SUMAS DE RIEMANN

qué tal chicos pues ya estamos de regreso y ahora vamos a abordar el tema de las sumas de riman qué son las sumas de riman y para qué nos van a servir bueno pues ya habíamos hablado que el cálculo integral trata de determinar o el problema geométrico del cálculo integral trata acerca de determinar el área debajo de una curva debajo de una función entonces hablando de las sumatorias o las sumas de riman dice que sea una función fx definida en el intervalo ab el intervalo cerrado a ver el área a bajo la gráfica de fx

en ese intervalo se obtiene a través de sumas inferiores o superiores qué quiere decir eso bueno pues aquí tenemos una función que está con rojo y nos dice que el área debajo de esta curva la podemos encontrar ya sea con sumas inferiores o con sumas superiores ya habíamos hablado anteriormente de que la estrategia para determinar el área bajo una curva era a través de rectángulos noten algo súper importante algo muy importante es que la base de los rectángulos siempre tiene que ser la misma de todos si en este caso en esta figura ha colocado cuatro

rectángulos y todos tienen la misma base que es lo que varía pues la altura evidentemente estos dos rectángulos tienen la misma altura pero este ya no y este ya no de que depende la altura pues de la función ahorita vamos a hablar puntualmente acerca de esto pero pues hay dos formas ya sea sumas inferiores o sumas superiores la expresión que te permite determinar el área con sumas inferiores aquí está la expresión o la fórmula que te permite determinar el área con las sumas superiores aquí está donde el delta x es la base del rectángulo y

se obtiene de menos a sobre n ahorita vamos a hablar acerca de eso así que entonces por lo pronto debes de entender que hay dos maneras de determinar esta área con respecto a lo que se denomina como sumas sumatorias ok ende si te fijas en ambas expresiones está el simbolito de la sumatoria por eso fue importante ver el tema de las sumatorias primero porque nos van a servir para determinar el área debajo de una curva ok entonces ahorita vamos a ver acerca dél geogebra y cómo nos va ayudar álgebra para explicar esto así que bueno

estamos ya en el geogebra y he colocado aquí la misma función que viste en la diapositiva anterior y aquí en la izquierda ha colocado sus más inferiores en la derecha sumas superiores porque se llaman sumas inferiores bueno fíjate lo que sucede cuando yo coloco unos rectángulos aquí si coloco un rectángulo en sumas inferiores el rectángulo está por debajo de la función si coloco un rectángulo en sumas superiores queda por encima de la función recuerda que en cálculo integral lo que nos interesa es determinar el área debajo de la función entonces por ejemplo si utilizo un

rectángulo pues es una aproximación pero fíjate esta área blanca aún le falta y le falta este pedacito de área blanca un rectángulo no es suficiente si utilizo un rectángulo de las sumas superiores pues si abarca el área pero se pasa toda esta parte de aquí no me interesa porque lo que me interese es lo que está debajo entonces en sumas inferiores nos falta área en sumas superiores no sobra área si aumentamos este número a 2 fíjate que es una mejor aproximación ya queda menos espacio en blanco si aumentamos aquí a 2 pues es una mejor

aproximación porque ya nos quitó este espacio de la que estaba pintado es una mejor aproximación pero sigue habiendo exceso de área y aquí sigue habiendo un déficit de área entonces si yo aumento por ejemplo digamos a 4 y aumentó a 4 acá entonces tenemos todavía una mejor aproximación es decir entre mayor número de rectángulos tenga pues evidentemente va a ser mejor mi aproximación entre mayor número de rectángulos tenga pues va a ser mejor mi aproximación cuanto rectángulo serio recomendable 10 20 50 pues lo recomendable es que tengas un número infinitamente grande de rectángulos porque entre

mayor número de rectángulos estarás cubriendo mayor parte del área por ejemplo sea que aumentamos fíjate aumentamos aumentamos aumentamos y siempre va a haber huequitos pero es por esa razón que debemos tener muchísimos rectángulos para que el área casi sea cubierta en su totalidad igual de este lado va a haber va a haber un exceso de área pero entre más aumentemos los rectángulos más se van a ajustar hacia la curva que nos interesa cuál de las dos es mejor cuando el número de rectángulos es lo suficientemente grande las dos son iguales de acuerdo no es que

una sea mejor que la otra las dos son iguales porque te permiten determinar el área debajo de la curva que es lo que nos interesa ahora vamos a a continuar con la explicación de las fórmulas y te decía voy a colocar aquí la expresión de las de la sumatoria de las superiores por ejemplo y vamos a explicar cada una de ellas entonces pues aquí he colocado la imagen que les mostraba nada más solamente la parte de las sumas superiores y aquí la expresión de como determinar el área que está debajo de la curva voy a

explicar de qué se trata cada término para dejar un poco más en claro qué dice esta expresión por qué está tan tan complicada con tantas letras qué es lo que quiere decir bueno pues sucede dice el área es igual al límite cuando n tiende a infinito pero quien es n n es el número de rectángulos que van a formar el área por eso dice que n tiende al infinito porque entre mayor sea el número de rectángulos mejor va a ser la aproximación del área por un lado eso es dice cuando n tiende al infinito de

quien de la sumatoria desde igual con 1 hasta n que es porque aparece aquí la sumatoria pues porque lo que quiero es sumar las áreas las áreas de cada uno de estos rectángulos quien es esto porque aparece este paréntesis pues porque esto es la base estévez - a es la base se supone que este es el el punto a este es el punto b entonces ve - a es la distancia que hay desde aquí hasta acá y entre n porque vamos a dividir en n cantidad de rectángulos si este intervalo lo vamos a dividir en

n cantidad de rectángulos porque dice esta parte de f de a más y delta x ésta es la altura esta es la altura y va a estar determinada pues por la función cada rectángulo por ejemplo en este punto porque este rectángulo está así de alto pues porque se tomó como referencia este punto este rectángulo porque está así de alto pues porque se tomó como referencia este punto este rectángulo porque está así de alto pues porque se tomó como referencia este punto este rectángulo por qué porque se tomó como referencia a este punto entonces el área

el límite cuando n tiende a infinito porque nos interesa que sean muchísimos rectángulos porque aparece esta expresión porque esto es la base por que aparece esta expresión porque esto es la altura la altura está definida o está limitada o definida por la función que estamos analizando entonces es una suma de áreas de áreas de rectángulos por eso es base por altura entonces a grosso modo esa es la explicación de esta expresión la expresión que tiene que ver con las sumas inferiores es muy similar sí así que lo que vamos a hacer a continuación es precisamente

sumatoria de rectángulos de muchísimos rectángulos para determinar el área debajo de una curva