Como Ler Livros Difíceis (e não desistir)

deixa aí nos comentários se isso já aconteceu com você você pega um artigo de matemática ou um livro e quando você começa a foliar você vai se perguntando como é que eu vou entender tudo isso geralmente acontece comigo nas primeiras duas páginas eu já tô me perguntando por que eu escolhi essa tortura como minha profissão e toda aquela ambição que a gente tem de aprender matemática avançada ela começa a desaparecer à medida que a gente vai tomando consciência da nossa imbecilidade e para ser sincero Esse é um sentimento bem ruim para mim Eu imagino que

seja um sentimento bem ruim para você também mas como é que a gente supera isso bom eu não tô nem perto de ter a experiência que grandes matemáticos têm que possam talvez dar um conselho para você melhor do que o meu mas eu acho que eu encontrei uma maneira de estudar que vai não só garantir com que você entenda livros difíceis mas também vai te ajudar a ver além do que tá escrito no livro sabe quando você conhece aquele aquela pessoa que parece que o conhecimento dela de álgebra linear vai AL al do que tá

escrito no livro ou do que o professor disse na aula Pois é e se esse método não fizer você gostar nem um pouquinho a mais de Matemática Então eu não sei o que vai antes da gente começar o vídeo com tudo é importante a gente fazer um disclaimer se você tá estudando para vestibulares Olimpíadas de Matemática ou exames militares esse vídeo não é para você nesse vídeo eu vou falar sobre estudos mas para uma pessoa que tá fazendo baixar olada em física baixar olada em matemática talvez Engenharia você tem que entender que o nosso jogo

é diferente o seu objetivo é resolver o máximo de questões de matemática no menor curto período de tempo possível Já o nosso objetivo é estudar aquilo como algo científico e usar as coisas que a gente aprende da teoria para aplicar na nossa área de atuação ou na nossa pesquisa então são objetivos diferentes mas mesmo assim eu Convido você a assistir o vídeo até o final tenho certeza que você vai encontrar alguma coisa valiosa aqui ã e antes de falar as três coisas que vão nos ajudar a entender livros difíceis de matemática é a resposta para

isso é a mesma de sempre não existe fórmula Milagrosa você precisa sentar e estudar e repetir aquilo várias vezes e estudar aquele livro por várias vezes por várias horas só assim você vai entender o livro difícil as três coisas que eu vou falar nesse vídeo elas vão ajudar você a fazer isso talvez de uma maneira mais rápida mais prática e menos dolorosa Então vamos lá a primeira coisa é não Adi tenta tentar fazer algo grandioso sabe quando você tem um fluido não newtoniano que se você der um soco muito forte naquele fluido ele é duro

como uma pedra mas se você coloca sua mão lentamente ele se comporta como um líquido então estudar um livro difícil é a mesma ideia se você sentar para estudar com a ideia de fazer um ato grandioso e ah eu vou estudar todo o capítulo de sequências de funções do Elon em uma tarde eu vou resolver todos os 56 exercícios daquele Capítulo não vai dar certo Você tá só se preparando para falhar ao invés disso seria melhor você permitir com que o seu cérebro de uma maneira muito mais suave comece a estudar aquele assunto sem grandes

pretensões como você faz isso bem Pega uma folha de papel pega o livro no caso aqui o meu não é do Elon né Tem esse outro livro aqui e você deixa o livro de lado por enquanto não precisa do livro você pega a folha de papel e uma caneta e você começa a escrever tudo que você sabe sabe sobre aquele assunto então começa lá sei lá tá estudando sequência de funções então descreve a definição de uma sequência de função descreve a definição da primeira convergência que você conhece convergência ponto a ponto escreve lá a definição

da convergência uniforme lembra que existe aquela proposição que toda sequência que converge uniformemente converge o ponto a ponto vê se você consegue lembrar da demonstração e você vai escrevendo tudo que você sabe por que que essa é uma maneira muito mais fácil de começar a estudar porque fazendo assim você não vai começar diretamente na teoria crua você vai fazer algo que tá muito mais sobre seu controle quer ver o que o seu cérebro já sabe sobre aquele assunto e é dessa maneira obviamente vai chegar um ponto em que você não vai saber mais nada ou

vai ter algum buraco no seu conhecimento e aí sim você convida o livro para participar daquela história e você abre o livro e vê o que que tava faltando no seu conhecimento e dessa maneira você começou a estudar de uma maneira muito mais simples sem fazer aquele grande objetivo de estudar por 5 horas sem parar embora seja possível mas eu não acho que é a melhor maneira de você começar uma sessão de estudos essa é a primeira dica então não tente fazer algo grandioso segunda dica essa a gente vai demorar um pouquinho mais nela porque

ela é um pouco meio estranha eh não tente entender o que o autor escreveu não tente entender o que o autor escreveu por quê Bom deixa eu dar um exemplo para vocês aqui eu tenho aqui o livro do fand que é um livro de análise real mas não análise real que você talvez esteja acostumado que é aquela da gradução é uma análise real um pouco mais avançada e aqui a gente tem o capítulo de espaços métricos e o que quer dizer não tente entender o que o autor escreveu ah você pode começar estudando o capítulo

de espaços métricos fazendo assim o que é uma métrica você lê a definição ele te deu quatro exemplos de métrica você lê os quatro exemplos depois ele fala mais algumas coisinhas sobre espaços métricos logo depois você tem uma proposição você lê a proposição lê a demonstração não entende muito bem lê a próxima entende menos ainda a próxima pode esquecer tem um teorema fala um monte de nome de matemático difícil você não entende nada daquela demonstração e acabou e você passou aquele Capítulo sem entender nada porque você tentou entender o que o autor escreveu e sabe

quando as pessoas dizem ah você tem que estudar matemática de uma maneira ativa e Isso é o que elas estão dizendo para você não fazer que é sair lendo e tentando entender o que o autor escreveu vou mostrar para você agora o que é estudar matemática de maneira ativa vamos supor que eu tenho que estudar esse capítulo aqui de espaços métricos ele começa dizendo o que é uma métrica uma métrica num conjunto X é uma função que leva do X produto cartesiano com X em zero infinito tal que essas três propriedades são satisfeitas nesse momento

eu já posso fechar o livro colocar ele de lado e eu vou dizer Ok então ele ele disse para mim que uma métrica é uma função eu vou chamar de uma letra diferente porque né eu é meu estudo eu escolho o que eu tenho que fazer e ele disse que ela vai levar de o produto cartesiano de um conjunto nele mesmo a um número positivo podendo ser zero Ok eu conheço alguma função mais ou menos assim ou algum conjunto Ah qualquer função que leva do R2 que é um espaço que eu conheço bem porque eu

estudei em geometria analítica ao zero e mais infinito tá dentro dessas condições Além disso ela precisa satisfazer três coisas a primeira é que a métrica entre x e y é igual a 0 Se e somente se x é igual y essa é a primeira propriedade que ele escreveu lá a segunda é que a métrica entre x e y é igual a métrica entre y e x e a terceira é a desigualdade triangular a métrica entre x e y é menor menor do que igual a métrica entre x e z mais a métrica entre Z e

y para todo Z que pertence ao meu conjunto x primeira coisa que eu vou me perguntar é eu conheço alguma função que satisfaz essas três propriedades bom ele tá chamando ela aqui de métrica e eu sei que essa desigualdade é chamada de desigualdade triangular e ela vale por exemplo para aquela função Zinha a desigualdade triangular outra maneira da gente escrever ela é isso aqui né x - y menor do que igual x - z mais z - y então a função f aqui ela tá fazendo o papel do módulo então o módulo de certa forma

eu posso dizer que ele é uma métrica Se eu olhar o módulo com uma função do R2 no zer Infinito ou seja essa função aqui que associa um par pera aí ela associa a um par ordenado a diferença entre eles Y men X Isso aqui é uma métrica E aí eu testo isso aqui é verdade isso aqui também é verdade e isso aqui é verdade porque é desigualdade triangular Então essa função aqui que eu já conhecia de geometria analítica ou desde o ensino médio ela sa disfaz todas as propriedades de métrica Então olha só que

legal eu encontrei o exemplo de uma métrica sem precisar ler o livro E aí quando eu retorno aqui pro livro Vamos lá página 13 eu já entendi mais ou menos o que é essa definição e olha só o que aparece bem aqui olha só a mesma métrica que eu já conhecia e ele dá aqui como primeiro exemplo e eu nem precisei me convencer porque só analisando a definição e usando aquilo que eu já sabia daquele assunto eu descobri que isso aqui é realmente uma métrica e ele dá exemplos de outras métricas o meu trabalho agora

vai ser verificar que tudo isso aqui realmente é uma métrica depois ele diz que o que é uma bola ele diz que uma bola é qualquer conjunto que faz essa propriedade aqui é o conjunto de todos os pontos Y tal que a distância do X Pro Y é menor do que um raio dado E aí o meu próximo passo seria Ok deixa eu verificar quais bolas Eu conheço eu conheço as bolas para métrica euclidiana aqui né X - Y mas como seria uma bola agora no conjunto de funções é uma pergunta interessante E aí eu

tentaria fazer um desenho um diagrama tentaria ver como funciona e etc e aí eu continuaria lendo e verificando tudo que eles escreveu até eu chegar na primeira proposição proposições o que você tem que fazer é demonstrar então definições crie seus próprios exemplos proposições demonstre Como assim ao invés de ler a demonstração que o autor escreveu você lê a proposição escreve ela e tenta demonstrar sozinho então por exemplo aqui ele colocou aquela proposição ali dizendo aqui ah dizendo que se você tem um espaço métrico e um conjunto e desse espaço métrico Então você tem aqui um

espaço métrico com uma métrica E você tem um subconjunto desse espaço métrico Então essas duas propriedades são equivalentes a primeira propriedade é que uma bola de centro x e Rai r intersecta o e se esse conjunto aqui é diferente do vazio para todo R maior do que zer isso aqui é equivalente a dizer que existe uma sequência xn tá ok xn a o conjunto de elementos da sequência está contido em e e xn converge para X então ele diz que essas duas propriedades são equivalentes a primeira coisa que eu vou fazer é demonstrar isso aqui

mas você não precisa escrever uma demonstração com todos os detalhes técnicos e tudo mais vê se a lógica faz sentido então eu não vou olhar a demonstração dele eu vou ver ok dizer que você tem um espaço métrico então Digamos que o espaço métrico seja mais ou menos assim e você tem aqui Um subconjunto E então vamos colocar o e mais ou menos aqui esse aqui é o e e ele diz se você tem que a interseção do e com uma bola de centro X é diferente do vazio para todo R isso é equivalente é

dizer que você tem uma sequência que converge Pro X então vamos escolher um x mais ou menos aqui ah acho que o x dentro do e tudo isso se torna trivial né então vamos escolher um X aqui fora do e esse x bem aqui então quer dizer que qualquer bola que eu colocar em volta do X por menor que ela seja porque para todo r esse conjunto aqui ele vai ser diferente do vazio e no caso esse x eles estaria aqui um pouco mais pertinho da borda então eu já começo a entender um pouco melhor

o negócio então quer dizer que esse X Ele tá mais ou menos bem aqui E esse aqui é o e porque aí toda a bola que eu colocar em volta do X querendo ou não ela vai ter uma interseção zinha aqui com o e e como é que eu construo essa sequência aqui para dizer que é equivalente eu já estudei análise real então eu sei que a coisa mais Alis se fazer aqui é escolher o raio sendo 1 sobre N E aí para cada n você escolhe o elemento xn que vai estar no conjunto e

e assim eu consigo construir a sequência Mas será que o oposto é verdadeiro Afinal essas duas coisas aqui são equivalentes aí eu olho e penso bom então quer dizer que existe uma sequência em e que converge para esse X então o que que eu posso fazer aqui bom vamos pensar se esse conjunto fosse vazio Então significa que a distância entre a o centro e algum elemento Y de e seria sempre maior do que ou igual a r porque isso é equivalente a dizer que essa interseção aqui é igual a vazio e se isso aqui vale

então não tem como eu construir uma sequência que converge Pro X logo as duas coisas seriam equivalentes veja bem que eu não demonstrei Eu nem cheguei a escrever nada eu só criei a lógica entre as duas coisas na minha cabeça e quando eu for ler a demonstração do livro eu vou ver que é justamente isso que ele diz com uma linguagem mais técnica mas óbvio que por eu tentar demonstrar eu não fiquei confuso com a demonstração do livro porque eu já tentei e eu meio que consegui entender Qual é a lógica da coisa então o

meu trabalho não foi entender como a demonstração foi feita ou os detalhes da demonstração porque eu já fiz mas foi só ver como o autor organizou e talvez melhorar minha habilidade em escrever demonstrações etc e aí Eu repito isso para todas as proposições E aí a gente chega finalmente num teorema teoremas são mais complicados geralmente teoremas tem uma demonstração um pouco mais difícil então eu não convidaria você a tentar Demonstrar um teorema embora certos livros como Elon realmente não fazem muita distinção entre proposição e teorema só dá uma olhada se a demonstração for curtinha tenta

fazer você mesmo mas aqui por exemplo esse autor faz uma boa distinção entre teoremas São resultados mais complicados de provar e mais longos geralmente esse teorema ele diz que a propriedade de bano viers é equivalente à propriedade de heine Borel ou seja dizer que um conjunto dizer que toda a cobertura aberta de um conjunto admite uma subcobertura finita é equivalente a dizer que toda sequência desse conjunto admite uma subsequência que converge para um ponto desse conjunto junto são duas coisas que parecem não ter muito nada a ver nenhuma com a outra a demonstração com certeza

é um pouquinho complicada Mas eu posso tentar construir um contraexemplo ou seja descobrir quando é que isso aqui falha bom eh uma das maneiras que isso aqui falha é Se eu olhar para um conjunto que eu posso construir uma cobertura aberta mas que ele não admite uma subcobertura finita por exemplo o intervalo 01 o intervalo 01 ele está contido na União do n pertencente aos naturais desses conjuntos aqui 1 sobre n e 2 por exemplo Então esse intervalo 01 tá contido nessa União aqui essa aqui então é uma cobertura aberta e ela não admite nenhuma

subcobertura finita porque se admitisse uma subcobertura finita então eu iria encontrar um um elemento mínimo aqui um sobre n0 1 sobre n02 que seria o menor desses intervalos e eu estaria dizendo então que o 01 estaria contido nesse menor desses intervalos Mas isso não é possível porque o zero não pode ser escrito como 1 sobre n0 e 1 sobre n0 é sempre positivo então não poderia estar à esquerda do zero Então esse aqui não admite uma subcobertura finita se aquele teorema É verdade então isso significa que no 01 existe uma sequência que não admite subsequências

convergentes Será que isso é verdade será que no 01 existe uma sequência que não admite subsequência convergentes É de fato ah a sequência 1 sobre n ela converge para zero e zer não é um elemento do 0 e assim você conseguiu construir um contraexemplo não é um contraexemplo pro teorema mas é um contraexemplo para se eu retirar uma hipótese do teorema então ele não é mais válido Qual foi a hipótese que eu tirei aqui foi C se c não é válido então b não é válido Próximo exercício seria se b não é válido então C

também não é válido e óbvio isso não é uma demonstração São só exemplos para você testar a lógica da coisa mas é isso que vai te ajudar a entender matemática estudar matemática de uma maneira mais ativa e a terceira coisa é não pare se um exemplo ou um exercício não fez sentido é muito comum quando a gente começa a estudar matemática avançada a gente querer fazer todos os exercícios do livro você não vai conseguir Se eu quisesse fazer todos os exercícios de um livro eu teria eu estaria estudando cálculo um até hoje não tenha dúvida

nenhuma então é importante você tentar fazer os exercícios mas se você não tá conseguindo cara segue em frente segue em frente que é a melhor coisa que você faz eventualmente Quando você chegar no capítulo 2 e TR você vai revisitar aquele exercício que você não conseguiu fazer e você vai ver que ele vai sair tranquilamente Às vezes sim às vezes não mas muitas coisas na matemática é questão de você adquirir confiança ou maturidade para você entender aquilo de uma maneira diferente Ou ver aquilo que você não não vi antes então o que é estudar matemática

de uma maneira ativa definições construa seus próprios exemplos proposições e lemas demonstre Ou pelo menos tente teoremas tente ver quando é que você retira uma hipótese daquele teorema quando é que aquele teorema falha ou seja construir contraexemplos para casos mais fracos daquele teorema e se um exemplo ou um exercício não fez sentido tudo bem deixa para trás marca alguma coisinha nele ali para você voltar depois e retorne depois olha eu tenho aqui uma pilh fazinha de livros junto com esse outro livro que eu trouxe comigo Eu nunca estudei esses livros até o fim porque isso

seria um trabalho de 4 5 anos porque é muita coisa os exercícios são complicados A Teoria é longa extensa cheia de detalhes se eu tivesse o objetivo de estudar Isso aqui até o fim eu não teria seguido em frente na carreira então é importante você entender que muitos desses livros você revisita ah eu estudei a análise real no segundo ano da graduação no terceiro no quarto ano depois eu tive que ensinar análise real e a cada vez que eu revisitava aquele conteúdo ele se tornava mais natural para mim hoje em dia eu posso dizer que

é um conteúdo bem natural mas não significa que você resolver todos os problemas de análise real ainda tem coisas lá que eu preciso sentar e estudar e livro de matemática é assim você sempre vai voltar para ele especialmente se for um livro difícil então a segunda dica foi não tente entender o que o autor escreveu mas estude de uma maneira ativa para construir a Teoria para você mesmo e a terceira coisa ao mesmo tempo estude algo mais simples que eu quero dizer com isso quando eu tava fazendo um curso de Mestrado análise funcional Na época

eu acho eu tava achando aquilo muito complicado e uma coisa que matemática faz com você quando algo é muito complicado é ela destrói toda sua confiança você não consegue mais nem demonstrar que uma bola é um conjunto convexo é um negócio assim incrível então eu recomendo muito para você se você tá estudando algo mais difícil pegue algo mais fácil para estudar então se você estuda 6 horas por dia passe sei lá 4 horas 3 horas estudando aquele conteúdo difícil mas uma hora você vai cansar e o que que você faz estude algo mais fácil algo

que você já viu antes sei lá aproveita para revisar alguma coisa que você viu no ensino médio ou no início da graduação e você vai ver que aqueles problemas que você achava difícil naquela época nem se compara com os problemas que você resolve hoje e muitos problemas que você tinha marcado que você não conseguia resolver agora você consegue resolver eles com tranquilidade Por que eu acho isso importante isso vai recuperar em você a sua confiança e você vai perceber Ok eu tô avançando não é que eu cheguei a um ponto que meu limite da Matemática

isso aqui Eu não aprendo mais porque quando eu tava estudando esse livro mais simples a primeira vez eu achava que esse era o meu limite e eu não passava daqui e aqui estou eu hoje em dia olhando pro livro e vendo Ah isso aqui eu sei como fazer isso aqui faz assim ass que qu então as coisas se tornam muito mais fáceis então se você tá estudando algo muito difícil lembre-se é importante você também estudar algo um pouco mais fácil e eu faço isso até hoje eu estudo trabalho na minha pesquisa por sei lá 4

horas por dia 5 horas por dia mas eu tiro um tempinho para estudar cálculo das variações que foi uma coisa que eu vi faz uns 4 anos 3 anos eu acho que na época foi uma das coisas mais complicadas que eu vi no no meu mestrado mas hoje em dia é tranquilo ainda existem dificuldades é claro mas não se compara com com o nível das coisas que eu vejo hoje em dia então só para recapitular as três coisas que a gente viu e não tente fazer algo grandioso ao invés de criar grandes objetivos para seu

estudo simplesmente pegue papel e caneta escreva tudo que você sabe sobre aquele assunto e deixe o estudo começar de uma maneira natural segunda coisa não tente entender o que o autor escreveu mas ah estude de uma maneira ativa construa seus próprios exemplos a partir das definições tente demonstrar as proposições por conta própria pros teoremas crie os seus contraexemplos e se você encontrar algum exercício ou algum exemplo difícil no meio do caminho não pare continue que eventualmente quando você estiver estudando algo ainda mais difícil você vai retornar para aquele livro e ver que aquele exercício aquele

exemplo que você tinha marcado como não fez sentido vai ser a coisa mais óbvia do mundo é isso pessoal obrigado por ter assistido