Comment comprendre FACILEMENT les dérivées

alors voilà quand on parle de dérivée on pense souvent à ça et si je vous disais qu'en réalité les dérivés cachent une histoire incroyablement fascinante et mystérieuse dans cette vidéo on va prendre un chemin moins ordinaire et je vais vous montrer que le dérivé sont bien plus que de simples formules mathématiques on va explorer ensemble l'histoire passionnante et bien sûr vous commencez à me connaître on va voir une façon élégante de comprendre la dérivation savez-vous que les dérivés ont une histoire fascinante qui remonte à l'Antiquité les anciens Grecs tel carchimède par exemple ont jeté les

bases de ce concept en calculant des aires et des volumes à l'aide de méthodes d'approximation Archimède essayez d'approcher pi en utilisant cette méthode il enfermait le cercle de rayon 1 qui a pourraient pi dans deux polygones réguliers étant donné qu'on sait calculer les aires des polygones on sait que pi se situe entre les deux et il avait bien compris que plus le nombre de côtés des polygones augmentés plus la proximation était précise en utilisant un polygone à 96 côtés Archimède parvint à l'excellente approximation que Pi est compris entre 223 sur 71 et 22 sur 7

mais il le sentait il lui manquait un truc pour être efficace c'est seulement au 17e siècle que ce qui lui manquait fut inventé le calcul infinitésimal et la notion de dérivée et l'histoire de cette découverte est assez marrante Newton et Nice l'ont découvertes à peu près en même temps donc chacun se revendiquait comme étant le père du calcul infinitésimal cependant leur approche était un peu différente mais aboutissait au même résultat Newton utilisait la méthode des fluxions et l'ipniss utilisait la méthode des tangentes celle de Newton était plus calculatoire et celle de la mise plus géométrique

alors la dérivation c'est l'étude des variations en un point sauf que les variations en un point ça n'a pas vraiment de sens comme je l'expliquais dans ma vidéo sur les variations notre assistant ici va nous aider à y voir plus clair oui toi on va emprunter à la physique un exemple très parlant pour la notion de variation et dérivée la vitesse admettons que l’air Junior fasse un sprint de 5 mètres oui c'est beaucoup pour lui s'il le fait comme ça on voit qu'il va vite là on voit qu'il va un peu moins vite là il

va très vite [Musique] et là il va moins vite alors ce qui nous permet d'avoir ces observations c'est qu'on constate que sa position en fonction du temps passé varie plus ou moins vite étudiant alors la fonction qui modélise sa position en fonction du temps on voit qu'au début il y a la position 0 et qu'à la fin il y a la position 5 si vous comprenez pas bien cette courbe je vous renvoie la vidéo sur les fonctions que j'ai faites je l'affiche en haut à droite donc voilà la courbe pour le premier sprint pour le

deuxième le troisième et enfin le quatrième on commence à remarquer ce qui se passe en observant les courbes plus la courbe est pendue plus il va vite mais si on remarque que ça c'est parce qu'on regarde toute la courbe si on regarde juste en un point c'est impossible de dire s'il va vite ou pas il nous faut au moins deux points pour comparer la distance qu'il a parcouru à un certain laps de temps donc dire que la dérivée donne les variations d'une fonction en un point c'est un peu un non sens mais pourtant c'est vrai

et on va voir pourquoi donc on a compris que pour dire que la fonction varie il faut comparer deux valeurs par exemple si on regarde sa position à une seconde et 2 secondes sur chacune des courbes pour la première il a avancé de 2,5 m pour la deuxième de 1,3 m la troisième de 3,7 m et la quatrième de 1,8 m donc on peut voir que c'est dans le 3e sprint qu'il a parcouru la plus grande distance entre une et deux secondes de course et c'est là qu'intervient la vitesse pour mettre un peu de rigueur

là-dedans on va quantifier le truc on cherche à savoir quelle distance il parcourt par rapport au temps écoulé et le rapport en maths c'est tout simplement une fraction la distance parcourue c'est position d'arrivée moins celle de départ et de même le temps écoulé c'est le temps final moins le temps initial et donc ça donne ce quotient cette quantité c'est simplement la vitesse donc on comprend bien que pour calculer la vitesse il nous faut comparer deux informations différentes le temps et la position de départ ainsi que le temps et la position d'arrivée et c'est logique en

fait si on regarde ces deux courses on voit qu'il va plus vite dans la deuxième et si on regarde ces deux images on arrive à le voir aussi mais si on regarde une seule image et bien on peut plus rien dire dans les quatre sprints entre une et deux secondes de course on a donc ces calculs là le résultat est en mètre par seconde ce qui nous donne après calcul 2,5 mètres par seconde pour le premier 1,3 mètres par seconde pour le deuxième 3,8 m/s pour le troisième et 1,8 m/s pour le 4e et ça

confirme bien ce qu'on pensait entre une et deux secondes le lien junior et aller plus vite dans le quatrième sprint et ce calcul on peut le faire entre n'importe quel valeur en réalité ce qu'on est en train de faire c'est de calculer le coefficient directeur de la sécante à la courbe de notre fonction entre les deux points qu'on choisit et on voit que plus le coefficient directeur est élevé plus il a été vite entre ces deux points mais ce qui nous gêne un peu c'est que quand on prend deux points distincts on s'intéresse uniquement à

ce qui s'est déroulé au début et à la fin entre les points on n'a pas trop d'informations par exemple sur ces deux courbes les sécantes ont la même pente donc le même coefficient directeur on pourra en conclure si on parle de vitesse que la vitesse était la même entre une et deux secondes alors qu'on voit bien que non il faut donc prendre deux points plus proches pour limiter ce qui peut se passer entre ces points par exemple ces deux points alors dans ces fonctions le souci est un peu lissé mais prenons celle-ci toujours avec ces

deux points et ben là il y a encore un manque d'information on va donc trouver un moyen pour qu'entre les infos qu'on regarde il ne se passe rien regardons ce point là on va introduire des notations pour éviter de se trimballer des un tout petit peu plus en maths qu'on veut signifier un changement infiniment petit d'une quantité t par exemple on note DT ici la quantité infiniment petite qu'on regarde en seconde donc on abscisse on va la noter DT et un distance donc en ordonnée on la note DF et cette notation la doit à lightnis

donc la pente de cette séquence vaut DF sur DT la pente qu'on regarde ici est au point d'abscisse 1 on note donc DF sur DT de 1 et ce raisonnement on peut le faire pour n'importe quel temps t donc de manière générale on note DF sur DT de T7 pente et là mes amis on vient de créer la dérivée selon la [Musique] la formule qu'on utilise généralement c'est celle-ci et vous vous demandez sûrement d'où elle sort et quel est le rapport avec ce qu'on vient de voir et bravo c'est une question très pertinente rassurez-vous on

va voir ça ensemble tout de suite donc l'idée c'est de regarder ce qui se passe en un point de la courbe appelons le a et disons qu'il a pour abscisse petit si vous avez bien regardé ma vidéo sur les fonctions vous savez donc que son ordonnée vaut F de a l'idée va être de reproduire la méthode et le concept de lightnies mais sans utiliser les dfdt ou DX on va donc prendre un autre point qu'on appelle B qui est un petit peu plus loin on a décalé l'abscisse de H et donc B a pour abscisse

A+H et pour ordonner F de A + H et si on calcule maintenant la pente ou le coefficient directeur c'est pareil de cette séquence on trouve qu'elle vaut ça alors c'est joli me direz-vous mais il peut s'en passer des choses entre A et B et encore une fois vous avez raison et c'est pour ça qu'on va pas s'arrêter là on veut faire en sorte que B soit le plus près de a autrement dit on veut que H soit le plus proche de 0 possible et regardez bien ce qui se passe quand B est infiniment proche

de a pour le voir on va faire un zoom autour de A [Musique] la courbe qui était arrondi devient plate c'est un peu comme la terre finalement la terre est ronde mais de notre point de vue qui est une sorte de zoom infini elle nous paraît plate bref revenons à une fonction avec notre zoom infini autour de a et le point B qui est infiniment proche de a la sécante AB est confondue avec la courbe et ça c'est ce qu'on appelle la tangente donc la courbe et la tangente sont confondues sur un intervalle infiniment petit

autour de a et du coup elles ont les mêmes variations et on sait que les variations d'une droite dépendent du signe de son coefficient directeur c'est pour ça que les variations d'une fonction sont liées au signe de la dérivée qui correspond au coefficient directeur de la tangente en chaque point mais bref ça c'est la théorie nous ce qu'on aime c'est de voir concrètement ce que ça donne en vrai et c'est ce qu'on va voir maintenant regardons ce qui se passe avec la fonction carré au point d'abscisse 2 et d'ordonner 2 au carré donc 4 en

abscisse on se décale de H et en ordonnée on est là alors on va zoomer un peu parce que sinon on va rien voir donc comme l'abscisse + H lors donné sera de plus h au carré en développant ça nous fait 2² + 2 x 2 H + h². donc finalement 4 + 4h + h² - 4 sur h alors ne vous laissez pas impressionner par cette fraction vous allez voir ça simplifie assez bien donc déjà les quatre du dessus se simplifient entre eux il nous reste 4h sur H et on peut simplifier par h

on a donc 4 + H et rappelez-vous h c'est une quantité infiniment petite qu'on va faire tant de vers zéro on peut donc la négliger ce qui nous donne tout simplement 4 mais ce raisonnement on peut le faire pour n'importe quel abscisse X [Musique] et à chaque fois on trouve deux X vous aurez là reconnu la dérivée de x² je vous laisse essayer de faire ça avec X puissance 3 elle est assez simple aussi vous devez trouver que la dérivée vaut 3x² normalement on va pas toutes les faire on va juste voir ce qui se

passe quand ça marche pas comme on le voudrait regardons la fonction sinus et faisons le même raisonnement si on regarde ici un point d'abscisse X et du coup d'ordonner sinus de X et qu'on se décale de H bah la nouvelle ordonnée vaut donc sinus de X + H et ben là on peut pas faire grand chose si on développe en utilisant les formules on a que signe de X + H c'est signe de X cosh plus signe de H COS X et là on peut pas trop s'en sortir si on connaît pas les limites classiques

de trigo mais il y a en réalité une autre façon de voir la dérivée c'est le point de vue géométrique alors qui dit trigo dit certes trigo on va faire apparaître DX et dessine de X dans le cercle trigo regardons un angle X dans ce cercle on trouve donc ici le sinus de X donc on veut faire apparaître DX et dessine de X ça veut dire qu'on va se décaler un tout petit peu et on fait encore un zoom pour y voir quelque chose on a donc ici DX et ici des signes de X et

il y a ce triangle qui apparaît et bien il y a un truc assez joli cette triangle sont semblables autrement dit on retrouve ici l'angle x si vous n'êtes pas convaincu prenez un papier un crayon c'est assez simple à montrer donc on va virer le reste et s'intéresser uniquement à ce nouveau triangle il est rectangle donc on peut écrire les égalités de trigo par rapport à cet angle donc nous on a le côté adjacent et l'hypoténuse c'est donc le cosinus qui nous intéresse donc finalement cosinus de X c'est dessine de X sur DX et ça

c'est exactement la notation de lightniss pour nous dire que la dérivée de sinus c'est le cosinus c'est plutôt cool non dans tout ça la méthode de Newton est un peu plus analytique et elle est basée sur les fluctures il n'avait pas publié par peur de se faire un peu lyncher par ses confrères et vous allez voir pourquoi en gros il fait varier les antécédents d'une fonction et donc les images aussi et essaye de mesurer ces variations cette méthode donne le même résultat donc vous verrez elle est très proche de celle qu'on a vu tout à

l'heure regardons là directement dans un exemple pour la fonction carré Newton note la fonction y = x^2 à l'époque la notion FX n'existait pas donc si on prend taux à l'intervalle de temps infiniment petit une variation de y est notée y plus y point taux et une variation de X et noter x + x.to donc y plus y pointeau est égal à x² + 2 x x pointeau plus x point taux au carré en soustrayant y = x² on a ça puis en divisant par taux ça donne y point est égal à 2 x x

point plus x Point Carré taux il considère alors que comme taux est infiniment petit il peut négliger les termes avec taux dedans il trouve alors que y point est égal à 2 x point et c'est simplement une autre façon écrire dy = 2 x DX est-ce qu'il a freiné pour publier c'est le fait d'avoir négligé ces termes c'était selon lui par rigoureux et donc pas mathématiquement correct comme vous avez pu le comprendre les concepts de dérivation introduits par Newton et lightnite sont sensiblement les mêmes et ce reparler de la dérivée d'une fonction définie par y

= FX lightnite dy sur DX cette notation est très utile lorsqu'on dérive une fonction à plusieurs variables Newton notait y point cette notation est encore utilisée en physique et la notation qu'on connaît tous c'est f'x ou y prime qu'on doit à Lagrange et c'est généralement celle qu'on utilise en maths quand il y a aucune ambiguïté sur la variable de dérivation alors maintenant qu'on en sait un peu plus sur la dérivation regardons ce qui se passe quand une fonction n'est pas dérivable regardons la fonction valeur absolue la définition rigoureuse et la suivante valeur absolue de X

= √x² en gros cette fonction rend un nombre positif s'il n'est pas déjà et ça courbe ressemble à ça on voit qu'il y a clairement deux demi droite journée du côté droit à la dérivée vaut 1 et du côté gauche ça vaut - 1 si vous voyez pas d'où ça sort je vous laisse mettre pause et faire quelques calculs rapidement et le problème va se situer en 0 si on s'approche de 0 par là on a une pente de -1 et si on s'approche par là on a une pente de 1 cette double valeur fait

que la fonction n'est pas dérivable en 0 d'ailleurs petit aparté cette fonction est un exemple très simple qu'une fonction continue n'est pas forcément dérivable et alors je pouvais pas se faire cette vidéo sans vous parler de cette fonction FX = la somme pour k en de 0 à l'infini de a puissance k cause de B puissance ki x alors cette fonction ou plutôt cette famille de fonction est moche on va pas se mentir et ça courbe est encore plus ou alors sa courbe est magnifique il y a deux façons de voir la chose cette fonction

on la doit à weyerstrasse et voici à quoi elle ressemble alors d'après vous qu'est-ce qui en fait une fonction si particulière je vais zoomer pour vous donner un indice alors je suis sûr que certains d'entre vous l'ont compris elle est continue et nulle part dérivable comme pour la fonction valeur absolue qu'on vient de voir cette fonction a un souci avec sa tangente potentielle mais pas seulement en un point c'est partout on peut voir ça comme une sorte de fractale c'est-à-dire un motif qui se répète à l'infini je sais pas vous mais moi je trouve ça

fascinant bref on va se quitter là dessus si ça vous a plu je compte sur vous pour vous abonner mettre un like et comme d'habitude je vous souhaite le meilleur et je vous dis à la prochaine