neben der knotenspannungsanalyse gibt es nach ein zweites wichtiges Verfahren zur Netzwerkanalyse das ist die maschenstromanalyse und mit dieser maschenstromanalyse beschäftigen wir uns im Kapitel 6.4 und Sie werden feststellen strukturell ähnelt die maschenstromanalyse der knotenspannungsanalyse sehr bloß dass wir jetzt hier keine knotengleichungen aufstellen sondern maschengleichungen und dass wir eben keine Knoten Spannungen betrachten als die Größen im Netzwerk die wir suchen sondern entsprechend maschenströme und was diese maschenströme sind das müssen wir zunächst einmal klären also maschenströme sind umlaufströme in unabhängigen Maschen das heißt in einem ersten Schritt brauche ich erst einmal ein System unabhängiger Maschen in meinem
Netzwerk und in den vorangegangenen Kapiteln hatten wir dafür Verfahren gezeigt also es gibt dort die fenstermaschen mit Tode die Methode des vollständigen Baumes oder die auftrennmethode die mir alle das System unabhängiger Maschen liefern und wenn ich jetzt meine m unabhängigen Maschen gefunden habe dann kann ich mir umlaufströme in diesen Maschen definieren und das sind meine sogenannten maschenströme wir können uns das noch mal für das Beispiel was wir hier die ganze Zeit schon betrachten einmal anschauen also das ist ja diese Schaltung die wir im Kapitel 6.2 eingeführt hatten ihr sehen Sie die Knoten und diesen Netzwerk
rot dargestellt und die zwei Ströme sind hier entsprechend mal benannt ich wähle jetzt hier also ein System unabhängiger Maschen das sind entsprechend drei Maschen die ich auswählen muss und ich mache es mir jetzt einfach ich wähle die fenstermaschenmethode und dann sehen Sie hier diese drei fensterartig nebeneinander liegenden Maschen und in diesen Maschen definiere ich mir jetzt jeweils einen umlaufstrom i1 i2 und i3 der in diesen Maschen fließt diese Richtungen die umlaufrichtungen dieser Masche strömen die können beliebig gewählt werden es bietet sich aber an alle maschenströme mit derselben umlaufrichtung zu versehen das erleichtert später die Analyse
und wird dann auch hinsichtlich der vorzeichnen kleines bisschen systematischer Ziel wird jetzt also sein diese maschenströme diese umlaufströme zu bestimmen denn wenn ich diese maschenströme kenne kann ich alle anderen zweigströme im Netzwerk durch diese maschenströme ausdrücken und das können wir uns jetzt hier mal anschauen ich sehe zum Beispiel dass der zweigstrom iz1 diesem umlaufstrom i1 gerade entgegengerichtet ist das heißt die Z1 ist also -1 ähnlich kann man Vorfahren bei ez3 der ist in die gleiche Richtung wie die zwei definiert also geht die Z3 ist gleich Gamaschen Strom i2 und der zweigstrom iz6 ist ebenfalls die
gleiche Richtung wie i3 definiert das heißt iz6 ist gleich i3 ein wenig komplizierter ist es bei diesen Zweigen die verschiedene Maschen miteinander verbinden also zum Beispiel der zweigstrom iz2 hier muss ich ein überlagerungssatz anwenden und ich sehe dass der maschenstrom i1 einen Anteil an die zwei liefert und der maschenstrom i2 dem 2 Strom iz2 genau entgegengerichtet ist das heißt mein zweitsprung iz2 ist also plus i1 - i2 und das habe ich ihn jetzt hier für alle 62 Ströme einmal zusammengetragen also noch mal als Wiederholung iz1 ist -1 weiß der maschenstrom gerade entgegengerichtet ist und iz2
ist also die arithmetische Summe aus i1 und dem entgegengerichtet - I und das ist eine schöne Sache das heißt wenn Sie jetzt diese drei maschenströme in diesem Netzwerk bestimmt haben können wir alle weiteren zwei Ströme relativ schnell und einfach bestimmt und daraus ergibt sich ein Algorithmus zur maschenstromanalyse auch hier gibt es wieder eine Voraussetzung nämlich dass sich die UI Relationen diesmal nach den zweigspannungen auflösen lassen also meine zweigspannung muss eine Funktion der Zweigstelle zwei Stromes sein das ist nicht der Fall für ideale Stromquellen wie man damit umgehen kann können wir später noch einmal anschauen und
wenn diese Voraussetzung erfüllt ist dann können wir also von Algorithmus anwenden wir wählen uns wie bereits angedeutet also m unabhängige Maschen und führen wie gerade gezeigt die maschenströme ein danach stellen wir die Maschen Gleichungen auf und ersetzen dort die zweigströme durch maschenströme dann erhalten wir ein Gleichungssystem aus M Gleichungen für diese maschenströme und dieses Gleichungssystem können wir lösen und wenn wir dann die maschenströme bestimmt haben können wir im letzten Schritt alle gesuchten Größen aus diesen maschenströmen identifizieren und auch hier gibt es noch eine Hilfestellung die können Sie anwenden wenn Sie gerne mögen es ist nicht
jedermanns Sache sie können also Stromquellen mit einem Parallelwiderstand transformieren in eine äquivalente spannungsquellenersatzschaltung das heißt in einer Spannungsquelle mit einem reinwiderstand und im folgenden Beispiel wurde diese Transformation angewendet das heißt wir betrachten wieder unser wohlbekanntes Netzwerk was wir im Kapitel 6.2 eingeführt hatten und hier wurde jetzt also auf der rechten Seite beim zweiten Nummer 3 eine quellentransformation vorgenommen die Stromquelle mit diesem Parallelwiderstand R3 wurde jetzt hier transformiert in eine Spannungsquelle mit einem rein Widerstand R3 zweigströme sind entsprechend schon mal eingezeichnet und jetzt können wir hier loslegen zunächst wählen wir das System unabhängige Maschen also mit
der fenstermaschen Methode so wie wir das jetzt hier fensterartig angeordnet sehen führen dort die maschenströme ein mit dem Umlauf sind und drücken alle zweigströme durch die maschenströme aus das hatten wir gerade eben der vorangegangenen Folie schon gemacht hier als Wiederholung ist es noch mal geschrieben ja und jetzt müssen wir hingehen und für jede dieser Maschen einen maschensatz aufstellen und dabei die zweigströme durch die maschenströme ersetzen und das machen wir jetzt hier einmal schriftlich das heißt wir stellen für unser Beispiel die Maschen Gleichungen auf also das ist jetzt Anwendung auf Beispiel aus Kapitel und wir stellen
zunächst unsere m aschengleichungen auf die maschengleichung für die Masche Nummer 1 also schauen wir da noch mal drauf im Netzwerk ich beginne hier bei dem Widerstand R1 im Umlauf sind der Masche ist das Spannungsabfall über R1 der maschenstrom i1 multipliziert mit R1 und dann kommt der zweigstrom iz4 multipliziert mit R4 und iz4 ist i1-3 können wir schon mal aufschreiben also i1 mal R1 plus iz4 das war i1 - i3 mal R4 so und dann haben wir den Spannungsabfall über R2 das ist der zweigstrom iz2 mal R2 und iz2 ist i1- i2 also die 1 -
2 multipliziert mit dem Widerstand R2 und als letztes schließen wir die Masche mit dem Spannungsabfall her rühren von der unabhängigen Spannungsquelle das ist also - IQ im Umlauf Center Masche ist gleich 0 und so verfahren wir jetzt mit diesen anderen beiden Maschen Gleichungen ebenfalls betrachten wir die Masche 2 das Spannungsabfall über dem Widerstand R2 ist jetzt im umlaufcentermasche Minus iz2 mal R2 das heißt iz2 ist ja i1 - i2 und das mit negativen Vorzeichen multipliziert ist also dann 2 - i1 mal R2 plus der Spannungsabfall über R5 ist iz5 mal R5 und iz5si2-3 also i2
minus i3 mal R5 plus ja und dann haben wir nach zwei Spannungsabfälle in dem Zweige auf der rechten Seite der Spannungsabfall über R3 ist iz3 mal R3 und die Z3 ist gleich die 2 also i2 mal R3 plus IQ mal R3 und das ist null und als letztes dritte maschengleichung ich beginne hier bei dem Spannungsabfall über R4 im Uhrzeigersinn ist das Spannungsabfall über R4 minus iz4 mal R4 und iz4 ist hier ihr 1 - i3 also die 3 - i1 mal R4 plus der Spannungsabfall über R6 im Uhrzeigersinn ist iz6 mal R6 und iz6 ist
der maschenstrom i3 manchen Strom 3 mal R 6 und als letztes der Spannungsabfall über R5 im Uhrzeigersinn ist - iz5 mal R5 und die Z5 ist die 2-3 also plus 3 minus i2 mal R5 und das ist null so und jetzt ist das Problem quasi aus elektrotechnischer Sicht wieder gelöst aber das lassen wir so nicht stehen wir ordnen die Gleichungen nach den maschenströmen und erhalten dann unser Gleichungssystem wie folgt die erste Gleichung sieht so aus ich klammere jetzt hier die Summe der Widerstände aus also R1 plus R2 plus R4 mal i1 - R2 mal die
zwei minus R4 mal i3 ist gleich null Entschuldigung zweite Gleichung - R2 mal i1 plus die Summe aus R2 plus R3 plus R5 mal 2 - R5 mal 3 ist gleich minus R3 mal IQ und die dritte Gleichung - R4 mal i1 minus R5 mal i2 plus die Summe der Widerstände R4 plus R5 plus R6 mal i3 ist gleich null und damit haben wir jetzt also das Gleichungssystem aus drei Gleichungen für die drei Unbekannten maschenströme die 1 i2 und i3 das können wir lösen mit Hilfe der Verfahren der Mathematik und abschließend möchte ich noch mal
einen Blick auf die zugehörige Folie werfen ich kann dieses Gleichungssystem auch wieder Matrix Schreibweise noch einmal aufschreiben ähnlich zum Verfahren bei der knotenspannungsanalyse und dann erhalte ich hier folgendes Gleichungssystem hier vorne ist eine Matrix mit den Einträgen das sind alles wiedererstandswerte und da sehen sie in der Hauptdiagonale sind Summen von Widerständen und das sind all jene so jene Widerstände die entsprechend in der jeweiligen Masche mit der Nummer dieses hauptdiagonalelementes zu finden sind also hier das erste Element der Hauptdiagonale enthält die Summe aller Widerstände in der Masche 1 R1 plus R4 plus R2 das hauptdiagonal Element
Nummer 2 enthält die Summe der Widerstände in der Masche 2 R2 Plus r3+5 und so weiter in den nebendiagonalelementen sehen Sie jetzt die Summe der Widerstände mit negativen Vorzeichen die die entsprechenden Maschen miteinander verbinden hier das nebendiagonalelement 1.2 verbindet die Masche 1 mit der Masche 2 und das ist strukturell also dieser Widerstand R2 das ganze mit negativen Vorzeichen verbunden auch diese Matrix ist hier wieder symmetrisch wie auch die Knoten leitwertmatrix und diese Widerstände oder die Summe dieser Bitte Stelle kann man also jetzt hier auch wieder systematisch ablesen sowie bei der Knoten Spannungsanalyse aber auch hier
würde ich ihnen das nicht empfehlen da so das versagt sobald sie ein Netzwerk mit einer gestörten Quelle haben aber auch hier man sieht das Gleichungssystem wieder händisch durch die maschengleichungen aufstellen dann überprüfen Sie doch ihr Ergebnis mal indem sie also noch mal checken ist hier die Summe der Widerständen in den Hauptdiagonalen oder den diagonalen irgendwie schlüssig auf der rechten Seite finden Sie ein Vektor mit Spannungen das sind die unabhängigen quellspannungen die sich in der jeweiligen Masche befinden aber mit negativen Vorzeichen also hier im ersten Element finden Sie im Umlauf sind der Masche die quellspannung minus
uq und das ganze mit negativen Vorzeichen von 10 ist dann also Plus uco und hier in der zweiten Masche finden Sie im Umlaufsinn die quellspannung IQ mehr R3 das mit negativen Vorzeichen versehen finden Sie hier das heißt wir erhalten hier ein Gleichungssystem Matrix mit Widerständen die sogenannte Maschen impedanzmatrix oder maschenwiderstandsmatrix multipliziert mit dem Vektor der knurr der maschenströme ist gleich ein Vektor mit unabhängigen Spannungsquellen
