Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen

herzlich willkommen zum Kapitel 1.5 periodische Zeitfunktion und in diesem Kapitel werden wir einige wichtige mathematische Begriffe einführen und diskutieren diese Begriffe brauchen wir in der Elektrotechnik immer wieder und die beziehen sich in der Regel auf die elektrischen Grundgrößen die wir bisher kennengelernt haben vor allem Spannung und Stromstärke ja zeitweise auch die Ladung Leistung oder Energie und zwar schauen wir uns diese Grundgrößen als Zeitfunktionen an und solche allgemeinen Zeitfunktion sind also na Ströme Spannungen oder halt abgeleitete Größen wie Leistung oder Energie deren Werte sich über der Zeit ändern also es gibt einmal Zeitkonstante Spannungen oder Ströme

beispielsweise sogenannte Gleichspannungen gleichströme aber diese Spannungen und Ströme können auch zeitveränderlich sein wie wie wir es ja bisher auch schon bei vielen Rechenbeispielen kennengelernt haben wir versuchen folgende Konvention zu verfolgen dass wir zeitveränderliche Größen durch Kleinbuchstaben in den Form mitzeichen ausdrücken das heißt für eine zeitveränderliche Spannung wer das klein u von T für eine zeitveränderlichen Strom klein i von T und so weiter das werden wir im ersten Semester jetzt hier nicht konsequent so durchziehen das haben sie schon gemerkt in den Rechenbeispielen zur Stromstärke zur Spannung etc die wir bisher behandelt haben habe ich auch zeitveränderliche

Größen immer mit einem Großbuchstaben versehen das ist jetzt in diesem Semester soweit erstmal in Ordnung um möglichst wenig Verwirrung jetzt mit vielen neuen Formelzeichen aufkommen zu lassen aber gerade dann wenn wir im dritten Semester über dynamische Netzwerke reden ist es zwingend erforderlich dass wir zeitveränderliche Größen anders darstellen als zeitk stanteegrößen da werden wir dann ganz ganz streng diese Kleinbuchstaben und Großbuchstaben entsprechend verwenden aber für sie jetzt erstmal nur so als Information zum mitnehmen wenn wir Kleinbuchstaben verwenden ist das schon mal ein wichtiges ind dafür dass es sich hier auf jeden Fall um eine zeitveränderliche Größe

handelt und so einer Größe kann jetzt ganz allgemein zeitveränderlich sein und eine spezielle Untergruppe ein Spezialfall sind diese sogenannten periodischen Zeitfunktion periodische Zeitfunktionen zeichnen sich dadurch aus dass der funktionsverlauf sich nach einem festen Zeitintervall wiederholt das heißt nehmen wir uns mal so eine beliebige Größe x die ist jetzt zeitveränderlich und der funktionsverlauf dieser Größe wiederholt sich nach einem Zeitintervall groß t und dieses Zeitintervall heißt Periodendauer oder Periode und das K ist jetzt ein numerischer Faktor Element der ganzen Zahlen wie kann sowas also Aussehen schauen Sie hier auf die Abbildung auf der rechten Seite wir sehen

jetzt hier so einen absolut willkürlichen periodischen funktionsverlauf das heißt sie sehen der funktionsverlauf wiederholt sich jetzt nach einer Zeit groß t nach der Periodendauer ja und wiederholt sich dann in gleicher Art und Weise und diese per periodischen Zeitfunktion können wir durch verschiedene Parameter beschreiben die wichtigsten Parameter sehen Sie hier in der Tabelle auf der linken Seite mal dargestellt der eigentliche Funktionswert zu einer konkreten Zeit klein t heißt Momentanwert das heißt wir können über der Zeitachse jetzt für jeden Zeitpunkt einen Funktionswert angeben das ist der Momentanwert das Maximum einer Periode ist der Spitzenwert syb isiert durch

das kleine Dach hier über dem groß geschriebenen Formelzeichen und wenn wir harmonische Zeitfunktionen betrachten also Sinus und cosinusfunktionen dann heißt dieser Spitzenwert auch Amplitude die Periodendauer habe ich bereits eingeführt das ist also die Zeitspanne nach der sich der funktionsverlauf wiederholt und der Kehrwert der Periodendauer das ist die Frequenz ein Begri den Sie sicherlich schon ein paar mal gehört haben Frequenz gibt also an wie häufig pro Zeitintervall also z.B wie oft pro Sekunde sich der funktionsverlauf wiederholt dem Gegenüber müssen wir noch weitere mathematische Größen definieren einführen die wir später dringend brauchen um die Eigenschaften dieser periodischen

Zeitfunktion beschreiben und zu analysieren und die drei wichtigsten Kenngrößen habe ich ihn jetzt auf den nächsten zwei Folien dafür mal zusammengestellt die erste Kenngröße die kennen Sie sicherlich auch so aus dem Alltag ist der sogenannte Mittelwert in der Elektrotechnik nennen wir das auch gleichwert der arithmetische Mittelwert berechnet sich für eine diskrete Größe also diskrete Größe könnte z.B sein eine Note die oder verschiedene Noten in einem Fach die sie über einer Zeit bekommen oder Würfelzahlen die sie durch mehrfaches Würfeln Würfeln solche diskreten Größen berechnen Sie den Mittelwert ja indem Sie die einzelnen Größen aufadidieren und dann

durch die Anzahl der Größen dividieren eine Zeit kontinuierliche Funktion wie sie hier dargestellt ist berechnet sich der Mittelwert dann auch wieder über aufsummieren und bei einer Zeit kontinlichen Funktion ist das aufsummieren die Integration das heißt dargestellt ist jetzt hier noch mal wieder unser allgemeines Signal oder der allgemeine Zeitfunktion x H auch gestrichelt dargestellt und wir summieren alle Funktionswerte einer Periode auf das ist dann also die mathematisch die Integration der Funktionswerte über einer Periode und die Periode beginnt jetzt hier für diese graue dargestellte Periode beim Zeitpunkt t0 und endet beim Zeitpunkt t0 plus Periodendauer groß t

dieses Integral liefert mir grafisch gedeutet den Flächeninhalt unter der Funktion und der ist hier in den ersten Bereichen positiv und dann hier im letzten Stück ist der Flächeninhalt entsprechend negativ und bei einer diskreten Größe hat ich gesagt dividieren wir dann durch die Anzahl der Funktionswerte oder Ereignisse hier dividieren wir dann durch die Periodendauer groß t und wir bekommen den Mittelwert gleichrichtwert symbolisiert durch ein kleines Formelzeichen mit diesem Strich drüber und sie sehen das hier mal eingetragen das heißt dieser Mittelwert liefert Ihnen also einen Wert wobei der Flächeninhalt unter diesem Mittelwert Inhalt dieser Periode exakt dem

Flächeninhalt dieser grau hinterlegten Fläche entspricht na wobei sie hier betrachten müssen dass der Flächeninhalt hier im letzten Stück natürlich negativ ist und entsprechend von dem Flächeninhalt hier vorne abgezogen wird eine weitere Kenngröße die wir in der Elektrotechnik häufig verwenden ist das sogenannte gleichrichtwert gleichrichtwert ergibt sich so ein bisschen aus einer der der Name ergibt sich aus einer Beschaltung wie der gleichrichtwert entsteht nämlich durch Gleichrichter also z.B diodenschaltungen als Gleichrichter wie das funktioniert werden wir noch kennenlernen und die so eine Schaltung so beispielsweise so eine Diodenschaltung macht nichts anderes als den Betrag einer Funktion bilden das

heißt sie sehen hier grau äh oder gestrichelt dargestellt noch einmal den ursprünglichen funktionsverlauf und durch eine Gleichrichtung wird jetzt der Betrag gebildet hier mal nur in diesem in dieser Periode groß t dargestellt und grau hinterlegt das heißt wenn der Betrag gebildet wird wird hier dieser negative diese negativen Funktionswerte entsprechend betragsmäßig positiv diese betragsbildung sehen Sie hier auch in der Berechnungsvorschrift für den gleichschrichtwert nämlich durch die Betragsstriche und von der Betragsfunktion wird dann der Mittelwert gebildet genauso wie oben beim arithmetischen Mittelwert auch das heißt sie sehen hier wieder die aufsummation durch die Integration und dann eins

durch Perioden dauern noch dazu multipliziert ja und das Formelzeichen dafür ist also jetzt der Betrag des Funktionswertes und davon der Mittelwert und neben arithmetischen Mittelwert und gleichrichtwert existiert noch eine dritte Kenngröße die von besonderer Wichtigkeit ist das ist der sogenannte Effektivwert der Effektivwert oder auch quadratischer Mittelwert ist eine Größe die ich ihn jetzt hier mal in der Bedeutung in drei Zeilen zusammengeschrieben hab das ist nicht ganz einfach jetzt hier zu lesen das gebe ich zu das ein bisschen verschachtelt formuliert aber da steckt alles drin was der Effektivwert was was den Effektivwert auszeichnet der Effektivwert ist

in der Regel nur für Ströme und Spannungen definiert und entspricht einem gleichwert ein Gleichstrom oder einer Gleichspannung die über einem obchen Widerstand die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie die zugehörige zeitveränderliche Größe es ist also eine leistungsäquivalente Größe und der Effektivwert wie es hier steht ist ein quadratischer Mittelwert und berechnet sich entsprechend als quadratisches Mittel das heißt für eine Spannung hier dargestellt und für einen Strom hier dargestellt ist der Effektivwert hier oben steht ein Gleichstrom bzw eine Gleichspannung das hier deswegen ja auch mit großem V mitzeichen u oder hier großem V mitzeichen i der quadratische Mittelwert

das heißt der Optionswert wird quadriert hier wird die der momentalenwerert der Spannung quadriert hier wird der momentalenwert des Stromes quadriert und danach wird über diese quadtierte Größe der Mittelwert bestimmt das ist hier wieder die Integration multipliziert mit ein durch Periodendauer und abschließend wird eine Wurzel daraus GEZ zogen damit auch wieder eine Spannung bzw ein Strom rein von der Dimension da wieder herauskommt ja und ich hatte gesagt ist eine leistungsäquivalente Größe ich habe ihn das hier mal in zwei Zeilen für Spannung und Strom einfach mal als kleinen Beweis mal zusammengetragen ich greife hier ein kleines bisschen

vor weil wir den Leistungsumsatz am Wiederstand erst noch einführen werden aber ich denke gerade das obische Gesetz ist auch so ein bisschen Allgemeinbildung deswegen ist das was hier steht jetzt auch denke ich mit dem Wissen was wir bisher erworben haben durchaus zu verstehen hier berechnet in der oberen Zeile von Strom in der unteren Zeile für die Spannung über ein Widerstand ist jetzt die mittlere Leistung die mittlere Leistung ist hier also rein rechnerich der Mittelwert über den Momentanwert der Leistung also rechnerich der Mittelwert über den momentan Wert der Leistung das steht hier dieses KRAS und der

momentan werd der Leistung an einem Widerstand wäre ja die Spannung über den Widerstand multipliziert mit dem Strom durch den Widerstand und der Strom und die Spannung über den Widerstand ist ja Strom mal widerstandsswert das heißt der Strom findet jetzt hier quadratisch seinen Weg in die Gleichung und multipliziert mit dem Widerstandswert selbst jetzt haben wir h also den Mittelwert über stromquadrat mal Widerstand und der Widerstand ist eine konstante Größe ein konstanter Faktor das kann ich ja auch vor das Integral ziehen und dann steht hier noch 1 durch t mal Integral über Strom Quadrat und das ist

gerade nichts anderes als das was hier unter der Wurzel steht sprich der Effektivwert des Stromes zum Quadrat ich sehe also dass die mittlere Leistung die über einem Widerstand umges oder die in einem Widerstand umgesetzt wird durch den ein periodischer zeitveränderlicher Strom fließt gerade der Effektivwert des Stromes zum Quadrat multipliziert mit dem Widerstandswert ist und eine ähnliche Rechnung sehen Sie unten auch für die Spannung das heißt wenn über dem Widerstand eine zeitveränderliche Spannung abfällt dann ist die der Momentanwert der Leistung gerade u²adrat durch R ist der Momentanwert der Leistung die im Widerstand umgesetzt wird und die

mittlere Leistung die also im mittelüber der Zeit umgesetzt wird ist gerade der Effektivwert der Spannung zum Quadrat dividiert durch den Widerstandswert und jetzt werden Sie sich vielleicht fragen woum alles in der Welt soll ich denn das schon mal in meinem Leben vielleicht gehört oder gesehen haben na ja mit diesem Effektivwert einer Spannung sind sie mit Sicherheit schon vertraut denn wenn sie mal an die Netzspannung denken 230 Volt dort wird genau der effektiv wert angegeben die Netzspannung ist also so eine sinusförmige ein sinusförmiger Spannungsverlauf und diese 230 Volt sind nicht die Amplitude also nicht das Maximum

der Netzspannung das ist irgendwo bei 325 Volt ist auch nicht der Mittelwert der Mittelwert ist ull ist auch nicht der gleichrichtwert sondern gerade der Effektivwert diese 230 Volt diesem Beispiel also der Effektivwert der Netzspannung und auf solche sinusförmigen und cosinusförmigen Zeitverläufe werden wir später noch ausführlicher eingehen jetzt möchte ich Ihnen in einem einfachen Rechenbeispiel aber mal die Berechnung dieser drei Kenngrößen für einen anderen funktionsverlauf darstellen nämlich für eine rechtdeckspannung betrachten wir also folgendes Beispiel eine rechtecksspannung und ich gebe zunächst den funktionsverlauf hier mal grafisch vor also über der Zeit aufgetragen ist jetzt ungsverlauf ich verwende

jetzt ein kleines V mit Zeichen klein u hier ist die Zeit Null dann haben wir hier die halbe Periodendauer die ganze Periodendauer und der Spannungswert ist ein Spitzenwert u Daach in der Zeit von 0 bis groß TH halbe und in der weiteren Hälfte der Periode ist er wieder Null und nach der Periode groß t setzt sich oder wiederholt sich der Zeitverlauf in der Form das heißt wir können den Zeitverlauf jetzt auch als Funktionsgleichung angeben Spannungsverlauf ist also so müssen wir hier eine Fallunterscheidung durchführen erst konstant u Daach für die Zeit von 0 kleiner GLE t

kleiner t halbe und er ist ull für die zweite Hälfte der Periode also für groß t halbe klein le t kleiner groß t und nach der Periode setzt sich dieser funktionsverlauf oder wiederholt sich dieser funktionsverlauf das heißt wir können das so schreiben dass der funktionsverlauf U von T = u von T plus irgendein Faktor K mal Periodendauer ist und dieses K ist jetzt also ein Element der ganzen Zahlen groß Z okay ja und für diese rechteckpannung wollen wir jetzt diese drei Kenngrößen brechennen Mittelwert gleichrichtwert und Effektivwert beginnen wir mit dem Mittelwert okay der Mittelwert klein

u mit diesem Strich drüber und die definitionsgleichung schreib ich noch einmal auf ist also ein durch Periodendauer und dann war auf den Folien angegeben das Integral von irgendeinem Startzeitpunkt der Periode bis zu einem Endzeitpunkt der Periode über ich integriere über u von T DT okay und jetzt muss ich also überlegen worüber muss ich hier integrieren und in welchen Integration uns grrenzen konkret in diesem Beispiel ja also das ist erstmal ein durch periodenauer groß t und jetzt integriere ich integrieren heißt also ne aufsummieren über die Funktionswerte und meine Funktionswerte sind ja 0 in der Zeit von

Groß t halbe bis groß t das heißt hier würde das Integral sowieso nur Null liefern die Fläche unter der Funktion ist hier Null also reicht es wenn ich ich integriere von der Zeit von 0 bis groß TH halbe denn nur in diesem Zeitbereich ist das Integral nicht Null und in dieser Zeit ist mein funktionsfall auf U gerade u Dach konstant DT und dieses Integral kann ich ausrechnen Daach ist eine konstante das kann ich hier vor das Integral ziehen ach durch groß t so und dann steht unter dem Integral nach 1 x DT und die Stammfunktion

von 1 ist in dem Fall t und die Integrationsgrenzen sind 0 und groß t halbe so das setze die obere Grenze ein für Klein t also groß t halbe die untere Grenze eingesetzt das ist 0 also bleibt hier noch groß t halbe mal u Daach durch groß t übrig das groß t kürzt sich und es bleibt u Daach halbe als Mittelwert als Ergebnis das heißt wenn wir das jetzt hier mal ich zeichne jetzt vielleicht mal grün ein den Mittelwert oben in die grafische Darstellung mit einskizzieren wollen dann wäre das jetzt hier gerade bei u der

halbe der Mittelwert ich okay der gleichrichtwert wäre jetzt rein Rechner der Mittelwert über die gleichgerichtete Größe das heißt wir richten die Größe gleich und bchn danach den Mittelwert über diese Größe okay rein un der definitionsgleichung wäre das also ein durch Periodendauer mal so jetzt bilden wir den Mittelwert wieder über eine Periode von t0 bis t0 + groß t und unter dem Integral steht jetzt die gleichgerichtete Größe Betrag von U von T et jetzt ist das in diesem Rechenbeispiel so dass der Betrag unserer Rechteckspannung sowieso überall positiv ist ne also wenn Sie jetzt von dieser an

jedem Zeitpunkt t bereits positiven Funktion noch den Betrag bilden ändert sich an der Funktion erstmal überhaupt nichts das heißt in dem Fall werden wir hier ebenfalls ein Ergebnis erwarten das gleich ist mit dem Mittelwert aber rechnen wir das mal noch zu Ende das heißt wir haben ja ein durch Periodendauer und wir integrieren wieder über oder von 0 bis groß TH halbe weil in allen anderen Zeiten der Periode ist der Funktionswert sowieso 0 also reicht wenn wir von 0 bis T halbe integrieren und der Betrag von unserer Zeitfunktion klein u ist wieder u Daach DT so

und das ist exakt das gleiche integral was hier ob beim Mittelwert steht also auch hier wieder ach halber okay also in dem Fall für dieses konkrete Beispiel sind Mittelwert und gleichrichtwert identisch okay und der letzte Wert wäre jetzt der Effektivwert so die definitionsgleichung für den Effektivwert schreibe ich jetzt hier noch mal auf groß u ist gleich die Wurzel aus so und unter der Wurzel steht jetzt der Mittelwert über quadrierte Funktion und ich integriere wieder über eine Periode von t0 bis T 0 plus Periodendauer gr t so wie rechnen wir das aus also wir quadrieren zunächst

unsere Zeitfunktion u von T das heißt wenn ich dies u von T quadriere dann habe ich in dem Zeitintervall von 0 bis groß t halbe gerade u Dach Quadrat und in dem Zeitintervall von Groß t halbe bis groß t wieder eine Null also schwindet auch meine quadrierte Zeitfunktion in dieser Zeitintervall von Groß t halbe bis groß t und es reicht wenn ich also das Integral berechne von 0 bis groß t halbe es ist also das die Quadratwurzel aus 1 durch Periodendauer integral von 0 bis groß t halbe über die quadrierte Zeitfunktion also in dem über

udach Quadrat DT ist gleich Quadratwurzel aus so was steht hier unter der Wurzel na ja das ist wieder das Integral von 0 bis groß t halbe über eine konstante DT also ähnlich wie hier oben und das Integral liefert mir also uach quadratbe und daraus muss ich die Wurzel ziehen so die Wurzel aus uach Quadrat ist uach und die Wurzel dividiert durch die Wurzel aus 2 das wäre der Effektivwert so sie sehen das ist jetzt ein anderer Wert als Mittelwert und gleichrichtwert so wir können das mal versuchen auch hier oben noch mit wieder zu skizzieren ähm

Wurzel 2 sind he rund 1,41 etwas kleiner als 2 das heißt zeichnen was vielleicht mal blau ein der Effektivwert wäre also irgendwo hier beispielsweise ja der Effektivwert okay und so wie ich das jetzt hier für diesen rechteckförmigen Spannungsverlauf skizziert habe können Sie diese Kenngrößen für beliebige periodische Zeitfunktion berechnen das werden wir in den nächsten Übungen für verschiedene funktionsverläufe auch mal üben und ich habe ihn aber hier im Script trotzdem für die wichtigsten Funktionen die Ergebnisse schon mal zusammengetragen das können Sie dann auch so ein kleines bisschen nehmen um ihre Rechnungen vielleicht zu verifizieren auf der

linken Seite oder auf den der linken Spalte denen sie jetzt Signalform gegeben für beliebige Zeitfunktion die sind jetzt hier einfach mal als y bezeichnet dann könnten Spannungen den Ströme sein beispielsweise und hier unten in der letzten Zeile sehen Sie das Beispiel was ich gerade eben gerechnet habe für so einen rechteckförmigen Signalverlauf und jetzt sehen sie hier der Mittelwert wäre jetzt der der Spitzenwert halbe gleichrichtwert ebenfalls Spitzenwert halbe und der Effektivwert Spitzenwert durch Wurzel 2 jetzt können Sie so eine rechtecksspannung auch symmetrisch zur Zeitachse beispielsweise definieren also dann wäre der Mittelwert dieser Zeitfunktion ull sie sehen

das ja auch grafisch dass diese Fläche in der ersten Hälfte der Periode betragsmäßig gleich dieser negativen Fläche in der zweiten Hälfte der Periode ist und das heißt man kann ja schon er ahnen dass der Mittelwert dieser Funktion entsprechend Null sein muss der gleichrichtwert ist natürlich nicht Null stellen Sie sich vor durch eine betragsbildung wird ja dieses dieses Rechteck sage ich mal von Groß t halbe bis groß t entsprechend positiv h nach oben geklappt und entsprechend ist der gleichrichtwert dann groß y Dach gleich dem Spitzenwert und der Effektivwert entsprechend auch y Dach es gibt dreiecksförmige Signalverläufe

beispielsweise auch hier ist wieder so ein mittelwertfreier Signalform skizziert das heißt in dem Fall wäre auch der Mittelwert Null der gleichrichtwert ist nicht ull er gibt sich rein rechnerich dann zu Spitzenwert halbe und wenn man den Effektivwert für so ein Signalform ausrechnet ergibt sich für dieses konkrete Beispiel Spitzenwert durch Wurzel 3 und letztlich hier oben in der ersten Zeile die Signalform die uns in der Elektrotechnik sicherlich am allermeisten interessiert das sind solche sinusförmigen oder auch cosinusförmigen Signalverläufe und dieses Signalverlauf ist auch mittelwertsfrei gleichrichtwert ist hier entsprechend angegeben und der Effektivwert berechn sich für so eine

sinusförmige Spannung oder ein sinusförmigen Strom zu Spitzenwert also in dem Fall Amplitude durch Wurzel 2 und das werden wir im Hörsaal und auch in der Übung für solche sinusförmigen Signale dann auch noch mal konkret rechnen weil das wirklich sehr sehr wichtig und elementar ist für die Elektrotechnik hier sehen Sie es aber schon mal übersichtshalber auf dieser Folie zusammengetragen