LEI DOS COSSENOS | Fórmula e resolução de exercícios

e para você que já viu a aula da gente sobre a Lei dos senos chegou a hora de aprender sobre a lei dos cossenos tá fazendo a sua cara porque você não viu aula lei do centro eu vou deixar a indicação para você voltar lá ok então como é que eu vou obter a lei dos cossenos não tem nada que mostrando gente sempre eu gosto de iniciar a aula fazendo a dedução da fórmula com vocês porque aí você fica entendendo ou para onde que vem melhor do que eu chegar aqui falou a gente a lei

dos cossenos é esta fórmula aqui pronto vamos lá ok então nós vamos partir do princípio de um triângulo ABC tá bom e ele é um triângulo acutângulo certo lembre-se que quando eu estou trabalhando com triângulos e esse triângulo for retângulo ou eu posso aplicar teorema de Pitágoras ou se tiver um ângulo de visão eu faço seno cosseno ou tangente agora quando eu tenho um triângulo que um retângulo mas eu preciso encontrar determinadas distâncias eu tenho que fazer o a lei dos seus ou a dos cossenos certo então aqui eu tenho triângulo acutângulo ABC aí eu

já coloquei aqui para vocês as medidas dos lados o esse lado BC mede ar aqui mede ser aqui mede B aqui é altura certo referente ao lado BC E lembrando que quando eu tenho a altura de um triângulo ela forma olha aqui ó ela forma com os lados um ângulo de 90 graus certo não é que esse triângulo ABC retângulo massinha altura está formando um ângulo de 90 graus com o lado tá bom E aqui eu tenho as medidas x e y então quê que eu vou fazer isso primeiro lugar vamos levar em consideração o

triângulo a BH a BH Então vou dar uma faz tadinha aqui para não confundir você agora nós vamos trabalhar nesse triângulo aqui mas como que a fazer então para partir do princípio para chegar lá nos a lei do censo no teorema e fala teorema dos senos não né Giza cossenos aqui no teorema dos cossenos uma lei dos cossenos Então nós vamos aplicar JAC agora que eu abri esse triângulo dois cada um deles ficou formado um triângulo retângulo não é por conta daquela altura que ela vinha mostrado Então vamos aplicar o teorema de Pitágoras aqui nesse

triângulo a BH teorema de Pitágoras vai ficar cateto ao quadrado Então essa medida é x Então vamos lá vai ficar x ao quadrado mas cateto esse outro cateto eh H ok que a mesma medida aqui H ao quadrado vai ser igual a hipotenusa ao quadrado da hipotenusa ao quadrado pronto fez teorema de Pitágoras ali agora vou fazer nesse triângulo a HC porque o e dá uma arrumadinha né então você vai aqui a Guy como eu abrir aqui esse Vert também H aqui ao o triângulo a HC Nós também vamos aplicar o teorema de Pitágoras ó

Então como é que vai ficar cateto eh y ao quadrado mas cadê o outro cateto é altura que largar ao quadrado igual a hipotenusa que aqui ó B ao quadrado muito bem agora olhando para as duas sentenças que eu encontrei nós temos o quem como nas duas nós temos o h ao quadrado nas duas então eu vou isolar o ao quadrado em cada uma água ao quadrado = C ao quadrado da esse x ao quadrado vem para cá Lembrando que eu já vou fazer o macete que eu já tenho aula explicativa do por que que

eu faço a paz para cá subtraírem passa para cá dividindo já tem a sala né então esse x vai vir aqui menos x ao quadrado a pagar o quadrado igual a seu quadrado menos x ao quadrado vou fazer o mesmo procedimento aqui isolando-o agal agal quadrado = B ao quadrado menos y ao quadrado muito bem o que que eu posso fazer agora agora nós vamos realizar uma comparação entre essa e essa sentença aqui Como assim uma comparação aqui não fala que ao quadrado é igual a esse ao quadrado menos x ao quadrado e aqui também

fala que ao quadrado é igual isso então se os dois são pagar o quadrado quer dizer que isso daqui é igual a isso daqui Então olha o que eu vou fazer agora que se ao quadrado menos x ao quadrado que é isso vai ser igual a esse daqui a B ao quadrado menos y ao quadrado muito bem agora para dar continuidade aqui nós vamos isolar O B ao quadrado vamos deixar eles o ladinho de um lado então vou pegar ele deixar ele aqui mesmo vou pegar o y&co se fala tá bom ou se você quiser

trocar Primeiro quer trocar para ficar melhor então ó troca ambos de lado aí na altera sinal de ninguém não vai ficar B ao quadrado menos y ao quadrado = ser ao quadrado menos x ao quadrado eu fiz uma troca ao mesmo tempo né então não volta oracional de ninguém agora vamos lá como havia dito isolando Bel quadrado vai ficar igual a ser ao quadrado menos x ao quadrado a esse preço não vem para o segundo membro mais y ao quadrado aí eu não posso juntar ninguém porque nós não ter temos os termos semelhantes o que

que eu posso fazer agora gente eu posso trocar esse Y de lugar porque o y Jesus off eu sei que se eu juntar esse pedacinho né a volta o triângulo ao normal como ele era antes se eu juntar esse pedacinho que é x com esse pedacinho Ky isso aqui res Tá certo então quer dizer que a = X + Y ou se você quiser escrever X + Y = então eu posso fazer aqui ó isolando y a menos x vai ser igual a y eu posso pegar e no lugar de y escrever a menos x

Então como é que vai ficar B ao quadrado igual se ao quadrado menos x ao quadrado mais no lugar do Ítalo eu escrevo que eu isolei lá que é a menos x elevado ao quadrado agora nós vamos tem que desenvolver isso daqui tá eu vou apagar o começo Falei para você não vai caber produção segura aí então então partindo daqui ó que eu vou fazer agora B ao quadrado igual a ser ao quadrado menos x ao quadrado mais isso daqui é o quadrado da diferença de dois termos a gente pode fazer o aplicando choveram já

faz pela fórmula que tem também que eu já tenho aula explicando bom então vai ser ao quadrado menos dois x mais x ao quadrado isso daqui tudo resulta nisso tá bom e agora agora dá para juntar alguns termos seu melhor de ver ó B ao quadrado igual seu quadrado ou esse x ao quadrado aqui eu vou anular com esse x ao quadrado aqui ó já tá vendo né Gente eu deixei Aquela hora eu isolei o Y para trabalhar em função de X para poder fazer essa eliminação aqui ó tudo pensado já né gente vai chegar

na forma e agora dá para juntar alguém aqui não dá né o seu quadrado mas o ao quadrado menos 2X Nossa Então essa daqui a lei dos cossenos Ainda não falta um pedacinho para gente terminar agora Olha que eu vou fazer como estou trabalhando em função aqui do lado B do lado Benzinho eu vou calcular agora nesse primeiro triângulo Qual é o cosseno daquele ângulo B e o cosseno do ângulo B O que que é o cosseno de um ângulo ele é cateto adjacente Então vai ser x sobre a hipotenusa a hipotenusa para mim é

ser tão x sobre ser agora aqui ó olha como que a gente vai trabalhando e vai tudo se moldando eu não tenho x aqui e eu não tenho x aqui então eu vou isolar esse x tá por isso que eu comprei cosseno porque eu tivesse calculado cedo por exemplo seria cateto oposto e mexer com h não tinha nada DH aqui daí para eu poder fazer uma substituição ou isolar Tá bom então se viu que tudo vai se encaixando agora coloco um aqui embaixo multiplicar cruzado uma vezes x ex e cosseno de bebê vezes ter vai

ser pezinho vou escrever assim para ficar melhor cosseno de bebê Então olha o que eu encontrei o encontrei que x é igual a essa medida aqui e você tá vendo que eu tô e aqui agora vamos voltar ó vai ficar B ao quadrado igual seu quadrado mas ao quadrado menos dois a no lugar desse x ou Porque eu sei que é multiplicação entre eles eu vou escrever esse cosseno do ângulo B aquela vezes ai agora eu cheguei essa daqui é a lei dos senos aí se quiser dar uma arrumadinha né fica na ordem ver o

quadrado = ao quadrado primeiro mais se ao quadrado menos dois a ser vezes o cosseno do ângulo B deu certinho gente lá do pezinho cosseno do ângulo b então quer dizer que na hora que eu colocar o lados e Zinho aqui como é que vai ficar aqui vai ficar cosseno de ser E como que fica o resto do desenvolvimento ó veja que aqui eu usei B aí se agora se eu comecei com você e aqui vai ser a ao quadrado e B ao quadrado daí menos dois a vezes Boo a c a c a b

AB vezes o cosseno agora não é cosseno dos e agora como eu comecei com lados e Zinho ou cosseno do ângulo seco e se você começar com lado azinho azinho ao quadrado igual como que fica B ao quadrado mais se ao quadrado menos duas vezes a nada né o até lá no começo né Gente olha colocando bvcb vezes ser vezes agora o cosseno do ângulo Pronto agora aqui ó eu tenho Então são três vezes são três leis dos cossenos não gente é uma lei a mesma coisa só que depende aonde vai estar em corda para

onde que eu vou começar né ou hora que faltar o lados e eu começo por essa o beco mais por essa falta lá do ar começa por essa é a mesma conta só que o que muda é o lado daí Então veja que aqui eu tenho a lei dos cossenos Prontinho provado para vocês a lei dos cossenos printa a tela e agora nós vamos fazer os exercícios daí fazendo a aplicação você vai ver como é que vai ficar bem fácil tá bom Agora nós vamos fazer a leitura do exercício depois o modelo matemático para resolver

esse exercício então ele diz assim tão cada vez mais frequentes construções de Praças cujo os brinquedos São montados com materiais rústicos a figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporcionam as crianças excelente atividade física sabendo que as distâncias a b e a c são iguais a 2 metros o ângulo b a c corresponde a 120 graus calcule a distância de BH Então veja que eu já deixei desenhadinha aqui para gente né é isso que o ângulo b a c 120 graus que os lados AB e a ser dois metros e já pediu para usar então

que cosseno de 120 = - 0,5 e a raiz quadrada de 3 = 1,73 tá bom Jesus eu sei que eu estou na matéria da lei dos cossenos então o aplicar uma daquelas formas muito bem então o primeiro que nós vamos fazer pegar outra caneta Cadê a outra caneta daqui tá aqui aqui a preta tá vendo que aqui ela é vértice A então aqui vai ser o que vai ser o nosso lado assim certo lado a Zinho aqui é o vértice b a que lado bebezinho vértices e lados e Zinho pronto tudo bem quem é

que eu preciso encontrar qual foi a pergunta do enunciado calcule a distância de b c d b a c então é esse valor que eu tenho que descobrir é a nossa incógnita x caso você queira partida que tanto faz beleza é então que daquelas três que eu coloquei para você daquelas três senão tempo porque eu coloquei qual delas que eu começo a que começa com a Zinho porque o asinha quem eu vou descobrir caso precisasse descobrir esse daqui eu começaria lá com pesinho se eu precisasse descobrir esse daqui eu começaria com um mesinho então é

aí que está o segredo de qual daquelas que eu começo que eu começo utilizando ela do a Zinho como que era mesmo assim ao quadrado então ao quadrado = B ao quadrado mas se o quadrado menos dois da coloca aqui ó b c ver o cosseno de quem o cosseno do azin não do ângulo que tá no vértice A Quase que eu falo ângulo a no rango lá o ângulo do vértice Ok então aqui eu vou usar isso só isso gente então assim que eu começo descobrindo assim agora vou colocar os valores que eu tenho

e vamos lá vai ficar ao e se quiser por se você põe x b o b é dois então vai ser dois ao quadrado mais o c2 2 ao quadrado menos duas vezes o B que é dois você que é 2 vezes o cosseno de ar ou seja o cosseno de 120 graus que até ser o valor aqui ó se você colocar mais calma né ao quadrado igual 2 ao quadrado 42 ao quadrado quatro lembrando né que primeiro eu faço a potenciação né por isso que eu já tô fazendo aqui ó menos agora posso fazer

a multiplicação que não vai interferir 2 vezes 2 44 x 28 vezes o valor do Cosseno de 120 que tá aqui que é menos 0,5 olha que maravilha agora tô ficando só com correntinha então vai ficar ao quadrado igual já posso somar aqui porque não vai interferir em nada vai ser 8 ao menos agora eu faço a multiplicação 8 x 0,5 quando eu multiplico por 0,5 eu obtenho a metade não vai ser quatro só que menos com menos vai ser mais né que não é 8 x 0,5 ou faz aí ó 0,5 x 88 X5

40 vai 4800 com aquele 44 uma casa decimal da quatro inteiro então todo marca aí quando você multiplica número por 0,5 da metade quando você dividir-nos fizer por 0,5 dá o dobro é fácil gente já pratica bastante então aqui vai ficar aqui ao quadrado = 8 mais quatro que é 12 Só que eu não quero valor de ao quadrado Quero valor de ar então para eu terminar eu tiro a raiz quadrada de 12 e Jesus vai quadrada de 12 não é exata que que eu faço ó tá vendo a raiz quadrada de três anos 73

mas não tem nada a ver claro que tem dá uma olhada aqui ó a raiz quadrada de 12 é a mesma coisa que 4 x 3 não é isso Ó 12 a mesma coisa que quatro vezes 3 por que que eu pensei no quatro vezes 3 porque eu sei que quatro tem raiz quadrada exata da o que que acontece a raiz quadrada do quatro até se você quiser você parar e escrever cada um no seu radical a pode raiz quadrada de quatro é dois raiz quadrada de três ele mandou trocar por um e 73 e

fazendo essa multiplicação duas vezes três eu vou chegar em seis duas vezes e 7:14 sob um duas vezes 12 com mais 13 eu vou chegar em 3,46 sabe isso que eu fiz aqui isso que eu fiz aqui é a mesma coisa que você faz aí ó faz a decomposição do 12 em fatores primos da por 2 que dá 6 por 2 da três por três dá um se você agrupa em 2 em 2 já que aqui a raiz quadrada daí não é isso que você faz ó vai ser escrevendo aqui dois ao quadrado vezes 3

não é daí você fala assim aquele agente se fala não a gente fala né quem tá com expoente igual esse corta ele sai fora então o 2 Sai fora e o três permanece dentro olha aqui ó 2 de 32 ou pataquini é dois sair de três já que eu já troquei pelo em 73 Você viu como ficou muito mais rápido de fazer por esse jeito mas pode fazer pela decomposição sem problemas então quer dizer que o que o enunciado pedir para mim a medida de bebê até ser Vale 3 até os que esse 3 e46

e36 e46 e aí Achou fácil aplicação só a forma lá que deu muito trabalho de fazer né mas aqui foi bem tranquilo e vamos fazer mais um ó agora nesse exemplo presta bem atenção na leitura um navio se encontra em um o distante Seis Milhas de um farol F no mesmo instante outro navio em B está a 15 milhas do Farol efe o ângulo de visão de um observador que se encontra no farol f&v os dois navios é 60 graus Qual é a distância entre os dois navios nesse instante então aqui está o modelo matemático

já deixei desenhar Dinho para você daí você já deve tá petralha uau vezes vocês em vão por então Ó aqui esse aqui é o vértice A aqui é o Asio vértice B bebezinho vsfd virgem ué fiz igual tá lá no livro A indicação quer fazer assim para mudar para você que aqui no lugar do Farol vai ser o vértice C Cê pode fazer o que for melhor para você entender lá eu farol a gente olha o desenho né E aqui vai ser o Cesinha Ó facilitando facilitou e agora o que que ele quer saber nem

quer saber essa Bom dia A até B que se encontra esses dois navios aqui que estão localizados os pontos A e B que que eu tenho que fazer Qual é a letra que está faltando nesse caso até a medida do benzinho tem a do azin quer dizer que falta o pézinho então lembrando lá daquela sentença eu vou começar por serzinho serzinho ao quadrado igual quero ver quem tá lembrando aí gente vai fala que mais quer ao quadrado mais bebezinho ao quadrado menos duas vezes ua vezes o bebê vezes o cosseno de quem o cosseno do

Sesinho não é os cossenos daquele ângulo do vértice ela falar com você descer né ou a gente sempre fala pronto agora Troca os valores então no lugar do cê não vai ficar ninguém vai ficar ele mesmo se quiser por se você põe x quiser deixar com de que eu não tava responder ao quadrado o as Cadê o ataque a 15 15 ao quadrado + 6 a 6 ao quadrado menos duas vezes o valor do ar que é 15 vezes o valor do B que é 6 x o cosseno de 60 graus está indicado aqui continuando

se ao quadrado igual quem já o quadrado 225 mas 6 ao quadrado 36 - agora faço a multiplicação duas vezes 15 da 30 e 30 x 6 180oc vezes o cosseno de 60 mas diz como é que eu sei agora o cosseno de 60 seu anunciado não deu para gente nenhuma informação aí você precisa lembrar daquela tabela dos ângulos notáveis 30 45 e 60 que eu até tenho uma aula dessa que eu cantei musiquinha quem já viu a sala da Justiça então quando eu precisar calcular o cosseno de 60 você monta a tabelinha que eu

vou deixar indicação da aula e ele vai ser um sobre dois o cosseno de 60 1 sobre 2 ou 0,5 o cosseno de 60 igual ao seno de 30 gente agora continuando o seu quadrado é igual posso somar 225 com 36 dá para fazer de cabeça 225 com 30 da 255 com seis 261 - 180 vezes meio quando eu multiplique por 6 a metade né então vai ser 90 que a metade 180 180 dividido por dois aqui então vai ficar seu quadrado igual 261 tira 90 vai ficar 171 é isso 171 271 271 e pra

terminar raiz quadrada raiz quadrada do 170 a nossa 171 não tem raiz quadrada exata o que é que eu vou fazer você pode fazer aquele esquema que eu fiz ó de multiplicar por tanto que dá uma raiz quadrada exata faz a faturação tem caso gente que eu também não sei de cabeça tenha 281 aqui ó eu tenho que pensar um pouquinho mais para quanto é que vai dar Então nesse caso acaba sendo mais rápido fazer as B composição Então não é que eu também sou professora eu sei de todo né Não só calculadora tem que

ficar pensando um pouquinho mais 171 é o número que dá para dividir por três já que seu somar os algarismos 7 mais 18 com mais 19 então dá para dividir por três que o primeiro número primo 171 por 3 ou vai dar cinco porque 5 x 3 da 1557 muito bem agora 57 da por quanto 57 da por três o soma porque por dois não dá né cinco mais sete 12 da por 3 em 57 por três vai ser 19.397 isso mesmo e como 19 é primo da só por ele mesmo não então aqui eu

venho a grupo isso em dois porque é raiz quadrada então vai ficar que a raiz quadrada de 171 = 3 ao quadrado vezes o 19 e a raiz quadrada então aqui eu tiro três passa aí tratando radical Vai ser 3 raiz de 19 milhas ué mas não vai dar um resultado final como com, alguma coisa nesse caso gente presta atenção como enunciado não deu nenhuma outra informação a o direito à raiz quadrada de 19 como tanto como quatro, alguma coisa ele não falou nada então nesses casos a gente deixa assim em função da raiz porque

se fosse uma questão de alternativa para você assinalar que o enunciado não é dado a informação de quanto vale a raiz quadrada assim como fez no anterior você teria claro essa alternativa para assinar lá agora se ele tivesse dado quanto é a raiz quadrada de 19 teria que pegar o treze multiplicar pela raiz 19 e aí você iria encontrar como você diz número normal né que não tem raiz a raiz quadrada de 19 se fosse 4:16 5:25 então é quatro e meio da 20 pontos 25 o raiz quadrada de 19 4.35 raiz quadrada de 19

à e multiplica por três vocês iriam chegar em 13.07 então a medida só fica tirando a curiosidade que eu sei que usar os gols de perguntar tudo bem Você conseguiu entender agora eu quero perguntar quando é que eu sei um exercício aqui tá fácil né jeito que você explicou a aula do lei dos senos em uma dos ele se coçando na outra é fácil de entender qual que é Mas e quando Tô fazendo uma lista de exercícios que tá tudo misturado na prova tá tudo misturado como que eu identifico se eu faço a lei dos

senos ou a lei dos cossenos bem simples quando você tiver uma figura assim que tem apenas um ano um ângulo lei dos cossenos pronto um ângulo e daí ele dá duas medidas de um lado e falta o outro lei dos cossenos se ele te dar dois ou três anos dois ou três aí você vai aplicar a lei dos senos então marca bem isso daí gente é bem fácil de bater o olho nos exercícios dois ou três ângulos lei dos senos você tem um ângulo apenas lei dos cossenos pronto aí que a dica que eu dou

no final da aula para vocês aí ó já aproveita Deixa aquele like para outro ages se inscreve no canal compartilha aula com seus colegas e não deixe de visitar o site da lá você encontra as playlists listas de exercícios muito importante né para treinar lei dos senos e dos cossenos a loja da Ju é indicado pela jipe e eu vejo você na próxima aula tchau [Música] E aí