Ciao ragazzi benvenuti a un video di probabilità oggi parliamo del teorema di base diamo la spiegazione teorica per applichiamo in un esercizio Allora innanzitutto quando serve il teorema di base Perché è così importante allora il teorema di base ci serve ogni qualvolta abbiamo delle relazioni causa effetto quindi quando siamo interessati a calcolare la probabilità che una specifica causa abbia prodotto un certo evento Ok che chiamiamo effetto ora succede che possono esserci più cause che concorrono sempre al verificarsi di quell'evento ed è qui che entra il gioco il teorema di base ok perché ci permette di
considerare e quindi di ponderare di fare la media ponderata su tutte le possibili cause Ok allora Innanzitutto vediamo il teorema di base quello che ci dice dato uno spazio di probabilità siano a con una con M una collezione di eventi di a a due a due incompatibili questo che cosa significa che se noi abbiamo lo spazio degli eventi che chiamiamo omega e lo posso partizionare cioè suddividere in insiemi che chiamo a 1 2 3 fino a con n tali che a due a due sono incompatibili o equivale a dire disgiunti cioè la loro intersezione è
vuota ok però sono tali che la loro Unione costituisce tutto Omega Ok allora siamo nell'ipotesi del teorema di base e ci dice che se vogliamo calcolare la novità che ha con k sia la causa per l'effetto B e questa proprietà si legge p di AK sapendo B oppure proprietà di acqua con cappa dato B ok La linea verticale la potete leggere o sapendo o dato B quindi stiamo calcolando La proprietà che la l'evento a con k sia stato la causa dell'evento B Ok che quello che chiama effetto quindi B è quello che Io osservo il
fatto che io sto condizionando su B vuol dire che io ho osservato B quindi c'ho un evento c'è un effetto e mi dico qual è la probabilità che sia stato proprio a conk ad averlo causato allora attraverso proprietà condizionata possiamo scriverci questa novità nel seguente modo la proprietà di applek intersecato B su pdb ora al numeratore sempre per la proprietà condizionata come ce lo possiamo scrivere come la proprietà condizionano questa volta su AK e ce lo scriviamo come la proprietà di B sapendo a con k per la proprietà di acqua con k fratto quello che
si chiama teorema della proprietà totale cioè qui andiamo a fare proprio la media ponderata sul fatto che le cause Le possibili cause sono n cause Ok sono vanno da 1 ad n le possibilità o se poi sopra abbiamo a concapa specifico Ma sotto Dobbiamo considerare che B può essere stato prodotto da più cause ok Quindi abbiamo considerare tutte le unità condizionate su aconi quindi la qualità che di B sapendo a conì per la proprietà di aconi tutto sommandolo per il che va da 1 ad n Ok adesso lo vediamo subito in pratica con un esercizio
perché è molto molto semplice Allora il problema è il seguente ed è tratto dal quesito numero 8 della maturità scientifica del 2012 della sezione pni e dice la seguente cosa un'azienda industriale possiede tre stabilimenti AB e c nello stabilimento assiproduci La metà dei pezzi e di questi il 10% sono difettosi nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi e il 7% sono difettosi nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti e il 5% sono difettosi sapendo che un pezzo è difettoso con quale probabilità con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento a ora per risolvere
i problemi dove interviene il teorema di base si procede con un diagramma ad albero perché è molto molto semplice poi dopo applicare la risoluzione applicare il teorema Allora innanzitutto Consideriamo che il testo ci sta dicendo sapendo che un pezzo difettoso cioè sappiamo che è un pezzo che io estratto è difettoso questo con quale proprietà è un difettoso che ha prodotto Lo stabilimento a Allora ragioniamo il fatto che i difettosi non li produce solo acqua possono essere prodotti anche da B e da C quindi ne abbiamo tre cause per lo stesso effetto cioè il fatto che
vediamo che il pezzo è difettoso allora cominciamo strutturando il grafico in questo modo sappiamo che gli stabilimenti sono A B e C Ognuno di questi produrrà pezzi difettosi e i rimanenti sarà funzionanti ora i pezzi vengono affidati ad A B e C con una certa percentuale Quindi con una certa probabilità Infatti lo stabilimento ha produce la metà dei pezzi quindi il 50% che possiamo scrivere come un mezzo a produce dei suoi pezzi quelli che produce lui il 10% sono difettosi quindi 10 per cento lo traduciamo 0,1 o anche un decimo Come volete voi adesso il
rimanente che lui produrrà quindi lo 0,9 sarà funzionante Andiamo allo stabilimento B a cui è affidato un terzo dei pezzi quindi con proprietà un terzo un pezzo è stato prodotto da B adesso B produce il 7% dei difettosi quindi vuol dire con una proprietà pari a 0,07 il pezzo prodotto da B sarà difettoso e con la proprietà complementari invece sarà funzionante quindi pari a 0,93 e infine c a cui sono affidati i pezzi rimanenti quindi dobbiamo calcolarci Quanto vale la proprietà su questo ramo produce il 5% dei difettosi quindi ci produrrà con una proprietà pari
a 0,05 un pezzo difettoso ma con una proprietà pari al 95 0.95 un pezzo funzionante ok Questa è la struttura del diagramma ad albero scriviamoci che cosa si chiede il testo ci dice di calcolare la probabilità che osservando con pezzo e difettoso quindi sapendo quindi è ciò che so quindi va a destra sapendo che è difettoso quindi ho osservato che un pezzo e difettoso con quale probabilità questo è stato prodotto dallo stabilimento a quindi è stato un difettoso prodotto da ammetto appartenente ad ok Questo è quello che ci sta chiedendo il testo adesso per per
comodità indicizzo i difettosi di a come di con a i difettosi di b come di con b e difettosi di C come di con C ok ora calcoliamoci prima la proprietà che il pezzo sia prodotto dallo stabilimento C e poi andiamo applicare il teorema di base allora Dobbiamo considerare sempre che in un imparabilità la somma delle proprietà di tutti gli eventi deve sempre dare uno Quindi se ho il totale dei pezzi e questi vengono distribuiti vengono dati affidati a tre diversi stabilimenti la probabilità poi con la quale vengono affidati a questi stabilimenti di A B
e C deve essere sempre pari a 1 quindi vuol dire che un mezzo più un terzo più questa qui che stiamo cercando che la chiamo X deve fare 1 quindi X sarà pari a 1 meno un mezzo meno un terzo facciamo il minimo comune multiplo E otteniamo quindi che X sarà Pari a un sesto ok Quindi adesso un sesto è quello che vado a scrivere qua sul ramo a questo punto siamo in grado di calcolare la proprietà che richiede il testo per far questo chiamo a b c e b i seguenti eventi l'evento a indica
che il pezzo è stato prodotto da evento B che il pezzo è stato prodotto dallo stabilimento b c è l'evento che il pezzo è stato prodotto dallo stabilimento c e di indica che il pezzo estratto risulta essere difettoso andiamo a calcolare questa probabilità quindi riscrivo quello che abbiamo scritto proprietà che il difettoso sia prodotto da a sapendo che il pezzo è difettoso Questo è quello che chiede il testo e adesso questa proprietà ce lo andiamo a scrivere applicando il teorema di base cioè la rapidità che il pezzo sia difettoso sapendo che il pezzo è stato
prodotto da Quindi metto P DB sapendo a per PDA ok tutto fratto La proprietà che il pezzo sia difettoso questa al denominatore è quella che doveva andare a calcolare attraverso il teorema della proprietà totale perché i difettosi non solo Vengono prodotti da ma anche da B e da C Quindi quello che facciamo è calcoliamo da prima il denominatore PD difettoso andiamo proprio a scrivere quello che abbiamo detto se è stato il a a produrre il difettoso questo sarà uguale a la priorità del difettoso sapendo che sapendo a che la prodotto a per la proprietà di
a più nel caso in cui l'abbia prodotto B dovremo fare proprietà l'ID sapendo B per la proprietà DB più più la proprietà di B sapendo C per la proprietà DC cioè la probabilità di avere un difettoso sapendo la stabilimento che l'ha prodotto per la priorità che sia stato quel quello stabilimento a produrre il pezzo ok Quindi a questo punto per ogni probabilità vi faccio vedere che corrisponde a osservare il diagramma ad albero che abbiamo fatto comincio con il primo la proprietà di B sapendo a per PDA Allora vado al diagramma ad albero PD a Che
significa proprietà che lo stabilimento che ha prodotto il pezzo è a quindi è questo ramo qui La proprietà che sia a ad aver prodotto il difettoso è questa qui è 0,1 Quindi per la prima parte dobbiamo semplicemente per le prime due probabilità dobbiamo semplicemente moltiplicare le proprietà che stanno lungo i rami quindi la probabilità che il difettoso è stato prodotto da a è pari a 0,1 per un mezzo Ok lo scrivo qua sotto 0,1 per un mezzo più adesso vi cambio colore andiamo a preoccuparci dello stabilimento B la proprietà di di sapendo B per la
proprietà di B vuol dire la proprietà che il difettoso sia stato prodotto da B per la proprietà che quel pezzo l'abbia prodotto lo stabilimento B Ma noi sappiamo con quale probabilità di produce pezzi che parlino un terzo Ora la proprietà che B produca difettosi e pari a 0,07 Quindi sarà 0,07 per un terzo lo vado a scrivere qua sotto più infine la probabilità che sia stato c a produrre il pezzo difettoso quindi andiamo lungo i rami di C la probabilità che sia stato c a produrre il pezzo per la verità che ci produca pezzi difettosi
Quindi abbiamo 0,05 per un sesto Quindi andate a moltiplicare lungo i rami ok E adesso Questa è la probabilità di tutto il denominatore ora le preferisco scrivere tutto in frazioni quindi 0,1 lo scrivo come 10 centesimi per un mezzo più 7 centesimi per un terzo più 5 centesimi per un sesto e adesso andiamo a moltiplicare quindi per facilità io scrivo tutto così e poi vado a semplificare Quindi 5 su 600 minimo comune multiplo e abbiamo 3 per 10 30 più 2 per 7 14 + 5 quindi abbiamo 49 su 600 questo è la probabilità di
difettoso Ok quindi proprietà che sta al denominatore per quanto riguarda il numeratore se osservate bene esattamente Il Ramo Verde ok perché PD difettoso sapendo a quindi che è stato a produrre il difettoso per la proprietà che ha produca pezzi difettosi è proprio 0,1 per un mezzo tutto fratto La proprietà che abbiamo appena calcolato quindi 49 su 600 possiamo quindi scrivere il risultato ora al numeratore abbiamo 10 centesimi per un mezzo e poi siccome frazioni di frazione si ribalta il denominatore e a questo punto otteniamo quindi che la probabilità cercata è pari a 5 6 per
5 30 30 49esimi e questo è il risultato Infatti dell'esercizio la lezione quindi è terminata io vi lascio qualche link in descrizione Se volete approfondire l'argomento alla prossima
