FUNÇÕES DERIVÁVEIS

[Música] Olá estudantes espero que vocês estejam bem dando continuidade vamos eh conversar um pouquinho sobre funções deriváveis nessa unidade a gente abordará os seguintes temas derivadas e propriedades da derivada num ponto e funções deriváveis em um intervalo então vamos conversar um pouquinho sobre a derivada e as propriedades da derivada no ponto se eu considerar x um subconjunto de R Vou tomar uma função que vai de X até R E eu vou pegar um ponto a que ele pertence a x intersecção com derivado de x ou seja a é um ponto de acumulação de x que

pertence a x nas aulas passadas a gente viu que nem todo ponto de acumulação pertence a x certo e o derivado de x é o o conjunto dos pontos de acumulação de X mas aqui eu vou pegar um a inteligente um a que faça parte tanto do conjunto x quanto do derivado de x ou seja a é um um ponto de acumulação de x que está dentro do próprio conjunto x tá bom F é derivável no ponto a quando existir esse limite aqui tá então f a derivada de F no ponto a vai ser igual

ao limite de FX - f a so x - a quando X tende a a se existir a se esse limite existir se esse limite aqui existir obviamente a derivada no ponto a também existe então F linha de a é chamada derivada de F no ponto a Ok observação a reta que passa pass por esse ponto aqui ó a e f de a e tem inclinação igual a f linha de a é chamada de reta tangente ao gráfico de F Ok então eu tenho que se uma reta passa por esse ponto aqui cuja inclinação dela

seja a derivada de F no ponto a essa reta ela vai ser tangente ao gráfico de F ok O que que é uma reta tangente ao gráfico se eu imaginar aqui uma função no segundo grau uma reta tangente aqui nesse ponto vai tocar a o meu gráfico apenas nesse ponto ok não toca em mais nenhum outro ponto então é tangente ao gráfico de a Ok bom se eu faço o seguinte eu vou tomar x- a lembra que x - a tava aqui ó no denominador eu vou chamar x - a de H tá então essa

distância x - e eu vou chamar de H nós temos então que aqui F linha de a certo vai ser igual ao limite de FX + a Por que FX + a Porque antes eu tinha FX só que se x - a é H quem que vai ser x x vai ser iG h + a certo então por isso que no lugar do X eu coloquei a mais H ou h + a tanto faz menos o f de A então eu vou preservar aqui o f de a sobre H porque aqui antes eu tinha um

F de a agora eu vou colocar o h Ok então eu vou ter esse limite aqui certo então quando a é ponto de acumulação à direita de x e a pertence a x intersecção com o derivado de a pela direita definimos a derivada direita da função f a como sendo esse limite aqui então antes eu tinha isso aqui certo tendendo para a agora eu vou ter que esse limite aqui vai tender os o h que vai tender a zero Ok ã o limite à direita de a vai ser igual a isso daqui Ok de forma

análoga definimos a derivada à esquerda da função a quando a é um ponto de acumulação à esquerda e pertence ao domínio de F sendo denotada por a a derivada de A à esquerda Ok se a é ponto de acumulação à direita e à esquerda Então se eh tende a a pela direita e pela esquerda certo a derivada de F no ponto a existe se somente se esses essas derivadas aqui são iguais Ok se somente si os limites também vão ser iguais Ok a direita e a esquerda de a por exemplo Se eu considero a função

que vai de R em R ela é dada por essa lei de formação aqui que é uma reta ok uma função do primeiro grau logo para todo a é real eu tenho o seguinte FX - f a quem que vai ser FX - f de a eu vou colocar x eu vou avaliar essa essa função x que vai dar cx + D eu vou avaliar essa função em a que vai ser no lugar do X aqui então eu vou colocar o a certo então vai ser Opa isso ca + d só que como eu tenho

o sinal de negativo aqui vai ficar - ca - d Ok eu posso cancelar esse D com esse D aqui negativo então eu vou colocar o c em evidência vai ficar C que multiplica x - a desta forma esse quociente aqui que a gente tinha anteriormente FX - f de a essa parte aqui de cima vai ficar cx - a sobre x - a esse aqui eu cancelo com isso aqui então sobra quem para mim Sobra só o c Ok é constante Então se esse quociente aqui ele é constante então a derivada de a de

F no ponto A é igual a c Qualquer que seja o meu ponto a Ok nesse exemplo aqui por que que isso aqui acontece porque eu tô derivando uma função primeiro grau certo derivada de x é 1 ok então Então vai sobrar aqui para mim só o c derivada em qualquer ponto da minha função é o próprio C ok uma vez que definimos a derivada como limite ela é de caráter local Ok então aqui essa derivada ela está sendo definida localmente Ok a função f que vai de X até R ela é derivável no conjunto

x tá então vou falar que ela é derivável no conjunto X quando existir a derivável a derivada de f em todo a pertencente a esse a essa intersecção aqui do conjunto x com o conjunto dos seus pontos de acumulação Ok quem que é ã a intersecção de x com os conjuntos de pontos de acumulação é os pontos de acumulação de x que pertencem a x que também estão a X ok então ela é derivável em x quando ela existe em todo o o conjunto para todo elemento do conjunto X para todo a dessa intersecção aqui

tá bom então se f linha de a existir então f a contínua no ponto A tá então F linha de a existe isso implica para mim que F é contínua no ponto a Ok se existir apenas uma derivada lateral F pode ser descontínuo no ponto A tá então ã a gente viu até agora que se a derivada existe ela é contínua naquele ponto mas se ela existe apenas em um das laterais ela pode ser descontinua naquele ponto tá por exemplo eu tenho F aqui que vale um se x é maior ou igual a z0 e

Vale -1 se x é menor que 0 nesse caso nós temos o seguinte F é a função que vai dos reais os reais ok eu tenho o seguinte a derivada de x no ponto zero pela direita é igual a zero certo mas a derivada de F eh a derivada de F no ponto zero pela esquerda ela não existe tá bom Então nesse caso ela existe só na lateral direita nesse caso F é contnua à direita e descontínua à esquerda em zero Ok se nós considerarmos f g deriváveis no ponto A tá então f e g

são funções deriváveis no ponto a esse ponto a ele pertence à interseção dos conjuntos x e o derivado de x e nós temos que a soma de F com g e a subtração de F com g a multiplicação de F com g e a divisão de F com g caso g de a seja diferente de zero quando g de a é diferente de zero aqui a gente vai ter Zero no denominador e a gente não quer isso elas são deriváveis nesse mesmo Ponto tá então se f e g são deriváveis em a a soma dessas

duas funções são deriváveis a subtração a multiplicação e a divisão no caso de G di g de a diferente de zero elas também s são deriváveis nesse mesmo ponto ok Além disso eu tenho que eu tenho essas regras aqui duas delas a gente usa e muito tá então a derivada da soma de da função f+ g de A é igual a derivada no de F no ponto a mais ou menos a derivada de G no ponto a Ok essa regra eu chamo de regra da adição Ok a segunda é a regra do produto tá então

a gente já utiliza bastante aí também que é a derivada das funções f x g no ponto a vai ser igual a derivada de F no ponto a ve g de a mais a f de a vezes a ginha de a de forma mais rápida a gente fala a derivada a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda ok e por fim a gente tem aqui a regra do quociente tá então o a derivada do quociente da divisão de f por G em a ela é dada pelo seguinte g

de a f linha de a os f de a g linha de a sobre g de a qu Ok então essa daqui é a regra do quociente também que provavelmente Vocês já viram em alguma parte do curso Ok bom aqui eu tenho o cor ário que diz o seguinte se C Ele está ele pertence a r então C x f a derivada de C x F é C vezes a derivada do próprio F Ok e se f de a é diferente de zero então a derivada da inversa da F certo de 1 sobre F derivada

de 1 sobre f de a vai ser igual a menos a derivada de a de de F no ponto a sobre F qu de a isso daqui sai a partir da regra do produto Tá bom é só considerar um sendo uma função G por exemplo e e aplicar a regra do produto e a gente vai ter isso daqui Ok normalmente e igualmente tá a gente vai ter isso daqui aplicando a regra do produto aqui embaixo a regra do quociente certo ã outro teorema que a gente conhece aí Como regra da cadeia tá se a gente

considerar F que vai de X até R uma G que vai de y até R tal que a imagem de X por F está contida em Y A pertencente ao x interseção com o derivado de x e b igual a imagem de a a imagem e da de a pela função f Ok tal que essa imagem pertença a y interseção com seu derivado com o seu conjunto derivado Então vou afirmar o seguinte se existirem a derivada de F no ponto a e a derivada de G no ponto b então a função G composta com f

que vai de X até R tá é derivável no ponto a Ok e a função G composta com f a derivada dela quem vai ser aqui primeiro eu afirmei que ela é derivável em a e agora que eu tô mostrando quem que é a derivada do a vai ser a g linha de B vezes a f linha no ponto a certo então vai ser a g a derivada de G no ponto b vezes a derivada de F no ponto a porém quem que é a derivada de G no ponto b é a derivada de G

no ponto f de a Ok Isso daqui é quando a gente fala na regra da cadeia Ah se eu tenho uma função presa dentro da cadeia Qual que é a derivada dessa função é a derivada da de dentro vezes a derivada da de Fora Ok então corolário a derivada de uma função inversa vamos ver então o que que a gente vai descobrir sobre que a derivada da função inversa se eu considerar um F que vai de X até Y uma função que possui inversa tá então F é uma função que possui inversa tá E essa

inversa eu vou chamar ela de G tá então se f vai de X até Y A inversa de F vai de Y até x o contrário certo e eu vou chamar essa inversa de G com x e y subconjunto dos reais se f é derivável no ponto a que satisfaz isso daqui G é contínuo em B tal que B iG f de a Ok então se isso aqui acontece que que a gente tem G seria derivável no ponto b se somente se f linha de a é diferente de zero o que e nesse caso o

que que a gente tem a gente vai ter então que G linha de B é igual a 1 sobre F linha de a Ok quem que é a g linha de B é a f- 1 de b a derivada disso aqui certo a derivada de f-1 de B vai ser o quê 1 sobre a a f linha de a derivada de f em no ponto a a gente escreve f linha de a a derivada da inversa a derivada da inversa eh da da minha função vai ser um sobre f de f vai ser um sobre

F linha de a Ok então é isso que esse teorema fala para mim bom vamos conversar um pouquinho sobre máximo local Ok ã dizemos que uma função possui um máximo local em a quando existe um Delta maior do que zero tal que se esse x interseção com esse intervalo aqui que vai de a- Delta e a + Delta certo então se esse x pertence a esse intervalo a essa interseção então eu tenho isso daqui F Dex é menor ou igual do que f de a que que isso daqui tá falando para mim eu vou falar

então que a f ela tem o máximo local em a tá Ah é ponto de máximo da minha função f se existir um Delta tal que para todo x aqui aqui é o a deixa só diminuir aqui aumentar aqui um pouquinho aqui então é o meu ponto a aqui então é o meu ponto a vou falar aqui F que aqui é o meu ponto de máximo da minha função certo quando existe um Delta tal que se eu pegar uma vizinhança aqui desse ponto A A interseção de x com essa vizinhança que vai ser esse espacinho

aqui certo então para qualquer x que eu pegar aqui dentro acho que eu peguei uma função Não muito amigável né eu vou fazer aqui que eu tenho certeza que ali é o Opa certo então a vai ser o ponto de máximo local dessa função certo quando existe um Delta tal que a interseção de a- Delta e a mais Delta com conjunto x certo então para qualquer x que eu pegar dentro dessa interseção aqui a imagem dele vai ser menor do que a imagem de a essa aqui vai ser a imagem de a certo caso a

implicação x pertencente a conjunto x menos o A tá então conjunto x - a interseção com esse cara com esse cara que implicar que f de x é estritamente menor do que f de A tá então antes aqui em cima eu tava usando menor ou igual agora eu tô usando menor estrito tá Tá bom então caso isso daqui seja válido nós dizemos que F possui um máximo local estrito em a Ok então a gente definiu máximo local e máximo local estrito Ok de forma análoga nós podemos definir o mínimo local e o mínimo local estrito

Ok por exemplo se a gente considera essa função aqui bom Aqui tem ã fx = X qu aqui Eu desenhei uma função uma parábola parecida mas eh enfim Note que F possui um mínimo local estrito em zero tá então se eu tenho aqui essa função aqui eu sei que essa função ela admite o mínimo eh local em zero tá bom E esse mínimo ele é estrito também por quê Porque segue essa condição aqui tá nenhum outro valor de X vai ser igual a zero a não ser o próprio x a não ser o próprio zero

Ok caso uma função Não decrescente tá f que vai de x a r possui uma derivada em A tá então uma eu vou falar que F Ela não ela é não decrescente tá E ela é derivável em a é é provável que tenhamos F linha de a maior do que z0 tá pois para cada a x diferente de a eu vou ter que isso daqui fx fx - f a sobre x - a tem que isso daqui é maior que Zero Certo de forma análoga se a derivada é de F no ponto a e f

é não crescente Então essa relação aqui ela é válida tá bom enquanto uma é o maior ou igual a outra é menor ou igual certo então aí o teorema se a gente considera F Dex em R uma função derivável à direita em a tal que a pertence à interseção entre x e o derivado de x à direita tá então a gente considera que essa função ela é derivável à direita desse a aqui certo se essa função aqui se essa derivada de A à direita é derivada de F no ponto a à direita for maior do

que zero tá então que que eu posso afirmar sobre isso existe Com certeza existe um Delta maior que z0 tal que se x pertence a nosso conjunto xão e x está compreendido no intervalo que vai de a e a + Delta certo então aqui é x está à direita de a temos que f a é menor do que FX Ok continuando se a gente considera agora uma função que vai de X até R uma função derivada à esquerda tá então aqui analogamente ao caso anterior porém agora à esquerda tal que a pertence ao a interceção

do conjunto x com o seu conjunto derivável derivado de x à esquerda eu tenho o seguinte se a derivada de F no ponto a à esquerda for menor que zero o que que acontece existe um Delta Maior Que z0 tal que se x pertencente a x se isso aqui acontece e a - Delta menor do que x menor do que a ou seja x está à esquerda de a certo nós temos que f de a é maior do que F Dex certo Bom a partir disso vem então o corolário que se a gente considerar pertencente

a x um ponto de acumulação à direita e à esquerda certo se f que vai de X até R possui em a uma derivada certo tal que F linha de A à direita é maior que zero Então existe um Delta maior que zero tal que se x y pertence a xão que é o meu conjunto E o x está compreendido entre a - delta e a certo e o y está está compreendido entre a e a + Delta eu tenho que o FX está compreendido entre ó o f Dex é menor que f de a

que é menor que f de y Ok então o f de A tá compreendido entre F Dex e f de y Ok se eu tomo um a nesse conjunto aqui que é o x intersecção com o derivado de x à direita intersecção com derivado de x à esquerda tá tomei um a aqui se f É derivável nesse ponto a e possui o máximo ou mínimo local nesse ponto a f a então F linha de a vai ser igual a zer Ok bom continuando essa unidade a gente vai ver um pouquinho sobre funções deriváveis em um

intervalo Tá bom a gente já viu aqui a derivada no ponto e algumas propriedades então agora a gente vai falar sobre o que que seria uma função derivada a derivada de uma função em um intervalo tá então vou considerar inicialmente o intervalo I Tá bom vou considerar uma função que vai de I até R quando essa função possui derivada em todos os valores do seu domínio tá então ela é derivável em qualquer valor do domínio podemos considerar a função derivada F linha que vai de todos os valores do domínio até R tal que associa a

cada x nesse intervalo a derivada F linha de X ok então quando F linha é contínua derivada de F é contínua dizemos que F é uma função continuamente derivável no intervalo I Ok ou uma função de classe C1 tá bom isso aqui a gente vê bastante em exercícios mas nem sempre is ocorre Tá pois a função derivada não precisa ser necessariamente contínua quando a derivada é contínua a gente vai falar que ela é uma função de classe C1 Ok bom teorema do valor intermediário para derivadas o teorema do valor Med diário a gente já viu

né Eh em cálculo mas aqui a gente traz ele de volta na parte de análise Então se a gente considera uma função que ela vai de um intervalo fechado a até o conjunto dos números reais essa função ela é derivável em todos os pontos do domínio tá então eu tô afirmando que ela é derivável em todos os pontos do domínio se D está compreendido entre F linha de a e f linha de b então vai existir de um c nesse intervalo aberto a b tal que F linha de c é igual a d Ok ã

se essa função aqui ela é derivável no intervalo I Então F linha não pode ter descontinuidade de primeira espécie em I nesse intervalo tá então se ela é derivável em o intervalo ela não tem descontinuidade de primeira espécie em I ok aqui a gente tem o teorema de hole se nós supomos que F ela vai do intervalo fechado a b até R é uma função contínua tá bom tal que f de a iG F Deb tá f é derivável se f é derivável no intervalo aberto a Então existe um ponto c pertencente a b com

f linha de C = 0 Ok bom no teorema 6.8 a gente tem o teorema do valor médio de Lagrange agora tá bom então se a gente considera essa mesma f que tá no intervalo fechado de a b certo que vai até R uma função contínua então F é contínua se f É derivável nesse intervalo aberto a existe uma C dentro desse intervalo tal que quem que vai ser a derivada de F no ponto c vai ser F Deb - f de a sobre B - A tá bom então quando eu quero encontrar eh qual

que é a derivada de C dentro desse intervalo AB eu posso calcular através de isso daqui isso daqui vai ser a derivada do ponto c ok suponhamos que é uma função contínua F que vai do intervalo fechado a b at R possui derivada nula em todos os pontos x pertencente a a portanto F é constante tá por exemplo e daqui desse horário que a gente sabe que toda função constante é derivada de qualquer função constante é zero tá que que é uma função constante FX = k k é constante quando eu derivo isso daqui vai

dar para mim Zero Certo então quando a derivada dessa função contínua é nula em todos os pontos eu afirmo que essa função ela só pode ser a função constante não existe nenhuma outra função tal que a derivada dela é zero a não ser a função constante a derivada em todos os pontos Ok bom agora se a gente considerar as funções f e g que vão do intervalo fechado a b até R vou considerar que Essas funções são contínuas E além disso elas são deriváveis no aberto AB no no intervalo aberto AB tá bom E além

disso eu ainda vou afirmar que a derivada de F no ponto x é igual a derivada de G no Ponto X ok para todo x nesse intervalo então elas têm derivadas iguais para todo x dentro desse intervalo então o que que eu posso afirmar eu posso afirmar que existe um número real C uma constante c tá tal que G Dex é igual a FX + 1C para todo x pertencente ao intervalo fechado a b que que isso aqui tá falando para mim que eu tenho uma G Dex certo que vai ser igual a uma f

de uma fx mais um c f e e g Dex elas são iguais a não ser por um valor constante tá um exemplo FX = 2x e g aliás 2x + 1 e GX = 2x Ok qual que é a derivada de FX F lha x = 2 certo a deriv de G linha de X também é ig a 2 então a derivada de F E A derivada de G são iguais para todo ponto do domínio certo Qual que é a diferença de g e de F é só essa constante c que eu tô somando

na f a derivada da Constante é zero então quando eu derivo a f e a g as derivadas são iguais por mais que f e g são funções diferentes Tá bom então aqui eu afirmo que a g e a f são iguais a não ser por uma constante que a f tem e a g não tem tá bom bom o que eu tinha para falar com vocês sobre a unidade era isso nós finalizamos a partir de agora a esse curso de análise Real Tá bom de introdução análise real espero que eu tenha conseguido cumprir o

objetivo de clarear um pouquinho mais esse conhecimento para vocês fiquem atentos ao cronograma qualquer dúvida entre em contato com o tutor não deixem de fazer os exercícios no final do livro as listas de exercícios e bons estudos e boa sorte nessa caminhada aí de vocês foi um prazer ministrar esse curso ciao [Música]