Princípios Básicos de Modelagem Matemática. (Aula 01)

[Música] Olá caríssimos alunos bem-vindos bem-vindos a mais um curso dentro dessa parceria muito feliz que eu tenho tido com o Bahia a sete Esse vai ser o nosso terceiro módulo nosso terceiro curso sobre a seguinte temática modelos matemáticos aplicados eu já falo um pouquinho disso tá então essa esse é o terceiro né essa parceria com o Bahia que já vai ficando uma parceria histórica a gente tem tido muito uma resposta muito boa desses cursos muitos alunos que seguem e participam com de uma forma muito intensa e espero que vocês gostem do curso acompanham e participem

estaremos juntos nessas próximas semanas nessas aulas a temática do curso modelos matemáticos aplicados é matemática é uma temática extremamente ampla e muito rica quase toda a ciência aplicada é feita em cima da ideia de modelo essa primeira aula eu vou discutir um pouco conceitualmente o que eu quero dizer com isso Mas essa é uma ideia muito rica e modelos nós vamos ver muitos modelos ao longo dessas desse curso eu vou em algumas aulas apresentar fundamentos teóricos para se poder trabalhar com modelos e em outras aulas apresentar modelos reais e não só modelos diretamente ligados a

Finanças e tem uma razão para essa escolha quando nós entendemos o funcionamento desses princípios gerais quando nós nos capacitamos nessa área do conhecimento como genericamente de modelagem matemática às vezes muitas vezes muitas vezes nós vemos um modelo que foi construído para uma certa situação e ele serve para um monte de outras um dos modelos primeiros que nós vamos ver numa das próximas aulas é o modelo que chama volterra Loteca o volterra fez esse modelo em 1925 para explicar uma flutuação das populações de peixes numa Vila do Mar Adriático no litoral da Itália e no mesmo

ano o Loteca fez esse mesmíssimo modelo para explicar uma série de reações químicas que entrariam em um regime periódico uma reação química que teria uma oscilação dos seus componentes reagentes e que faria uma coisa cíclica e é um modelo que certamente pode ser usado em muitas outras situações então muitas vezes entender um modelo vou dar outros exemplos em que a gente tem um modelo que é construído para uma coisa mas serve para várias outras então entender os fundamentos matemáticos desta modelagem vai capacitar vocês vai capacitar as pessoas poderem em uma determinada situação perceber Então esse

modelo aqui pode ser aplicado em uma outra situação o modelo de crescimento populacional tem essa característica as equações de black and Shout que eu já expliquei em outros cursos do Bahia elas também usam as o mesmo modelo que foi feito para a equação do calor o furrier fez um modelo para discutir a condução de calor e aquele modelo matemático foi usado em Finanças então conhecer e aliás o do black ops tem essa historinha mesmo quando os economistas que bolaram o bom modelo chegaram no modelo um deles tinha a formação em física isso aqui a gente

sabe resolver porque é parecido com a equação do calor então conhecer os fundamentos científicos da modelagem vai nos capacitar a resolver problemas que às vezes a gente nem imagina isso é muito bonito né então o que que a gente quer dizer com o modelo mas grosso modo né quando a gente fala modelagem matemática está pensando no seguinte existem problemas no mundo no mundo real e que nós queremos criar teorias para resolver esses problemas isso é uma coisa que merece uma certa reflexão essa primeira aula vai ser uma aula bem reflexiva sobre os fundamentos disso vou

contar uma historinha para vocês que é uma historinha muito rica cidadão William na década de 60 ele fez uma palestra que ficou famosíssima a referência completa tá na bibliografia do curso que vocês vão ver no final dessa aula a gente vai colocar para vocês ele escreveu um trabalho que se chama traduzindo mais ou menos o seguinte a não razoável efetividade da matemática na ciências naturais Olha que título engraçado a não razoável efetividade então ele discute como é que a matemática consegue ser efetiva na ciências naturais e que isso não era razoável de se esperar e

ele começa contando uma historinha que é muito saborosa mas que a gente pode pensar muito sobre ela ela inclui muita reflexão Ele conta a seguinte história que dois duas pessoas colegas haviam estudar juntos e fazer algum tempo que não se viam alguns anos né Cada um na sua profissão e um deles tinha uma profissão na área humanística e a outra era um estatístico e ele se reencontraram depois de muitos anos e o estatístico Estava contando para o amigo o que que ele fazia ele começou dizendo que ele trabalhava com estudos de populações que eram um

estudo na matemática estatístico mas que era sobre crescimento de populações sobre o comportamento de populações coisas que envolviam propriedades características qualidades de populações meu amigo ficou surpreso e ele começou a mostrar o estatístico começou a mostrar para o amigo gráficos Sabe aquela curva da distribuição normal de gaus e o amigo cada vez mais surpreso que o amigo o outro né que estudava populações estava fazendo aqueles gráficos e ele foi mostrando onde é que tá a média onde é que tá avaria o padrão quanto é que dá isso aqui e nesse esforço de mostrar as curvas

as tabelas para o primeiro amigo ou estatístico numa hora usou a letra p e o outro que que é isso aqui a divisão do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro e que apareceu E aí o amigo que não era estatístico interrompe o estatístico falar eu tava desconfiado que você estava brincando comigo que isso tudo era uma grande piada uma grande anedota Mas agora você foi longe demais e agora já percebi que você tá brincando comigo você tá querendo fazer uma brincadeira tá querendo né Fazer o que a gente chamaria na gíria de ficar zoando

com a minha cara porque é óbvio que você tá brincando que nada disso é sério é claro que a razão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro não tem nada a ver com tabelas de populações é óbvio que isso é uma piada é muito interessante isso né quando pensa nisso que surpreendente que a efetividade que matemática se efetiva que para estudar populações a gente acaba usando a curva de graus e tem pi ela envolvido Como assim né Pois é isso merece que a gente pensa um pouquinho e no mesmo trabalho do rigner ele levanta

uma outra questão também trata disso como que a modelagem matemática funciona por que que ela funciona ele chama atenção do seguinte fato quando se faz modelos quando os cientistas fazem experimentos e criam teorias científicas Há uma grande escolha por trás os cientista vai estar estudando um problema qualquer um problema de saúde um problema de uma doença um problema tecnológico um grande resistência dos materiais ele começa a fazer ensaios ele vai para laboratório ele faz mais fazer medidas mas ele escolhe o que ele vai medir ele escolhe quais grandezas quais variáveis ele vai quantificar quais variáveis

ele vai medir e fazer gráficos o cientista faz uma seleção do que que ele vai mensurar do que que ele vai observar e claro que se ele fizer uma escolha diferente Ele vai construir uma teoria diferente a teoria que ele constrói Depende de uma escolha da Escolha que o cientista faz numa das aulas do primeiro curso do Bahia eu fiz o modelo de cobre Douglas eu fiz nessa mesma curso de cálculo com aplicações de Finanças eu fiz um modelo da equação do transporte tem uma escolha Douglas Eles escolheram estudar o PIB a partir de investimento

em trabalho e infraestrutura essa escolha poderia ter sido outra eles poderiam ter usado outras variáveis o modelo do transporte também ele é a parte de alguma escolha de alguma variável que está envolvida no fluxo de objetos podia ter sido escolhido podia escolher outras se escolhesse outras as fórmulas seriam outras a teoria seria outro modelo seria outro tudo seria outro e é surpreendente que mesmo com esse grau de liberdade que dois cientistas podem fazer escolhas diferentes do que observar eles acabam construindo teorias que funcionam no mundo real que resolvem problemas e isso é muito surpreendente né

vai nessa direção do trabalho não que não é razoável que é matemática seja tão efetivo tem duas variáveis os elementos matemáticos que a história do Pi na estudo de população os elementos matemáticos que surpreendem que estejam presentes e essa questão de que quando a gente vai fazer um modelo Quando você vai fazer uma observação de laboratório o cientista faz escolhas e essas escolhas determinam o que que vai ter na teoria e ainda assim a teoria funciona no mundo real porque no mundo real tá ali né existe por si só é uma questão essa mesma questão

o schredener famoso schredegger tem um livro muito bonito chama o que é a vida e também discute essas questões da natureza da ciência e do conhecimento o focando sobre a questão da vida né e ele também coloca essa questão e Analisa essa questão que ser uma questão muito filosófica existem leis naturais na natureza existem padrões existem leis existem regras existem modelos e segundo a pergunta Será que nós seres humanos conseguimos captar essas regras esses modelos São perguntas muito Profundas né muito bonitas vou deixá-las aqui para vocês pensarem a resposta para isso tudo bom o que

o mundo tá nos mostrando o que o avanço da ciência está nos mostrando em particular Os muitos modelos matemáticos que o cientistas fazem e suas aplicações é que sim nós conseguimos fazer essas teorias e da contribuições para o entendimento do mundo real eu vou mostrar dois quadrinhos para vocês que são eu acho muito profundos São muito parecidos Os dois têm a mesma filosofia um é do Ian Stuart o outro do de três tá no livro de três autores que está na nossa bibliografia também no livro O Primeiro Curso de modelagem matemática que está ali na

biografia do Jordano Fox e o hurtan então o do Ian Stuart é mais bem humorado eu estou até muito divertido né então ele diz o seguinte o mundo tem problemas reais ou eu posso dizer o problema exato e que é um problema muito difícil a gente não consegue resolver esse problema na sua versão mais absoluta é uma maneira de entender o que ele quer dizer quando fala do problema é exato real isso é muito difícil como que é que ficou como que é no mundo real as questões da Mecânica dos movimentos de partículas a gente

pensava que coisa funcionava do jeito que o Nilton fez né Depois o Einstein mostra que não é bem assim é muito mais complicado e provavelmente em algum momento alguém vai mostrar que as coisas da mecânica relativística também não são a última palavra em realidade que a realidade é mais complexa Então os problemas reais do mundo sejam eles financeiros sociológicos tecnológicos Eles são muito complexos mas nós não precisamos também resolveu o problema exato né se nós tivermos uma boa compreensão tivemos uma resposta aproximada a gente cuida da vida como é o caso da mecânica do Nilton

as fórmulas do Newton elas não são exatas a gente sabe disso porque o Einstein já fez as devidas correções mas dá tudo muito bem a gente pode usar as fórmulas do Newton que são só aproximadas para resolver um monte de problemas então eu preciso de soluções aproximadas Mas como que eu chego nelas o roteiro é o seguinte eu tenho problema real e eu faço uma simplificação eu faço um problema aproximado isso é uma coisa que é a primeiro passo da modelagem quando eu crio um modelo eu crio uma versão simplificada do problema real foi o

que o Newton fez quando ele disse que força é massa vezes aceleração ele está dizendo uma coisa que não é verdade absoluta o Einstein mostrou que isso não é assim que não adianta que se você aumentar aumentar aumentar a força aceleração começa não não aumentar na mesma proporção que não é proporcional força e aceleração então a gente transforma num problema aproximado que é um problema mais simples e esse a gente resolve o problema aproximado eu consigo ter uma solução exata que é o que acontece com a mecânica do Nilton a gente consegue resolver as equações

que o Newton propõe e o bom humor do autor aqui do Stuart está na seguinte pergunta até que ponto a solução exata do problema aproximado pode ser usada como solução aproximada do problema exato isso é Ciência aplicada isso é modelagem matemática isso é que nós vamos fazer nesse curso isso que nós vamos tentar fazer exemplos em que isso aparece a gente vai pegar modelo olhar para problemas reais pegar modelos aproximados tentar ver se a gente consegue ter informações no modelo aproximado e sempre fica a pergunta até que ponto isso pode ser usado no mundo real

Então até que ponto isso aqui é equivalente Essa é a grande pergunta isso é muito bonito né no livro que tá na bibliografia do curso Primeiro Curso de modelagem matemática os autores fazem uma coisa muito parecida eu vou mostrar é um pouquinho menos bem humorado mas é um pouquinho também é bastante Rico então problema real né problema do mundo real a gente faz um modelo para chegar no modelo a gente faz uma simplificação [Aplausos] Então a primeira Grande a arte na modelagem quando a gente vai resolver problemas no mundo real fazendo modelagem a primeira grande

coisa que a gente precisa fazer é aprender a simplificar os problemas Isso é uma arte isso é difícil porque se você simplificar Demais Dá para resolver o problema mas as outras etapas vão falhar se você simplificar de menos o problema continua tão difícil quanto o problema do mundo real e a gente não consegue resolver no que quais são as próximas etapas a gente faz um modelo que é uma simplificação para poder analisando o modelo fazer uma análise e eu gosto deste deste quadrinho que ele é um pouquinho melhor esse daqui ele faz um jogo de

palavras né Faz uma coisa bem humorada solução exata do problema aproximado com solução aproximada do problema exato troca as palavras mas vocês vão ver nós vamos fazer isso com modelos Às vezes eu não tenho a solução do modelo essa fala que tem a solução exata é otimismo demais muitas vezes o que a gente consegue fazer é analisar o modelo sem ter a solução para ter conclusões eu vou fazer isso com vocês numa das próximas das primeiras aulas com aquele modelo do voto é ralottica eu vou fazer uma Quando fizer uma terra lógica eu vou fazer

uma primeira análise em que eu resolvo o problema e depois eu vou fazer uma segunda análise em que eu não consigo resolver o problema mas eu consigo tirar conclusões eu consigo analisar o modelo e tirar conclusões tirar conclusões significa fazer uma interpretação para chegar em previsões e explicações do mundo real Então a gente tem um problema real a gente faz uma simplificação a gente Analisa para tirar conclusões dessas conclusões a gente interpreta faz um processo de Interpretação para ver se a gente consegue fazer previsões e explicações sobre o problema real e a última etapa disso

é fazer uma verificação [Aplausos] que que significa as verificação voltar para observar se a gente consegue interpretar melhor o mundo real se aquelas conclusões que a gente está tirando fazendo essa loop se a gente consegue tomar decisões que sejam efetivas no mundo real seja no mercado financeiro né Toda essa aqui se aplica diretamente no mercado financeiro fazer precificação a gente faz o modelo a gente analisa a gente tira conclusões e de interpreta e daí a pessoa faz previsões ela toma decisões sobre o que vai acontecer com a economia o que vai acontecer com a cotação

o que vai acontecer com valores ela compra ela vende ela exerce direito de compra ou não toma uma série de decisões e ela verifica se ela está resolvendo se ela tá saindo bem quando ela analisa o problema real que ela tava analisando e aqui e é essa a arte que a gente faz quando faz ciência aplicada se vocês pensarem um pouquinho né tô deixando isso com uma reflexão para vocês fazerem vocês vão ver que muito da ciência aplicada tem essa característica quando na área de saúde quando se pesquisa um fármaco quando você pesquisa uma política

pública de saúde na área tecnológica quando se desenvolve equipamentos de segurança é bom esse essa dinâmica tá sempre muito presente então agora feita essa parte Inicial filosófica eu vou começar a falar um pouquinho de como é que a gente vai abordar os nossos problemas tá bom continuando essa nossa reflexão sobre como que a gente faz modelagem tem uma um grande divisor de águas que é muito profundo e a gente vai analisar as duas coisas ao longo desse curso às vezes a gente modela com equações diferenciais ou quando o Nilton fez força igual a massa vezes

aceleração lembra que aceleração é a derivada segunda da posição então tem uma derivada ali e na hora de resolver as equações da mecânica newtoniana a gente resolve equações diferenciais [Música] e equações diferenciais essa modelagem acontece quando as nossas variáveis são contínuas então é fundamental que a gente tenha uma variável contínua na hora de fazer uma modelagem via equações diferenciais Então vou comentar mais sobre isso a contraposição é quando a variável discreta que a gente chama equações de diferenças algumas pessoas chamam de diferenças finitas conforme o literatura a fonte que você vai olhar pode ter alguma

expressão nessa linha Mas vai ficar claro para vocês do que quer tá falando quando você tem medidas discretas Então a primeira coisa a perceber é que não tem uma divisão de água nítida entre o que é uma coisa e o que é outra veja só tempo distâncias são variáveis contínuas o fluxo do tempo é uma variável é uma coisa contínua só que quando a gente faz observações quando a gente mede a gente mede num certo instante mede depois quase sempre a gente não tem o resultado do que a gente tá medindo de forma contínua a

gente tem dados discretos e olhando para a situação a gente Às vezes tem o dado discreto Mas pensa de forma contínua já vou dar um exemplo disso daqui a pouquinho a questão é o exemplo da dilatação de uma mola daqui a pouquinho eu falo dele mas às vezes a gente não não a gente continua no mundo discreto Às vezes a gente trata como observações que são mesmo tem uma hoje tem uma daqui um tempo daqui um tempo algumas observações tem que ser discretas por exemplo quando você tem um fenômeno que ele tem uma periodicidade um

ciclo que não adianta você querer observar no meio do caminho por exemplo uma população é crescimento de uma população se é uma população tipo uma bactéria que está sendo cultivada para se fazer um exame Clínico ela cresce de forma digamos contínua mas imagine que você está observando uma espécie que é tipo uma ave que tem um período de acasalamento um período de colocação de ovos um período de incubação do ovo e proteção do ovo até que o ovo e cloda e o filhote nasce Então não é razoável ninguém fica observando em tempo contínuo essas espécies

porque a única coisa que você vê no tempo contínuo esse houve uma ave que morreu que fugiu que foi um Predador atacou aquela ave você não vê a reprodução da espécie existem espécie que também não tem esse período mas tem espécies que tem a época do acasalamento tem a época da postura tem a época do Enem então aí O interessante é observar mesmo de tempos em tempos para ver o que tá acontecendo com essa população então existem fenômenos que nem é o caso de se analisar em tempo contínuo que é preciso dar um tempo para

ver o efeito se as medidas que foram tomadas tiveram efeitos ou não seja uma medida de Proteção Ambiental seja um remédio atuando no organismo não há interesse em analisar continuamente só há interesse em olhar dados discretos então navegar entre o mundo do discreto e do contínuo é uma arte que a gente vai comentar muito e muitas vezes é muito diferente isso vai aparecer daqui a pouquinho é um exemplo que que eu queria mostrar para vocês eu exemplo de dilatação de uma moto Vamos pensar um exemplo super simples tá vamos pensar um pouquinho nele você quer

imagina que o Hulk não tivesse ainda feito a lei como é que se descobre Qual é a lei que relaciona que explica a dilatação de uma mola Então aqui tem um monte de filosofia por trás Primeiro as variável contínua tanto a força que você faz na mola como o comprimento da mola variam continuamente mas a gente observa de forma discreta segundo uma outra coisa que a gente tem que ter sempre em mente na no fazer é modelagem que são os limites de aplicação se a gente vai para as situações muito extremas você até Arrebenta a

mola se você puxar a mola puxar uma hora estoura a mola Então o que a gente vai buscar muitas vezes isso vale em questões de saúde valem questões de Finanças valem questões de crescimento populacional são janelas em que um certo fenômeno tem uma um certo comportamento e aí a gente consegue entender fazer uma modelagem nessa janela certas certas condições do mercado financeiro elas funcionam dentro de certas condições de apoio a gente sabe que se de repente todo mundo for no banco retirar seu dinheiro aí tem uma turbulência e as regras Já não são mais as

mesmas isso vale para todos que cabe mais a mola ela quebra e assim por diante Então tem que a gente chama de bifurcações fenômenos que é uma ruptura numa certa estrutura Mas vamos voltar então para mola eu vou mostrar para vocês o que que faz quando eu quero saber qual é a relação entre força e deslocamento de uma mola aí embora as variáveis sejam contínuas a gente faz um gráfico vou mostrar o gráfico para vocês então aí o que o cientista faz ele faz uma medida então tô aqui com uma tabela um gráfico que são

pontos isolados Como eu disse as variáveis comprimento e força podem ser pensadas continuamente mas eu não observo de forma contínua eu observo de forma discreta e aí obtenho pontos como vocês estão vendo para uma força de um Newton de 2 Newton está no eixo das abscissas eu tenho o quanto foi o delta x Quanto foi a variação no comprimento da mola eu tenho esses pontos isolados aí o que faz o cientista a gente vai para o slide seguinte ele faz uma interpolação ele acha uma função interpoladora E aí ele achou aqui tem muitos métodos métodos

dos mínimos quadrados muitos métodos para achar Qual é essa função e aqui nesse caso ele achou a função y = meio de X então ele estabeleceu uma relação entre a força e o delta x o delta X é o que está no eixo dos y e o a força em Newtons é o que tá no eixo do X e ele conseguiu uma fórmula para isso no caso ele obteve que o delta x 005 de F ou que como é mais comum né que é fe2 Delta x que é a lei de Hulk né quem tem

cidade da força é proporcional ao deslocamento é um k vezes e aí como é que funcionaria no mundo né real isso foi feito para uma mola obteve essa forma aí você fala então agora suspeita de que isso vale para muitas molas eu faço com outras molas verifico que essa é uma lei de formação que se aplica muitas molas E aí lei de Hulk a força é cá vezes o delta x e por uma nova mola que eu não conheço eu faço testes os mesmos testes para descobrir quem é o k que é constante de dilatação

da mola que é medido em Newton sobre metros E é assim que que funciona essa essa questão de modelar esse exemplo é super simples mas é só para ilustrar para finalizar essa análise deixa eu mostrar para vocês uma última coisa aqui a diferença de novo entre o discreto e o contínuo que eu falei de equações diferenciais nós vamos ver crescimento de população e se eu tenho uma população eu tô olhando continuamente ela tem uma equação que a gente vai analisar numa aula próxima esse n aqui é a população é uma variável do tempo contínuo E

aí para entender isso é um modelo populacional do qual eu falarei numa próxima aula Isso é uma equação diferencial em que eu tenho tempo contínuo uma variável e a sua derivada e eu resolvo resolvendo essa equação diferencial eu vou resolver isso para vocês quando eu tenho tempo discreto o que eu tenho é o seguinte eu olho no tempo tem mais um essa mesma população e ela tem uma fórmula que é muito parecida onde aqui o tempo é discreto e o a população na medição seguinte ela varia da mesma forma que a variação aqui é derivada

Isso é uma modelagem discreta onde o tempo é discreto Então eu tenho uma observação no tempo T depois no tempo seguinte o t + 1 não quer dizer que é mais um segundo que são diferentes tempos Então isso é uma equação diferencial no tempo contínuo Isso é uma equação de diferenças no tempo discreto as duas coisas são importantes a gente vai analisar as duas e o surpreendente é que o modelo discreto ele é muito rico ele inclusive tem fenômenos muito complexos que só aparecem no modelo discreto por isso que a gente vai navegar nos dois

bom nessa primeira aula ficamos por aqui essa foi uma aula introdutória reflexiva legal [Música]