Vorkurs Mathe Vorlesung 3 vom 17.9.2025

Einen wunderschönen guten Morgen. Hi und hallo. Herzlich willkommen zum Vork Mathematik. Das jetzt die dritte Vorlesung. Hallo an alle Leute, die im Stream dabei sind oder die das später als Video schauen. Wir sind jetzt heute schon in Kapitel 4 angekommen. Wir haben gestern Kapitel 3 nicht 100% geschafft, aber ich habe mir gedacht, ich fange trotzdem noch mal ich fange trotzdem bei Kapitel 4 an, weil die letzten Folien wahrscheinlich auch eher wiederholenden Charakter hatten von letz Kapitel 3. Aber bevor ich loslege, wollte ich noch fragen. Gibt es bei euch irgendwo noch ein Problem oder vielleicht auch

nur ein Problemchen, entweder organisatorisch oder inhaltlich. Da würde ich jetzt gerne kurz drauf eingehen. Ansonsten meldet euch einfach, wenn es irgendwo hakt, dann können wir drüber sprechen. Also, Kapitel 4, Funktionen einer Variabel. Ihr seht, hier stehen schon eine Menge Unterkapitel. Da gehen wir einfach Schritt für Schritt durch. Jetzt ist es so, dass ich das erste Mal ein bisschen so vorgehe wie in einer normalen Mattevorlesung. Da ist es nämlich so, da wird erst was definiert, dann wird ein Satz formuliert und dann wird dieser bewiesen. Aber ich mache jetzt einfach nur die Definition. Ich habe ja schon

mal betont, dass ich auf Die Beweise nicht ganz so viel Wert lege. Definition einer Funktion, nämlich genau diese Funktion soll es in dem Kapitel geben. Was ist eigentlich eine Funktion? Manche Leute nennen eine Funktion auch eine Abbildung oder eine Vorschrift. Das sind Synonyme, ja? Die können wir gleichwertig benutzen. Und der Name Vorschrift gefällt mir irgendwie, weil der einfach genau sagt, was eine Funktion macht. Die schreibt vor, was ich machen soll mit einem Element aus dem Definitionsbereich, damit es in einen Element aus dem Wertebereich umgewandelt wird. Also eine Funktion hat zwei Bereiche, zwei Mengen sozusagen, einen

Definitionsbereich und einen Wertebereich. Und die Funktion macht nichts anderes, als dass die jedem Element aus dem Definitionsbereich ein Element aus dem Wertebereich zuordnet. Den Definitionsbereich schreiben wir ganz oft auf die X-Achse. Das ist hier die blaue Menge. Und den Wertebereich, den schreiben wir ganz oft auf die y-Achse. Das ist hier die orangene Menge. Im Allgemeinen muss eine Funktion nicht unbedingt nur für Zahlen definiert sein. Die kann auch z.B. für Haustiere definiert sein oder irgendwas anderes. Aber wir sind in der Regel eigentlich den Wirtschaftswissenschaften immer in den reellen Zahlen unterwegs. Ja, aber nur, dass ihr es

wisst, man könnte es auch allgemeiner auffassen. Wir werden im späteren Verlauf der Vorlesung auch einer Funktion nicht nur eine reelle Zahl zuweisen, sondern gleich mehrere, einen ganzen Vektor von Zahlen. Ja, und das nennen wir dann die multiate Analysis, also mehrere Variablen, die in einer Funktion drin stecken. Hier soll es aber erstmal um die Univariate, also um die äh um den Spezialfall geben, dass es nur eine Zahl gibt, die wir in die Funktion reinstecken. So, jetzt heißt dieser komische Wertebereich da in Orange angezeichnet auf der y-Achse R und das kommt von dem englischen Wort range. Ja,

also auf Englisch heißt Wertebereich einfach range. Deswegen heißt das hier auf dieser Folie R, das ist nicht unbedingt das gleiche wie die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kürzen wir mit so einem doppelt gestrichenen R ab. Und es kann durchaus mal sein, dass eine Funktion in die kompletten reellen Zahlen abbildet oder wie hier auf dem Bild nur in eine Teilmenge der reellen Zahlen, nämlich in dieses orangefarbene Intervall. Das Wichtige bei einer bei einer Funktion ist, dass jedem Element aus D genau ein Element aus R zugeordnet wird. Also, wenn ich jetzt mir irgendeinen Punkt auf dem Intervall

D anschaue, z.B. diesen hier, den nenne ich jetzt mal x0. Warum x0? Damit ich dieses x hier von dem X unterscheiden kann. Das soll irgendeine Zahl sein, die in den Din steckt. Dann kann ich hier jetzt Hochgehen und auf diesem roten Grafen, wie wir den roten Grafen genau zeichnen dazu, komme ich gleich. Da sehe ich eine einzige Stelle, wo diese gestrichelte Linie den roten Grafen schneidet und dann kann ich nach links gehen und dann kriege ich an dieser Stelle eben f0. Es darf nicht passieren, dass einem Element x0 mehrere y Werte zugeordnet werden, dann wäre

es keine Funktion Mehr. Na, das ist die wichtigste Eigenschaft von der Funktion. Okay, jetzt können wir mit diesen Funktionen arbeiten und wir definieren direkt eine Eigenschaft von Funktionen, nämlich monoton wachsend. Zuerst schreibe ich auf, okay, diese Funktion äh dieses dieses Objekt, dieses F soll eine Funktion sein. Okay? Und das werde ich jetzt auf vielen Folien auch haben. Da steht ganz am Anfang: "Sei f eine Funktion, okay? Damit wir einfach Bescheid wissen, worum es hier geht." Eine Funktion f heißt monoton wachsend, wenn ich das erstmal umgangssprachig sage, wenn sie immer steigt. Das heißt, wenn ich ein

größeres X in diese Funktion einsetze, dann soll auch ein größeres y rauskommen. Formal ausgedrückt heißt das, wir nehmen uns zwei beliebige Zahlen x1, x2 aus dem Definitionsbereich. Dieser Buchstabe, das ist ein griechisches EP, schreibe ich mal da Drüber. Das ist ein und das bedeutet aus der Menge, ne? Also x1 x2 aus der Menge D schreibe ich auch dazu aus der Menge. Ich schreib mal das Menge weg aus, damit es kürzer ist aus D. Nein, ich muss doch ausführlich schreiben, weil das D steht ja dahinter aus der Menge. Immer wenn ihr das Eps seht, dann könnt

Ihr einfach entweder nur aus euch denken oder aus der Menge, die dahinter steht. So, ich nehme zwei beliebige Variablen oder Zahlen aus der Menge D raus, die die Eigenschaft haben soll, dass die zweite Zahl strickgrößer ist als die erste Zahl. Ja, x2 soll strickgrößer sein als x1. Und wenn die Funktion monotonwachsend ist, dann folgt zwingend, dass f an der Stelle x2 mindestens genauso groß ist wie an der Stelle x1. Ja, also hier dieses Mindestens genauso groß ist das kleiner gleich. Also f(x1) ist kleiner gleich f(x2). Wenn nicht nur kleiner gleich gilt, sondern strickt kleiner, dann

nennen wir die Funktion sogar strikt monotonwachsend. Und das gleiche gibt's auch mit fallend, also monotonfallend und strikt monotonfallend. Okay, wir merken uns, Monoton heißt nicht langweilig, sondern Gleichbleibend. Die Funktion ist überall gleichbleibend wachsend. Sie steigt immer an, wenn die äh Argumente wachsend. Manchmal ist es so, dass man sagt, die Funktion ist monoton, ohne dieses wachsend dazu zu sagen. Ja, und dann ist das ein bisschen ungenau. Dann heißt das aber, dass der Monoton wachsend ist. Aber ich versuche immer das direkt dazu zu sagen, damit man genau Bescheid weiß, was hier los ist. Jetzt kommen wir dazu,

Funktionen aufzumalen, weil die grafische Darstellung ist oft sehr hilfreich, um Zusammenhänge zu verstehen. Ja, und das gilt nicht nur für die reine Mathte, sondern das gilt auch für die Wirtschaftswissenschaften im Allgemeinen. Wenn wir es schaffen, ein Konzept grafisch darzustellen, können wir uns viel besser vorstellen, was da los ist. Und so ein Graf einer Funktion ist eben die grafische Darstellung. Wo Pinseln wir die Funktion rein? In ein Koordinatensystem. Und dieses Koordinatensystem hat eine Achse für den Definitionsbereich und eine Achse für den Wertebereich. Wenn wir jetzt eine Funktion haben, die zwei Variablen entgegennimmt, dann müssen wir eben

zwei Achsen für den Definitionsbereich haben. Und ihr könnt euch vorstellen, dass das schwierig wird, wenn es mehr als zwei äh zweidimensionale Dimensionsbereiche gibt Äh Definitionsbereiche gibt. Hier bleiben wir aber bei eindimensionalen Definitionsbereichen. Das ist die x-Achse, das hier ist die y-Achse. Ihr seht, dass die auch negative Zahlen annehmen kann und das, wo die Null steht, das nennen wir auch manchmal den Ursprung. Jetzt können wir dieses ganze Koordinatensystem in Quadranten unterteilen und da geht man so vor, dass der positive Quadrant immer Quadrant 1 Ist. Also hier sind immer nur positive XE und YS und dann geht

man gegen den Uhrzeigersyndrom. Ja, das hilft einem manchmal zu sagen, okay, für welchen Quadranten interessieren wir uns gerade? Und in den Wirtschaftswissenschaften ist das meistens Quadrant 1. Wenn wir z.B. denken, dass x eine Inputmenge ist, die wir in der Produktions Funktion reinstecken, dann können wir nur positive Mengen da reinstecken oder die null, aber niemals negative Mengen. Okay, dieses Koordinatensystem ist dann auch die XY Ebene oder wir nennen das auch den R2. Also ihr seht hier dieses doppelt gestrichene R mit dem hochgestellten 2 bedeutet die reellen Zahlen hoch 2 einmal für die x-Achse, einmal für die

y-Achse. Jetzt wollen wir in dieses Koordinatensystem eine Funktion abbilden oder einmalen, einzeichnen. Die Funktion, um die es hier in dem Beispiel geht, seht ihr hier unten. Die ist Definiert als f von x = x² - 4x + 3. in diesem Fall eine quadratische Funktion. Vielleicht erinnert ihr euch noch, wenn der Koeffizient von dem x² positiv ist, dann ist der Grafen geöffnet. Also die Parabel hier in dem Fall, ja, das ist hier auch der Fall. Aber wie kommen wir eigentlich da drauf? Dazu rechnen wir die Funktion einfach an ganz bestimmten Stellen aus. Also, ich habe hier

so eine Tabelle von für x von 0 bis 4 habe ich ausgerechnet, was ist Der Funktionswert. Wenn ihr möchtet, könnt ihr mal überprüfen, ob das stimmt. Jedenfalls habe ich hier überall Paare von Xen und Y, x und Y und so weiter. Und diese Paare habe ich als Punkte in das Koordinatensystem eingezeichnet. Hier seht ihr die entsprechenden fünf Punkte. 03 10 2-1 30 und 43. Und wenn ich jetzt diese fünf Punkte durch eine nicht eine Linie, eine Kurve verbinde, dann kriege ich den Grafen der Funktion. Aber ihr merkt schon, eigentlich reicht es nicht aus, nur fünf

Punkte zu zeichnen. Eigentlich müsste ich für alle Werte von x das y ausrechnen und da einzeichnen. Und das kann ich natürlich nicht. Deswegen muss ich beim Zeichnen immer so ein bisschen approximieren. Ich muss immer annähern und versuchen schön zu zeichnen. Das Computerprogramm kann natürlich sehr viel feinschrittiger vorgehen, aber auch der Computer kann ich unendlich viele Punkte einzeichnen. Das Konzept Graf ist aber wirklich ähm gedacht als unendlich viele Punkte. Also diese rote Linie soll quasi in der Idee aus unendlich vielen Punkten XY bestehen, die alle die Eigenschaften haben, dass y = Fx ist. Und genau das

steht hier oben. Also für jedes X, was ich hier einsetze, kann ich ein Y ausrechnen. Und wenn ich unendlich viele Punkte zeichne, bin ich dann auf dem roten Grafen. So. Und wenn wir den Grafen sehen, dann kapieren wir viel Besser, was bedeutet es, dass da irgendwo ein Minimum ist, weil wir das Minimum einfach sehen können. Okay, jetzt bringe ich euch einfach ein paar Beispiele für Grafe. Also Grafen, wir plotten hier ein paar Funktionen, die wir einfach häufig benutzen. Die erste Funktion ist vielleicht die einfachste, das ist die sogenannte Identität. Also die Funktion verändert das Argument

gar nicht, was wir reinstecken. F von x = x, ja, dann ist Einfach die 45° Linie die Funktion. Also in auf jedem Punkt gilt, dass x = y ist. Das ist eine Gerade durch den Ursprung. X² haben wir auch schon gesehen, eine Parabel. Also, das ist auch eine quadratische Funktion, aber ohne den ganzen Rest. Ja, da steht nur x². können wir kurz gucken. Wenn wir für x eine 0 einsetzen, kommt 0 raus. Wenn wir für x1 einsetzen, kommt 1 raus. Bei -1 kommt ebenfalls 1 raus und so weiter. Also, wir können anhand von ein paar

Punkten Überprüfen, ob das stimmt und wir werden viele viele viele Maximierungsprobleme als so eine Parabel darstellen können, wo wobei wir die Parabel dann bisschen nach rechts verschieben müssen, nach links verschieben müssen, vielleicht umdrehen müssen, vielleicht ein bisschen spreizen müssen, aber im Prinzip haben viele ökonomische Probleme einfach diese Form. Hier kommt dann die kubische Funktion x hoch 3 und da sehen wir, dass die in Beide Richtungen abhaut. Also, wenn das x negativ wird, wird das y auch negativ. Wenn das x positiv wird, wird das y auch positiv. Das liegt daran, dass der Exponent hier ungerade ist.

Das heißt, wenn wir Minuszeichen da in die Funktion reinstecken, dann rechnen wir eine ungerade Anzahl minus mal minus mal minus und dann bleibt das Minus immer übrig. Das heißt, hier für -1 kommt dann auch, also -1 hoch 3 ergibt dann eben - 1, also -1 und so weiter und so fort. So, wenn wir jetzt mal kurz den das x² mit dem x hoch 3 vergleichen, ich gehe noch mal zurück zum x², da sehen wir, dass der Wertebereich von dieser Funktion nicht die negativen Zahlen enthält. Also hier, ich schreibe das mal dazu, ist der Wertebereich nur

die nicht negativen reellen Zahlen und das nennen wir dann doppeltgestrichenes R mit so einem größer Gleichzeichen. Ja, das sind alle Zahlen, reellen Zahlen, die nicht negativ sind. Das heißt, auch wenn wir jedes beliebige x einsetzen dürfen in diese Funktion, ich schreibe das auch noch mal dazu, den Definitionsbereich, den hatte ich blau. Das ist das sind die reellen Zahlen. Ja, ich darf auch negative Zahlen quadrieren. Auch wenn ich jedes beliebige x einsetzen darf, kommen nicht alle Y raus, die insgesamt möglich werden. Ja, also negative y kommen hier Nicht raus, aber das ist für eine Funktion kein

Problem. Erinnert euch die Eigenschaft, die eine Funktion erfüllen muss, für jedes X gibt es genau ein Y. Das ist hier erfüllt und das ist immer noch kein Problem. Und jetzt gucken wir uns mal diese kubische Funktion an. Da können wir wieder jedes beliebige x einsetzen und es kann tatsächlich auch jedes beliebige Y rauskommen. Also auch die negativen ys werden hier äh abgebildet. Ich benutze mal kurz die Beiden Abkürzungen, damit ich nicht so viel schreiben müss muss. Also R ist der Wertbereich und D ist der Definitionsbereich. Also hier wäre r= die reellen Zahlen und d wäre

auch die reellen Zahlen. Und wieder gilt für jedes X gibt es genau ein Y. Jetzt kommen wir mal zur Wurzel und da sehen wir, dass wir nicht mehr jedes beliebige x reinstecken dürfen. Also, wir haben gesagt, negative Zahlen unter Der Wurzel sind verboten. Die Null ist noch okay, aber negative Zahlen funktionieren nicht mehr. Und deswegen können wir hier sagen, der Definitionsbereich habe ich noch blau, ja, der hört hier auf, ne? Da ist Stopp. und alle positiven Zahlen sind okay. Also der der Definitionsbereich wäre hier wieder dieses doppelt gestrichene R für die reellen Zahlen, aber mit

dem größer Gleichzeichen und das heißt die nicht die negativen Zahlen, die dürfen Nicht dabei sein. Wie ist das mit dem Wertebereich? Auch hier gilt die Null ist die kleinste Zahl, die möglich ist. Es kann keine negative Zahl aus der Wurzel rauskommen und deswegen ist der Wertebereich die Range auch die nicht negativen reellen Zahlen. Also diese Funktion ist nur auf dem Quadranten 1, auf dem nicht negativen Quadranten definiert. Für die anderen drei Quadranten wissen wir einfach nicht, was los ist mit der Wurzel. Jetzt kommt hier die Hyperbel. Die Funktion 1 dur x bezeichnen wir als Hyperbel.

Und auch die äh benutzen wir sehr oft in den Wirtschaftswissenschaften, wobei wir da auch meistens nur über den Quadranten 1 sprechen, nur über diesen Quadranten. So, was sehen wir hier? Wir dürfen für x positive Zahlen einsetzen. Wir dürfen für x negative Zahlen einsetzen. Das ist auch kein Problem. Aber wir dürfen nicht Die Null einsetzen. Ja, und wir sehen auch, dass diese Funkt, der Graf an der Stelle 0 nicht verbunden ist. Ihr kennt vielleicht diese äh Definition, dass ihr den Grafen zeichnen müsst, ohne den Stift abzusetzen. Ja, und das würde hier nicht funktionieren. Wenn wir den

Grafen zeichnen würden, dann müssten wir hier den Stift hochheben und da oben weitermachen. Und dann nennen wir so eine Funktion auch unstätig. Das werden Wir später ganz genau definieren, was das bedeutet. Also, wir können hier schon mal sagen, der Definitionsbereich ist sind die negativen Zahlen und die positiven Zahlen, aber nicht die Null. So, und jetzt muss ich hier irgendwie dieses und reinschreiben und das Symbol für Mengen, also für das und bei Mengen ist so ein umgedrehtes U. Das nehmen wir auch die, nein, quatsch, ein richtig rumes U. U wäre die Schnittmenge und äh also das

Umgedrehte U wäre die Schnittmenge und das ist die Vereinigung. Und da schreibe ich auch mal dazu. Das ist ein sogenannter Mengenoperator. Und weil Mengen eine noch wichtigere Rolle in der Statistikvorlesung äh spielen, werdet ihr in der Statistik diese Operatoren auch noch mal genauer kennenlernen. Also hier bedeutet das U einfach, dass wir alle negativen Zahlen nehmen und alle positiven Zahlen und die Null fehlt dann halt im Definitionsbereich. Das ist kein Problem. Und wie sieht das aus mit dem Wertebereich? Bei für den gilt genau das gleiche. Ja, wir sehen, dass alle positiven Zahlen abgebildet werden, alle negativen

Zahlen, die null aber nicht. Also, es gibt kein x, so dass 1 dur x = 0 ist. Ja, bitte. Ich habe es nicht verstanden. Okay, dann müssen wir doch über die Mengenoperatoren sprechen. Dann gehe ich Da gleich noch mal drauf ein. Also die Range ist dann auch r kleiner und rößer 0. Und ich bleib dabei, da muss ein U hin und jetzt definiere ich die Mengenoperatoren. Also gut, dann sagen wir mal seien A und B Mengen und dafür sind dann definiert folgende Operatoren. Die Vereinigung U, die bedeutet, wenn ich jetzt A mit diesem U verknüpfe,

Das sind alle Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Alle Elemente in A oder B. Und dieses oder ist wie immer als und oder zu verstehen. Also es könnte sein, dass das Element nur in A ist, es könnte sein, dass es nur in B ist oder es könnte sein, dass es in beiden Mengen drin liegt. Das wäre der Fall, wenn die so überlappen. Dann gibt es die Schnittmenge, Das umgedrehte U a geschnitten mit B. alle Elemente in A und B. Also, das sind nur die Teile, die sowohl in A als auch in B

enthalten sind. Dann gibt es noch das Komplement, die Differenz und so weiter und so fort. Aber ich bleibe jetzt mal bei den zweien, weil ich möchte noch grafisch darstellen und dann kann ich das hier auf der Folie noch machen. Dieser Kreis, Das soll mal die Menge A sein. Moment, ich mal es mal schöner, damit der geschlossen ist. Und dieser Kreis, das soll die Menge B sein. Okay, jetzt können wir einzeichnen, was was ist. Ich mal in blau die Vereinigung. Das ist einfach beide Kreise zusammen. So, das soll die Vereinigung sein. Also alle Elemente, die in

A drin sind oder in B Oder vielleicht sogar in beiden Mengen. Und jetzt kommt in rot die Schnittmenge. Und die Schnittmenge ist dann diese Linse, die da entsteht. Na, also das sind die Elemente, die in beiden Mengen A und B enthalten sind. Okay, also jetzt haben wir hier die Hyperbel gesehen. Ich möchte mal ganz kurz ausrechnen, wie wie wir auf diesen Grafen kommen. Stellt euch vor, x = 1, dann können wir Ausrechnen, y= 1 dur 1. Also, dann sind wir auf diesem Punkt hier. Wenn x = 2 ist, dann ist y = 1/2. Also muss

hier irgendwo ein halb sein. Oder wenn x ein/b ist, ja, wir teilen wir noch mal durch ein/b. Wir multiplizieren mit dem Kehrwert, also mal 2. Wenn x ein/b ist, dann landen wir hier oben bei der 2. Und natürlich geht es auch für negative Xe. Wenn das x negativ ist, dann wird das y auch negativ. Diese Hyperbel, die benutzen wir sehr Oft als Höhenlinie. Ja, wir werden Funktionen maximieren, die so aussehen wie so ein Gebirge irgendwie und wir wollen dann den höchsten Punkt auf diesem Gebirge finden. Und dafür sind Höhenlinien tatsächlich sehr nützlich. Und das kann

eine Höhenlinie sein für Präferenzen. Welche Güterbündel finde ich gut oder welche finde ich schlecht? Das kann eine Höhenlinie sein für eine Produktionsfunktion. welche Inputkombinationen bringen wir Die gleiche Output Menge und so weiter und so fort. Dann haben wir hier noch den äh Betrag, das haben wir gestern relativ weit zum Schluss besprochen. Ihr seht hier diese senkrechten Striche und der Betrag sagt, wenn das x negativ ist, dann dreh das Vorzeichen um. Dann mach aus der negativen Zahl eine positive Zahl. Also aus der -1 sollst du die +1 machen, dann landen wir hier oben. Die 0 bleibt

die 0 und die 1 Bleibt die 1. Und dieser Betrag ist sozusagen eine geknickte gerade durch den Ursprung. Na, da wird die am Ursprung einmal nach oben gedreht. Und jetzt habe ich schon das Problem von dem Betrag angesprochen, den Knick. Wir wollen, habe ich irgendwann schon mal gesagt, differenzieren. Wir wollen Ableitungen bilden und das Ableiten selber kann manchmal schwer sein, aber wenn wir das ableiten können, wird dadurch alles andere viel einfacher. Und diese Funktion hat das Problem, dass wir sie nicht überall ableiten können wegen diesem doofen Knick. Und deswegen möchten wir manchmal gerne den Betrag

nehmen. Die Eigenschaften dieses Betrags müssen den approximieren durch eine andere Funktion, die eben keinen Knick hat. Und eine Möglichkeit das zu tun ist, wenn wir diese na Parabel nehmen. Ja, ihr seht, die sieht anders aus als der Betrag, aber die hat ähnliche Eigenschaften. Je Näher wir an die Null dran kommen, desto kleiner wird x². Und deswegen können wir die so ähnlich wie den Betrag sozusagen als Abstandsmaß benutzen. Und dieser diese Quadratfunktion hat eben keinen Knick, der uns Probleme macht. So, das waren so die wichtigsten Funktionen, die wir benutzen werden. 1 2 3 kommen noch dazu,

aber dann haben wir eigentlich ganz viele geschafft. Jetzt gehen wir folgenden Weg. Wir sprechen erst über lineare Funktionen. Wir haben gestern schon über lineare Gleichungen gesprochen. Jetzt kommen lineare Funktionen. Dann haben wir gestern über quadratische Gleichung gesprochen. Also kommen dann gleich quadratische Funktionen und danach kommen wir dann auch noch zu Polynomen. Aber erstmal die linearen Funktion. Eine lineare Funktion hat zwei Parameter. Ja, und ich benutze jetzt hier wieder linear, so wie man es aus der Schule kennt. Im streng Mathematischen Sinne darf eine lineare Funktion eigentlich keinen Achsenabschnitt haben. Also im strengen Sinne müsste das B

hier eigentlich gleich 0 sein. Aber darüber sehen wir Ökonomen und Ökonominnen gerne hinweg, damit wir es nicht ganz so äh penibel machen. Also, wir haben zwei Parameter, die in der Funktion drin stehen. einmal das B habe ich eben schon angesprochen, das ist der Achsenabschnitt und dann haben wir noch das A und das Ist die Steigung. Und um diese Steigung wird sich sehr viel drehen. Da werden wir sehr viel mit arbeiten. Ich habe euch drei Diagramme dahin geplottet und die drei Diagramme sind alle für den Fall, dass das B positiv ist. dass wir einen positiven Achsenabschnitt

haben. Man könnte das auch noch äh vervollständigen für b = 0 und für b negativ, aber die Ideen, die wir hier kennenlernen, die bleiben Dadurch gleich. Deswegen habe ich jetzt nur diese drei Diagramme dabei. Und zwar habe ich einmal ein Diagramm mit einer positiven Steigung, das A positiv, einmal ein Diagramm mit einer negativen Steigung und einmal ein Diagramm mit der Steigung null eingezeichnet. Da seht ihr die jeweiligen drei Grafen. Ich gucke mal kurz auf dieses mittlere Diagramm, denn das ist das einzige Diagramm, wo man auch den X-Achsenabschnitt sieht. Und den habe Ich direkt ausgerechnet. Der

ist - b dur a. Wie kommt man darauf? Ja, man kommt darauf, indem man ausrechnet, also an dieser Stelle gilt f(x) = 0. Der y Wert von der Funktion, der ist gleich 0. Jetzt kann ich f von x mal einsetzen, also a* x + b = 0 und kann diese Gleichung nach x umformen. Im ersten Schritt ziehe ich das b auf die andere Seite. Also ich rechne - b aus auf beiden Seiten. ax = - b und im zweiten Schritt teile ich durch a. In diesem Diagramm ist das a nicht gleich 0. Das heißt, ich

darf durch A teilen und dann kriege ich x = - b dur a, so wie es da im Diagramm steht an der Stelle. Wir haben natürlich noch einen anderen Achsenabschnitt an der Y-Achse, aber der ist direkt durch das B gegeben. Ja, den brauchen wir nicht auszurechnen. Auch im linken Diagramm gibt es einen Solchen Achsenabschnitt, aber der fällt hier aus dem Diagramm raus. Also, wenn ich das weiterzeichnen würde, ich kann es einfach mal machen. So, der wäre dann hier hinten irgendwo. Und wir können es fragen, welchen Wert hat er in dem linken Diagramm, wenn das A

positiv ist. Es kommt genau der gleiche Ausdruck raus. Ja, wir würden ja genau die gleiche Rechnung wie hier durchführen. Also auch hier steht - b dur A. Der Unterschied ist nur, wenn B und A beide positiv sind, sowie im linken Diagramm, dann ist der X-Achsenabschnitt eben negativ wegen des Vorzeichens. Und im mittleren Diagramm ist zwar das B positiv, das A ist aber negativ. Wir haben zwei Minuszeichen und die heben sich raus und deswegen ist der X-Achsenabschnitt positiv. Was passiert hier in dem rechten Diagramm? Das das a = 0. Wir dürfen also nicht durch a teilen

und wir können den X-Achsenabschnitt nicht ausrechnen, denn es gibt überhaupt keinen. Na, es gibt keinen x, so dass der y Wert = 0 ist. Der wäre nur dann gleich 0, wenn auch das b = 0 wäre. Okay, das sind lineare Funktionen. Ich habe vorhin gesagt, wir interessieren uns vor allem für die Steigung und manchmal kennen wir die Funktion noch nicht, aber wir wissen, dass zwei bestimmte Punkte auf dieser auf diesem Grafen liegen und dann wollen wir die Steigung ausrechnen von dem Grafen. Und wie funktioniert das im Allgemeinen? Wir nehmen erstmal zwei Punkte und dabei ist

es ganz egal, welche Punkte wir nehmen. Wir können irgendwelche Punkte nehmen. Warum? Weil die Steigung überall gleich ist. Das einzige, worauf wir achten müssen, ist, dass die Punkte unterschiedlich sind. Wenn es die gleichen Punkte sind, haben wir ein Problem. Wir nehmen irgendwelche Punkte Und die habe ich jetzt x1 y1 genannt. Das ist sozusagen der Punkt 1 und hier ist der Punkt 2 X2 y2. Jetzt können wir mit diesen beiden Punkten eine YD Differenz ausrechnen. Das wäre diese Strecke und die nennen wir auch Delta Y. Also dieses Delta steht für Differenz. Das ist das griechische D.

Schreibe ich auch mal drüber. Das ist das Delta und das steht für Differenz. Und das gleiche können wir mit dem mit den beiden X-Werten machen. Also, wir können auch x2 - x1 ausrechnen und das wäre Delta x in dem Fall. So, jetzt muss man sich nicht unbedingt immer daran erinnern, ob das jetzt y2 - y1 ist oder x2 - x1, denn die Reihenfolge ist egal. Es ist egal, ob ihr den zweiten Punkt vom ersten abzieht oder den ersten vom zweiten Punkt. Das einzige, was wichtig ist, ihr müsst es bei X und bei y auf die

gleiche Art und Weise machen. Also, wenn ihr die X und die Y Differenz ausrechnet, dann zieht ihr entweder beides mal x2 von x1 ab, also den zweiten Punkt von dem ersten Punkt ab oder andersrum. Ihr dürft es nicht vertauschen. Die Steigung ist dann gegeben durch die Y Differenz. durch die X-Differenz. Das ist die Steigung und die wollen wir manchmal äh ziemlich Häufig tatsächlich ausrechnen. Ich möchte das jetzt konkret mit einem ökonomischen Beispiel machen. Also neue Folie. Ich zeichne jetzt ein Diagramm mit zwei Achsen. An das eine Diagramm kommt ein X, an das andere ein Y.

Und das hat jetzt folgende Interpretation. X soll die Menge an Baguette sein Und Y soll die Menge an Rotwein sein. Und ihr wollt beides irgendwie kaufen. Ihr habt bestimmte Präferenzen, vorlieben und ihr habt ein bestimmtes Geld, um die zu kaufen. Und jetzt möchte ich die Budgetgrade einzeichnen und dazu brauche ich also einerseits das Geld, was ihr zur Verfügung habt, also zur Verfügung stehendes Geld und das nennen wir M für Money und sagen wir einfach mal, ihr habt 18 € zur Verfügung. Und was müssen wir noch wissen? Wir müssen wissen, wie teuer diese beiden Güter sind.

Und dann nehmen wir einen Preis für das Gut X, also für Baguettes. Wie viel soll so ein Baguett kau kosten? Ich nehme mal ein teures Baguette. Okay, das teure Baguett kostet 3 €. Und dann nehme ich Rotwein PY, der kostet 6 € pro Flasche. Und ihr überlegt euch jetzt, wie viel Kann ich kaufen? Ich möchte jetzt alle Punkte finden, die die euch gerade so leisten könnt, wo ihr euer komplettes Geld ausgebt. Und ich brauche, um diese gerade zu zeichnen, genau zwei Punkte. Und dann suche ich mir zwei Punkte aus, die ich relativ leicht ausrechnen kann.

Ich stell mir z.B. vor, ihr gebt all euer Geld für Rotwein aus. Ich habe 18 € zur Verfügung. Eine Flasche Rotwein kostet 6 €. Das heißt, ich kann drei Flaschen Rotwein mir kaufen. Zeichne ich die mal ein. Die drei. 1 2 3. Dieser Punkt, der liegt auf diesem Grafen von der linearen Punktion. Den zweiten Punkt, den ich mir jetzt ausrechnen möchte, ist der Punkt, wo ich mir nur Baguette kaufe. Dann kann ich mir eben 18 dur 3 Stangen Baguetts kaufen und das müsste jetzt hier irgendwo liegen. So. Wenn ich jetzt einigermaßen ordentlich Gezeichnet habe. 18

dur 3 ist 6, dann ist hier die 3 2 1. Dann haben wir hier den zweiten Punkt und alle Punkte, die auf dieser Geraden liegen, die kann ich mir leisten. Das ist die sogenannte Budgetgrade. Die zeichne ich jetzt auch mal ein. Und eigentlich geht diese gerade ja auch weiter in die andere Richtung, aber ich zeichne die jetzt mal hier gestrichelt ein, weil wir können uns keine negativen Mengen von Baguette leisten, ja? Oder bzw. das hätte dann eine komplett andere Interpretation, eine negative Menge von Baguette. Wenn ich die kaufe, heißt es eigentlich, ich verkaufe diese Menge.

Und so. Jetzt habe ich hier in Blau eingezeichnet einen Grafen von einer Funktion und ich möchte jetzt, dass ihr mir die Steigung von dieser Funktion ausrechnet. Und wenn ihr das gemacht habt, hätte ich gerne auch noch den Achsenabschnitt von Der y-Achse. Und dann habe ich die ganze Funktionsgleichung. Also gesucht ist jetzt die Funktion f von x, deren Graf hier in blau eingezeichnet ist. Ich gucke auf die Uhr, gebe euch wieder 2 Minuten. Könnt ihr ein bisschen rausrechnen. Konnte jemand von euch entweder die Steigung ausrechnen oder den Achsenabschnitt von der Y-Achse? Ja, bitteschön. Genau. Genau. Also

beim Yachsenabschnitt haben wir hier Glück. Den können wir direkt ablesen sozusagen. Ich schreib das kurz dran. Yachsenabschnitt. Das Schwierige ist sozusagen die Steigung. Möchtest du die direkt weitermachen? Ich habe jetzt und Das heißt Genau perfekt. Das ist die Steigung -b genauso wie die Formel das auf der vorherigen Folie einfach gesagt hat. Na, wir müssen vielleicht ein bisschen überlegen, wie das mit dem Minuszeichen funktioniert. Bei einem Bruch, wenn ihr nur ein Minuszeichen in dem Bruch stehen habt, dann ist es egal, ob das Minuszeichen vor dem Brucht steht, oben im Zähler oder unten im Nenner. Es kommt

immer das gleiche raus. Und ich habe es Jetzt hier eben ganz zum Schluss vor den Bruchstrich gestell äh geschrieben und 3/6 können wir mit drei kürzen wird zu ein/ben. Das heißt, wir haben jetzt hier die Funktionsgleichung. Ich schreib die mal hin zusammenfassend fx = 3 - 1/2* x. Das ist unsere lineare Funktion in dem Fall. Was wir ist das Ziel von der Mathe Vorlesung? Ihr sollt am Ende vom Wintersemester ein Maximierungsproblem lösen können, wo ein Konsument, eine Konsumentin eben z.B. diese blaue Budgetgrade hat und unter dieser Restriktion eine Nutzenfunktion maximiert, in die beide Mengen mit

einfließen. Ja, sowohl die ähm Baguettmenge als auch die Rotweinmenge möchte oder fließen positiv in den Nutzen von der Person ein. Und wie die verknüpft sind, das werden wir später noch in verschiedenen Beispielen sehen. Ihr sollt was maximieren unter einer Nebenbedingung und die blaue Linie hier ist die Nebenbedingung. Bitttechön. Also die Ich wiederhole die Frage, die ist super. Woher weiß man, welchen Punkt man als erstes benutzt? Was haben wir hier als erstes benutzt? Also, ich nenne die Punkte jetzt hier einfach mal das hier x1 y1 und das hier ist jetzt definiere ich mir einfach so x2

y2. Das heißt, wir haben hier gerechnet y1 - y2 und im Nenner haben wir gerechnet äh was ist die 0 hier? x1 - y1 und auf der Folie davor stand's genau andersrum, ne? Ich gehe noch mal kurz zurück. Hier steht's genau andersrum. Y2 - y1 x2 - x1. So, es ist egal, welche Reihenfolge ihr benutzt, weil man kann sich überlegen, hey, dieser Punkt hier, der könnte ja auch x2y heißen und dieser Punkt könnte auch X1 y1 heißen. Es ist egal, welche Reihenfolge ihr benutzt, aber ihr müsst in Zähler und Nenner die gleiche Reihenfolge benutzen. Das

ist das Wichtige. Also, wenn ihr oben y1 - y2 habt, müsst ihr unten, ups, hier habe ich was falsch geschrieben, x1 - x2 haben. Das hier ist falsch, korrigiere ich schnell. x1 - x2. Also Immer im Zähler die gleiche Reihenfolge benutzen wie im Nenner. Okay, hier sehen wir noch mal die ähm Punktsteigungsformel einer Geraden. Also, was haben wir auf der Folie davor gemacht? Wir haben hier zwei Punkte genommen und daraus die Steigung berechnet. Wir wir haben vorhin gesagt, eine lineare Funktion hat zwei Parameter A und B. Das heißt, wir brauchen immer Zwei Informationen, um diese

Parameter zu finden. In dieser Grafik hatten wir die zwei Informationen durch zwei Punkte. Jetzt geht's auf der nächsten Seite aber weiter, dass wir andere Informationen gegeben haben. Wir haben einerseits die Steigung gegeben, ja, irgendwer verrätt uns jetzt die Steigung der Funktion ist - z.B. und wir haben einen Punkt gegeben, z.B. den Punkt x1 y1. Und auf dieser Folie soll es darum gehen, dass wir mit diesen beiden Informationen dann auch die Funktionsgleichung herleiten können. Und die Lösung davon steht hier unten. Das wäre die sogenannte Geradengleichung, wenn wir die Steigung gegeben haben. Also hier ist das A

gegeben, die Steigung, dieser Bruch und y1 und X1 sind gegeben. Und dadurch können wir jetzt X und Y ausrechnen. Wie kommen wir dahin? Also, wir können ja diese Gleichung hier auch umformen, indem wir auf beiden Seiten mit x2 - x1 multiplizieren. Ich multipliziere dies x2 - x1 mal neben das A. Also das hier ist das gleiche wie X2 - X1* A. Und das bleibt auf der rechten Seite stehen? Y2 - Y1. Und jetzt sage ich, ich kenne das X2Y2 gar nicht. X2Y2 ist jetzt kein konkreter Punkt, sondern ein mir unbekanntes Paar XY. Und das steht

dann hier einmal das X2 wird hier zu X und das Y2 wird hier zu y. Also X Und Y sollen hier jetzt zwei unbekannte Punkte sein, die aber durch diese Gleichung verbunden sind. Und wenn ich alle Punkte einzeichne, die diese Gleichung erfüllen, dann kriege ich die gleiche gerade wie vorher. Also, das wäre ein anderer Ansatz, um die Funktionsgleichung zu finden. Erster Ansatz, zwei Punkte sind festgelegt und über die Punkte können wir die Steigung ausrechnen. Wenn wir die Steigung haben, können wir den Achsenabschritt ausrechnen. Der zweite Ansatz wäre, wir haben die Steigung gegeben und einen Punkt

und dann können wir damit auch die Funktionsgleichung berechnen. Grafische Lösungen von linearen Gleichung. Und das ist im Prinzip das, was ich gestern übersprungen habe, ganz zum Schluss, was ich ausgelassen habe. Wenn wir eine lineare Funktion haben, dann ist der Graf zu dieser Funktion eine Gerade. Diese lineare Funktion können wir auch als Gleichung auffassen. Also, wenn jetzt y, na, falscher Stift, y = f von x ist und fon x eine lineare Funktion, ich glaube, ich habe es vorhin andersrum genommen benannt. Jetzt vertue ich mir mich hier komplett. Also, der Achsenabschnitt ist das B + A und

jetzt muss ich hier mal x schreiben. Dann definiert mir diese Funktion auch Gleichzeitig eine Gleichung. So, und alle Punkte X und Y, die diese Gleichung erfüllen, die liegen auf ein und derselben Graden. Und jetzt kann es sein, dass ich nicht nur eine lineare Gleichung habe, sondern zwei. Das heißt, ich habe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und das in im Diagramm ergibt das dann zwei Geraden und alle Punkte, die beide Gleichungen gleichzeitig äh erfüllen, liegen auf beiden Geraden gleichzeitig. Das heißt, sie müssen auf dem Schnittpunkt dieser beiden Geraden liegen. Also, wenn wir ein lineares Gleichungssystem lösen,

heißt es nichts anderes, dass wir ein Schnittpunkt von Geraden suchen. Und jetzt kann es eben sein, dass diese beiden Geraden sich genau einmal schneiden. Es kann aber auch sein, dass die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen und dann schneiden sie sich überhaupt Nicht. Und es kann sein, dass die beiden Geraden genau übereinander liegen und dann erfüllen alle Punkte auf der Geraden beide Gleichung. dann gibt es unendlich viele Lösungen. Hier haben wir jetzt ein Beispiel noch mal für zwei lineare Gleichung. Also, wir können jetzt hier diese Gleichung auch als Funktionsgleichung interpretieren, wenn wir die in ein bisschen

anders schreiben. Ich mache mal Ein paar äquivalente Umformungen. Ich will das x auf die andere Seite bringen, dann steht da -y = -1 - x und dann multipliziere ich noch alles mit -1. Also y = -1* -1= 1, - x* -1 ist x. So und das hier wäre jetzt eine ganz normale Funktionsgleichung. Der Achsenabschnitt ist 1, die Steigung ist 1 und das, ihr seht, das passt hier auch mit dem Grafen. Ja, der Achsenabschnitt ist 1 und wenn ich x um 1 erhöhe, dann lande ich bei der 2. Das Heißt, die Steigung ist auch 1. Genau

das gleiche kann ich mit der blauen Gleichung machen. Die kann ich umformen. Ich ziehe das y das x wieder auf die andere Seite, dann kriege ich y = 5 - x. Ich habe also ein Achsenabschnitt von 5, eine Steigung von -1. Und ihr seht auch das passt hier. So, und jetzt kann ich diese beiden Gleichungen auflösen nach X und Y und dann kriege ich einen Schnittpunkt raus, den Punkt 2 und 3. Das ist die grafische Darstellung von dem Lösen von Gleichungssystem. Und wie ich diese beiden Gleichungen jetzt löse, diese Gleichung und diese Gleichung, hängt von

meiner Entscheidung ab, ob ich das, was gibt's noch mal? Substitutionsverfahren, Additionsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren benutzen. Das Gleichsetzungsverfahren würde sich anbieten, wenn ich als Ausgangspunkt diese beiden Funktionsgleichungen gegeben habe, weil dann direkt beide Gleichungen nach der gleichen Variablen aufgelöst sind. Ja, in beiden Gleichungen steht y auf der linken Seite. Das heißt, die rechten Seiten müssen übereinstimmen. Man könnte aber auch das Additionsverfahren gut benutzen. Wir sehen, dass in der ersten Gleichung -y vorkommt, in der zweiten Gleichung kommt +y. Y. Das heißt, wir können die beiden Gleichungen einfach addieren und verlieren dadurch direkt eine Variable. Also, welches Lösungsverfahren ihr

benutzt, ist eure eigene Entscheidung. Zum Schluss sollte dann aber für x eine 2 rauskommen. Hoppla. und für y eine 3. Wir können auch grafisch Ungleichungen darstellen und das ist wichtig, wenn wir über die sogenannte Budgetmenge sprechen. Also eben haben wir, ich glaube, das war sogar eine sehr ähnliche Gerade gehabt mit der Steigerung -inh/HB, das könnte hier passen, eine Budget gerade gehabt, den Bereich, den Ich mir leisten kann, wenn ich all mein Geld ausgebe, aber wer sagt denn eigentlich, dass ich nicht auch Geld übrig haben will? Na, es könnte ja auch sein, dass ich noch von

den 18 € übrig haben will und dann wäre ich eben unter dieser Gerade und die die Fläche der, wir sagen Halbraum, der unter der Gerade liegt, das wäre dann die Menge, die durch die Ungleichung charakterisiert ist. Jetzt gehen wir ein Schritt weiter. Wir Haben jetzt über lineare Funktionen gesprochen. Jetzt geht's über quadratische Funktionen und da knüpfe ich an an das, was wir gestern bei den quadratischen Gleichungen gemacht haben. Und ich habe gemerkt, hier kommt auch die Mondscheinformel vor. Die hat jemand von euch genannt gestern. Äh, die kriegen wir auch gleich noch mal. Also hier noch

mal eine quadratische Gleichung. Ja, warum ist das eine Gleichung? Wir können ja sagen, das f Von x, das soll gleich y sein und dann haben wir eine quadratische Gleichung. Wir haben gestern die quadratische Gleichung Normalform definiert für den Fall, dass y = 0 ist, also dass der rechte Ausdruck gleich 0 ist. Und das würde dann direkt dem Achsenabschnitt auf der X-Achse entsprechen von dieser Funktion. Ja, also wir haben zwei Fragen. Für welche Werte von x ist die rechte Seite gleich 0? Das wäre Die Frage nach dem X-Achsenabschnitt. Und welches sind die Koordinaten des Maximums und

Minimumspunktes, also des sogenannten Scheitelpunktes? Und das haben wir gestern noch nicht behandelt. Das kriegen wir heute hin. Hier sehen wir wieder drei Fälle. Es gibt insgesamt noch mehr Fälle. Das sollen exemplarisch Fälle sein und wir sehen hier einmal eine Parabel, die nach unten geöffnet ist. Das ist dann der Fall, wenn der Koeffizient vor dem X² negativ ist. Hier Sehen wir das A ist negativ und in den anderen beiden Fällen ist die Parabel nach oben geöffnet. Da ist jeweils das A positiv. Und zusätzlich haben wir noch eine andere Fallunterscheidung. Und zwar geht es hier äh um

die X-Achsenabschnitte, um die sogenannten Wurzeln von dem von der quadratischen Gleichung. Da sehen wir im linken Diagramm, dass es zwei Abschnitte gibt. Im mittleren Diagramm gibt es genau Einen Abschnitt äh einen Achsenabschnitt, x-Achsenabschnitt und im rechten Diagramm gibt's gar keinen. Okay? Da gibt's keinen Schnittpunkt mit der X-Achse. Und das hängt eben davon ab, welche Ungleichung hier gilt. Wenn b² größer als 4 x AC ist, haben wir zwei Abschnitte. Wenn es gleich ist, haben wir genau einen. Und wenn B² kleiner ist, dann haben wir gar keinen Ab Achsenabschnitt. Und das hängt damit zusammen, dass wenn wir

die an die PQformel denken oder hier sehen wir die Mitternachtsformel, wenn der Ausdruck unter der Wurzel hier positiv ist, dürfen wir die Wurzel ausrechnen und dann kriegen wir zwei Abschnitte. Wenn der Ausdruck unter der Wurzel gleich 0 ist, ja, wenn b² = 4ac ist, dann fällt die Wurzel einfach weg und es bleibt nur dieser Ausdruck übrig, der auch vorher schon da war. Und wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, Dann können wir es nicht ausrechnen und dann gibt es gar keinen X-Achsenabschnitt. Also zur Erinnerung, ich schreibe die PQformel noch mal dazu. Nee, ich schreib

es nicht dazu, damit es nicht verwirrend ist. Die PQ Formel habt ihr im letzten Kapitel in Kapitel 3. Und wenn ihr für P und Q entsprechend einsetzt B durch A bzw. C A, dann kommt ihr auf diese Mitternachtsformel. In allen drei Fällen, egal ob wir X-Achsenabschnitte oder nicht haben, gibt es einen Scheitelpunkt. Dieser Scheitelpunkt kann manchmal das Minimum sein oder das Maximum, aber es gibt ihn immer. Wenn der wenn das A negativ ist, ist der Scheitelpunkt ein Maximumspunkt. Und wenn das A positiv ist, wie in den beiden rechten Punkten äh Fällen, dann ist der Scheitelpunkt

ein Minimum. Also hier könnte z.B. eine Gewinnfunktion Abgebildet sein und hier eine Durchschnittskostenfunktion. Und die Koordinaten vom Scheitelpunkt sind immer gleich, egal in welchem Fall wir uns befinden. Der die x-Koordinate von dem Scheitelpunkt ist immer -b dur 2a. Und ich möchte euch ein einen einfachen Trick sagen, wie ihr das schnell sehen oder ausrechnen könnt, wenn die Achsenabschnitte bereits bekannt sind. Der liegt nämlich genau immer in der Mitte zwischen den beiden Achsenabschnitten von der X-Achse. Und das liegt daran, wenn wir zwei Achsenabschnitte haben, dass wir auf diesen Mittelpunkt einmal was drauf addieren und einmal was abziehen.

Das soll dieses Plus minus hier zeigen. Ja, wir ziehen immer das den gleichen Betrag ab. Das heißt, wir gehen die gleiche Strecke nach links und die gleiche Strecke nach rechts von diesem -b dur 2a. Das heißt, wenn ihr bereits wisst, Dass diese quadratische Funktion Nullstellen hat, wenn ihr diese Nullstellen bereits kennt, weil die möglicherweise leicht auszurechnen sind, dann braucht ihr euch gar nicht mehr an die Formel zu erinnern, wo jetzt das Maximum oder Minimum liegt, sondern ihr nehmt einfach die Mitte von diesen beiden Nullstellen. Dazu mache ich gleich ein Beispiel. Was passiert, wenn wir in

diesem Fall sind, wo es gar keine Nullstellen gibt? Dann schieben wir diesen Grafen einfach nach unten. Ja, wir denken uns eine neue Funktion und schieben den einfach nach unten. Wenn wir den nur nach unten schieben, dann verändert sich ja die X-Koordinate von dem Scheitelpunkt gar nicht. So, und wie verschieben wir den nach unten? indem wir das C kleiner machen. Ja, angenommen in diesem Grafen hier ist das C = 10. Dann setzen wir einfach C = -10, schieben den Grafen nach unten und kriegen zwei Schnittpunkte und der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte. Okay, ich möchte

noch mal ein Beispiel mit euch ausrechnen, um das auszuprobieren. Wieder ein XY Diagramm, aber diesmal sollen die Achsen was anderes bedeuten. Hier soll die Menge sein. Die Menge heißt quantity, also wird sie durch Q abgekürzt und hier steht der Preis und der wird durch P abgekürzt. Und ich möchte jetzt eine lineare Nachfragefunktion hier einzeichnen. Die sollte eigentlich auch weitergehen. So, aber wir haben keine negativen Preise, keine negativen Menge Mengen. Deswegen betrachte ich jetzt ich hier nur den Fall im positiven Ort handen. Und für diese Nachfragefunktion definiere ich mir jetzt den Erlös. Und Vielleicht mache ich

das jetzt mal hier. Der Erlös, der wird im Englischen auch mit R abgekürzt, weil es Revenue heißt. Deswegen schreibe ich jetzt hier auch mal R und das ist einfach P mal Q. Ja, wir haben auch andere Begriffe für den Erlöst, z.B. Umsatz oder wenn es darum geht, dass ihr was verkaufen wollt, dann sind das eure Einnahmen oder wenn ihr wenn es darum geht, dass ihr was kaufen wollt, dann sind das eure Ausgaben. Sind alles Begriffe, die wir mit der gleichen Formel eigentlich belegen könnten und wir könnten diesen Erlös grafisch darstellen. Und zwar, wenn ich jetzt

eine bestimmte Menge Q, sagen wir mal, die Menge Q1 kaufe, dann gehe ich jetzt von Q1 hoch bis zur Nachfragefunktion und dann gehe ich nach links und dann kriege ich den Preis, den ich bei der Menge Q1 bezahlen muss. Und dieses Produkt P* Q, das ist diese Fläche hier. So, jetzt stellt euch mal vor, ihr seid Verkäufer, ihr wollt was verkaufen und ihr dürft entscheiden, zu welchem Preis ihr das verkauft. Und für jeden Preis, den ihr festlegt, legt jetzt diese Nachfragefunktion eine Menge fest. Und ich möchte jetzt mal eine ganz einfache Nachfragefunktion festlegen. Und ich

nenne diese Nachfragefunktion D von P. D steht für Demand. Also für Jeden Preis, der irgendwie festgelegt wird, sagt mir die Nachfragefunktion, welche Menge ich verkaufen kann. Und also ich mache jetzt wirklich eine unrealistische Nachfragefunktion, die soll einfach 1 - p heißen. Also das heißt, hier soll der Achsenabschnitt 1 sein und die Steigung soll -1 sein. Es soll eine lineare Funktion sein. Und wenn euch das zu simpel ist, dann nehmt halt eine andere lineare Nachfragefunktion, die ihr Realistischer findet. Jetzt könnt ihr quasi für das Q ein ähm diese Funktion einsetzen und dann kriegen wir ein eine

Erlösfunktion, die wieder von dem Preis abhängt. Das ist dann der Preis mal die Nachfrage, also der Preis mal 1- p. Und jetzt ist eure Aufgabe, den Scheitelpunkt von dieser Funktion zu finden. Also versucht ein P zu finden, das diesen Erlös maximiert. Ihr könnt das mit der Formel machen von der vorherigen Folie oder ihr könnt euch überlegen, wo hat diese Funktion null Stellen und da muss der Scheitelpunkt genau in der Mitte liegen. geht den Weg, den ihr selber besser findet und sobald jemand das den Scheitelpunkt gefunden hat, also den Preis, der hier den Erlös maximiert, sagt

mir einfach Bescheid, ja? Ruft dann einfach rein, meldet euch. kurze Anmerkung, um die Formeln von der Vorherigen Folie anwenden zu können, vielleicht schalte ich gleich noch mal kurz darauf zurück, müsst ihr diese Funktion erstmal als quadratische Funktion darstellen. Also, ihr müsst es ausrechnen, p* 1 - p, damit ihr wisst, was ist jetzt das A und was ist das B. Ich gehe noch mal ganz kurz zurück, damit ihr die Formeln seht. Also hier oben steht die allgemeine Form a* x² + b* x + c und hier unten stehen die Koordinaten von dem Scheitelpunkt. Welchen Preis sollte

ich als Verkäufer festlegen, damit mein Erlös maximal wird? Vielleicht als vorbereitenden Schritt kann mir jemand von euch sagen, wie die quadratische Funktion heißt, wenn ich das ausmultipliziert habe, dann kann man damit vielleicht bisschen leichter weiterarbeiten. Was kommt raus, wenn ich p* 1 - p ausrechne? Ich habe das Gefühl, ich habe euch ein Bisschen überstrapaziert. Es tut mir leid. Ah, da kommt eine Wortmeldung. Bitteschön. Genau. Also das hier ist P, also P* 1 - P². Und damit es vergleichbar ist zu der Formel, die auf der vorherigen Folie stand, drehe ich das jetzt einmal um. Also, das

ist - p² + p. Und jetzt schreibe ich dahinter noch + 0. Und dann sehen wir, dass wir diese drei Ausdrücke haben von der Folie davor. Ich schreib glaube ich diesen allgemeinen Ausdruck noch mal hierhin. Also f von x = a* x² + b* x + c. Und im nächsten Schritt muss man sich jetzt überlegen, was ist das A, was ist das B und was ist das C? Ja, bitttechön. Ähm, erklär mal zunächst, wie du wie du vorgegangen bist. Genau. Was hast du denn eingesetzt für A Und was hast du eingesetzt für B? Genau so.

Und jetzt gucken wir noch mal zurück, wie ist die x-Koordinate für den Scheitelpunkt? Hier steht - b dur 2a. Und jetzt setzen wir das einfach mal da ein. Also die x-Koordinate für den Scheitelpunkt. Wo passt das? Hier passt das hin. X-Koordinate des Scheitelpunkts. Ich schreib nur mal SP, weil ich nicht so viel Platz habe. Also, was war da noch mal? - b= 2a. Und jetzt müssen wir gucken, was ist das b? Das ist also -1 und A ist -1, also geteilt durch 2* -1. Wir haben jetzt eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Die Minuszeichen fallen einfach

weg und es bleibt ein halb übrig. Also war es schon sehr nah dran. Der Preis ein halb maximiert hier den Erlös. Jetzt haben wir also den Lösungsweg äh Genommen. Wir haben erstmal die Funktion so umgeformt, dass sie wie eine quadratische Funktion aussieht. Tatsächlich haben uns gefragt, was sind die Zahlen für A und B und C? C habe ich gar nicht dazu geschrieben. Mache ich noch mal schnell. Das C wäre g= 0. Und dann haben wir die Formel für die X-Koordinate vom Schaltelpunkt benutzt, also -b dur 2a. Hoppla. Und haben ein halb rausbekommen. Ein anderer Lösungsweg

wäre sich zu überlegen, an welchen Stellen ist denn der Erlös gleich 0? Also p mal 1 - p. Wann ist das gleich 0? Das sind die Nullstellen vom Erlös. Wir haben hier ein Produkt. Das Produkt ist gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Also wenn z.B. p = 0 ist oder wenn p = 1 ist. Ich schreib mal diesen anderen Lösungsweg noch dazu. Also Nullstellen Von P* 1 - P, das ist P1 = 0 und P2 = 1. Und der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte von diesen Nullstellen. Also die X-Koordinate vom

Scheitelpunkt. Unten habe ich geschrieben des Scheitelpunkts ist dann 0 + 1 ge 2. 0 + 1 ge 2 ein. Also, das wäre in diesem Fall Lösungsweg, der auch gut funktioniert. Und äh nicht nur in diesem Fall, sondern der funktioniert immer super, wenn wir die Nullstellen einfach sehen können. Ja, und das ist liegt dann vor, wenn die quadratische Funktion bereits als Produkt gegeben ist. Ihr habt's eben kurz gesehen, wir haben jetzt noch ein zweites Beispiel, da können wir das noch mal ausprobieren. Also, wir haben jetzt äh eine Firma im Wettbewerbsmarkt. Was bedeutet Wettbewerbsmarkt? Das bedeutet, dass

die Marktteilnehmer alle relativ zur Gesamtmasse klein sind. Bedeutet, niemand hat die Macht, den Preis zu beeinflussen. Ja, jeder ist so klein, dass eine eigene Entscheidung den Marktpreis nicht beeinflusst. Das heißt, alle sehen den Marktpreis als gegeben an. In dem Beispiel davor wäre das andere extreme gewesen. Monopolfirma. Die Monopolfirma legt den Preis selber fest. Hier sind wir im Wettbewerbsmarkt. Der Preis ist gegeben und wird einfach mit P gezeichnet bezeichnet. Die einzelne Firma kann aber sehr wohl entscheiden, wie Viel sie produzieren will. Und die Menge, die sie produziert, nennen wir jetzt Q. Und es ist gegeben eine

Kostenfunktion. Die Kostenfunktion lautet 2* Q + 1/ Q². Also wegen diesem hoch 2 ist es eine quadratische Kostenfunktion. Und jetzt will die Firma ihren Gewinn maximieren. Und was ist der Gewinn? Hier sehen wir wieder diesen Ausdruck P* Q. Das ist der Erlös. Und davon müssen wir jetzt die Kosten Abziehen, die die Firma hat. Und die Frage, die ich jetzt an euch habe, hey, welche Menge sollte die Firma denn produzieren als Funktion des Marktpreises P? Ja, intuitiv kann man sich vorstellen, wenn der Marktpreis sehr groß ist, da produziere ich mehr. Wenn der Marktpreis klein ist, produziere

ich weniger. Die Firma hat einen sogenannten Tradeoff, die hat einer Oh, erlöst, braucht noch Öpte. Einerseits fließt die Menge Positiv in den Erlös ein. Ja, wir haben gesagt, die Firma ist so klein, dass der Preis sich nicht anpasst, aber hier der Erlös hängt linear von der Menge ab. der Erlöst steigt, je mehr ich produziere, aber ich habe gleichzeitig den Nachteil, dass meine Kosten auch steigen und ich muss halt irgendwo ein Punkt finden, der optimal ist, ja, der diese beiden Ziele quasi kombiniert. Na, ich will so kleine Kosten wie möglich haben, so groß wie möglich den

Erlös. Genauer gesagt, ich will den Differen die Differenz davon maximieren. Also jetzt müssen wir ein richtiges ökonomisches Problem lösen und das gehen wir schrittweise an. Im ersten Schritt versuchen wir die Zielfunktion. Ach so, ich muss aber bei diesem Buchstaben noch dazu schreiben, was das ist. Ihr kennt den alle schon. Das ist das griechische Pi. Und der wird fast immer für Gewinn benutzt. Warum? Gewinn heißt auf englisch Profit. Und wir würden den Profit eigentlich gerne mit P abkürzen. Das P haben wir aber schon für den Preis, für den Marktpreis verbraucht. Deswegen benutzen wir hier einfach das

griechische Pi. Also, wir wollen den Gewinn maximieren als Funktion der Menge und dazu müssen wir den Gewinn erstmal als quadratische Funktion aufschreiben. Und dazu setze ich jetzt die Kostenfunktion ein, die da oben drüber steht. Also P mal Q kann ich einfach abschreiben und jetzt muss ich die Kosten abziehen. Das heißt, ich muss rechnen -2 x Q und aufgepasst. Hier hinten steht zwar + 1/q quadrat, aber wegen dem Minus vor den Kosten muss ich auch wieder minus rechnen, also - 1/2 q². Im nächsten Schritt möchte ich, also das Ziel ist es, die Funktion auf folgende Art

und Weise darzustellen. f von x = a* x² + b* x + c. Im nächsten Schritt möchte ich jetzt erstmal, ja, vielleicht sollte ich mir erstmal überlegen, hier habe ich ein X stehen und jetzt heißt in diesem ökonomischen Problem aber unsere Variable nicht x, sondern Q. Das heißt, ich muss einfach mir für jedes X, was hier steht, ein Q denken. Jetzt schreibe ich als allererste Stelle a* X² bzw. A* Q². Das heißt, ich suche hier das Q², das schreibe ich nach ganz vorne, also - 1/2 Q². Und dann sehe ich schon, wo das was das

A ist. A = - Was sagt mir das noch mal, dass das negativ ist? Die Parabel ist nach unten geöffnet. Das heißt, der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt. Das heißt, es gibt tatsächlich ein Gewinnmaximum. Das ja schon mal ganz gut. Jetzt kommt als nächstes Bx bzw. BQ. In dem Ausdruck hier links sehen wir aber, dass das Q zweimal vorkommt. Das Heißt, hier wäre es nützlich, wenn wir das Q erstmal ausklammern. Also P* Q - 2* Q. Das Q können wir ausklammern. Dann steht da + p - 2 in Klammern mal Q. Und damit haben wir das

B gegeben. Also B = P - 2. Und jetzt kommt nichts mehr. Also hier hinten steht noch + 0 sozusagen oder -0. Hoppla. Und das ist das C. Wenn da jetzt z.B. hinten noch -10 stehen würde, dann könnten wir diese 10 Als Fixkosten interpretieren. Ja, die Firma hat Fixkosten in Höhe von 10, egal wie viel sie produziert. In diesem Beispiel gibt es aber zum Glück keine Fixkosten. So, und jetzt lasse ich euch erstmal wieder selber da dran. Also, ihr könnt euch jetzt entscheiden, nehmt ihr diese Formel für die X-Koordinate vom Scheitelpunkt oder macht ihr das

mit den Nullstellen und überlegt euch dann, wo sind wo ist der Mittelpunkt zwischen den Beiden Nullstellen, um das Gewinnmaximum zu finden. Also gesucht ist jetzt die Menge Q, also die Menge für die Variable von der Gewinnfunktion, die den Gewinn maximiert und diese Menge Q wiederum hängt vom gegebenen Marktpreis ab. Hat schon jemand ein Ergebnis? Hat jemand schon die X-Koordinate gefunden oder braucht ihr noch ein bisschen Zeit? Oder weiß jemand überhaupt gar nicht, Was los ist hier? Ich weiß auch manchmal überhaupt nicht, was los ist. Also, das ist voll okay, wenn man in der Situation ist.

Ihr seid trotzdem ein guter Mensch, wenn ihr gerade auf dem Schlauch steht. Wenn ihr mir das sagt, kann ich euch dann helfen. Also, die Frage ist, was sollen wir noch mal ausrechnen? Also, diese Funktion -q² + p - 2 x Q, das ist die der Gewinn von der Firma in Abhängigkeit von der Eigenen Menge Q und in Abhängigkeit vom Marktpreis P. Das P ist aus Sicht der Firma ein Parameter, also ein feststehender Wert, den die Firma nicht beeinflussen kann, kann irgendeine Zahl sein und das Q ist eine Variable, die die Firma selber entscheiden kann. Und

jetzt soll die Firma eben das beste Q wählen beigegebenem Marktpreis P, also dasjenige Q, was den Gewinn der Firma maximiert. Und grafisch gesprochen stellt diese Funktion eine nach unten geöffnete Parabel da. Und wir suchen jetzt den Scheitelpunkt von dieser Parabel und davon erstmal nur die X-Koordinate, also die Q-Koordinate soll ich besser sagen. Hat jemand eine Idee, wie wir loslegen könnten, wie wir das Problem angehen können? Also, ich gehe noch mal eine Folie zurück, wo wir das in dem anderen Problem gelöst haben. Wir haben im ersten Schritt die quadratische Funktion aufgeschrieben. Hier war die Variable nun

das P. Das könnte vielleicht verwirren. Jetzt im neuen Problem wird es das Q sein. Und wir haben rausgefunden, was sind diese Parameter A, B und C? Für den Scheitelpunkt, für die X-Koordinate brauchen wir aber nur A und B, denn die Koordinate vom Scheitelpunkt ist gegeben durch -b dur 2a. Dann haben wir im nächsten Schritt für b und a die Zahlen Eingesetzt und dann den Scheitelpunkt ausgerechnet. Jetzt in dem neuen Problem ist die Variable nicht mehr P, sondern Q. Und wir haben hier in der quadratischen Form festgestellt, dass A ist -1/ und das B ist P

- 2. Und jetzt müssen wir dieses A und dieses B in die Formel für die X-Koordinate von dem Scheitelpunkt einsetzen. Und die X-Koordinate von dem Scheitelpunkt ist dieses Q Stern von P. schreibe ich mal drüber, dass die ja, ich sage jetzt mal Q-Koordinate des Gewinnmaximums und das ist der Scheitelpunkt. Ein T fehlt noch. So, wie war noch mal die Formel? Ich schreib sie noch mal hin. - b= 2a. Und jetzt müssen wir gucken, was ist noch mal das B, was ist noch mal das A? Also minus, das B ist gegeben durch P - 2 und

das A ist gegeben durch - also geteilt durch 2* -1/ Und jetzt müssen wir ein bisschen rechnen. Ich rechne erstmal den Nenner aus. Also - p- 2 und da steht 2 x - ergibt -1. Und jetzt sehen wir, dass da eine ungerade Anzahl von Minuszeichen ist. Die Minuszeichen kürzen sich weg und es Bleibt nur p- 2 dur 1 übrig. Dann können wir auch einfach nur p -2 schreiben. Und jetzt würde ich das Ganze einmal gerne grafisch darstellen, bevor ich hier noch den Gewinn dazu ausrechne. Aber bevor ich jetzt anfange rumzumalen, ist es bis hierhin nachvollziehbar,

was ich gemacht habe? Okay, also was möchte ich jetzt als nächstes machen? Ich möchte diese Funktion, diese Gewinnfunktion grafisch darstellen. Dazu schreibe ich mir die noch mal auf. Pi von Q = -1/Q² + P - 2* Q + 0. Ich weiß schon, das ist eine quadratische Funktion. Äh, also ist es eine ist der Graf dazu eine Parabel. Wegen der -b ist die Parabel nach unten geöffnet. Und jetzt möchte ich noch rausfinden, wo sind die Nullstellen von dieser Parabel? Und dazu ist es sehr hilfreich, das Q Hier einmal auszuklammern. Ja, wir sehen, hier kommt ein Q

vor, hier kommt ein Q vor. Also kann ich das Q einmal ausklammern und dann kann ich mir überlegen, was bleibt übrig. einmal -1/q und einmal p - 2, also + p - 2. Jetzt stört mich dieses -b vielleicht ein bisschen. Nee, ich lasse es mit drin, damit es nicht zu viele Umformen werden. Ich vertausche hier einfach nur die Reihenfolge. Q mal P -2 - 1/2Q, Denn jetzt habe ich das als Produkt dargestellt und kann relativ leicht die Nullstellen rausfinden von diesem Produkt. Die Nullstellen, die erste Nullstelle sehen wir, wenn q = 0 ist. Das ist,

wenn der erste Faktor gleich 0 ist. Also Q1 = 0. Also, wenn ich gar keine Menge produziere, habe ich keinen Erlös und ich habe keine Kosten und dann ist mein Gewinn einfach gleich 0. Und jetzt können wir uns überlegen, wo ist die zweite Nullstelle? Die zweite Nullstelle kriegen wir, wenn wir diese zweite Klammer gleich 0 setzen. Also, wenn P -2 - und jetzt schreibe ich Q2 hin, wenn das gleich 0 ist. Also jetzt muss ich diese Gleichung umformen. Dazu bringe ich -/ Q2 auf die rechte Seite. Also ich rechne + 1/ Q2 und dann kriege

ich also p - 2 = 1/q 2. Und jetzt muss ich noch beide Seiten mit zwei multiplizieren mal 2, damit ich dieses ein/HB loswerde und dann kriege ich 2p2 äh 2p - 2 x 2, also -4 = q2. Das ist die zweite Nullstelle. Und jetzt kann ich das Ganze einzeichnen. Male dazu ein Diagramm. Was kommt an welche Achse? Hier kommt Die Menge dran. Und hier kommt der Gewinn dran, Pi. Und jetzt zeichne ich erstmal die beiden Nullstellen ein. Die erste Nullstelle ist hier an der Stelle 0. Und die zweite Nullstelle zeichne ich mal hier ein

bei 2p - 4. Ich weiß, die Parabel ist nach unten geöffnet. Also jetzt versuche ich mich mal künstlerisch. Muss die irgendwie so aussehen? Ja, ich habe jetzt noch keine Ahnung, wie hoch oder wie niedrig die ist. Also, ich weiß noch überhaupt nicht, was ist diese Koordinate. Aber hey, darum geht's mir jetzt erstmal gar nicht. Mir geht's nur darum zu wissen, okay, die das Maximum, also der Scheitelpunkt liegt genau hier in der Mitte. Das ist die X-Koordinate vom Scheitelpunkt. Und wie rechnen wir das aus? Wir zählen die beiden Nullstellen Zusammen und teilen durch 2. Also das

hier ist jetzt Q Stern und es gilt Q Stern = 0 + 2p - 4 ge 2 und dann sieht man, da kommt raus 0 dur 2 fällt weg. 2P dur 2 p und -4 dur 2 -2. Das wäre sozusagen der andere Ansatz, um das Gewinnmaximum rauszufinden. Und wenn wir das gelöst haben, dann haben wir erstens unser erstes richtiges ökonomisches Problem gelöst und zweitens haben wir auch schon eine äh ein Hilfsmittel hergeleitet, was wir in Vielen ökonomischen Situationen brauchen, nämlich die Angebotskurve. Das hier, was wir hier haben, ist nämlich die Angebotsfunktion. Also, ich schreibe jetzt

hier mal in Klammern noch ein P dahinter, weil ja auf der rechten Seite ein P steht. Für jeden Preis weiß jetzt die Firma ganz genau, wie viel sie produzieren muss. Sie muss es nicht immer wieder neu ausrechnen, dieses Maximierungsproblem, sondern sie Kann ja einfach gucken, okay, meine Angebotsfunktion lautet P - 2, ich muss also 2 vom Preis abziehen und das ist dann die Menge, die ich produzieren soll. Und diese Angebotsfunktion, die möchte ich auch mal in den Grafen einzeichnen. Also neuer Graf, Angebotsfunktion, wie heißt die noch mal? Q Stern von P = P - 2.

Und vielleicht fällt uns dann gleich noch was auf, wo wir aufpassen Müssen. So, jetzt kommt direkt eine Besonderheit. Ihr kennt es bei Funktionen ja so, dass man auf die X-Achse die Variable von der Funktion hinschreibt und auf die Y-Achse den Funktionswert. Das ist auch schlau so zu machen. Das ist auch so das, wie man das in der Schule gelernt hat. Jetzt sind wir Ökonominnen und Ökonomen, aber bisschen eigen und haben das ganz Oft vertauscht. Wir sind so darauf fixiert, dass wir auf die horizontale Achse die Menge eintragen und auf die vertikale Achse den den Preis

eintragen, dass wir also oft die Funktion umdrehen in so einem Diagramm. Also, das ist quasi eine Konvention, dass die X-Achse die Mengenachse ist. und die y-Achse die Preisachse ist, dass wir nicht bereit sind, da uns von unseren Gewohnheiten zu lösen. Und jetzt Müssen wir die Funktion quasi falsch rum aufzeichnen. Aber ich glaube, wir kriegen das hin, wenn es sich um so eine einfache Funktion handelt, p- 2. Also was passiert z.B., Wenn p = 2 ist hier auf der Preisachse trage ich jetzt mal eine 2 ein, dann können wir ausrechnen, die Menge, die optimale Menge ist

gleich 0. Und jetzt sehen wir, wenn wir den Preis um 1 erhöhen, dann erhöht sich auch die Menge um 1. Das heißt, die Steigung ist gleich 1. Dann kann ich einfach hier eine Gerade einzeichnen mit der Steigung 1. So. Steig= 1 und das ist die Angebotskurve und die bezeichnen wir mit groß S. Sht. Das ist die ja das Angebot oder die Angebotskurve. Also für jeden Preis, der auf dem Markt herrscht, z.B. Für Diesen Preis sagt uns diese Funktion jetzt eine optimale Menge QSN von P2 fast. Denn was passiert eigentlich, wenn der Preis kleiner ist als

2? Na, wenn ich diese Funktion hier weitermale, dann würde ja eigentlich rauskommen, dass ich eine negative Menge ausbringen soll. Und das kann ich ja nicht. Ich kann ja nicht negative Mengen produzieren. Deswegen müssen wir jetzt quasi ein Bisschen die Mathe, die reine Mathematik verlassen und so das unsere ökonomische Intuition dazu nehmen und uns überlegen, was würde die Firma machen, wenn der Preis kleiner ist als zwei? Dann bleibt sie einfach außerhalb des Marktes. Dann produziert sie nicht. Ja, dann lohnt es sich für die Firma nicht in den Markt einzutreten und sie produziert die Menge null. Das

heißt, wir schneiden hier die Angebotsfunktion ab und malen hier einfach eine senkrechte Linie. Ja, dann Können wir immer noch sagen, für jeden Preis weiß ich ganz genau, wie viel ich produziere. Und um diesen Knick, diese Fallunterscheidung mit reinzubauen, müssen wir die Angebotsfunktion ein ganz kleines bisschen anders aufschreiben mit geschweiften Klammern. Das haben wir an anderer Stelle schon mal gesehen. Und dazu verschiebe ich das mal ein bisschen nach oben. Mach hier so geschweifte Klammern. Also das ist richtig, Falls der Marktpreis größer ist oder g=ich 2 und 0, falls der Marktpreis kleiner ist als 2. Hier ist

es egal, wo ihr das Gleichheitszeichen hinschreibt. Ob ihr hier größer, gleich und strick kleiner oder andersrum hinschreibt, äh ist nicht so wichtig, weil in beiden Fällen die Menge Null rauskommt. Wie können wir diese Fallunterscheidung interpretieren mit der Gewinnfunktion, Die wir auf der Folie davor gesehen haben? der Folie davor habe ich ja zwei Schnittpunkte berechnet mit der x-Achse. Einmal die 0 und einmal den zweiten Schnittpunkt 2p - 4. So und jetzt stellt euch mal vor, dass der Marktpreis p wäre kleiner als 2, dann wäre dieser Schnittpunkt hier nicht auf der rechten Seite der Achse, sondern auf

der linken Seite der Achse. Und das Maximum wäre dann eben auch auf der linken Seite der Achse, aber das können wir nicht erreichen. Dann wäre der der beste Punkt für uns eben die Nullstelle. Okay, wir haben jetzt relativ viel mit dem Beispiel gerechnet, aber mir ist immer wichtig euch gleichzeitig zu vermitteln, wofür wir das Ganze brauchen. Ja, warum machen wir das? Warum rechnen wir mit quadratischen Funktionen? Warum interessieren wir uns für den Scheitelpunkt? Auf der Folie hier ist auch noch gefragt Nach dem Gewinn im Gewinnmaximum. Und das ist jetzt nicht mehr ganz so schwer auszurechnen,

aber ich mache es trotzdem nicht. Ich überlasse euch das, wenn ihr Lust dazu habt. Ich mache nur den ersten Schritt. Also der das Gewinnmaximum bekommen wir, wenn wir für jedes Q, was hier steht, das Q Stern einsetzen. Also, ich schreibe jetzt hier mal, das ist P* Q Stern von P -2* Q Stern von P - Q Stern von P zum Quadrat. Das wäre die Y Koordinate von diesem Scheitelpunkt. Und wer möchte, kann das auch mal ausrechnen. Da kommt wieder ein P. Ja, also auch das Gewinnmaximum, die y-Kordinate hängt von dem Marktpreis ab und es ist

wieder eine quadratische Funktion. Ich habe aber eben schon auf die Uhr gespickelt und bevor ich jetzt zum nächsten Thema komme, nämlich zu Polynom, möchte ich euch die Pause Geben, euch in die Pause entlassen und um 11 Uhr geht's dann weiter. Alr, here we go. Weiter geht's. Wir gehen jetzt einen Schritt weiter. Ja, wir haben bei linearen Funktionen angefangen, dann quadratische Funktion. Jetzt fügen wir noch eins zum Exponenten hinzu und wir kriegen kubische Funktionen, also Funktionen mit hoch 3 oder allgemein Polynome. Wir sehen aber hier jetzt erstmal einfach eine kubische Funktion. Also, Das heißt, wir sehen,

dass der höchste Exponent, der am x dran steht, eine 3 ist. Und diese Funktion habe ich euch in diesen Grafen auch schon mal geplottet. Und wir wollen eben versuchen, Eigenschaften von solchen Polynomen äh rauszuberechnen, herauszufinden. Was sind die Eigenschaften, die uns äh interessieren? Die Nullstellen vor allem, also das nennen wir dann die Wurzeln. Wir können hier in dem Grafen die Wurzeln ablesen, aber uns interessieren auch die lokalen hoch oder Tiefstellen. Also, wir sehen hier eine lokale Tiefstelle. Warum ist die nur lokal? Weil die nur in einer gewissen Umgebung ein Minimum darstellt. Wenn wir mit dem

X zu weit nach rechts wandern, dann sehen wir, dass die Funktion nach unten abhaut und dann nimmt sie noch tiefere Werte an. Oder hier sehen wir ein lokales Maximum. Wenn wir mit dem X zu Weit nach links wandern, dann sehen wir Funktionswerte, die noch größer sind als dieses Maximum. Aber zunächst soll es um die Wurzeln gehen, also um die Nullstellen. Ich habe eben schon gesagt, die können wir hier auch ablesen. Also z.B. Die -1 scheint eine Wurzel zu sein. Das lässt sich leicht überprüfen. Also, wenn man so ein Verdacht hat, eine Ahnung hat, was eine

Wurzel ist, dann kann man einfach mal die Zahl einsetzen. Also für X = -1 steht da dann minus, also dieses Minuszeichen. Jetzt schreibe ich -1 hoch 3 + 4* -1 hoch 2 - in Klammern -1 -6. Und jetzt muss ich anfangen auszurechnen. Also, wie war das noch mal mit dem Minuszeichen und Exponenten? Wenn der Exponent ungerade ist, bleibt das Minuszeichen erhalten. Wenn der Exponent gerade ist, dann bleibt das Minuszeichen nicht erhalten. Dann fällt's weg. Also, das ist minus, weil der Exponent Ungerade ist, bleibt das Minuszeichen erhalten. Ja, und 1 hoch 3 ist 1 x 1*

1, also wieder 3, dann steht da vier mal. Und jetzt haben wir hier einen geraden Exponenten, deswegen fällt das Minuszeichen weg. 1 quadrat ist 1. Ich schreib mal hier mal 1 dazu. Und hier haben wir einfach minus wird zu +1 -6. Und jetzt müssen wir hier vorne noch gucken, da haben wir eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Fällt wieder weg. Also 1 + 4 + 1 -6 und wir sehen, da kommt 0 Raus. Also -1 ist tatsächlich eine Nullstelle. Und auf die gleiche Art und Weise können wir auch die anderen beiden Nullstellen überprüfen. Die zwei und

die drei könnt ihr gerne selber machen, wenn euch mal langweilig ist. Wir wollen jetzt Techniken entwickeln, wie diese Nullstellen, wie wir wie man das rechnerisch lösen kann. Und dazu müssen wir ein kleines bisschen wieder definieren. Also, ich definiere jetzt erstmal ein allgemeines Polynom. Das hat das ist so aufgebaut. Wir haben hier ganz viele Xe stehen und jedes x hat einen Exponenten und das der Exponent heißt hier zunächst mal n, dann n - 1 und so weiter und hier hinten steht kein Exponent mehr dran. Ich könnte mir aber noch die 1 da oben dran schreiben, weil

wir gesagt haben, x hoch 1 ist das gleiche wie x. Und hier könnte ich mir theoretisch noch x hoch 0 dran schreiben, weil wir gesagt haben, x hoch 0 ist die 1. Das heißt, wir Sortieren beim Polynom die x auf in der Art und Weise, dass die Exponenten immer abnehmen und zwar immer um genau eins abzunehmen. Wir haben hier immer ganzige Exponenten. Wir trennen dann alle XE durch Pluszeichen und vor jedes X setzen wir einen Koeffizienten. Und dieser Koeffizient hat dann die Nummer des Exponenten, also an, an - 1, hier ist a, hier ist a0.

Bei den quadratischen Funktionen haben wir diese Buchstaben mit A, B und C genannt. Wenn wir aber ein allgemeines Polynom äh definieren wollen, dann könnte es ja sein, dass es mehr als 26 Exponenten gibt und dann können wir nicht 26 verschiedene Buchstaben benutzen. Deswegen kriegen die Buchstaben einfach alle den gleichen Namen, A, aber sie kriegen einen sogenannten Index, das N. Wenn wir jetzt, also hier steht erstmal die Funktion p, ja, also die, dieser ganze Ausdruck soll jetzt ein Polynom Sein, das die Funktion heißt dann p. Die Variable, die wir in das in die Funktion reinstecken, heißt

x. Und jetzt können wir dieses Polynom gleich 0 setzen, also diese ganze diesen ganzen Term gleich 0 setzen und diese Gleichung, die gibt uns dann die Nullstellen. Also alle XE, die diese Gleichung erfüllen, sind eine sogenannte Wurzel von dem Polynom, eine Nullstelle auf der X-Achse. Jetzt können wir erstmal was allgemeines Darüber sagen, wie viele Wurzeln es gibt und wie viele Extremstellen so ein Polynom hat. Also, wenn wir ein Polynom Grad n haben, dann kann es allerhöchstens n verschiedene Wurzeln geben. Es kann aber auch weniger geben. Also, wenn wir jetzt noch mal auf dieses Beispiel gehen,

da haben wir ein Polynom vom Grad 3 und wir sehen, dass das genau drei Wurzeln hat. Es könnte aber auch sein, dass es weniger Wurzeln gibt. Also, wenn wir zum Vergleich einfach nur die Funktion x hoch 3 anschauen, ja, dann wären die Koeffizienten für x² und x beide gleich 0. Und dann sieht dieses Polynom so aus. Das hatten wir vorhin auch schon gesehen. Das hat nur eine Nullstelle. Also hier wäre x, hier ist y und hier ist y = x hoch 3. Also, es kann auch weniger Nullstellen geben, aber es kann höchstens so viele Nullstellen

geben, wie der höchste Exponent ist. Was ist mit den Extremstellen? Dazu stand hier auch was. Es kann höchstens n - 1 Extrempunkte geben. Extrempunkte sind Hochpunkte und Tiefpunkte, maximal und Minimal. Und auch das sehen wir hier in dem in dem Beispiel. Wir haben hier ein Polynom dritten Grades und es gibt zwei Extremstellen, wobei das lokale Extremstellen sind, wie ich es eben äh schon bemerkt hatte. In dem anderen Vergleich, den wir hier sehen, x hoch 3, Gibt es überhaupt keine Extremstelle. Also, es gibt kein Minimum und kein Maximum. Das heißt, es darf auch weniger Extremstellen geben,

aber trotzdem ist uns diese Aussage ähm hilfreich. Wenn wir die Extremstellen einer Funktion suchen und bereits n - 1 Extremstellen gefunden haben, dann können wir aufhören. Ja, dann wissen wir, es kann nicht noch mehr geben bei einem Polynom Entenades. Hier ist noch ein anderes Beispiel. Also, das ist ein Polynomsten Grades, aber auf eine sehr einfache Art und Weise dargestellt, weil die ganzen Koeffizienten gleich 1 sind. Äh, also der erste Koeffizient und der letzte Koeffizient sind gleich 1 und alle anderen sind gleich 0. Und wir können hier sehen, es gibt überhaupt keine Nullstelle. Ja, egal was

für ein x wir einsetzen, dieser Ausdruck hier ist immer größer gleich 0. Das liegt daran, dass der Exponent eine gerade Zahl ist. Und wenn wir zu einer Zahl, die größer gleich 0 ist, die 1 addieren, dann ist der ganze Ausdruck immer größer als 0. Al und zwar strikt größer als 0, weil die 1 eben auch strikt größer als 0 ist. Das heißt, es gibt keine Stelle, wo dieses Polynom die X-Achse schneidet und es gibt genau ein Minimum in dieser in diesem Fall. Wenn x = 0 ist, dann wird x hoch 100 minimal. Das ist der

Tiefpunkt von dieser Funktion Und es gibt keine weiteren Extremstellen. Jetzt geht es darum, die Nullstellen zu finden. Und ein Resultat, was uns hilfreich ist, ist, dass wir ein Polynom in Faktoren zerlegen können. Und diese Faktoren verraten uns direkt die Nullstellen. Das hat, das haben wir bereits bei der quadratischen Funktion gesehen. Ja, wir können die quadratische Funktion in zwei Faktoren zerlegen und jeder Faktor verrätt uns eine Nullstelle. Und das funktioniert im Allgemeinen auch mit Polynomen. Also, wenn a eine Nullstelle ist, also wenn p von A = 0 gilt, dann können wir quasi aus diesem P von

A den Faktor X - A rausziehen. Und genau das möchte ich jetzt mit euch machen. Also hier haben wir ein Polynom gegeben dritten Grades x hoch 3 - 3x² + 0 x - 50. Und hier steht jetzt, dass x - 5tor von diesem Ausdruck ist. Ich Möchte jetzt zwei Sachen machen. Erstens möchte ich verifizieren, dass die 5 wirklich eine Nullstelle ist und dann möchte ich euch einen rechten Weg zeigen, wie man x - 5 aus diesem komplizierten Ausdruck rausziehen kann. Also Schritt 1 x = 5 ist eine Nullstelle. Und das machen wir, indem wir einfach

die 5 in das Polynom einsetzen. Also, wir rechnen p von 5 aus. Für jedes x, was ich hier sehe, schreibe ich einfach Eine 5 rein. Also 5 hoch 3 - 3* 5² - 50 möchte ich ausrechnen. Was ist 5 hoch 3? Also 5* 5* 5. Das muss ich in zwei Schritten ausrechnen. Das ist 25 x 5. Das mache ich als ersten Schritt. Ich schreib das mal hier drunter. 25* 5, also 5²* 5 - 3* 5² 5² ist aber 25 - 50. So und jetzt kann ich weiterrechnen. 25 x 5, also ich weiß ganz genau, dass

25 x 4 die 100 ergibt. Wenn ich da noch mal 25 drauf zähle, bin ich bei 125. 3 x 25 ist die 75. Und dann muss ich noch die 50 abziehen. So. Und jetzt kann ich ausrechnen. 125 - 75, dann bleiben 50 übrig. Und wenn ich dann noch mal 50 abziehe, bin ich bei 0. Also, da kann ich ein Haken dran machen. Ja, die Aussage stimmt. Ist der erste Schritt. Und im zweiten Schritt möchte ich jetzt aus diesem Polynom hier die x - 5 Herausziehen, ausklammern. Ja, und das ist ein äh eine Berechnung, die ihr

schon kennt, aber wahrscheinlich nicht in diesem Zusammenhang. Dazu schreibe ich das Polynom noch mal ab. Also x hoch 3 minus was jetzt kann ich es mir nicht merken. 3x² - 50. So, ich habe eben schon dieses 0 x hoch 1 mit gesagt. Das möchte ich jetzt explizit mit aufschreiben. Das heißt, Ich schiebe diese -50 ein bisschen nach rechts und schreib hier noch -0* x dazu. Das möchte ich jetzt so verändern, dass es als Produkt dargestellt wird mit einem Faktor x - 5 und einem anderen Faktor, den ich jetzt noch nicht kenne. Und diesen anderen Faktor,

den möchte ich ausrechnen. Wie mache ich das? Ich teile das hier durch x - 5. Ich merke gerade, ich brauche ein bisschen mehr Platz dafür. Ich muss ein Bisschen hin und her schieben. Also, das lösche ich schon mal weg. So, dann passt das besser. Also, wenn ich diese Rechnung ausführe, dann ist das, was übrig bleibt, der zweite Faktor. Also fange ich mal an. Die Methode, die ich benutze, ist das schriftliche Dividieren, aber ein bisschen abgewandelt. Ich gucke mir den ersten Ausdruck an. X hoch 3. Ich muss jetzt erstmal x hoch 3 durch x - 5

teilen und dabei ignoriere ich die -5 hinten. Also, ich stell mir nur vor, ich will x hoch 3 durch x teilen und dann gucke ich, was bleibt übrig. Ja, x hoch 3 ist x* x* x. Wenn ich das durch x teile, bleiben 2 x übrig, also x² bleibt übrig. Das schreibe ich hierhin. Jetzt gehe ich den Weg zurück. Ich multipliziere jetzt das x² wieder mit x, aber auch mit -5. Also x²* x= x hoch 3 und x²* -5 -5 x². Jetzt geht's weiter wie beim schriftlichen Dividieren. Ich ziehe jetzt von dem oberen Ausdruck den unteren

Ausdruck ab. Also ich rechne x hooch 3 - x hoch 3, dann kommt eine 0 raus. Dann rechne ich -3x² -5x², also + 5x², dann kommt 2x² raus. Also wirklich gibt das gleiche Verfahren wie beim schriftlichen Dividieren plus dass wir hier hinten halt noch einen Zweiten Ausdruck mitnehmen müssen. Also ich schreibe hier vielleicht mal in grün drüber, wie das 2x da entstanden ist. Das ist -3x² -5x². Jetzt muss ich mir beim schriftlichen dividieren die nächste Zahl hier runter schieben. Also 0 x kommt hierhin. Und jetzt geht's weiter. Jetzt überlege ich mir, wie oft passt dieses

x in das 2x² rein? 2x² ist 2 x* x. Wenn ich das Durch x teile, bleibt 2x übrig. Also schreibe ich hier hin + 2x. Jetzt gehe ich wieder den Weg zurück. 2x* x= 2x² und 2x* -5 dann -10x. Also steht hier - 10x. Jetzt muss ich wieder die Differenz bilden. 2x² - 2x²= 0 und -0 x -10* x ist dann + 10 x. Und da schreibe ich wieder dazu, wie ich da drauf komme. Also -0 x -10* x er + 10 x. Jetzt geht's wieder einen Schritt weiter. Die -50 kommt nach unten. Also hier

schreibe ich jetzt die -50 hin. Und jetzt muss ich wieder durch x - 5 teilen. Also wie oft passt das x dieses hier in 10x rein? Da bleibt nur die 10 übrig, also + 10. Und nun den Weg wieder zurück. 10* x= 10x und 10 x -5= -50. Und ihr seht, es passt genau. Ja, jetzt kommt hier in beiden Fällen 0 raus und ich bin fertig. Wenn hier unten jetzt noch was übrig bleiben würde, dann hätte ich ein Rest. Ja, dann hätte es nicht geklappt, dann wäre diese Zerlegung irgendwie schief gelaufen. Aber jetzt kann ich

sagen, das hier ist der Rest, der übrig bleibt, wenn ich durch x - 5 teile. Umgekehrt kann ich also sagen, also gilt P von X= ich schreibe noch mal das Polynom auf x hoch 3 - 3x² - 50 = x - 5* x² + 2x + 10. Ich schreib die Null dann Noch mal schöner. Das heißt, ich habe jetzt dieses Polynom in zwei Faktoren zerlegt und das ist ein Produkt und das Produkt ist gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Also wir haben schon gesehen, das ist gleich 0, wenn x - 5 =

0 ist, also wenn x = 5 ist. Das haben wir eben schon überprüft. Und wenn wir jetzt weitere Nullstellen finden wollen, dann können wir uns diesen zweiten Faktor anschauen und uns Überlegen, wann ist der gleich? Das heißt, wenn wir von ein allgemeines Polynom haben und eine Nullstelle von dem Polynom gefunden haben, dann können wir diese Nullstelle aus dem Polynom rausziehen und erhalten ein Polynom Grad weniger. Und das ist dann wiederum einfacher zu lösen. Mit jeder Nullstelle, die wir finden, wird das Polynom einfacher und wir können daraufhin dann die weiteren Nullstellen finden. So, wie ist das

denn jetzt mit diesem Ausdruck? Was sind hier die XE, die ich einsetzen muss, damit dieser Ausdruck gleich 0 ist? Hier würde ich jetzt, ich könnte die PQformel benutzen, ich könnte die Mondscheinformel benutzen, aber ich benutze jetzt hier die quadratische Erweiterung, weil das am einfachsten ist. Und das mache ich, indem ich die Zeh aufteile. Ich glaube, ich packe das mal hierhin. Nullstellen von x² + 2x + 10. Diese 10, die teile ich so auf, dass der Anfang hier x² + 2x gut zu einer binomischen Formel passt. Weil ich hier Plus habe, benutze ich die erste binomische

Formel. Ja, da steht x² und hier müsste dann stehen 2* x mal das b mal dieser zweite Ausdruck. Hier steht ja sozusagen mal 1 dazu. Das heißt, das B² ist auch wieder die 1. Ich teile mir die 10 also auf in eine 1 und in eine 9. Den Rest schreibe ich ab. x² + 2x* 1 + 1 und aus dieser 1 mache ich ein 1² und dann sieht man, dass man die erste binomische Formel gut benutzen kann. Also das ist x + 1 zum² + 9. So, egal welches x ich einsetze, ob das -100 ist,

-1 oder 5, dieser Ausdruck ist immer größer gleich 0. Die neun ist strickt größer als 0, also ist der gesamte Ausdruck immer größer als 0, egal welches x ich einsetze. Und damit bin ich fertig. Ja, ich weiß, Dieser Faktor hat keine Nullstellen. Das heißt, x = 5 ist die einzige Nullstelle von den Polynoms. Wir haben gesagt, ein Polynomengrades kann höchstens n0 Stellen haben, aber es kann durchaus weniger haben. Das heißt, dieses Polynom hat nur eine Nullstellen. Okay, kannte das jemand schon dieses Verfahren? Als ich das das erste Mal gesehen habe, war ich voll von den

Socken. Ich fand das total großartig und es hilft Tatsächlich komplizierte Polynome einfacher zu machen. Jetzt kommen wir zu einer weiteren Klasse von Funktionen, die Potenzfunktion. Wir haben Potenzen bereits kennengelernt. Wir wissen, eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten. Und die Funktion, die dazu gehört, ist dann setzt dann einfach diese Potenz gleich f(x). Ich habe die jetzt mal hier a mal x hoch R genannt. Wir nehmen an, dass das x positiv sein muss. Und das äh führt dazu, dass diese Funktion immer wohl definiert ist. Das R ist der Exponent. Stellt euch mal vor, der

Exponent wäre eine 2. Ja, dann würde hier stehen x hoch 2. Und wir wissen, das ist eine Funktion, die funktioniert immer. Ja, da kann ich alle XE einsetzen, die ich will. x² ist immer gut definiert. Das Wäre also nicht das Problem. Wir haben aber auch schon andere Exponenten kennengelernt. Z.B. den Exponent, den wir für die Wurzel benutzen, r = 1/2. Ja, wir wissen, wir dürfen keine negativen Zahlen unter die Wurzel schreiben und damit also diese Funktion auch wohl definiert ist, wenn das R zu einer Wurzel zu einer Wurzel führt, möglicherweise zu einer Entenwurzel, ja, dass

das dann immer noch gut klappt und deswegen definieren wir die Potenzfunktion erstmal nur für positive x. Im Hinterkopf haben wir, okay, es gibt auch Potenzfunktionen, die auch für negative x funktionieren, aber hier geht's nur um diese Klasse von Potenzfunktion. Was ist mit dem A, was da vorne steht? Das ist einfach eine multiplikative Konstante. Die kann irgendeine Zahl sein. Ja, die äh steht jetzt nicht so sehr im Fokus. Wir wollen jetzt die Potenzgesetze, die Wir bereits entwickelt haben, auch für die Potenzfunktionen dann benutzen. Zuerst plotte ich euch aber ein paar. Also jetzt habe ich hier für

verschiedene Werte von R einfach mal die Grafen von den Potenzfunktionen aufgezeichnet. Ich fange mal mit der einfachsten an. Wenn r = 1 ist, dann haben wir hier die Identität, also die 45° Linie. Dann ist Y immer X. Dann gibt es eine andere Potenzfunktion, die wir bereits gesehen Haben, nämlich die Hyperbel. Die kriegen wir, wenn R = -1 ist. Das ist diese Kurve. Ja, wenn x = 2 ist, ist y/ und so weiter und so fort. Dann haben wir hier xinh/ auch schon mal gesehen. Das ist die Wurzel, die verläuft hier. X hoch 13 wäre dann

eben die dritte Wurzel. Ja, und wir sehen, die sieht so ähnlich aus wie die normale Wurzel. Das ist die der rote Graf. Und dann haben Wir x², kennen wir auch schon die halbe Parabel hier. So ähnlich sieht dann x hoch 3 im positiven Bereich aus. Und x hoch - 13 sieht so ähnlich aus wie die Hyperbel, ist aber so ein bisschen asymmetrisch verschoben. Und all diese Potenzfunktionen, die finden Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften. Jetzt kommen wir zu einer speziellen Potenzfunktion. Also, das sind allgemeine Potenz. Nein, quatsch, gar nicht wahr. Jetzt kommen Wir zu ähm etwas, was

leicht verwechselt wird mit der Potenzfunktion. Habe ich jetzt auch gerade verwechselt. Bei der Potenzfunktion ist das Besondere, dass das x, also die Variable unten die Basis ist von der Potenz. Vielleicht schreibe ich das noch mal explizit dazu. Also x ist die Basis der Potenz. Und bei der Exponentialfunktion ist es nämlich so, dass das x der Exponent ist. Das sehen wir jetzt hier. Also hier wird es jetzt umgedreht. Hier ist x der Exponent. Und weil wir eben beliebige x zulassen wollen, muss die Basis positiv sein. Also z.B. Wenn x = 1/2 ist, dann wäre das die

Wurzel und dann darf nur was positives unter der Wurzel stehen. Diese Exponentialfunktion, die werden wir auch häuflich benutzen. Unter anderem die Eulerfunktion, die kommt aber gleich. Diese Exponentialfunktionen lassen uns relativ einfach Wachstumsraten bestimmen. Ich glaube, ich habe die Wachstumsrate schon mal genannt und ich würde euch mit zusammen mit euch gerne noch mal die Wachstumsrate von so einer Exponentialfunktion entwickeln. Dazu schreibe ich die noch mal auf. Also Wachstums und die Wachstumsrate kriegen wir, wenn wir den Funktionswert ausrechnen, an Einer Stelle, wo das x ein bisschen erhöht ist, sagen wir mal um eins. Dann ziehen wir davon

den Funktionswert ab an der ursprünglichen Stelle und teilen dann den Funktionswert durch die ursprüngliche Stelle. Na, das ist eine Wachstumsrate und die sagt uns, der Funktionswert steigt um so und so viel Prozent, wenn x um 1 steigt. Und diese Wachstumsrate möchte ich jetzt für die Exponentialfunktion ausrechnen. Also für f von x = groß a mal die Basis klein a hoch x. Also im ersten Schritt muss ich jetzt ausrechnen, wie ist der Funktionswert, wenn ich x um 1 erhöhe? Also f von x + 1 muss ich ausrechnen. a mal klein a und jetzt schreibe ich an

Stelle von x einfach x + 1. Jetzt benutze ich eben die Rechenregeln für Potenzen, um das etwas anders aufzuschreiben. Das ist das gleiche wie groß a mal klein A hoch x mal a. Ja, ich könnte auch schreiben mal klein a hoch 1. Vielleicht mache ich das einfach mal hoch 1. So, wir wissen, wenn wir zwei Potenzen multiplizieren, die die gleiche Basis haben, dann müssen wir einfach nur die Exponenten addieren. Und das würde jetzt hier von rechts nach links funktionieren. Also, wir multiplizieren hier zwei Potenzen mit der gleichen Basis, dann addieren wir x und 1 und

kriegen die linke Seite. Jetzt sehen wir aber, dass dieser Ausdruck einfach gleich f(x) ist. Das heißt, wir können sagen, wenn wir x um 1 erhöhen, dann ist das der alte Funktionswert mal a. Also wir erhöhen das Argument um ein bedeutet bei einer Exponentialfunktion, dass wir den Funktionswert mit a mit der Basis multiplizieren. Jetzt können wir die Wachstumsrate ausrechnen. Also f von x + 1 - f von x ge fx x. Ich setze jetzt Mal ein. Für f von x + 1 schreibe ich f von x* a und den Rest schreibe ich ab - f von

x geteilt durch f von x. Jetzt sehen wir, können wir alles einfach durch fx teilen. Wir können durch fx kürzen. Und wenn das wenn wir das überall machen, dann bleibt folgendes übrig. a - 1 ge 1, also dann bleibt a -1 übrig. Also der Vorteil bei so einer exponentiellen Funktion ist, dass wir an Der Funktion direkt ablesen können, um wie viel der Funktionswert steigt, um wie viel Prozent, wenn sich das Argument um eins erhöht. Das schreibe ich jetzt aber auch noch mal dazu. Also die ökonomische Interpretation, falls sich x um 1 erhöht, steigt der Funktionswert

um a - 1%. Was ist eigentlich, wenn A kleiner ist Als 1? Also z.B. a ist ein/b, dann würde da ja stehen, der Funktionswert steigt um -1/%. Hm, ist irgendwie ein bisschen komisch, aber wir sagen einfach, der sinkt umin%. Ja, also Wachstum, negatives Wachstum ist einfach Schrumpftum oder es sinkt und ein halbes Prozent Genau, das wärden dann eben 50 pro äh nein, quatsch, nein, ein halbes Prozent ist ein halbes Prozent. Genau so. Und genau das steht jetzt auf der vorherigen Folie. Also, und da habe ich aber jetzt das A schon ersetzt durch einen komplizierteren Ausdruck

durch a + p 100. Okay, wenn wir jetzt a -1 äh berechnen, dann bleibt nur das p 100 übrig. Und jetzt merke ich gerade, ich muss ähm das, was ich eben geschrieben habe, ein bisschen korrigieren. Also hier steht jetzt, wenn a = 1 + p 100 ist, dann steigt es um p%, wenn x um eine Einheit äh sich erhöht. Das heißt, ich muss hier auf der rechten Seite sagen um a -1* 100 %. Ja, also wenn a ein/b ist, dann steigt es um -1/ x 100, also um -50%. Es fällt auf die Hälfte. Also muss

ich hier das korrigieren. A - 1 mal 100 %. Vielleicht ein Wörtchen zu diesem Prozentzeichen. Dieses Prozentzeichen heißt einfach nur pro 100, also geteilt Durch 100. Also dieses mal 100 und das Prozentzeichen kürzen sich sozusagen einfach weg. Okay, wir schauen uns jetzt eine besondere Exponentialfunktion an. Also auf dieser Folie und auf dieser Folie haben wir eine beliebige Basis A zugelassen, die positiv ist. Ja, die Basis 1 wäre ein bisschen langweilig, weil 1 hoch x immer 1 ergibt, aber im Prinzip können wir alle Basen zulassen, die positiv sind. Jetzt Sagen wir, diese Basis A soll eine

bestimmte Zahl sein, nämlich die sogenannte Eulerzahl, die wir mit dem Buchstaben E abkürzen. Und ich habe vorhin gesehen, das ist genau dieser Mensch dort. So sah der aus. der hat die Zahl erfunden. Diese Zahl lässt sich nicht als Bruch darstellen. Also die Nachkommastellen geben gehen ewig weiter ohne sich zu wiederholen. Das ist der Grenzwert von der Reihe. So kann man diese Zahl darstellen und es Ist eine reelle Zahl. Die Eulerfunktion oder Efunktion oder natürliche Exponentialfunktion sieht dann so aus wie hier. Egal, welches x wir einsetzen, diese Funktion ist wohl definiert. Das heißt, wir dürfen auch

negative Zahlen hier einsetzen. Es liegt daran, dass dieser diese Basis eben positiv ist, dann klappt es immer. Und wir sehen auch, dass diese Funktion immer positive Werte annimmt. Also, wenn wir mit dem x immer Kleinere Werte einsetzen, dann wandert dieser Graf immer näher zur X-Achse, ohne die X-Achse tatsächlich zu berühren. Das heißt, dieser Wert ist immer positiv, der ist größer 0 für alle x. Und jetzt schreibe ich wieder dieses EP aus der Menge der reellen Zahlen. Ihr seht in dem Grafen auch eine gestrichelte Kurve, das ist e hoch - x. Also, wenn wir das Vorzeichen

von der Variable vertauschen, dann spiegeln wir Den Grafen der Funktion einfach an der y-Achse und dann äh können wir sozusagen hier auch eine Funktion darstellen, die strengmon fällt. Also e hoch x ist strengmon steigend und e hoch - x ist strengmon fallend. Diese Exponentialfunktion hat ganz tolle Eigenschaften, wenn es ans Ableiten geht, aber das sehen wir erst in Kapiteln 6 und 7, also erst am Freitag bzw. erst in der ersten Vorlesung vom Hauptkurs. Jetzt kommen wir zur Logarithmusfunktion oder hier steht Logarithmusfunktionen. Also, es kommen, ihr merkt, es gibt ganz schön viel in diesem Kapitel. Ich

fasse noch einmal kurz zusammen. Was haben wir bis jetzt gemacht? Lineare Funktion. Das war noch easy. Quadratische Funktionen, dann kubische Funktion bzw. Also Polynom im Allgemeinen, dann kam Potenzfunktion, Exponentialfunktion und jetzt die Logarithmusfunktionen. Aber das soll auch die letzte Funktion für heute sein, die letzte Klasse von Funktionen. Es gibt die allgemeine Logarithmusfunktion und ich möchte hier aber nur über eine spezielle Logarithmusfunktion sprechen, nämlich die natürliche Logarithmusfunktion. Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion von der E-Funktion. Was bedeutet Umkehrfunktion? Umkehrfunktion bedeutet, alles, was die E-Funktion macht, macht die Logarithmusfunktion wieder rückgängig. Das sehen wir an dieser Gleichung.

Also stellt euch vor, das wäre ein x, das x, was ich in die E-Funktion einsetze. Dann sagt mir die E-Funktion e hoch x ist eine bestimmte Zahl B. Und wenn ich jetzt in das in die Logarithmusfunktion das b einsetze, dann Bekomme ich wieder das x. Also die Logarithmusfunktion sagt mir, liebe E-Funktion, wenn du folgendes Ergebnis berechnen möchtest, das Ergebnis B, dann sag ich Logarithmusfunktion dir, welches X du dafür einsetzen musst. Ja, wir sehen hier auch den Grafen von der natürlichen Logarithmusfunktion. Ich zeichne mal hier noch die E-Funktion mit ein. Mal gucken, ob ich das hinkriege.

Die sieht irgendwie so aus. geht dann durch die 1 und geht hier nach oben. Das hier ist e hoch x und wir sehen, dass das die Umkehrfunktion ist, weil wir die Grafen entlang der 45° Linie einfach spiegeln können. Also, wenn ich hier die 45° Linie einzeichne, dann habe ich das hoffentlich so gezeichnet, dass die beiden sich spiegeln. Ich zeichne hier mal die 45° Linie ein oder die 45°. Genau. Das bedeutet, die Funktion e hoch x hat an der Stelle 0 den Wert 1. Warum? E hoch 0 ergibt 1. So hatten wir hoch 0 definiert. Wenn

ich jetzt in die Logarithmusfunktion die 1 einsetze, muss also 0 rauskommen. Und wir sehen, dass auch das passiert. Was passiert, wenn ich in die Efunktion den Wert 1setze? Also, wenn ich mir die Stelle x = 1 angucke, dann bin ich hier oben Und da hat die E-Funktion den Wert e hoch 1, also = E. Umkehrfunktion bedeutet nun, wenn ich in den Logarithmus das E einsetze, diese komische Zahl 2,7 und so weiter, dann kommt bei der Logarithmusfunktion der Wert 1 raus. Also die Logarithmusfunktion rechnet alles rückwärts, was die E-Funktion vorwärts ausrechnet. Und die Logarithmusfunktion ist eine

sehr gute Funktion, um viele ökonomische Eigenschaften darzustellen. Also, die ist strengmonoton steigend, aber die Steigung von der Funktion wird immer flacher, die ist rechts gekrümmt und viele Produktionsfunktionen z.B. haben diese Eigenschaft. Jetzt kommen wir zu Rechenregeln für die natürliche Logarithmusfunktion. Die Rechenregeln für die E-Funktion kennen wir ein bisschen schon, weil wir die Rechenregeln für diese Potenz, also die Potenzgesetze schon festgelegt haben. Und jetzt müssen wir diese Gesetze quasi umdrehen, damit wir sie für die Logarithmusfunktion auch benutzen können. Und ich benutze hierbei die letzten beiden Punkte, die hier stehen. Ja, die letzten beiden Punkte. bedeuten wörtlich

gesprochen, dass der Logarithmus das umkehrt, was die E-Funktion macht. Aber das gilt auch andersrum. Auch die E-Funktion dreht das um, was der Logarithmus macht. Also, wenn die E-Funktion dem Logarithmus helfen will, dann macht die einfach das rückw rückgängig, was der Logarithmus gemacht hat. Und diese beiden Sachen möchte ich ausnutzen, um die oberen Gesetze zu begründen. Wie ging das noch mal? Also, ich nehme mir hier mal das erste Gesetz. Hier steht x und Y sollen positiv sein. Dann definiere ich mir mal x als den Wert der E-Funktion einer an einer bestimmten Stelle A. Ja, also welches

A Müsste ich da benutzen? Also ich müsste da a = den Logarithmus von x benutzen, weil der Logarithmus die Umkehrfunktion von der E-Funktion ist. Also ich mache jetzt mal kurz eine Nebenrechnung. Wenn ich das jetzt hier einsetze, dann steht da x = e hoch der Logarithmus von x und hier unten steht, dass das erfüllt ist. Ja, also diesen blauen Zusammenhang, den nutze ich hier aus. Okay, schnell wieder wegradieren, denn Ich brauche mehr Platz. Ich mache das gleiche auch mit dem Y. y = E hoch B, also wäre dann b= der Logarithmus von y. Und jetzt

möchte ich mal gucken, wie wir dieses Gesetz hier zeigen können. Also, Logarithmus von x* y. Jetzt setze ich für x ein e hoch a. Das ist der Logarithmus von e hoch a und für y setze ich ein E hoch b. Jetzt kommt ein Potenzgesetz ins Spiel. Wir multiplizieren hier gerade zwei Potenzen mit der gleichen Basis, nämlich mit der Basis E. Und das klappt, wenn wir die Exponenten einfach addieren. Also, das ist das gleiche wie der Logarithmus von e hoch a + b. Und jetzt steht hier unten, dass der Logarithmus von e hoch x = x

ist. Ja, und das x wäre in diesem Fall einfach die Summe. Also der Logarithmus von e hoch diese Summe ist einfach diese Summe. Also ist a + b. Man kann sich das auch so vorstellen, Wenn ich den Logarithmus in die E-Funktion einsetze, kürzt sich Logarithmus und e weg. Oder wenn ich die E-Funktion in den Logarithmus einsetze, dann kürzen sie sich auch gegenseitig weg. Und jetzt muss ich wieder zurückinsetzen, was ist a und was ist b? Da gucke ich hier nach, a ist Logarithmus von x, also Logarithmus von x und b ist der Logarithmus von y.

Und damit habe ich das begründet, was hier steht. Mir ist es nicht so wichtig, dass ihr die Begründung behaltet. Ja, das ist ähm das ist sozusagen das Sahnehäubchen on top. Mir ist es wichtig, dass ihr die die Rechenregel anwenden könnt. Und lasst mich die Rechenregel noch mal in Worten formulieren. Der Logarithmus von einem Produkt ist die Summe der Logarithmen. Okay? Es gilt also nicht, dass der Logarithmus vom Produkt das Produkt der Logarithmen ist, sondern die Summe der Logarithmen. Die Rechenregel B funktioniert im Prinzip ganz genauso. Also, da kann man genau die gleiche Begründung benutzen wie

vorher. Bei der Rechenregel C gilt, dass wir ein Exponenten einfach vor den Logarithmus ziehen können. Also Logarithmus von x hoch p ist p mal der Logarithmus von x. Ja, und auch den können wir begründen über die Methode, Die ich hier vorhin angefangen habe. Aber weil die Begründung quasi immer nach dem gleichen Schema abläuft und weil ich nicht zu viel Gewicht auf die Begründung legen möchte. ist es mir vor allem wichtig, dass ihr diese Rechenregel euch merkt bei Bedarf noch mal nachschlagen könnt, weil ihr genau wisst, wo sie steht und anwenden könnt. Okay, diese beiden Ausdrücke

hier, die habe ich quasi in der Grafik eben schon Erklärt. Also Logarithmus von 1 = 0. Ich schreibe aber die Begründung dazu noch mal hin. Also diese 1 ist das gleiche wie e hoch 0. Das heißt, hier steht Logarithmus von e hoch 0 = 0. Und das ist ja das, was hier unten steht für ein beliebiges x steht hier, also auch für x = 0. Und hier können wir gucken, dieses E ist das gleiche wie E hoch 1. Also steht hier der Logarithmus von e hoch 1 = 1. Und da gilt wieder dieser Zusammenhang hier

unten plus, dass das x in diesem Fall halt nicht die 0 ist, sondern die 1. Okay, das war ein richtig dicker Happen heute. viele verschiedene Klassen von Funktionen, aber wir haben es jetzt geschafft. Ihr könnt hier noch mal nachschauen, was wir heute gemacht haben und ich freue mich schon auf morgen, wenn wir dann das nächste Kapitel angucken. Bis dann. Ciao.