Funktion haben, von der wir wissen, dass sie Konkave ist und wenn wir einen Punkt haben, in dem die erste Ableitung gleich 0 ist, dann können wir sagen, mit diesen beiden Informationen zusammen muss es sich um eine Maximumstelle handeln.

Wenn sie nicht koncav ist, sondern konvex, funktioniert das Argument genau andersrum. Dann muss die Tangente immer unterhalb des Grafens negen und dann müssen wir das Minimum. Also, wie ist das Vorgehen? Schritt ein wir suchen stationäre Stellen und zwar innere stationäre Stellen. Und wenn wir dann mehrere innere Stationäre Stellen gefunden haben, dann können wir zusätzlich noch versuchen rauszufinden, ob die Funktion koncb oder konvex ist. Wenn sie konk, dann müssen die inneren stationären Stellen auf jeden Fall maximal sein. Wenn auch eine Randstelle stationär ist und die Funktion koncav ist, dann gilt das auch genauso. Wie ist das

mit strickter Konkavität? Und eben hat mich jemand in der Übung noch mal angesprochen, was ist Eigentlich noch mal der Unterschied zwischen normalkav und Strickkoncav? Und da hier auf dieser Folie genau auf diesen Unterschied ankommt, würde ich euch das gerne noch mal äh genauer aufschreiben. Also, eine Funktion ist Koncave und ich werde das auch gleich hier gebrauchen können. Deswegen ist das gut, wenn ich das aufschreibe, ohne das Wörkchen strickt, falls folgende Ungleichung gilt fda* X1 + 1 - lambda mal x2 ist größer gleich. Also, das hier ist der Funktionswert, wenn wir zwei verschiedene X-Koordinaten mischen. Und

jetzt kommt die Mischung von den Funktionswerten an den einzelnen Koordinaten, also lambda mal f(x1) + 1 - lambda mal f(x2). Das, was auf der rechten Seite von der Ungleichung steht, ist jetzt die Mischung der Funktionswerte und das ist Die y Koordinate auf dieser Verbindungslinie. Und wenn die Funktion konkrav ist, dann muss die Verbindungslinie unterhalb vom Grafen liegen. Der Graf ist hier links auf der linken Seite. Die Verbindungslinien ist hier auf der rechten Seite und deswegen ist die Ungleichung in diese Richtung sein. So. So, und das soll nicht nur für irgendein bestimmtes konkretes Lambda gelten, sondern

für alle Lambda, Für alle Lambda, die zwischen 0 und 1 liegen und für alle x1 und x2 für alle x1 und x2, die im Definitionsbereich von der Funktion sind. Das bedeutet Konkave ohne das Wörkchen strickt. Gibt's dazu direkt Rückmeldung? Okay, was passiert, wenn wir jetzt strickt Koncave forn und nicht nur Koncav? Strickt Concav bedeutet, dass diese Verbindungslinie wirklich überall unter dem Grafen liegt. Na ja, wirklich überall. An den beiden Endpunkten berührt die Verbindungslinie ja den Grafen. Da kann sie nicht wirklich drunterlegen, aber überall dazwischen, ja, überall zwischen den beiden Endpunkten muss die Verbindungslinie echt unterhalb

des Grafens liegen. Und deswegen kommt jetzt hier strickkoncav. Ich hoffe, ich habe da noch genug Platz. F ist strickt Konkav. Falls auf der linken Seite steht erstmal das gleiche. F von Lambda X1 + 1 - Lambda X2. Falls das echt größer ist als Lambda mal f von x1 + 1 - Lambda mal f von x2. So, und jetzt muss ich bei diesem für alle aufpassen. Wenn ich jetzt lambda = 0 setze, dann steht auf der linken Seite f von x2 und auf der rechten Seite steht f von x2. lambda = 0 bedeutet, dass wir An

dem rechten Berührungspunkt sind und da kann die Ungleichung natürlich nicht strick geldben. Genau das gleiche gilt für Lambda = 1. Dann werden wir am linken Punkt, da wo links die Wäscheleine aufgehängt ist und da berührt ja die äh die Verbindungslinie den Grafen. Deswegen muss ich jetzt fordern für alle 0 str kleiner Lambda str kleiner als 1. Und was kann noch schiefgehen? Ich darf jetzt nicht mehr alle x1 x2 zulassen, Sondern nur Paare von x1 x2, die nicht gleich sind. In der oberen Gleichung oder Ungleichung könnte ich theoretisch auch x1 = x2 zulassen. Wäre ein bisschen

langweilig, aber wäre möglich. Bei dem unteren Fall wäre das nicht mehr möglich. Also für alle x1 x2 mit x1= x2. Also alle XE, die dazwischen liegen, ja, also alle Komvexombinationen, die echt zwischen x1 und x2 liegen, die Wollen wir uns anschauen. Wenn jetzt eine Funktion einen geraden Abschnitt hat, ja, wenn die auf irgendwo wo der Graf, wenn irgendwo an irgendeiner Stelle der Graf einfach nur eine Gerade ist, dann wäre sie nur Konka. oder Konvex, wenn wir das gleiche für Konvex betrachten. Und wenn die Kurve echt gekrümmt ist, dann wäre sie streng konk bzw. streng konvex,

wenn es anders ist. So, was hat jetzt dieses Koncav mit Maximumstelle zu tun und mit Eindeutiger Maximumstelle? Hier steht, wenn die Funktion strikt koncav ist, dann kann es nur ein Maximum geben. Es kann nicht mehrere Maximal geben. Und das würde ich jetzt einfach mal durch einen Widerspruch begründen. Also wir stellen uns einfach mal vor, dass die Funktion strick ist, sei f strickt konve und das Maximum sei nicht eindeutig, Also und es gäbe zwei Maximalstellen. Die nennen wir x1 und x2 und die dürfen natürlich nicht gleich sein. Ja, dann wäre es halt doch nur eine Stimme.

Und jetzt setze ich einfach die Definition von Strick Koncav ein. Also ich schaue mir, also ich muss erstmal sagen, okay, wenn das beide Maximumstellen sind, dann ist der Funktionswert an beiden Stellen gleich Und zwar strikt größer größer gleich, sagen wir es mal so, ähm als fzusagen die Bedingung dafür, dass x1 und x2 maximalstellen soll. Und jetzt kann ich also sagen, dieses f1 kann ich aufteilen in lambda mal f von x1 + 1 - lambda mal f von x1, aber da kann ich auch schreiben f2 und dann habe ich die rechte Seite der Ungleichung und jetzt

kommt strickt koncave, Also f strick koncave. Jetzt habe ich die Umgleichung gerade umgedreht. Pädagorisch nicht so sinnvoll, aber egal. Also, das ist die y Koordinate der Verbindungslinie und jetzt kommt hier f an der Stelle lambda x1 + 1 - lambda x2. Aber was sehen wir? Wir haben jetzt zwischen diesen beiden Extremstellen einen Punkt gefunden, eine Mischung, die einen höheren Funktionswert hat. Und das kann ja nicht sein. Ja, dann Wäre ja wieder x1 noch x2 eine maximumstelle. Das ist das Argument. Dann ist aber weder x1 noch x2 eine Maxstelle und damit haben wir einen Widerspruch und

das mache ich mit so einem Blitz. Also, wenn wir annehmen, dass die Aussage, die ich beweisen will, falsch ist, dass es also doch zwei Maxstellen Gibt und die Funktion strich konkav ist, dann können wir dann mit der Eigenschaft der Konkavität zeigen, dass es zwischen x1 und x2 noch mehr Stellen gibt, wo die Funktion größer ist und deswegen kann es keine maximum Felle sein. Also einmal konkret aufgezeichnet. Hier haben wir X, hier haben wir y, dann haben wir hier X1 und X2. Und an dieser Stelle sind dann die vermeintlichen Maximalwerte. Und jetzt sagen wir, okay, wenn

die Funktion f strikt konkave ist, dann können wir also eine Verbindungslinie zeichnen zwischen diesen beiden Punkten. Und diese Verbindungslinie, die muss echt unterhalb vom Grafen liegen, also muss der Graf irgendwie oberhalb von dieser Verbindungslinie verlaufen und dann haben wir auch Punkte, die dazwischen liegen, den größeren Funktionswerter haben. Das ist der Der Inhalt der Argumentation. Okay, jetzt kommen wir zu ganz vielen Beispielen. Jetzt können wir versuchen, das Ganze, was wir bisher gelernt haben, anzuwenden und wir werden bei jedem Beispiel was anderes irgendwie anwenden. Mal gucken. Hier geht es um eine Firma im perfekten Wettbewerb. Perfekter Wettbewerbedeutet,

dass die Firma den Marktpreis als gegeben ansieht. Also im perfekten Wettbewerb haben wir viele Firmen und die einzelne Firma ist so klein, dass sie keine Marktmacht hat, um irgendwie den Preis amerkt zu drücken oder nach oben durch ein verkürztes Angebot zu verschieben. Das gilt einerseits für den Output Markkt, für das Produkt, was produziert wird, aber auch andererseits für den Inputmarkt. Also, wenn sie Arbeitskräfte einkauft, wenn sie Rohstoffe einkauft, wenn sie Energie einkauft, dann ist sie So klein, dass durch ihre Kaufentscheidungen die Marktpreise nicht beeinflusst werden. Und jetzt haben wir hier einen einfachen Fall. Die Firma

produziert nur ein einziges Gut, das nennen wir Output und sie hat auch nur ein einziges Input und das nennen wir Input. Also, sie hat nur einen einzigen Produktionsfaktor und der Preis für das Input, denn der ist jetzt einfach mal ein/HB und der Preis für das Output ist 10. Jetzt brauchen wir noch, um das äh zu vervollständigen, das Problem eine Produktionsfunktion. Die Produktionsfunktion soll hier die Wurzelfunktion sein. Und was genau ist eine Produktionsfunktion? Das ist eine Funktion, die uns sagt, wie wir das Input in ein Output umwandeln können. Also, wenn das die Wurzel ist, dann können

wir sagen, wir können vier Einheiten des Inputs in zwei Einheiten des Outputs umwandeln oder 16 Inputs in Vier Outputs. Ja, bei dieser Produktionsfunktion sind zwei Eigenschaften wichtig, wenn ich die mal aufzeichne. Das hier soll die Wurzelfunktion sein. X Y y = W√ X. Die erste Eigenschaft die ist strengmon wachsend. Ja, das ist eine plausible Eigenschaft. Mehr Inputs bedeutet mehr Outputs. Wenn ich mehr reinstecke, kommt mehr raus. Und die zweite Eigenschaft ist, dass sie konk gekrümmt ist. Ja, die ist sogar streng konkav. Ich schreibe jetzt nur mal Konkav. Warum ist diese Eigenschaft wichtig? Wenn wir uns

die Steigung der Produktionsfunktion anschauen, dann sagt uns die Steigung, um wie viel steigt mein Output, wenn ich meinen Input um eins erhöhe? Ja, so ungefähr, ne? Also, wenn die Input Mengen, wenn sie bereits irgendwie 1000 Inputs reinsteckt, dann ist ein sehr klein im Vergleich zu 1000. Und die Steigung der Funktion sagt mir Dann halt, wie viel steigt das Output, wenn mein Input und eins erhöhe. Koncave bedeutet jetzt, dass diese Steigung immer kleiner, also immer flacher wird. Also an der Stelle x = 1000 ist die Steigung flacher als an der Stelle x = 100. Und das

bedeutet, dass mein Input immer weniger produktiv wird. Wenn ich wenig Inputs einsetze, dann ist ein zusätzliches Input sehr wertvoll. Und wenn ich bereits sehr viel von dem Input einsetzt setze, dann ist der Zuwachs an Produktivität geringer. Und das nennen wir sinkende Grenzprodukte. Ich schreibe das einfach mal dazu. Sinkendes Grenzprodukt und das ist eben eine typische Eigenschaft von Produktionsfunktion. Ja, beides strengmon wachsen und sinkendes Grenzpunkt. Die erste Eigenschaft heißt erste Ableitung ist positiv und die zweite Ableitung zweite Eigenschaft heißt die erste Ableitung ist zwar immer positiv, wird aber immer kleiner. Ich würde euch gerne da irgendwie

eine Story dazu sagen. Stellt euch vor, ihr habt ein Imbis. In dem Imbis stellt ihr Verlaffel her und euer Input, ja, ist eigentlich braucht man ja super viele Inputs, die ganzen Zutaten, aber sagen wir einfach mal, euer Input ist einfach nur die Anzahl der Köche, die in den Indis drin stehen. Ja, der erste Koch, Den ihr einstellt, der wird die Anzahl der produzierten Verlaffel sehr stark erhöht. Aber wenn ihr schon zehn Köche in dem Imbis Imbis stehen habt, dann merkt ihr, das wird immer enger da drin. Ja, die stoßen sich gegenseitig an, behindern sich gegenseitig,

stehen sich im Weg. Das heißt, der elfte Koch wird dann nicht mehr so produktiv sein, also wird die Produktivität des Indbes nicht mehr so stark steigern können wie der erste Koch. Das heißt, die sinkenden Grenzprodukte, die kriegen wir immer dann, wenn es an irgendeiner Stelle eine Kapazitätsbeschränkung gibt. Und die gibt es eigentlich immer überall. Irgendwo gibt's immer eine Kapazitätsbeschränkung und deswegen ist es eine plausible Annahme an eine Produktionsfunktion, dass sie konkav ist. Okay, das ist hier erfüllt. Wir können dieses Beispiel also auch allgemein aufschreiben für Funktionen, Die strengutronen steigen sind Konka, aber ich wollte hier

ein konkretes Zahlenbeispiel haben und mit dem dann arbeiten. Jetzt schreiben wir mit all diesen Zutaten zusammen die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion habe ich jetzt erstmal mit X und Y aufgeschrieben. Y ist die Menge des Outputs, damit man besser sehen kann. P mal Y, das ist der Erlös, das sind die Einnahmen, die die Firma am Markt bekommt. Und Dieses W x, W ist der Preis für das Input, das sind die Kosten. Und jetzt habe ich das konkret ersetzt. Also P ist 10, da oben ist g 10. Dieses y F von X bzw. Wurzel X. Ein/H/B sind

die Kosten für das Input. Ja. Und x bleibt X. Das ist die Zielfunktion, die wollen wir maximieren. Okay. Die schreibe ich jetzt mal auf die nächste Folie. Also die Gewinnfunktion als Funktion des der Inputmenge ist 10* Welx x - 1/2* x. Und jetzt können wir uns noch überlegen, was ist der Definitionsbereich der Funktion? Das sind die nicht negativen reellen Zahlen. Also, die 0 darf ich noch einsetzen, die -1 darf ich nicht mehr einsetzen. Jetzt nehmen wir mal an, die Funktion hätte ein inneres Maximum. Also falls Pi eine innere Maximalstelle oder nennen wir die einfach mal

x Stern hat, dann können wir argumentieren, dann muss an dieser Stelle die erste Ableitung gleich 0 sein. Str von xstern = 0 sein. Das ist die Bedingung erster Ordnung und deswegen rechne ich jetzt mal die erste Ableitung von dieser Funktion aus. Also Pi str von x. Da habe ich zeh mal Wurzel stehen. Das heißt zehn mal nehme ich mit. Dann habe ich nur noch die Wurzel, die ich ableiten muss. Und die Ableitung von der Wurzel ist 1 durch zweimal die Wurzel. 1 durch zweimal die Wurzel. Und dann steht da noch - 1/x nach x abgeleitet

ist - und jetzt sehen wir schon, hey, diese Ableitung ist äh überall da definiert, wo wir nicht durch teilen. Also muss ich hier hinterchreiben Für x größer als 0, aber das ist eigentlich voll okay, weil wir suchen innere stationäre Punkte. Also innere Punkte sind die Punkte, die nicht auf dem Rand liegen und der Rand ist hier einfach x gleich. Alle anderen Punkte sind automatisch innere Punkte und nur da interessiert uns die erste Arbeit. Jetzt vereinfache ich das noch ein bisschen. 10/B ist das gleiche wie 5. Dur x - 1/. Jetzt kommt die Bedingung Erster Ordnung,

wie wir sie aus der Schule kennen. Das ganze setze ich mal gleich 0. Und jetzt muss ich diese Gleichung umformen nach x. Also 5 durch Wurzel x = 1/2. Ich habe das - auf die andere Seite gebracht. Ich schreib mal dazu, was ich hier mache. Also + 1/ habe ich hier gerechnet. Hier rechne ich jetzt mal w√urzel x und dann habe ich 5 = 1/2* Wurzel x. Jetzt rechne ich mal 2. Das soll malzeichen sein. Hier mal 2. 5 X 2= 10 = Wurzel x. Und dann können wir sagen, daraus folgt, wir quadrieren, dass 100

= x ist und überall dazwischen können diese Äquivalent sein. Okay, wir haben jetzt eine innere stationäre Stelle gefunden. Es gilt Pi strich an der Stelle 100 = 0. Also ist x = 100 eine stationäre Stelle. Was können wir damit anfangen? Wissen wir jetzt bereits, dass das die Maximalstelle ist? Noch nicht. Jetzt haben wir zwei Wege, um rauszufinden, ob das gilt. Ein mehr als zwei. Also, was für Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, dass wir ein Maximum haben? Es kann eine innere Stelle sein oder es kann eine Randstelle sein oder beides. Das heißt, wir könnten jetzt einfach

hergehen und den Gewinn ausrechnen an der Stelle null der Randstelle und an dieser inneren stationären Stelle und Gucken, wo der Gewinn größer ist. Na, wenn der Gewinn, ich würde vorschlagen, wir machen das einfach mal. Es gibt noch einen anderen Weg, den wir gehen können. Der kommt dann gleich. Also jetzt müssen wir uns überlegen, ist x = 100 eine Maxstelle und mein Lösungsweg, um das rauszufinden, wäre jetzt, wir wollen einmal ausrechnen, wie groß ist der Gewinn an der Stelle 0. Wie groß ist der Gewinn an der Stelle 100? Das soll eine 100 sein und dann können

wir eine Entscheidung treffen. Also, was gilt an der Stelle 0? Da schaue ich mir die Gewinnfunktion an. 10 x Wurzel 0 - 1/2* 0 ist klar, da kommt 0 raus. Da ist der Gewinn gleich 0. Und jetzt setze ich die 100 ein. 10 x√ 100 - 1/2* 100 = 10* 10 - 50 10* 10= 100. Wenn ich 50 davon abziehe, kommt 50 raus. Das ist größer Als 0. Also können wir sagen, wenn die Funktion überhaupt eine Maximumstelle hat, egal ob die auf dem Rand liegt oder im Inneren, dann muss es x = 100 sein. Und

deswegen würde ich sagen, yes, da können wir ein Haken kümmer machen. Gibt es noch einen anderen Weg? Wir hatten ja noch diese Sache mit der Konkavität. Ja, wir haben ja irgendwie gesagt, falls die Funktion konkave ist, dann haben wir Auf jeden Fall bei einer stationären Stelle eine Maximumstelle. Deswegen mal stelle ich mal eine andere Frage. Ist 10*√x - 1/2x koncav und das könnten wir beantworten, indem wir die zweite Ableitung ausrechnen. Aber ich habe gesagt, heute will ich noch nicht mit der zweiten Ableitung arbeiten. Deswegen müssen wir einen anderen Weg finden, um festzustellen, dass das Konka

ist. Und ich fange so an, ich sage Wurzel X ist streng konkav. Ja, wir haben, ich glaube, in der letzten Woche haben wir das für x² ausführlich aufgeschrieben. Wir haben gesagt, x² ist streng konvex. Ja, das haben wir mit diesen Ungleichungen argumentiert. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion, Die inverse und dann muss sie eben andersrum gekümmt sein. Also dann ist die Wurzelfunktion streng konk. In der Übung argumentieren wir da aber auch noch mal, warum die Wurzelfunktion wirklich konkret ist. Wenn ihr wollt, könnt ihr das selber schon mal rausen. Dann haben wir hier eine Verkettung von Funktion

10 Wurzel x, 10 mal ist eine Konstante, ist also auch schwachka. Und egal, eine multiplikative Konstante führt einfach dazu, dass die Funktion gespreizt wird oder gedämpft. Die Krümmung geht dabei nicht verloren. Also 10 x Wurzel X ist auch noch streng konkav. 10 x Wurzel X ist auch streng konkav. Ihr könnt euch das so vorstellen, dass wir auf beiden Seiten dieser Ungleichung für Konkave mit 10 multiplizieren und das ist natürlich für die Ungleichung egal. Und was ist mit -x? Ist das strengkon? nur koncav, nur konvex, nur streng konvex. Das ist eine lineare Funktion. Ja, wenn wir

- x plotten, kommt eine Gerade raus, die so auf der 45° Linie von links oben nach rechts unten verläuft. Und Geraden sind sowohl koncav als auch Konvex. Also das ist Konkave und Konvex. beides. Und jetzt kommt dieses Resultat über die Summe. Das heißt, wir haben die Summe 10 x Welx x + - 1/2x. Das hier ist streng konkav und das hier ist nur konkav. Und wenn wir die Summe von zwei konkaven Funktionen bilden, ist die Summe wieder konkav. Und wenn eine von denen streng ist, dann ist die Summe auch streng. Und so können wir argumentieren,

dass die Summe, also die Funktion Pi streng konkav ist. So und jetzt können wir das Resultat benutzen, dass stationäre Stellen von Konkaven Funktionen maximalstellen sind. Die 100 war eine stationäre Stelle und wir können sagen, dass wenn die Funktion streng konkave ist, dann ist das Maximum eindeutig. Und das heißt, mit diesen Argumenten können wir sagen, x = 100 ist die einzige Maximalstelle von der Funktion. Ich glaube, ich packe das hier hin. Also, x = 100 ist stationär, Pi ist koncave und daraus folgt, dass x = 100 eine Maxstelle ist. Und jetzt kommt der Zusatz, da Pi

strengkonkav ist. bedeutet das, dass diese Maxstelle eindeutig ist. Es kann kein anderes Maximum geben. Okay, wir haben jetzt nur Formeln benutzt. Tatsächlich, wir haben überhaupt gar nicht grafisch argumentiert, aber ich finde die grafische Seite genauso wichtig wie das Rechnen, wenn Man durch die Grafik viel mehr verstehen kann, was da eigentlich vorgeht. Und deswegen zeige ich euch das Bild, was noch dazu gehört. Also eigentlich zwei Bilder im das große Diagramm, das zeigt mir die Gewinnfunktion. Ja, wir sehen, das ist offensichtlich eine streng konkabe Funktion. Wir können egal an welcher Stelle eine Verbindungslinie einzeichnen und die Verbindungslinie

liegt echt unterhalb vom Grafen. An der Stelle x = 100 ist der Hochpunkt Von der Funktion und der Gradient, also die erste Ableitung ist gleich 0. Was sehen wir noch? Wir sehen tatsächlich auch, dass es möglich wäre, dass die Firma Verluste macht. Ja, wenn die zu viel Inputs einsetzt, dann ist der Gewinn sogar negativ. An der Stelle x = 400 ist der Gewinn auch gleich 0. Jetzt gibt es noch einen zweiten Punkt, den ich euch sagen wollte und der hat was mit dem Diagramm rechts oben zu tun. In diesem Diagramm habe ich zwei Ableitungen eingezeichnet.

Ich habe einmal die Ableitung vom Erlös eingezeichnet. Also das hier, das ist der Grenzerlös. Ja, 10 x Wurzel X, das war ja der Erlös. Und wenn ich das einmal ableite, dann ist das 10 dur 2√ x oder 5 dur x. Das ist der Grenzerlös. Der Grenzerlös sagt mir, um wie viel Euro steigt man Erlös, wenn ich den Input um eine ganz kleine Menge erhöhe? Die zweite Kurve, die ihr hier seht, sind die Grenzkosten. Die Kostenfunktion äh ist ja gegeben als 1/H/ mal x. Ja, das sind die Kosten, die mir entstehen, wenn ich x Einheiten Inputs

einkaufe und die Ableitung der Kostenfunktion ist dann nur ein/H/B. Also das hier sind die Grenzkosten und wir sehen im Optimum gilt Grenzerlös gleich Grenzkosten und das schreibe ich mir da drunter, Denn das ist ein Zusammenhang, der gilt über alle Marktformen hinweg. Der gilt im perfekten Wettbewerb, der gilt für die Monopolfirma, der gilt im Oligopol, ganz egal welchen Markt ihr euch anschaut. Man überlegt sich, hey, wenn ich jetzt mein Input um eins steiger, dann steigt mein Erlös um den Grenzerlös, meine Kosten steigen um die Grenzkosten und wenn eins von beiden stärker steigt, Dann sollte ich die

Menge entweder reduzieren oder erhöhen, je nachdem, was stärker steigt. Wenn beide gleich sind, dann heißt es, ich bin beim Optimum angekommen. Okay, jetzt kommt noch mal noch ein Beispiel aus der Industrieökonomik, also Unternehmensentscheidungen und danach kommen paar Beispiele aus den Konsumentscheidungen. Wir haben jetzt hier nicht mehr den Wettbewerbsmarkt, sondern eine Monopolistische Firma. Die Firma, die sieht sich einer inversen Nachfragefunktion gegenüber. Lasst mich dazu mal kurz eine Skizze kritzeln. Ich gebe mir Mühe. Also, ich zeichne mal eine Nachfragefunktion ein und wir haben jetzt wieder diese blöde Eigenschaft, dass wir die Menge auf die horizontale Achse schreiben.

Muss mal kurz gucken, welchen Buchstaben ich hier benutzt habe. Y, dann nen ich die Menge Y. Und hier kommt der Preis und den nennen wir einfach mal P. Und bei der Nachfragefunktion ist es so, wenn man irgendeinen Preis P an angibt, dann sagt mir der die Nachfragefunktion, welche Menge kann ich verkaufen? Ja, so funktioniert die Nachfragefunktion. Und dann kriege ich halt hier irgendwie so eine Kurve. Äh, ich versuche die mal so zu zeichnen, dass die gleich ins Beispiel reinpasst. Die könnte z.B. so aussehen. Das wäre der Graf nachfragefunktion. Also hier ist y = d von

p. Und was halt für uns ungünstig ist, ist, dass das ähm Argument hier auf der vertikalen Achse abgezeichnet wird und der Wert der Funktion auf der horizontalen Achse. Und deswegen ist es für uns viel praktischer, wenn wir diese Nachfragefunktion invertieren. Und invertieren bedeutet, wir drehen quasi, Also der Funktionswert wird zum Argument und das, was wir vorher als Argument als Variable in die Funktion eingesetzt haben, das wird dann der Funktionswert. Also das heißt bei der inversen Nachfrage, ich schreib mal hier hinter, das ist die Nachfrage oder Nachfrage Funktion, um genauer zu sein. Und bei der inversen

Nachfragefunktion geht's anders. Ich nehme mal eine andere Farbe. Da fange ich an mit einem y, Einer Menge, die ich auf dem Markt werfe und dann sagt mir die inverse Nachfragefunktion, welchen Preis ich erzielen kann bei dieser Menge. Also hier steht dann p von Y und P von Y ist dann die inverse von der Nachfragefunktion, also die inverse Nachfragefunktion. Inhaltlich ändert sich aber nichts. Das heißt, der Graf von beiden Funktionen ist genau der gleiche. Wenn ich den Graf von der inversen einzeichne, dann Verläuft er wirklich genau über dem Grafen von der Nachfragefunktion. Plus muss ich dann

hier dran schreiben p = groß P von Y. Ja, nicht y = D von P, sondern P = klein P = groß P von Y. Groß P von Y soll jetzt die inverse Funktion von D von P sein. Okay, inverse Nachfragefunktion muss ich nicht noch mal dran schreiben, das habe ich da stehen. Und das ist hier auf der vorigen Folie gemeint. Diese Monopolistin hat eine inverse Nachfragefunktion p. Es gibt einfach einen Markt, auf dem sie agiert und die Nachfrage ist durch diese inverse Nachfragefunktion beschrieben. Wenn die Monopolistin sich für irgendeine Menge y entscheidet, dann sagt

die inverse Nachfragefunktion, du bekommst diesen oder jeden Preis dafür. Und diese inverse Nachfragefunktion, die soll zwei, nee, die soll drei Eigenschaften haben. Erstmal soll sie zweimal differenzierbar sein. Das heißt, sie hat eine zweite Ableung. Zweitens soll sie streng monoton fallend sein. Das bedeutet, dass die erste Ableitung kleiner als null ist. Ich schreib mal etwas genauer. Die erste Ableitung von y soll kleiner als 0 sein für alle Y. Und außerdem soll sie streng konkrav sein. Und da haben wir in der letzten Vorlesung gesehen, wenn wir die zweite Ableitung benutzen dürfen, dann Heißt das, dass die zweite

Ableitung ebenfalls kleiner als null sein soll. Okay, was ist das Y eigentlich? Ja, das ist die Menge, die die Monopolistin produziert und wir werden gleich ein Maximierungsproblem über Y haben. In dem Problem davor haben wir über die Input Menge X maximiert. Jetzt maximieren wir mal über die Outpute. Die Firma hat jetzt eine Kostenfunktion gegeben, die hängt ab von dem Output, von der Output Menge, die sie produzieren will. Und damit dieses Beispiel nicht zu kompliziert wird, habe ich einfach eine lineare Kostenfunktion benutzt. Man würde im Allgemeinen eine nehmen, die mindestens schwachkonvex ist, am besten strichkonvex. Ich

habe mich hier für eine lineare Funktion entschieden und der Steigungsparameter dieser linearen Funktion ist einfach irgendein C, also dieses kleine C hier und ich schreib mal dahinter, das soll positiv Sein. Ja, es darf natürlich nicht negativ sein. Und jetzt können wir den Gewinn der Monopolfirma aufschreiben wieder als Differenz von Erlös und Kosten. Das hier ist der Erlös. Preis mal Menge. Das sind die Einnahmen, die die Firma macht, hat und das hier sind die Kosten und die Differenz davon, das ist der Gewinn. So, und jetzt sollen wir drei Fragen Beantworten und die haben es echt in

sich. Die erste Frage ist noch leicht: Wie lautet die notwendige Bedingung erster Ordnung? Also oben drüber steht, wir nehmen einfach mal an, dass es ein positives eine positive Maximalstelle gibt, also ein inneres Optimum. Und dann muss ja die notwendige Bedingung erster Ordnung gelten. Das heißt, für die erste Frage rechnen wir jetzt erstmal die erste Ableitung der Gewinnfunktion aus. Ich glaube, ich muss noch eins weiter Blittern erstmal. Genau. Also, Pi von Y schreibe ich noch mal auf. bisschen schöner schreiben ist p von y* y - klein c mal y. Jetzt rechne ich die erste Ableitung aus.

Pi str von y und wir sehen ein Produkt. Ja, P von Y* Y ist ein Produkt, wo ein Y drin vorkommt. Das heißt, ich muss die Produktregel benutzen. Erster Faktor abgeleitet ist P von Y mal zweiter Faktor plus erster Faktor nicht abgeleitet mal die Ableitung des zweiten Faktors. Der zweite Faktor ist y. Wenn ich das ableite, kommt 1 raus. Und dann steht dann hinten noch - C* Y. Da bleibt nur das - c übrig. Okay? Und die Bedingung erster Ordnung, die lautet jetzt, das soll gleich 0 sein. Das ist die Bedingung erster Ordnung. Wir kennen

jetzt die inverse Funktion p nicht. Ja, wir wissen nicht, welche Funktion genau dahinter steckt. Deswegen können wir das y nicht ausrechnen. Aber trotzdem werden wir über diese Gleichung ziemlich viel über y erfahren. Dazu gucken wir uns die zweite Frage an. Nein, erst kommt noch eine Anmerkung. Bitteschön. Was bedeutet dieses Ausrufezeichen? Das ist für mich die eine abkürzende Schreibweise für in der Bedingung erster Ordnung muss das gelten. Ich schreibe jetzt mal da drüber B E O für Bedingung Erster Ordnung. Also falls y ein Maximum ist, dann muss diese Bedingung erfüllt sein. Jetzt gucken wir uns die

zweite Frage an und die lautet: Was passiert mit dieser optimalen Menge? Wenn sich der Kostenparameter C verändert. Ich glaube, ich schreibe die Bedingung erst der Ordnung noch mal mit dem Y Stern auf da drunter. Also P str von y Stern mal y Stern + P von Y Stern - C = 0. So, die Frage, ich versuche die jetzt einfach mal inhaltlich zu stellen. Was passiert, wenn die Produktion teurer wird, wenn unsere Kosten ansteigen? In intuitiv kann man sich natürlich vorstellen, ja, okay, wenn es teurer wird, wird das Angebot zurückgehen, man wird weniger produzieren und das

ist sozusagen das, was ich zeigen möchte. Nur die Frage ist, wie kann ich das mathematisch zeigen? Ja, inhaltlich begründen kann man es irgendwie so Intuitiv. Man muss dafür vielleicht so ein bisschen mit den Händen wedeln, dann ist das glaubhafter. Aber mathematisch geht das tatsächlich mit Ableitung. Und zwar benutzen wir hier eine Technik, die wir in Kapitel 7 kennengelernt haben. Diese Technik lautet implizites Differenzieren. Wo können wir das hier anwenden? Diese Lösung y Stern, die hängt ja über diese Gleichung hier irgendwie von C ab. Ja, also wenn wir das C verändern, dann Müssen wir an anderer

Stelle, nämlich an dieser Stelle auch was verändern, damit die Gleichung immer noch gilt. Das heißt, ich schreib mal auf über die Bedingung erster Ordnung. Die Bedingung erster Ordnung hängt Y Stern von diesem Parameter C ab. Anders formuliert. Y Stern ist implizit in der Bedingung erster Ordnung als Funktion Von C definiert. Und jetzt schreibe ich die Bedingung erster Ordnung noch mal so auf. als ob Y Stern wirklich eine Funktion von C ist wäre. Also ist ja eigentlich auch nur, dass man es besser sehen kann P str- c = 0. Ja, wir haben eine Variable, also wir

haben eine Gleichung mit zwei Variablen y Sternpunkt c, die hängen voneinander ab. Und jetzt wollen wir wissen, was ist die Ableitung der einen Variable, also y Stern, von der anderen Variable. Und dazu müssen wir beide Seiten der Gleichung nach C ableiten. Okay, das mache ich jetzt mal hier. Leite die Gleichung nach C ab. Und jetzt kriegen wir richtig viele Ableitungsregeln, die wir benutzen müssen und zwar direkt am Anfang. Also dieser Ausdruck hier, der hat's echt in sich. Das ist ein Produkt. Das heißt, wir müssen die Produktregelutzen. Aber ihr seht, dass hier im einen Faktor auch

eine Verkettung stattfindet. äußere Funktion, innere Funktion. Das heißt, da müssen wir die Kettenregel benutzen. Und das möchte ich Schritt für Schritt machen. Vielleicht mache ich das ähm, wenn ich ein bisschen mehr Platz habe, auf der nächsten Seite. Also, ich benutze erstmal die Produktregel. Und wie war das noch mal? Ich habe ein Produkt, da muss ich erstmal den einen Faktor ableiten. Der erste Faktor ist P von y Stern von C. Das muss ich ableiten mal den zweiten Faktor. Dann muss ich den ersten Faktor nehmen, nicht abgeleitet. Also P str von y st Stern von C mal

y Stern abgeleitet nach C. Und das schreibe ich jetzt mal so mit dieser Notation y Stern von C dc. Das ist nur die Produktregel und das bezieht sich nur auf den ersten Teil hier. Dann brauche ich für den nächsten Schritt brauche ich die Kettenregel. Hier brauche ich die Kettenregel. Äußere Funktion, innere Funktion. Also plus schreibst du noch für mich? Schreib nicht mehr. Ja, das ist natürlich jetzt ärgerlich für mich, wenn ich nicht mehr schreiben Kann. Doch, jetzt kann ich wieder schreiben. Wunderbar. Also plus äußere Ableitung t str von y Stern von C mal innere Ableitung

dy Stern dc. Das ist nur die Kettenregel angewendet an dieser Stelle und dann steht da noch - C. Wenn ich das nach C ableite, wird da -1 übrig und das soll dann gleich 0 sein. So, im nächsten Schritt muss ich jetzt hier das hier noch fertig ableiten und Da brauche ich die Kettenregel. Jetzt kommt die Kettenregel. Also die äußere Funktion ist diesmal p strich. Die muss ich noch mal ableiten. Dann habe ich p str von y Stern von C mal die innere Ableitung. Das wäre dann d Y Stern von C DC. Und den ganzen Rest,

den kann ich jetzt abschreiben. Alles andere kann ich abschreiben. Mach hier mal so ein Strich mal y Stern von C + P von Y Stern von C mal dy Stern von C DC + P von Y Stern von C mal dy Stern DC - 1 = 0. So, und jetzt sehe ich was, was ich hätte auch schon früher sehen können. Diese beiden Ausdrücke hier, die sind gleich. Dieser hier und dieser hier kann ich gleich zusammenfassen. Außerdem möchte ich aber auch noch die Ableitung, die mich dann zum Schluss haben will, ausklammern. Das klammere ich aus und

die -1, die bringe ich auf die rechte Seite. Das mache ich jetzt Alles zusammen. Dann habe ich P2 von Y Stern von C mal y Stern von C. Jetzt kommt der gelbe Ausdruck zweimal zweimal P str von y Stern von CK Klammer zu. Und hier kommt jetzt die Ableitung der Menge nach C. und das ist gleich 1. So. Und weiter löse ich es jetzt nicht auf, denn das reicht aus. Damit komme ich klar. Wie reagiert die optimale Menge auf eine Veränderung von C? Ja, ich könnte jetzt Auf beiden Seiten durch die eckige Klammer hier teilen

und dann hätte ich die Antwort. Dann hätte ich eins durch die eckige Klammer, aber ich möchte vor allem wissen, steigt die optimale Menge oder sinkt die optimale Menge? Und da kann ich jetzt mir angucken, was für Vorzeichen haben die einzelnen Komponenten. Also die zweite Ableitung von P, die ist negativ, weil die inverse Nachfragefunktion streng konkav ist per Annahme. Die optimale Menge ist positiv und die Steigung der inversen Nachfrage ist auch negativ. Er stand irgendwo strengmonoton fallend. Das heißt, das hier ist kleiner als null. Das heißt, wir können insgesamt sagen, die eckige Klammer hat ein negatives

Vorzeichen. Also hier steht minus mal plus, er gibt minus plus minus ist immer noch minus. Das heißt, die ganze eklige Klammer hier, die hat ein negatives Vorzeichen. Die 1 ist positiv, also muss auch die Ableitung von y Stern nach DC negativ sein. Das hier muss auch kleiner als 0 sein. Ja, negativ mal negativ ist positiv. Und deswegen können wir also sagen dy Stern dc ist kleiner als 0. Die Kosten steigen, die Ausbrüungsmenge, die optimale Ausbrüungsmenge, die sinkt. Ja, das muss gelten, wenn eben die inverse Nachfragefunktion strengmon fallen und streng konk ist. Jetzt gibt es noch

eine Frage, die übrig geblieben ist und auch die kann ich noch hier behandeln und zwar um wie viel verändert sich der Gewinn, ja, wenn sich C verändert und das geht tatsächlich erstaunlich leicht, ne? Das werden wir gleich sehen, dass das eine einfache Lösung. Also schreib noch mal den Gewinn auf. P von Y. Vielleicht lasse ich die letzte Folie noch mal hier an der Wand für alle Leute, die noch da was nachgucken Wollen. Was war noch mal die Gewinnfunktion? Das war P von Y mal y. Ich schreibe jetzt schreib es ein bisschen anders auf. Entschuldigung. von

C y Stern von C = P von Y Stern von C mal y Stern von C - K mal Y Stern von C. Das war die Gewinnfunktion. Okay? Und jetzt habe ich das nicht irgendein y da reingesetzt, sondern ich habe das optimale Y da eingesetzt. Und jetzt müssen wir das ganze Ding nach C ableiten. Jetzt kommt erstmal was kompliziertes raus, aber ein Großteil davon, den haben wir schon mal ausgerechnet und ich sage euch gleich wofür. Also, die ab Ableitung, die ich jetzt mache, haben wir im Prinzip schon mal gemacht. Ich habe hier ein Produkt, also

Produktregel P von Y Stern von C abgeleitet mal y Stern von C + P von Y Stern von C mal Jetzt Y Stern von C abgeleitet nach C ist DY Stern DC und dann müssen wir noch die rechte Seite dieses die Kostenseite ableiten. wieder die Produktregel. Wenn ich nach C ableite, bleibt Y Stern übrig. Plus, aber hier vorne steht minus - Dy Stern dc. Ich bin fast fertig. Es ist jetzt nur noch ein kleiner Schritt. Ich muss hier an der Stelle noch die Kettenregel benutzen. Äußere Ableitung p str von y Stern von C mal die

innere Ableitung und jetzt mal y Stern von C. Und den Rest schreibe ich einfach ab. Y Stern von C mal die Ableitung. Und bei den letzten beiden Elementen vertausche ich die Reihenfolge. Ihr werdet gleich sehen, warum. - C mal dy Stern nach DC - Y Stern von C. Jetzt habe ich nämlich bei den ersten Ausdrücken wieder ganz auf die Ableitung von Y Stern nach C. Einmal hier, einmal Hier und einmal hier. Das klammere ich einmal aus. Ich habe noch ein paar Sekunden, die nutze ich noch. P str von y Stern von C. Das hier lasse

ich weg. Mal y Stern von C + P von Y Stern von C - C. Und das ganze muss ich multiplizieren mit DY Stern dc. Und hier hinten steht noch dieses y Stern von C. Und jetzt kommt die Auflösung, warum das Ganze einfacher Ist als vorher. Weil das, was in den eckigen Klammern drin steht, das haben wir schon mal aufgeschrieben, genauso wie es da steht. Ich blätter mal zurück. Hier bei der Bedingung erster Ordnung. An der Stelle haben wir das aufgestrieben. Das ist das, was in der Klammer drin steht, in der eckigen Klammer. Das heißt,

über die Bedingung erster Ordnung können wir sagen, Das ist gleich 0. Und dann bleibt nur noch das hier übrig. Das heißt, wir können sagen, wenn wir die Gewinnfunktion für die optimale Menge ableiten nach dem Kostenparameter, dann sinkt unser Gewinn um genau die Menge, die wir produzieren, genau um dieses Y von C. Und das ist ein Spezialfall, den wir später in der Multivariaten Optimierung noch mal wiedersehen werden. Und an der Stelle werde ich noch mal hier drauf verweisen. Ich habe jetzt ein bisschen überzogen. Ich verspreche euch, ich gebe euch das demnächst wieder zurück. Dann mache ich

auch mal ein bisschen früher Schluss. Vielen Dank, dass ihr da wart und bis zum nächsten Mal.