Sucessões 11.º Ano - Sucessão Limitada

bom vou então resolver esta a linha B sem recorrer à linha a eh eu já resolvi este exercício num outro vídeo onde verifiquei primeira monotonia da solução e depois Aproveitei esse resultado para mostrar que era limitada e agora vou resolver a linha B como se não tivesse feito ainda a a linha a eh Porque isso pode não ser necessário OK bom eh o que devemos fazer é isto temos esta sução queremos mostrar que ela é limitada Vamos tentar escrever esta portanto 2n - 1 sobre n + 1 naquela forma mais simpática em que conseguimos depois

fazer um enquadramento E então provar que ela é limitada encontrando um minorante ou majorante para isso fazemos aqui a divisão 2n - 1 a dividir por n + 1 Portanto o valor que tem que colocar aqui para multiplicado por n dar 2n é o 2 2 x n 2n fica aqui - 2n 2 x 1 2 - 2 aqui fazemos a -1 - 2 dá e portanto -3 bom então esta fração pode escrever-se da seguinte forma fica sempre o quociente mais o resto que é -3 a dividir pelo divisor n + 1 Ok bom e

agora fazemos aqui a simplificação dos sinais mais por menos vai dar menos podemos então escrever desta forma 2 - 3 sobre n + 1 bom porque é que é mais simpático escrever desta forma para verificarmos se é limitada porque agora podemos fazer aqui um enquadramento que nos permite facilmente encontrar o majorante e minorante Eh vamos vamos fazer esse enquadramento Então reparem pegando aqui nesta sucessão 3 so n + 1 quando nós temos aqui uma constante no numerador É fácil tirar estas conclusões reparem 3 sobre n + 1 nós sabemos logo uma coisa a partida muito

fácil de concluir é maior do que Zero é maior do que zero porque o numerador é positivo o denominador também é positivo porque n é um número natural n + 1 é positivo então é superior a zero de certeza ou seja 0 é menor do que 3 so n + 1 e depois temos também o seguinte nós temos também aqui e um majorante para esta solução 3 so n + 1 Porque reparem como o numerador é constante e e Se nós formos obtendo termos para esta sucessão dando aqui valores a n o denominador vai aumentar

vai aumentar cada vez mais quando nós mantemos o numerador constante e aumentamos o denominador numa frase a fração vai ficar cada vez menor ou seja esta solução que aqui está é decrescente os termos dela estão sempre a diminuir porque nós aumentamos o denominador então a fração vai assumir valores mais pequenos bom então nós temos a certeza que o primeiro termo desta suão ou seja substituindo aqui o n por 1 vai dar 3 so 1 + 1 ou seja 3 sobre 2 3 so 2 e aqui vamos colocar um igual porque é o primeiro termo nós

substituímos o n por 1 e deu 3/2 Pode ser então igual a sução pode assumir aqui este valor mas nós temos a certeza que qualquer termo desta solução é então menor ou igual a 3 so 2 porque verificamos que ela e não é preciso justificar isso basta observar e perceberem que realmente esta fração para cada vez que aumentamos o valor de n ela assume valores sempre cada vez menores Ok bom isto acontece então para todo o n pertencente a n bem como isto acontece nós agora facilmente obtemos a nossa são vamos construindo ou seja primeiro

tenho aqui este menos vou então multiplicar em todos os membros destas duas inequações por -1 e atenção temos que trocar o sinal ok vou então multiplicar por -1 fica -3 n + 1 vou aqui trocar o sinal fica aqui -3 so 2 troco também aqui o sinal aqui fica z0 zero porque 0 x -1 continua a dar 0 não é reparem troco o sinal das inequações vocês têm por exemplo 2 é menor do que 3 e se eu multiplicar ambos os membros desta desigualdade por -1 fica -2 mai que -3 só faz sentido quando eu

multiplico ou divido por números negativos tenho de trocar e o sinal da inequação Ok eh Por esta razão bom e agora o que é que falta fazer para obter então a solução udan que é o que eu pretendo estudar aqui adicionar dois Em ambos os membros em todos os membros destas duas inequações nós temos aqui duas inequações não é então fica do mais H bom eh mais não menos peço desculpa eu vou adicionar dois Ok eu tenho lá vou escrever até primeiro o que eu já lá tenho o que eu tenho é -3 sobre n

+ 1 então agora vou adicionar duas unidades mais do Este mais é não não é necessário estar a escrevê-lo Ok eh o menos já lá estava não é e adiciono então duas unidades reparem que eu podia escrever o + 2 deste lado podia ficar -3 so n + 1 + 2 em vez de escrever deste lado Ok mas é só para ficar com este aspeto já eh que a sução aqui tem bom e agora tenho de adicionar duas unidades nos outros membros portanto 2 mais ou seja mais menos 3 so 2 e aqui fica 2

+ 0 bom e agora reparem aqui já temos a nossa solução o n o n maior ou igual que aqui vou fazer as contas or aqui está 2 so 1 iG denominador 2 x 2 4 4 - 3 1 fica 1 so 2 e aqui vai dar 2 mais zer dá dois bom e isto acontece para todo o n pertencente a n logo eu tenho aqui um minorante tenho aqui minorante não peço desculpa Isto é majorante reparem que os sinais da da inequação estão ao contrário Ok Este é o majorante eu até até vou fazer

aqui um vou fazer aqui uma pequena alteração para não haver enganos nestas situações por distração não é reparem que temos os sinais aqui de maior e maior ou igual eu podia fazer isto o di n eh menor ou igual que 1/2 menor que dois Ok isto porque estamos mais habituados a ver a situação escrita desta forma mas isso é é igual bom este é o minorante ok minorante e aqui temos o majorante o majorante é dois então se temos manor minorante e se temos majorante então é limitada OK logo o di é limitada é liada

Então porque temos minorante porque temos majorante