Diferansiyel Denklemler : İntegral Çarpanı Metodu (1.Derece Lineer Diferansiyelleri Çözme)

integral çarpanı metodu 1 derece diferansiyellerin çözümünde önemli yöntemlerden birisidir ilk yöntem olarak ayrılabilir diferansiyellerin çözümünü incelemiştik 1 derece diferansiyeller ikinci olarak integral çarpanı metodunu inceleyeceğiz bu kalıp olarak bir formata Uyan 1 derece diferansiyelleri çözer bu kalıp Format nedir Onunla başlıyoruz y'nin türevi px y eş QX bu formata Uyan diferansiyellerin hepsini çözebilen yöntemdir integral çarpanı metodu bu formatı İlla bize tamamen bu şekilde vermek zorunda değil biz y'nin türevlerinin y'nin türevinin katsayısını 1 bıraktığımızda bu format oluşuyorsa bu çarpanı metoduyla çözülebilir birçok kaynakta bu yöntemin ismi bu diferansiyelli 1in derece lineer diferansiyeller denir Bu nedenle birçok kaynakta bu

integral çarpanı metodu 1 derece lineer diferansiyellerin çözümü diye geçer ama biz asıl ismi olan integral çarpanı metodu üzerinden gideceğiz Şimdi formatı bu Peki Buradaki formül ne integral çarpanı mü gibi süslü bir harf olarak atanır integral çarpanı bu harfin bir anlamı yoktur A da diyebilirsiniz canınız istiyorsa B de diyebilirsiniz Ben alıştığım dolayı mü kullanacağım mü burada integral çarpanıdır bu e üzeri integral içinde buradaki y'nin katsayısı olan px integral didir biz buna integral çarpanı diyoruz integral çarpanını bulduktan sonra integral çarpanı bulunduktan sonra integral çarpanı bulunduktan sonra diferansiyelin her iki tarafı integral çarpanı ile çarpılır diferansiyelin her iki

tarafı integral çarpanı ile çarpılır çarpanı ile çarpılır Şimdi burada ne demek istiyoruz onu bir görelim y'nin türevi + px y bunu gidip integral çarpan mızda çarpıyoruz mü ile eştir karşı tarafı da mü ile çarpıyoruz QX her iki tarafı integral çarpanı ile çarptıktan sonra şu sol taraf daima integral çarpanı ile y'nin çarpımının türevi olur her zaman eş m x GX QX ardından her iki tarafın integrali alınarak y yalnız bırakılıp bulunur ardından her iki tarafın integrali alınır integrali alınır metodun özü budur şimdi bir baştan itibaren başlarsak konuştuklarımı buradaki y'nin türevi px y = QX şeklindeki formata Uyan

diferansiyeller bu formatın aynısı şeklinde olan diferansiyeller integral çarpanı tekniği ile çözülebilir integral çarpanı mü olarak isimlendirdi onu birçok kaynakta ı a kafalarına göre isimlendirilirler ona takılmayacak Biz burada mü üzerinden gideceğiz e üzeri px DX buradaki y'nin katsayısının e üzerinde integralinin alınmasıyla integral çarpanı bulunur integral çarpanı bulunduktan sonra diferansiyelin her iki tarafı integral çarpanı ile çarpılır bu çarpma işleminin sonucunda sol taraf daima integral çarpanı ile y'nin çarpımının türevi olur Sağ taraf ise integral çarpanı ile QX çarpımıdır ardından her iki tarafın integrali alınarak sonuca ulaşılır yani y'yi yalnız bırakıp sonucu buluruz artık uygulamalara geçelim yöntem basit bir

yöntemdir birkaç uygulamayı yaptıktan sonra zaten çok rahat kafada şekillenecek basit bir örnekle başlayalım bir 45 örnek çözeriz şimdi y'nin türevi + y = x Bir de başlangıç koşulu da verelim y0 = 2 başlangıç değer problemini çözünüz başlangıç değer çözünüz şimdi diferansiyel denkleme baktığımızda 1 derece bir diferansiyel olduğunu görüyoruz ve bizim formatı birebir uyuyor y'nin türevi px y QX buradaki P xim 1 QX x y'nin türevinin katsayısı da 1 bu formata uyduğu için biz Bun çarpanı çözebiliriz birin adım integral çarpanını bulacağız integral çarpanı e üzeri px DX bizim buradaki P xim 1'dir 1 DX buranın integralini

aldığımızda 1in integrali x çıkar e üzer x olur burada bir not alacağız integral çarpanı bulunurken + C konulmaz integral sonucuna + C konulmaz + C konulmaz yani burada bir integral alıyoruz Normalde + C konulması lazım Biz bu + C'yi koymuyoruz en son koyduğumuz c o C'yi içeriyor kabulü vardır Biz burada integral çarpanı bulduk integral çarpanı da diferansiyelin her iki tarafını çarpacağı Şimdi ikinci adım exx x y'nin türevi + y = x x exx sol taraf daima integral çarpanı ile yani exx ile y'nin çarpımının türevi olur exx x y'nin türevi = x e üzeri x ardından

her iki tarafın integralini alarak y'yi yalnız bırakacağız alalım her iki tarafın integralini Burası x'e göre integral alıyoruz x e üzeri x x'e göre integral alıyoruz şimdi buradaki türevle integral birbirini götüreceği için Burası direkt exx y kalır eş buradaki integral ise iyi ki kolay örnek dedik kısmi integral çıktı Yani u dv yöntemimiz yani laptü kullanacağız Şimdi burada Bir hatırlamış Oluruz laptü kime u diyeceğimizi belirlemenin yöntemidir logaritma bu içeride yok arklı bir ifade yok polinom var x bir polinomdur bu sağa doğru tek tek sorduğumuzda hangisi ilk varsa o uur bizim buradaki Uz x' geriye kalan her şey

dv olur geriye ex ve DX kaldı Bunlar dv olur D = ex DX bundan sonraki adımda u'dan du üretiriz du / DX du üretmenin yolu bunun x'e göre türevini almaktır eş 1 du = DX olur gerekli değerlerimizin hepsini buluyoruz Buradan da her iki tarafın integralini alarak v'yi buluruz her iki tarafın integralini alıyoruz burada buranın integrali V karşıdaki e üzeri x'in integrali e üzer x eü x kendisine eşittir buradaki V bulunurken de + C konulmaz kısmi integralde bunu da unutmayalım Şimdi burada kısmi integralin formülüne gelirsek u x v - vdd Uz x v' miz e üzeri

x - VM e xuz DX buradaki e üzeri x'in integrali de x e üzer x - e üzer x + c en son bir + C koyacağız Şimdi bunu getirip buraya yazarsak x e üzer x - e üzer x + c e üzeri x'e bölersek her tarafı burada x kalır burada -1 kalır Burada ise c / üzer x kalır ve diferansiyel imizin sonucuna ulaştık ama bizim diferansiyel imiz başlangıç değer problemiyle C'yi bulmalıyız y0 = 2 imiş x yerine 0 koyunca Y2 çıkacak 2 = 0 - 1 + c / e üzeri 0 e üzeri 0

1 eder bu -1 bu tarafa atarsak 3 = C C'yi de bulduğumuza göre tam somucu Dolayısıyla bulmuş olduk y = x - 1 + 3 / e üzeri x bu diferansiyel denklemin sonucudur diferansiyel denklemin uzun olmasının nedeni kısmi integralle karşılaşmamızı zor karşımıza gelebilecek şey zaten bir integral çarpanı metodunda Karşı taraftaki integralin kısmi integral içermesidir şimdi ne yaptığımıza bir baştan başlayalım burada baktığımızda tam formata Oyan bir diferansiyel denklem gördük hemen integral çarpanını bulduk e üzeri x çıktı integral çarpanı ile diferansiyelin her iki tarafını çarptık sol taraf e integral çarpanı ile y'nin çarpımının türevine dönüşüyor sağ tarafta

ise bu oldu her iki tarafın integralini aldık burada burada integralle türev birbirini götürdü sağ tarafın integrali ise bir kısmi integral çıktı laptu yöntemiyle çözdük onu ve onun da Eee integralinin sonucunu bulduk e üzeri x'i bölü olarak geçirdiğimizde y'yi bulduk ki diferansiyel denklemlerde amaç türevi alınan fonksiyon olan y'yi bulmaktır diferansiyel denklemi çözmüş olduk başlangıç koşul vardı en sona onu yerine koyarak C'yi de bulduk bir başka örneğimiz geçelim x y'nin türevi + 2y = 10x K başlangıç koşulu olmasın bu sefer diferansiyelin Çözümü nedir şimdi buradaki x'i her tarafa bölü olarak attığımızda bütün diferansiyeli x'e böldüğümüzde tam aradığımız

formatın geleceğini görmeliyiz Bu soruda y'nin türevi + 2 b x y eş Burayı da x'e bölersek Burayı da x'e bölersek 10x olur bütün ifadeyi x'e böldüm ve tam olarak bizim aradığımız format geldi y'nin türevi + px y QX integral çarpanı ile çözüm var bir adım integral çarpanı olan müzü bulacağız e üzeri px Burası ilgilendiriyor bizi e üzer 2/2 B x'in integrali 2 lnx e üzeri 2 ln xin üzerinde ln olduğu zaman çok önemli bir işlem vardır burada bu geçiş işlemini çok iyi bilmeliyiz e ile Lenin içindeki kısım yer değiştirirler x üzeri 2 ln e olur

ln de 1 ettiğinden dolayı x kare olarak integral çarpanını buluruz E'nin üzerinde ln gördüğümüz zaman e ile Lenin içinin yeri değişmek zorundadır bu Kural çok önemlidir bu kuralı yapmadığımızda soruda krize girecektik ilerleyen kısımlarda Şimdi burada 2ci adıma geçebiliriz 2ci adım integral çarpanı ile diferansiyelin her iki tarafını çarpmaktır ama en baştaki diferansiyelde y'nin türevinin katsayısının 1 bırakılmış olduğu diferansiyelden baştaki ile çarpmayın x k x y'nin türevi + 2/2 y = 10x x x k sol taraf daima ve daima integral çarpanı ile y'nin çarpımının türevi olur Sağ taraf ise 10x K oldu her iki tarafın integralini alırsak

her iki tarafın integralini aldığımızda sol tarafta integralle türev birbirini götürür ve x kare y kalır sağ tarafın integrali Az önceki soru gibi zor bir durum değil X'in üstünü bir ırıp oluşan üsse böleriz 10x üzeri 4/4 + c ve şimdi buradaki x kareyi de bölü olarak attığımızda y' mizi buluruz şu 10'la da 4'ü sadeleştirirsek 5/2 x kare çünkü x kareyi bölü olarak attım Bir tane x kare gitti + c / x k bu diferansiyel denklemin çözüm budur son bir örnek daha yapıp bu videomuzu noktalayalım dy / DX görüntüyü biraz daha değiştirelim + y kotanjant x eş

k x yelinin Çözümü nedir yine başlangıç değer vermedim başlangıç değer verildiğinde sadece en sondaki C'yi bulmak içindir o diferansiyelin çözümünü bulunuz şimdi bakalım bunun Öncelikle bizim integral çarpanı formatına benzediğini görmeliyiz bu dy / DX demek dy / DX = y türev demektir Onun yerine bunu yazalım şu y'den sonra kotanjant x'i yazmış kotanjant x'i önce yazalım x y eş kosekant x bizim format y türev + px y QX tam anlamıyla formata uyuyor px burada kotanjant x QX de kosekant x 1 adımımız başlıyoruz integral çarpanını bulacağız M eş e üzeri px DX olacak yani kotanjant x DX

kotanjantın integrali e üzeri ln sin x dir tanjant ve kotanjant integralleri şuraya yazıyorum ezbere bilmekte fayda vardır tanjant x'in integrali - ln cos x + c'dir kotanjant x'in integrali ln sinx + c'dir Biz burada + C kullanmıyoruz integral çarpanı bulurken + C kullanmayacağımız geride belirtmiştik Zaten o nedenle + C kullanmadık şimdi buradan sonra önemli bir şey geldi E'nin üzerinde yine ln var E ile sinx yer değiştirmelidir sinx üzeri ln e lne 1 ettiğinden dolayı sinx olarak integral çarpan mızı bulduk şimdi diferansiyel imizin her iki tarafını bu integral çarpanı ile çarpacağı şu halinin Tabii ki sinx

Ç y'nin türevi + kotanjant x y eş kosekant zaten 1/8 ir çar sinx kosekant ve sekantın ne olduğunu iyi bilmeliyiz kosekant 1/6 sin x' L burada birbirini götürdü bu sol taraf daima integral çarpanı ile y'nin çarpımının türevi sin x Ç y'nin türevi sağ tarafta ise 1 kaldı çok korkunç bir denklemin çözümü aslında çok basit bir hal aldı buradaki integralle türev birbirini götürür burada sinx x y kalır burada 1in integrali ise x eder + c sin x'i bölü olarak getirdiğimizde de y = x + c b sin x olarak diferansiyel denklemin sonucunu buluruz integral çarpanı ile

çözümün mantığı burada anlattık ız bu şekilde bu videomuzu noktalı