Raisonnement par récurrence

nous allons voir comment démontrer en résonant par récurrence à l'aide d'un exemple alors voici l'exemple soit à un nombre réel positif montré par récurrence que pour tout entier naturel n 1 + 1 à la puissance n est supérieur ou égal à 1 + n fois a dans cette démonstration a est un réel quelconque mais fixé et pour tout réel a il faut trouver que pour tout entier naturel n c'est à dire à partir de n = 0 on a cette inégalité donc ici il s'agit de montrer une inégalité pour tout entier naturel n avant de

faire sa démonstration il faut commencer par savoir qu'est-ce que j'ai et qu'est-ce que je veux démontrer alors l'énoncé dit soit A un nombre réel positif donc a est fixé il est quelconque mais il est fixé donc je commence moi aussi par considérer que A est un nombre réel strictement positif ensuite on me demande de montrer par récurrence donc là je sais qu'il va falloir raisonner par récurrence que alors deux questions se posent qu'est-ce que je dois démontrer et pour quel ensemble d'entiers naturels quelles sont les valeurs pour n bah ici il est marqué pour tout

entier naturel n ça veut dire que je vais commencer par n = 0 puis tous les suivants qu'est-ce que je dois démontrer ben je dois démontrer que 1 + a puissance n est supérieur ou égal à 1 + 1 donc voici ce que je dois démontrer et voici ce que je vais prendre comme proposition je propose juste ceci alors pour raisonner par récurrence on commence par l'initialisation l'initialisation il s'agit de tester si ma proposition est vrai pour la première valeur de n or quels sont les valeurs pour elles on me dit tout entier naturel donc

tout entier naturel on commence en zéro donc il faut que je vois si cette inégalité est vrai pour n égale 0 bien sûr si je veux montrer si elle est vraie je ne vais pas commencer par l'écrire je vais commencer par la tester et je n'écrirai l'inégalité qu'une fois qu'elle aura été prouvé donc elle est constituée de deux membres le premier membre c'est un plus a puissance n le second membre c'est 1 + na donc je teste c'est à dire que je remplace N par 0 dans le premier membre 1 plus à puissance n combien

ça vaut et bien ça fait 1+a^0 pour n = 0 qui vaut 1 pourquoi parce que comme a est strictement positif 1 + 1 n'est pas égal à zéro et n'importe quelle réelle puissance 0 vaut 1 sauf 0 puissance 0 qui n'est pas défini donc là vous voyez c'est de la rigueur je fais attention est-ce qu'il y aurait pas une valeur piégeante non j'ai pas de piège puisque dans l'énoncé on m'avait bien précisé que a été strictement positif voici pour le premier membre le premier membre vaut 1 maintenant voici le deuxième membre 1 + 0

X a je remplace N par 0 ça fait 1 + 0 ça fait 1 donc je dois donc comparer 1 et 1 est égal à 1 donc on peut dire que 1 est supérieur ou égal à 1 j'ai donc pour n = 0 1 + a^0 supérieur ou égal à 1 + 0 X a faites bien par attention à cette partie d'initialisation effectivement c'est la plus facile c'est la plus facile parce que il s'agit juste de tester si la proposition est vraie pour une valeur donnée néanmoins il faut quand même faire le test il ne

suffit pas de l'écrire pour assurer qu'elle est vrai maintenant nous allons passer à la deuxième étape qui est l'étape de l'hérédité alors l'hérédité je suppose qu'il existe un entier naturel n tel que p2n est vrai tel que ma proposition est vraie donc vous voyez si auparavant je n'ai pas présenté la proposition ici cette phrase ne veut plus rien dire puisqu'on ne sait pas qui est PDN donc je suppose que p2n est vrai donc je vous rappelle juste puisque j'ai changé de page l'énoncé de p2n et je dois en supposant ceci donc je vais montrer sous

cette hypothèse que P de n + 1 est vrai c'est à dire et j'écris pour savoir ce que je dois démontrer j'écris p2n + 1 donc c'est à dire qu'il faut remplacer n par N+1 donc ça fait 1 + 1 puissance N+1 super ou égal 1 + 1 + 1 a attention je ne l'ai pas montré j'ai dit que j'allais le montrer j'ai marqué montrons que Pn+1 c'est à dire montrons que 1+a^n+1 est super ou égal à 1 + 1 + 1 pour l'instant je n'ai rien fait à part fait mon hypothèse qui est supposée

que il existe un dronier naturel n tel que p2n est vrai et je m'apprête à faire cette fameuse hérédité enfin à tester cette fameuse hérédité alors je dois donc montrer que un plus à puissance N+1 super egal à 1 + 1 + 1 a donc comme tout à l'heure je vais partir d'un des deux membres alors là je vais partir du membre de gauche un plus à puissance n + 1 qu'est-ce que je sais sur un plus a puissance N+1 alors dans un raisonnement par récurrence bien sûr si on une utilise pas la proposition p2n

l'hypothèse ça veut dire qu'on n'est pas en train de faire une récurrence donc j'observe ce que j'ai ici j'observe ce que j'ai comme hypothèse et donc j'ai une inégalité mon inégalité je ne peux l'obtenir que en ayant un plus a^n puisque mon inégalité elle est avec du 1 plus impuissance elle donc je vais me rappeler que 1 + a puissance N+1 et bien c'est tout simplement un plus à puissance n fois 1 + A donc j'ai ici une relation de récurrence entre ce que je veux montrer et ce que j'ai et cette relation de récurrence

elle est obtenue par le les propriétés des puissances ensuite je vais utiliser mon hypothèse c'est à dire qu'on appelle aussi hypothèse de récurrence j'ai supposé que p2n était vrai donc je peux puisque je l'ai supposé je vais dire que 1+a^n est supérieur égal à un plus énorme or un plus à plus en scène je l'ai ici donc si je multiplie les deux membres de mon inégalité par 1 + 1 à gauche je vais avoir un plus a puissance N+1 pourquoi est-ce que j'ai le droit de multiplier les deux membres par un plus a parce que

un plus a est positif pourquoi en plus vous avez positif parce que depuis le début on nous dit que A est un réel strictement positif d'accord donc faites bien attention quand vous utilisez et que vous manipulez une inégalité faites bien attention à multiplier les deux membres par un nombre donc vous connaissez le signe et qui est positif si il est négatif il faut changer le sens donc je multiplie de mon par un plus a ensuite pourquoi j'ai fait ça à gauche pour avoir un plus impuissance n plus un et puis à droite et bien à

droite pour l'instant je n'ai pas ce qu'il faut montrer qui est ici donc à défaut de savoir ce que je fais je vais commencer par développer donc j'ai développé en utilisant la double distribution 1 + 1 + 1 x a + N a carré et maintenant j'observe alors j'ai le a² qui ne figure pas ici mais je remarque ici que j'ai 1 le 1 il est bon mais j'ai a + n fois a c'est à dire que j'ai N+1 a ou je factorise par un si vous préférez donc 1 + 1 + N a c'est

égal à a enfin 1 + a facteur de N+1 et il me reste na carré vous voyez que donc dans mon égalité j'ai ce que je veux plus quelque chose est-ce gênant ben pas tant que ça puisque ah c'est un réel a² il est positif n il est positif donc n un carré c'est un nombre positif comme produit de nombres positifs et par conséquent cette partie là elle est supérieure à celle-ci vous voyez j'ai juste le N un carré qui est en plus et qui est positif donc j'ai démontré que 1 + 1 puissance N+1

c'est super ça je l'avais déjà dit qui lui-même est supérieur à 1 + 1 + 1 a alors ça c'est assez courant quand je fais des raisonnements par récurrence et qu'il y a des inégalités à prouver on obtient assez rarement directement la bonne inégalité néanmoins il y a souvent des majorations qui se font qui permettent de transitivité du signe supérieur de prouver l'inégalité qu'il fallait les montrer donc j'ai bien prouvé ici donc celui-ci est super à celui là qui lui-même supérieur à celui-ci donc le premier est supérieur au troisième autrement dit 1 + 1 puissance

et de plus un et super ou égal à 1 + N+1 a c'est ce qu'il fallait démontrer l'hérédité Pn+1 est vrai la proposition est donc héréditaire donc j'ai montré que si p2n était vrai alors p2n plus en est vrai c'est exactement cela l'hérédité enfin dernière étape du raisonnement qui est loin d'être la plus difficile mais qui doit être faite parce que si vous ne faites pas la conclusion vous n'avez pas répondu à la question posée alors qu'est-ce que j'ai montré j'ai montré que PDN était initialisée j'ai montré que p2n était héréditaire donc je peux utiliser

le principe de récurrence d'après le principe de récurrence pour tout entier naturel n un plus appuissance saine et supérieur ou égal à 1 + 1 et j'ai montré ce qu'il fallait démontrer donc ce raisonnement par récurrence et demande une grande rigueur gommande un grand soin on ne confond pas le il existe et pour tout n sinon ce n'est plus un raisonnement par récurrence et surtout on n'écrit pas quelque chose avant de l'avoir prouvé