Mathematik Vorlesung 6

Hallo und herzlich willkommen. Ich freue mich sehr, dass ihr den Weg gefunden habt in Hörsal 1 zur Matheorlesung. Das jetzt die sechste Mathevorlesung. Wir sind in Kapitel 9. Wir haben schon zweimal über Kapitel 9 gesprochen. Ich denke, ich werde heute mit Kapitel 9 fertig. Wir haben letzte Woche ziemlich viel Zeit damit verbracht, ökonomische Anwendungen zu besprechen und da ging's um äh Konsumentscheidungen. Und zwar haben wir zwei verschiedene Nutzenfunktionen gesehen. Ich gehe noch mal hier rein. Also einmal haben wir die Nutzenfunktion 1/x² mal y, das ist eine sogenannte CDless Nutzenfunktion. Dann haben wir in dem zweiten

Beispiel eine, wo steht's hier. Die Nutzenfunktion, die ist hier noch gelb markiert. Das Minimum Von 1/ x² und y. Die Funktion heißt Leontief Funktion. Oh, ihr seht gar nichts. Das ist doof. Ähm, den Begriff Leontfunktion benutzt man eigentlich eher für Produktionsfunktionen, aber die hat hier eben für die äh Konsumentin auch ein Zweck erfüllt. Die Präferenzen, die da drunter liegen, nennt man Präferenzen für perfekte Komplemente. Und jetzt kommt als dritter Fall, als dritte Kategorie Die lineare Nutzenfunktion und die sehen wir jetzt hoffentlich ihr auch hier auf der Folie. Da ist die Dora als äh drittes Beispiel,

die hat die Nutzenfunktion 1/x + y. Ja, die ist linear, ne? Da sind konstante Steigungsparametern bei X und Y dabei. Gibt keine Quadrate und so weiter. Ich gucke einmal noch mal ganz kurz, ob Stream alles funktioniert, ob es da Bemerkungen gibt, dass irgendwas nicht funktioniert. Wahrscheinlich ist der Ton Wieder zu leise. Das tut mir leid. Im Video sollte es dann aber wieder klappen. So, wir haben bei den anderen beiden Nutzenfunktionen zwei Konkave Nutzenfunktionen behandelt. So, jetzt habe ich aber was gesagt, was wir eigentlich noch gar nicht richtig äh ja verstehen können, denn die anderen beiden

Nutzenfunktionen waren wie diese hier auch Bariate Nutzenfunktion Funktion mit zwei Variablen X und Y und Da haben wir noch gar nicht definiert, was Koncav eigentlich genau bedeutet. Die Funktion, die wir jetzt hier sehen, ist linear und die wird einfach strukturell ein anderes Ergebnis uns bringen als die Nützenfunktion, die wir gest letzte Woche besprochen haben. Deswegen ist es so wichtig, diesen Fall auch zu besprechen. Aber das Vorgehen, die Lösungs äh Findung wird eigentlich genauso sein wie letzte Woche. Also, wir haben ein Problem, ein Maximierungsproblem in diesem Fall. Wir wollen eine Zielfunktion maximieren, die zwei Variablen hat

und wir müssen eine Nebenbedingung beachten. Die Nebenbedingung bedeutet, dass x + y = 3 ist. Unser Vorgehen ist so, dass wir die Nebenbedingung so umformen, dass wir das y durch 3 - x ersetzen können in der Zielfunktion und dann haben wir eine Zielfunktion, die nur noch von x abhängt, eine univariate Zielfunktion Und da können wir die Methoden benutzen, die wir im Kapitel 9 kennenlernen. Also und das möchte ich jetzt machen. Also hier steht schon diese Umformung, wie bei den anderen beiden Fällen auch. X + Y = 3 ist die Nebenbedingung. können wir umformen zu y

= 3 - x und dann können wir das 3 - x hier einsetzen. Das hier ist eigentlich das y. Und jetzt können wir diese Funktion maximieren. Die schreibe ich noch mal auf die nächste Folie. Also 1/x + 3 - x maximiere über x größer = 0 1/x + 3 - x. Ja, warum muss x größer gleich 0 sein? Die x war glaube ich die Anzahl von Baguette. kann keine negative Anzahl von Baguette äh essen. So, jetzt seht ihr 1/ x - x, das können wir auch noch umformen. Also, das ist gleich dem Mix Maximierungsproblem. Ich

schreib es jetzt mal andersrum. 3 - 3/x, ne? Ich habe einfach nur ausgerechnet 1/x - x - 3/x. Und jetzt seht ihr, wir haben hier eine lineare Funktion mit negativer Steigung. Je mehr Baguette ich konsumiere, desto schlechter geht's mir sozusagen. Beachtet bitte, dass diese Nutzung beinhaltet, dass ich den Rest von diesen drei Einheiten für Y ausgebe. Also je weniger Spaguette ich esse, desto mehr Rotwein trinke ich. Das steht in dieser Nutzenfunktion äh auf dieser Art und Weise drin. Jetzt kann ich mir mal überlegen, was ist denn die Bedingung erster Ordnung? Ich schreib es noch mal

aus, also nicht einfach nur abcken gleich 0 setzen, sondern ich schreib es mal wirklich aus. Also falls es eine innere Maxstelle, die nenne ich jetzt mal x Stern gibt, Dann erfüllt diese, dass die Ableitung der Zielfunktion, in diesem Fall heißt die Funktion U an der Stelle x Stern. G= 0 ist. So, jetzt rechnen wir die Ableitung von dieser komplizierten Funktion mal aus. Also Ustrich, also das hier oben, das ist U. Jetzt rechnen wir U strich aus und ihr Merkt, da kommt raus -3/4. Die ist nirgendwo an keiner Stelle gleich 0. Wir haben keine stationären Punkte,

das ist ungleich N0 und das heißt, es gibt keine innere Maxstelle. Es existiert also keine Maxstelle x Stern mit xstern größer als 0. Und damit bleibt nur einzige einziger Kandidat übrig. Also muss x Stern gleich 0 sein. Ja, also an der Stelle 0 ist die Ableitung immer noch negativ. Das x kommt ja gar nicht bei der Ableitung vor. Das heißt, wir haben hier ein Fall, dass wir eine Funktion maximieren, die am Maximum eine negative Steigung hat, aber dieses Maximum, diese Maximumstelle liegt eben am linken Rand. werden wir uns das dazu mal skizzieren. X Jetzt würde

ich hier gerne Y schreiben, weil ich das gewohnt bin, aber Y ist ja die Menge an Rotwein, Deswegen schreibe ich Z. Dann haben wir ein Achsenabschritt von 3 und dann eine Steigung von -3/4. Und hier steht also y = 3. Nee, nicht y, sondern z - 3/4 x. Ja, und ihr seht, an der Stelle ist die Maxstelle, also x = 0 maximiert den Nutzen. Bei den anderen beiden Nutzenfunktionen habe ich versucht, das auch grafisch darzustellen im zweidimensionalen Raum. werde ich hier aufmachen. Lass mich noch Mal ganz kurz ausrechnen, wie groß y ist. Ja, wenn wir

wissen, x Stern = 0, dann ist y Stern gegeben durch 3 - 0, also 3. Also mit dieser nutzen Funktion, die ich glaube, die hieß Dora, die Dora konsumiert kein Baguette, sondern nur roter. Wie sieht das jetzt in einem Diagramm aus? Mal gucken. Ich male jetzt ein am besten mit Karopapier ein Diagramm. So, hier ist die Menge Y, das war Rotwein. Und hier ist die Menge X, das war ein Baguette. Und ich möchte jetzt einmal die Budgetgrade einzeichnen. Dazu brauche ich die Zahlen 1 2 3 1 2 3 und die Budgetgrade für die galt, dass

alle Punkte, die auf der Budgetgrade liegen, die Summe gleich 3 ist. Also hier gilt x + y = 3. Und jetzt möchte ich eine Indifferenzkurve einzeichnen. Eine Indifferenzkurve. Was War das noch mal? Das ist eine Höhenlinie der Nutzenfunktion. Das sind alle Kombinationen von x und Y, die den gleichen Nutzen generieren. Und ich habe ja eben schon ausgerechnet, das Optimum liegt bei x = 0, y = 3. Deswegen möchte ich eine Indifferenzkurve zeichnen, die durch diesen Punkt geht, durch den Punkt 03. Ich zeichne die 0 auch mal die Nutzenfunktion. Was war das noch mal? von x

war 1/x + y. Ich muss, ich zöger gerade, ich guck lieber noch mal nach, damit es auch wirklich stimmt. Ja, so. Jetzt setze ich einfach mal und da habe ich U von X geschrieben. Ich will aber U von X und Y schreiben. Und jetzt setze ich mal den optimalen Punkt ein, den wir eben gefunden haben, um das auszurechnen. U von 0 und 3 ist dann also ein x mal 0 + 3. Im Optimum hat die Dora den Nutzen 3. Und jetzt suche ich eine Indifferenzkurve. Also, ich suche jetzt alle Punkte XY mit U von XY

= 3. Also muss ich für U von XY schreiben 1/ x + y = 3. Dann habe ich eine Gleichung. Diese Gleichung gibt mir einen Grafen, aber wir können die sehr leicht umsformen. Zer Funktionsgleichung. Wenn ich das 1/x auf die andere Seite bringe, dann habe ich dies 3 - 1/x und das ist eine Geradengleichung Und die gibt mir die Indifferenzkurve. Also, wenn ich vier Schritte nach rechts gehe, muss ich einen Schritt nach unten gehen. Ja, so interpretiere ich das - ein. Ich fange in dem Punkt hier an. Ich gehe vier Schritte nach rechts, gehe einen

Schritt nach unten, vier nach rechts, einen nach unten und so weiter und so fort. Dann habe ich eine Indifferenzkurve. mit von xy = 3. Und ich kann mir Überlegen, in welche Richtung würde man sich verbessern, also wenn die Dora auf irgendeinem Punkt in dieser Indifferenzkurve ist und von beiden Gütern mehr konsumieren würde, wird's ihr besser gehen. Das heißt, dieser kleine Pfeil sagt: "Hey, in die Richtung will ich eigentlich gehen." Ja, das ist die beste Richtung für mich. Und ja, und ihr seht, die ist in dem Optimum ist sie so weit gegangen nach rechts oben, wie

sie nur konnte. Also, wenn ich zum Vergleich ein anderes einen anderen Punkt einzeichne, z.B. diesen hier, zwei Baguette, eine Flasche rotin, das war die Lösung bei den anderen nutzen Funktionen, kann ich auch hier wieder eine Indifferenzkurve durchzeichnen durch diesen Punkt. Die sieht dann so aus. Ja, und ihr seht ausgehend von diesem Punkt könnte die Dora sich verbessern. Die könnte auf der blauen Linie quasi Weiterwandern. Die Indifferenzkurve wird immer höher, bis sie dann irgendwann in dem Optimum landet, was wir gefunden. Also, das hier ist das andere Farbe. Das das Güterbündel 03, das ist das optimale Güterbündel.

Also bei den anderen beiden Nutzenfunktionen haben wir rausgefunden, dass beide Güter konsumiert werden im Optimum und bei dieser linearen Nutzenfunktion haben wir rausgefunden, Dass nur eines der beiden Güter konsumiert wird. Und das ist ganz typisch für lineare Zielfunktionen. Egal was für ein Problem ihr habt, wenn ihr eine lineare Zielfunktion habt, werdet ihr allermeistens am Rand sein mit der Lösung. Okay, das waren jetzt drei ökonomische Anwendungen. Habt ihr dazu direkt Rückfragen? Dann würde ich vorschlagen, gehen wir inhaltlich mal weiter. Und zwar gibt's ein ganz kurz mal ein kleines bisschen Theorie. Der Extremwertsatz. Wofür brauchen wir den

Extremwertsatz? Der Extremwertsatz listet mir ein paar Bedingungen auf, die gelten müssen. Auf die gehe ich gleich ein. 1 2 3 4 Bedingungen müssen gelten. Und wenn die gelten, dann sagt der Satz, es gibt auf jeden Fall eine Maximumstelle und es gibt auf jeden Fall eine Minimumstelle. Na, wenn ich das weiß, dass es diese Stellen gibt, dann kann ich mich auch auf die Suche machen, um die zu finden. Wenn der Extremwertsatz verletzt ist, genauer gesagt, wenn diese vier Bedingungen verletzt sind, dann kann es halt sein, dass es kein Max oder kein Minim gibt. Dann kann ich

suchen, solange ich will, Platz nicht will. Lass uns mal die Bedingungen anschauen, die gelten müssen. Es gibt drei Bedingungen, die müssen für Den Definitionsbereich der Funktion gelten. Also, der Definitionsbereich, das sind die Elemente oder die Menge der Elemente, die ich in die Funktion reinstecke. Z.B. könnte das das Intervall von 0 bis 4 sein oder alle nicht negativen reellen Zahlen, was auch immer, das der Definitionsbereich. Dafür müssen drei Bedingungen gelten und eine Bedingung muss für die Zielfunktion gelten. Ich fange mit der Bedingung an. Die Zielfunktion muss stetig sein. Die Darf keine Sprungstellen. Jetzt kommen wir mal

zu den drei Bedingungen, die hier stehen für den Definitionsbereich. Der muss Oh, hier stehen ja nur zwei. Ich habe eine vergessen. Also, das sind die Bedingungen für den Definitionsbereich. abgeschlossen, beschränkt und nicht leer müsste auch noch stehen, aber das ist ja irgendwie ja trivial, Also wenn im Definitionsbereich überhaupt nichts drin steht, wie soll es dann auf dem Maximum geben? Na egal, formal muss das mit dabei stecken. Gehen wir mal auf abgeschlossen. Was genau bedeutet abgeschlossen? abgeschlossen bedeutet, dass die Menge ihren Rand enthält. Hier sprechen wir von einer ganz bestimmten Menge, nämlich von einem Intervall. Seht

ihr hier? Das ist ein Intervall. Steht ja auch dabei. Das sind alle Zahlen zwischen A und B. Und wenn man so eckige Firmen dazu schreibt, dann heißt das, die Ränder sind mit drin. Also der das Intervall enthält ihren Rand. Ich schreib das mal dazu. Eckige Klammer bedeutet A ist enthalten. Oder wir würden schreiben a kleiner= X. Wenn da nur runde Klammer stehen würde, ja, dann wäre A nicht mit drin. Dann Würde sag stehen A strickt kleiner als X. Also abgeschlossen bedeutet, die Klamen eckig sein. Das x darf auch gleich A sein und das gleiche gilt

für b. Was bedeutet für beschränkt? Äh, was bedeutet beschränkt für den Definitionsbereich? Das bedeutet, dass keine der Intervallgrenzen unendlich sein kann. schreib ich auch mal dazu. Vielleicht in der anderen Farbe. Keine Intervallgrenze darf unendlich sein. Falls also der Definitionsbereich die nicht negativen reellen Zahlen sind, dann ist eine der Intervallgrenzen unendlich und dann ist der äh Definitionsbereich nicht beschränkt. Also, wir haben nicht leer. Es muss mindestens ein Element im Definitionsbereich geben. Wir haben abgeschlossen, die Intervallgrenzen müssen im Intervall sein und beschränkt Keine der Intervallgrenzen davon endlich sind. Wenn jetzt als vierte Bedingung noch gilt, die Funktion

ist stetig, dann sagt uns der Extrem Wettsatz: "Hey, es gibt mindestens eine Maxstelle und es gibt mindestens eine Minnstelle. Es kann auch mehrere geben, aber mindestens eine ist da und dann können wir auf die Suche gehen. Ich kann solche Sachen viel besser verstehen, wenn ich Gegenbeispiele kriege. Also, ich möchte euch jetzt ein Paar Gegenbeispiele präsentieren, wo eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist und dann können wir noch mal gucken, ob es ein Max gibt oder nicht. Erstes Gegenbeispiel. Ja, hier steht schon im Titel, hier gibt es kein Maximum. habe ich ein bisschen vorweggenommen. Die Funktion lautet

1 dur x + 10 und derbereich ist von 0 bis 1, wobei die 0 nicht enthalten ist, die ein schon. Also, ich würde jetzt gerne von Irgendwem von euch wissen, welche der vier Bedingungen ist verletzt. Und als zweites würden wir dann analysieren, warum gibt es kein Maximum? Hat jemand schon entdeckt direkt? Ja, bitteschön. Genau. Also, der ähm die Klammer hier ist rund. Ist die einfachste Antwort, glaube ich. Runde Klammer. Und das bedeutet, die Null ist nicht enthalten. muss also gelten. 0 kleiner x, das x Darf niemals gleich 0 werden und dann ist der Definitionsbereich nicht

abgeschlossen. Also eine der Bedingungen vom Extremwertsatz ist verletzt. Jetzt müssen wir gucken, warum gibt's kein Maximum? Es gibt ja schließlich ein Minimum. Ja, wenn ihr euch das anschaut. X = 1, ja, 1 dur 1= 1, + 10= 11. Also an dieser Stelle ist ein Minimum, also könnte es ja vielleicht auch ein Maximum geben. Wir brauchen jetzt ein Argument, warum es hier in diesem Problem kein Maximum gibt. Da oben sehe ich eine Hand. Bitteschön. Ähm ja, also ich glaube, ich kann nachvollziehen, was du gesagt hast. Das stimmt alles, aber ich hätte gerne ähm ich mach's jetzt

mal so. Ich behaupte jetzt mal was, was falsch sein wird, aber ich behaupte mal Behauptung x Stern größer 0 ist eine Maxstelle. Ja, also ich weiß selbst, dass es nicht Stimmt, aber ich behaupte es einfach mal und ich möchte jetzt von dir einfach ein Argument haben, warum diese Behauptung falsch ist. Ja, also dein Argument ist das folgende. Ich habe gesagt, x Stern ist ein Maximum und jetzt sagst du, x Stern kann aber nicht die kleinste Zahl sein in diesem Intervall, weil es keine kleinste Zahl in diesem Intervall gibt. Was folgt jetzt daraus? Also, du sagst

mir, ich schreib einfach mal auf, du sagst, es existiert ein anderes X, was kleiner ist. Das kann ich schon mal aufschreiben. Es existiert ein, ich nenne das jetzt einfach mal X Dach mit 0 kleiner Xach kleiner X stär. Habe ich das so richtig interpretiert? Wenn du sagst, es gibt ich kann, also die Funktion soll wirklich durch die Formel 1 durch x + 10 gegeben sein. Ja, okay. Also, man sieht, man kann auf dem Grafen noch ein Stückchen nach links gehen und die Y Koordinate geht dann noch ein bisschen höher. Ich ich vervollständige jetzt einfach mal

ganz kurz das Argument, was das die gleiche Idee aufschreibt. Also diese, also erstmal ist unstrittig, wenn x Stern strikt größer als 0 ist, dann kann ich das z.B. halbieren und das resultierende x, das habe ich jetzt hier x8 genannt, ist dann immer noch strick Größer als 0, also immer noch im Definitionsbereich drin. Und jetzt kann ich mal f ausrechnen. Das wäre 1 dur xach. + 10. Und ich kann quasi meine vorherige Behauptung widerlegen, indem ich sage, das ist aber größer als 1 dur x Stern + 10, weil xdach kleiner ist als x Stern. Na, deswegen

ist 1 dur xach größer als 1 dur x Stern. Und das war f von x Stern. Also, wenn jemand herkommt und sagt, x Stern positiv ist ein Maximum, dann ist es sehr leicht ein anderes X zu finden, was ein bisschen kleiner ist, was einen größeren Funktionswert hat und damit wäre die Behauptung widerlegt. Also die Behauptung ist falsch und das kann man ja für ein beliebiges x wiederholen, was positiv ist. Und da ich x = 0 nicht wählen darf, was auch gar nicht ginge, weil die Funktion dann Nicht definiert wäre, gibt es kein Maximum. Okay, nächstes

Beispiel. Ich lass das mal ein bisschen hängen. Mal gucken, was da kaputt geht. Hier haben wir die Funktion x + 1. Und dieses Intervall, das sind die nicht negativen reellen Zahlen. Das kann man auch so aufschreiben. Dieses R, doppelt gestrichelnde R mit dem größer Gleichzeichen. Also alle Zahlen, die nicht negativ sind, darf ich da reinstecken. Und jetzt können wir wieder sehen, die Funktion hat ein Minimum. Die Null darf ich reinstecken, eckige Klammer, dann ist der Funktionswert 0 ge 1, also 0. Und überall anders ist der Funktionswert positiv, also muss das hier die Minimumstelle sein. Aber

ihr seht, ja, ich kann immer weiter nach rechts gehen. Der Funktionswert steigt immer weiter an, also kann ich kein Maximum haben. Die Frage ist, welcher Punkt des Extremwertsatzes, welche Bedingung ist hier verletzt? Der Extremwertsatz sagt, na ja, es muss ein Maximum geben. Sehen wir hier. Wir können das x immer ein bisschen erhöhen und der Funktionswert ist größer. Ja, bitteschön. Genau. Der Definitionsbereich ist unbeschränkt. Also, deswegen ist der Extremwertsatz verletzt. Deswegen muss es kein Maximum geben. Und jetzt können wir mal versuchen zu argumentieren, warum es tatsächlich keins gibt. Dazu rechne ich mal die erste Ableitung aus.

Also, es gibt immer verschiedene Argumente. Ich benutze jetzt mal das Argument der Ableitung. F von X, das ist ein Kozient, die Funktion x geteil ich x + 1. Das heißt, ich muss die Kootientenregel anwenden. Wie war das noch mal? Ich muss einmal den Zähler ableiten. X abgeleitet ist 1 mal den Nenner x + 1. Jet es kommt Minuszeichen. Dann muss ich den Zähler so nehmen, wie er ist und den Nenner ableiten. Wenn ich x + 1 nach x ableite, bleibt nur ein übrig. Und dann muss ich den Nenner quadrieren. Jetzt seht ihr, im Zähler kürzt

sich Einiges weg. Da habe ich einmal x - x 1 kürzt sich weg. nur die ein klebt übrig, also 1 durch x + 1² und das ist positiv für alle xe. Ja, also das kleinste x, was ich einsetzen darf, ist die 0. Für alle für alle XE ist dieser Bruch positiv. Die erste Ableitung ist positiv, also ist f strengmonoton steigend. monoton steigend und das bedeutet, falls ich ein Maximum x Stern gefunden hätte, dann könnte ich Ein X da größer als Xtern nehmen und dann wäre der Funktionswert wieder ein bisschen größer. Hätte ich ein Widerspruch und

deswegen haben wir kein Maximum. Also falls wie schreibe ich das auf? Also mit x Stern größer = 0, X Dach größer = 0 x Dach größer als X Stern gilt, dass f von x Stern kleiner ist als fch. Und damit ist xtern kein Maximum. Keine Max Stelle und das kann ich für ein beliebiges X-Stern aus dem Definitionsbereich machen und damit gibt es einfach keine Maxstelle. Okay, was war noch mal das Problem beim ersten Beispiel? Das Intervall war halb offen, also nicht abgeschlossen. Und hier ist das Intervall nicht beschränkt. Es fehlt noch Ein anderer Punkt, den

sehen wir hier. Was ist was läuft hier schief? Was brauchen wir für ein Extremenwertsatz? Ich habe hier die Funktion gar nicht angegeben. Bitteschön. Soll nur den Grafen gezeichnet. Genau. Also hier ist eine Sprungstelle. Also, wenn hier eine Funktion zugehört, y = f von x, dann ist f unstätig. Hier steht gar nicht genau, wo der Definitionsbereich ist. Ja, es geht hier Einfach um die Umstätigkeit. Also, es ist irgendwie klar, x0 ist hier eine Minimumstelle, ja, aber ich finde kein Maximum. Denn wenn ich eins finden würde, also wenn hier in dem Bereich irgendwo die Max äh der

Maximumwert wäre, dann seht ihr, ich kann ein kleines Stückchen nach rechts gehen, mini kleines Stückchen und dann erhöht sich der Funktions Okay, ich hatte vier Bedingungen, jetzt Haben wir nur drei Gegenbeispiele. Die vierte Bedingung habe ich vorhin auf dem Folien nachtragen müssen, dass der Definitionsbereich nicht leer ist. Dazu habe ich kein Gegenbeispiel, ist ja auch irgendwie ein bisschen überflüssig. Ein wichtiger Punkt äh bleibt aber noch zu sagen, also wenn eine dieser Bedingungen verletzt ist, nicht leer, abgeschlossen, beschränkt, stetige Zielfunktion, dann muss es kein Maximum geben und es muss kein Minimum geben. Es kann aber Trotzdem

noch eins da sein. Also es ist nur nicht gesichert, dass es das Extremum gibt. Wir sehen z.B. hier bei der unstäigen Zielfunktion, dass es ein Minimum gibt. Ach so, hier ist die Begründung. Erst wir haben eine unstätige Zielfunktion. Der linksseitige Grenzwert entspricht nicht dem rechtseitigen Grenzwert. Okay, jetzt möchte ich euch zwei Rezepte an die Hand geben, wie man Extremstellen findet. Das erste Rezept Können wir benutzen, wenn der Extremwertsatz nicht gilt. Lass uns mal an gucken, ob hier irgendwie festgelegt ist, dass der Extremwertsatz gelten muss. Also hier ist eine Funktion, die bildet von einem beliebigen Definitionsbereich

in die reellen Zahlen ab. Hier steht, dass der Definitionsbereich ein Intervall ist, aber hier steht nicht, dass d abgeschlossen sein muss und hier steht auch nicht, dass d beschränkt sein muss. Das heißt, hier kann es sein, dass die Bedingungen des Extremwertsatzes verletzt sind. Außerdem steht hier nicht, dass f stetig sein muss. Also hier kann alles verletzt sein, was der Extremwertsatz fordert. Der Extremwertsatz muss nicht gelten. Muss hier nicht. Nein, ich muss natürlich sagen, die Bedingungen des Extremwertsatzes, der Extremwertsatz gilt immer, aber die Bedingungen Des Extremwertsatzes müssen hier nicht gelten, also neu schreiben müssen hier nicht

erfüllt sein und das heißt, es kann sein, dass es überhaupt kein Maximum oder Minimum gibt, falls es eine gibt, also hier steht jede Extremstelle des Intervalls gehört zu Einer der drei verschiedenen Nägen. Also falls es einen extrem Punkt gibt, dann können wir den in eine der drei Kategorien hier einsortieren und alle anderen Kategorien können wir quasi bei der Suche ausklappen. Kategorie A sagt, das sind innere stationäre Punkte. Es kann trotzdem sein, dass es keine inneren stationären Punkte gibt, aber wenn es welche gibt, dann könnten die Extremstellen da drin liegen. Zweite Möglichkeit, die Endpunkte von dem

Intervall, falls die Endpunkte überhaupt im Intervall drin liegen. Mit anderen Worten, wenn das Intervall abgeschlossen ist. Und dann bleiben noch innere Punkte von denen äh vom Definitionsbereich übrig, wo die Funktion einen Knick hat, also wo die erste Ableitung nicht existiert. Ja, überall da, wo die erste Ableitung ungleich null ist, kann kein Extremum liegen. Aber wenn die erste Ableitung Einfach nicht existiert, weil die Funktion da ein Knick hat, ja, dann könnte es dennoch sein. So. Und alle Punkte, die jetzt in die Kategorien A, B oder C reinfallen, das sind Kandidaten für extrem Punkte. Die können welche

sein, müssen aber nicht. Es kann sein, dass wir äh für jede der drei Kategor Kategorien Kandidaten haben, aber trotzdem insgesamt kein Extrem Punkt existieren. Jetzt kommen wir zur nächsten Folie, zum Nächsten Rezept. Ich lasse das hier mal offen und bei dem wäre jetzt der Extremwertsatz erfüllt. Also gucken wir uns das mal an. Jetzt haben wir hier einen Definitionsbereich, der ist abgeschlossen. A und ich gehe mal direkt davon aus, dass A und B in den reellen Zahlen liegen, also nicht unendlich sind. Schreib ich mal dazu. A kleiner B A B in den reellen Zahlen. Das bedeutet,

hier haben wir die den Definitionsbereich abgeschlossen, weil wir eckige Klammern drin haben. Hier bedeutet das, dass die der Definitionsbereich beschränkt ist. Weil A und B nicht unendlich sind. Also unendlich sind keine reellen Zahlen, also auch minus unendlich nicht. Wenn A und B in den reellen Zahlen liegt, können es also nicht minus unendlich und plus unendlich sein. Und das hier Bedeutet, der Definitionsbereich ist nicht leer. Wenn a str kleiner als B ist, dann gibt es Zahlen, für die die Funktion definiert ist. Ja, jetzt habe ich zwei Bedingungen. Muss ich noch dazu schreiben. Muss ich beim nächsten

Mal besser machen. Und dann haben wir noch zusätzlich die Erforderung, dass die Funktion f differenzierbar ist. Und wir haben, ich glaube im Kapitel 7 argumentiert, wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann muss sie auch Stetig sein. Also daraus folgt, dass f auch stetig ist. Und damit sind alle Bedingungen des Extremwertsatzes hier erfüllt und damit muss ein Maximum und ein Minimum existieren. Äh und jetzt schreibe ich das noch dazu. Die Bedingungen Extremwertsatz sind erfüllt. Okay. Wie ist jetzt das Vorgehen? So ähnlich wie eben. Wir gucken uns das Innere des Intervalls an, leiten die Funktion auf diesem inneren

Intervall ab und gucken uns alle Punkte an, bei denen die Ableitung gleich 0 ist. Also, wir suchen alle inneren stationären Stellen. Alle inneren Punkte, die nicht stationär, können kein ähm Extremum sein. Da die Funktion differenzierbar ist, da gibt es auch keine Punkte, wo die wo wir die erste Ableitung nicht ausrechnen können. Dann sollen wir den Funktionswert an den beiden Rändern uns anschauen, an der Stelle A, an der Stelle B. Und dann gucken wir bei drittens einfach nach, wo ist der Wert am größten und wo ist der Wert am kleinsten und dann haben wir die Maximum

bzw. die Minimumstelle gefunden. Das ist das Vor. Ich hoffe, dass ich auch noch ein Beispiel dabei habe. Ja, wunderbar. Da können wir das einfach mal ausprobieren. Also, wir haben hier ein Definitionsbereich gegeben von 0 bis 3. Der ist abgeschlossen. Die Klammern sind eckig und wir können ein größeres Intervall finden, was diesen Definitionsbereich enthält. Also z.B. von -1 bis 4. Dadurch ist das Intervall beschränkt. 0 bis 3 ist auch beschränkt. Also beschränkt bedeutet auch keine Intervallgrenze darf minus oder plus unendlich sein und es ist nicht leer. Und wie sieht's aus mit der Zielfunktion? Ist eine quadratische

Zielfunktion und als solche ist ja auch stetig. die ist zusammengesetzt aus stetigen Komponenten. Also x² ist stetig und die Funktion x ist auch stetig. Die setzen wir zusammen. Also die ist auch stetig. Also, wir können uns sicher sein, dass hier ein Min und ein Max existiert. Wir können also das dieses hier benutzen, Dieses Vorgehen hier benutzen, um die Max und die Minstellen zu finden. Ich leite jetzt erstmal ab. Also, ich rechne f str von x aus. Aus 3x² wird 6x. aus -6x -6 und die +5 fällt beim Ableiten weg. Und jetzt suche ich alle Stellen

aus, für die die erste Ableitung gleich 0 ist. Das heißt, mit der Bedingung erster Ordnung setze ich das hier gleich 0, dann ist 6x = 6. Ich teile auf beiden Seiten durch 6, dann ist x = 1. Und jetzt müssen wir natürlich noch prüfen, ist das ein innerer Punkt? Ja, es liegt echt zwischen 0 und 3. Wegen 0 kleiner 1 kleiner 3 ist x = 1 innerer Punkt und dann wäre das ein Kandidat. Kann sein, dass hier eine Max oder eine Münstelle ist, aber es muss nicht sein. Und jetzt gehen wir in den Schritt 2

und wir berechnen die Funktion. an den beiden Endpunkten vom Intervall Aus und an diesem inneren stationären Punkt. Also wir berechnen f von 0, das ist 3* 0² - 6* 0 + 5, da kommt 5 raus. Jetzt nehme ich mir äh nicht den anderen Randpunkt, sondern damit schöne Reihe nach ist, den inneren stationären Punkt x = 1. Dann rechne ich aus 3* 1² - 6* 1 + 5, das ist 3 - 6 -3 + 5 ergibt 2. Und jetzt kommt der rechte Randpunkt die Stelle 3. Dann haben wir 3* 3² - 6* 3= 5. 3* 3²

27. Mache ich jetzt mal in zwei Schritten. 6 x 3= 18 + 5 ergibt dann 14. Kann das sein? 27 - 18= 9 + 5= 14. Und jetzt gucken wir einfach, welche Zahl ist am kleinsten, welche Zahl ist am größten. Und dann haben wir die Münstelle und die Maxstelle. Also 2 ist der Minimalwert und 14 ist der Maximalwert. Also ist x = 1 die Minenstelle und x = 3 ist die Maxstelle. So sieht's aus. War hier in meinem Vorgehen irgendwas komisch, unklar? Vielleicht irgendwie zu schnell vielleicht. Für quadratische Funktionen gibt es auch noch andere Lösungsmöglichkeiten

als die, die ich jetzt hier gewählt habe. Ich bin jetzt hier streng nach Rezept vorgegangen. Funktion ableiten. Ableitung gleich null setzen. Schauen, ob der stationäre Punkt im Inneren des Intervalls liegt. Manchmal Gibt's auch mehrere stationäre Punkte. Bei quadratschen Funktionen nicht, aber bei anderen Funktionen schon. Immer alle Punkte sich anschauen, gucken, ob die innere Punkte sind, die Randpunkte dazu nehmen und dann hat man eine Liste von Kandidaten und kann die Funktionswerte vergleichen. Eine andere Vorgehensweise wäre, wenn ich versuche, diese quadratische Funktion als Parabel darzustellen, also als ähm Produkt von Faktoren oder als Ich versuch es einfach

mal. Also, ich habe hier die 3, die will ich ausklammern. 3* x² - 2x und jetzt muss ich hier schreiben + 5/3, damit das klappt. Ich will die binomische Formel anwenden. Ich mache mal ein bisschen Platz hier in der Klammer. Ich will die binomische Formel anwenden und wir sehen hier die -2. Damit die binomische Formel klappen kann, müsste ich hier + 1 schreiben. Aber damit Verändere ich ja die Zielfunktion. Deswegen muss ich die ein wieder abziehen und dann kommt hier wieder ein Plus hin. Also ich habe einmal die ein dazu gezählt, einmal wieder abgezogen, damit

an der Stelle die binomische Formel anzuwenden ist. Also das hier wäre x - 1 zum Quadrat. Okay, jetzt schreibe ich das noch mal neu. 3* x - 1 qu -1 + 5/3, also -3/3 + 5/3, dann bleiben noch 2/3 übrig. Und jetzt kann Ich die 3 wieder reinmultiplizieren und dann habe ich 3* x - 1 qu 3 x 2 also + 2. Und dieser Funktion kann ich auch leicht erkennen, dass die eine Minnstelle Minnstelle hat ist eine quadratische Funktion. Der Koeffizient vollen Quadrat ist positiv. Die dazugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und die Minnstelle ist

dort, wo die Klammer gleich 0 ist. Also, wenn X = 1 ist, das wäre ein anderer Lösungsweg. Der würde Aber eben nicht dieses Rezept da benutzen. Das Rezept sollte aber funktionieren, wenn die Bedingungen des Extremnetsatzes sind. Okay, dann gehe ich noch weiter. Ein ökonomisches Beispiel. Ja, wir machen das ja hier nicht, damit ihr super gut Mathe könnt, sondern damit ihr super gut wie könnt. Das ist ja der Zwecker Veranstaltung. Was haben wir hier? Wir haben eine Monopolfirma, die hat eine inverse Nachfragefunktion. Die zeichne ich gleich mal im Diagramm ein. Ich glaube, dann kann man es

besser verstehen. Und hier steht erstmal ganz kompliziert Maximum. von 100 - y und 0. Ey, ich zeichne es jetzt mal direkt ein. Also, für dieses Diagramm brauche ich zwei Achsen, eine Preisachse und eine Mengenachse und die die Menge heißt hier glaube ich Y. Genau, Y. Jetzt Brauche ich zwei Achsenabschnitte. Die 100 hier, die 100 hier. Und jetzt kommt der Graf der inversen Nachfragefunktion da rein. So sieht das aus. Ja. Und ich brauche den Maximum Operator wegen diesem blöden Knick. Also wir würden es rechnerisch ein bisschen einfacher haben, wenn wir das ignorieren würden. Ja, dann wird

es einfach hier unten weitergehen. Aber ihr seht, dann kommen negative Preise raus. Das darf Nicht passieren. Also entlang von diesem Grafen gilt P = das Maximum von 100 - y und 0. Das ist die inverse Nachfragefunktion, die bestimmt, was für ein Erlös die Firma macht. Ja, die Monopolfirma kann irgendeine Menge Y wählen. Ich zeichne die auch mal ein. Nehmen wir einfach mal diese Menge Y und dann können wir hochgehen zum Grafen Und dann kommen wir hierhin und dann müsste hier stehen 100 - y und diese Fläche hier, das ist dann der Erlös der Firma. Ja.

100 - y der Preis mal y ist der erlöst. Aber die Firma will nicht nur ihren Erlös maximieren, das heißt nicht nur sie will nicht ihren Erlös maximieren, die will ihren Gewinn maximieren und der Gewinn ist Erlös minus Kosten. Das heißt, wir brauchen auch die Kosten und Die stehen hier 20* Y, eine lineare Kostenfunktion und die Gewinnfunktion ist also Erlös- Kosten, das sehen wir hier. Preis mal Menge und das hier sind die Kosten und auch das können wir in der Grafik darstellen. Das mache ich auch mal. Also, ich gehe jetzt wieder zu dem Diagramm zurück

und zwar trage ich jetzt hier mal die 20 ein. Angenommen, die sind hier. Und dann kann ich auch wieder eine gestrichelte Linie einzeichnen. Die mache ich mal bis ganz darüber, ne? Das sollen die konstanten Stückkosten sein. Also der Steigungsparameter 20 bei 20 x y, der verändert sich nicht. Meine Kosten werden nicht irgendwie steiler, je mehr Y ich produziere oder flacher. Der Steigerungsparameter ist immer der gleiche. Und jetzt kann ich als Kosten die Fläche In diesem kleinen Quadrat hier äh straffen. Also y* 20, das ist ja die Fläche, das sind die Kosten. Und dann seht ihr,

dann bleibt eine Fläche übrig. Das ist der Gewinn. Welche Farbe kriegt denn der jetzt? Mal blau. Also diese Fläche hier. Das ist der Gewinn. Okay, ich schreibe jetzt mal auf, wie die Formel dafür ist. Also, der ist 100 - y mal y, das ist der Erlös. Ah, wisst ihr was? Ich benutze die Farben aus dem Diagramm. Also rot, der rot ist hier der Erlös. 100 - y* Y. Und jetzt ziehe ich davon ab, die Kosten y* 20. Und das kann ich auch noch zusammenfassen. Also ich kann hier y* 20 bzw. -y* 20 in die Klammer

reinziehen, dann wird's ein bisschen übersichtlicher. Das ist 80 - y* y. Allerdings für y kleiner als 100. Ja, wenn y größer wird als 100. Dann sieht der Gewinn anders aus für y kleiner = 100. Und da kommt gleich noch was dazu, aber jetzt habe ich in den ersten Schritt erstmal ignoriert. Also falls y größer ist als 100, dann seht ihr, dann ist der Preis gleich 0 und dann habe ich nur die Kosten zu tragen. Also wäre eine schlechte Idee. Ich schreib es trotzdem mal auf. Der Gewinn von y = -20* y für y größer als

100. Ja, weil dann einfach der Erlöß wegfällt. Er löst es dann gleich. Also eigentlich wollen wir jetzt diese Funktion hier maximieren. 80 - y* y. Die zeichne ich auch mal ein. Funktion und dann kommt noch eine zusätzliche Kapazitätsbeschränkung damit dran. Also, jetzt habe ich hier wieder ein Diagramm mit zwei Achsen. An die Achse kommt der Gewinn Pi. Hier kommt die Menge Y. Und dann zeichne ich eine Parabel ein mit den Nullstellen 0 und 80. Also hier ist Pi = 80 - y* y. Also ihr seht, wenn y = 80 ist oder wenn y = 0

ist, dann haben wir hier ein eine Nullstelle für den Gewinn. Woher weiß ich, dass die Parabel nach unten geöffnet ist? Also, ich kann das auch Ausschreiben. Dann haben wir hier 80 x y - y² und der Koeffizient vor dem y² ist negativ. Das bedeutet, die Parabel ist nach unten geöffnet. Wenn der wenn die Zahl vor dem y² positiv ist, dann ist der die Parabel nach oben geöffnet. Und wir wissen bei einer Parabel liegt der Mittelpunkt immer in der Mitte, also bei der 40. Und dann haben wir das Gewinnmaximum schon gefunden. Können wir aber auch mit

der Bedingung erste Ordnung und so weiter Klären. Aber bevor wir jetzt anfangen zu rechnen, möchte ich noch mal darauf zurückkommen, was in der Aufgabenstellung oder in der Beispielbeschreibung noch drin steht. Da ist nämlich noch ein kleiner subtiler Punkt drin. Gehen wir mal zurück. Da steht, dass es eine Kapazitätsbeschränkung gibt, die heißt groß K. Das ist sozusagen die Fabrikgröße und die bewirkt, ich kann nicht mehr als K Einheiten produzieren. Okay, also mein y muss zwischen 0 und k liegen. Das ist deswegen gar nicht so schlecht, weil wir dann einen Definitionsbereich haben, nämlich von 0 bis k,

der abgeschlossen und beschränkt ist. Das schreibe ich mal dazu. Also Definitionsbereich, der geht von 0 bis k und der ist nicht leer, weil das K positiv ist, ja, muss es irgendwelche Y geben. Der ist Abgeschlossen und der ist beschränkt. Und die Zielfunktion schreibe ich hier unten noch mal hin. P von Y = 80 - Y* Y, die ist stetig. Ja, all die vier Bedingungen sind erfüllt. Also kann man sicher sein, es gibt auf jeden Fall ein Maximum. Und jetzt möchte ich wieder dieses Vorgehen machen. Also ich möchte ableiten gleich 0 setzen nach y auflösen und

dann schaue ich mir an, ist das ein innerer Punkt oder nicht? Und dann gucken wir mal weiter. Okay, das ist jetzt das Ziel. Im Hinterkopf habe ich, dass das Gewinn Maximierungsproblem irgendwie so aussieht. Ja, das ist die Zielfunktion. Aber ich schreibe jetzt schon mal die Kapazitätsbeschränkung damit rein und ich sage jetzt einfach mal mein K liegt hier. Ja, das soll das K sein und dann gucken wir mal, was passiert, Wenn das K anders ist. Also in diesem Fall ist das K zwischen 40 und 100. Okay, also jetzt geht's ums erste Ableiten. Schreib mal hierhin. Also,

Pi ist definiert von 0 bis K. in die reellen Zahlen mit Pi von y = 80 - y* y. Schritt 1: Innere stationäre Punkte finden oder suchen. Schritt 1, innere stationäre Punkte suchen. Dazu leite ich ab Pi str von y. Wir nehmen die Produktregel. Erster Faktor ist 80 - y. Das muss ich nach y ableiten. Ergibt -1 mal zweiter Faktor. Zweiter Faktor ist einfach nur y. Dann + erster Faktor nicht abgeleitet mal die Ableitung des zweiten Faktors. Der zweite Faktor ist y, die Ableitung davon ist 1. Das heißt, wir haben -y + 80 -y. Das

ist also 80 - 2y. Das ist die erste Ableitung der Gewinnfunktion. Wir suchen stationäre Stellen, also setze ich das gleich 0. Y auf die rechte Seite, also 80 = 2y bzw. jetzt vertausche ich die Seiten. Y = 40. So, das ist eine stationäre Stelle, aber Wir wissen noch nicht, ob es eine innere stationäre Stelle ist. Also schreibe ich dazu, y = 40 ist innere stationäre Stelle, falls k größer ist als 40. Ja, wenn k = 40 wäre oder kleiner als 40, dann wäre es eben keine stationäre Stelle. Und diesen zweiten Fall, den würde ich auch

gerne einmal in der Grafik euch zeigen, wie das aussehen könnte. Da mache ich eine andere Kapazitätsbeschränkung, äh eine andere Farbe für die Kapazitätsbeschränkung. Na, das kann man nicht gut unterscheiden. Eine andere Farbe grün. Also, das wäre der Fall 0 kleiner Kleiner= 40. Und dann sehen wir das heißt mal K da Ddach. Ja, hier ist die Fabrik ein bisschen kleiner und jetzt sehen wir grafisch den Unterschied. Wenn wir im roten Fall Sind, wenn k die Kapazitätsbeschränkung groß genug ist, dann können wir einfach hier das Maximum finden bei y = 40. Ja, dann wäre hier die maximalstelle

hier unten und oben der maximalwert. Und wenn das K zu klein wird, dann ist die Maximumstelle genau auf der Grenze. Ja, dann ist y = K. Ich nenne das jetzt mal y Dach. Das ist dann = K Dach und hier oben ist y Stern = 40. Ja, und das macht diesen Unterschied aus mit der Kapazitätsbeschrieb. Den würde ich jetzt auch gerne rechnerisch nachvollziehen. Also jetzt sollen wir in dem Rezept also den Wert der Zielfunktion an allen inneren stationären Stellen und an allen Endpunkten ausrechnen. Also Schritt 2. Rechne Pi, den Wert von der Funktion Pi an

allen Kandidaten stellen. Da haben wir erstmal den linken Rand Pi von 0. Das wäre dann also 80 - 0 x* 0 ergibt 0. Dann haben wir Pi von 40, aber eben nur falls k str größer ist als 40. Das wäre dann 80 - 40* 40 ist also 40 Quadrat. Das ist 1600. Aber nur falls k größer ist als 40 und falls kleiner ist als 40 oder? Nee, wir müssen das sowieso berechnen. Also, Wir müssen Pi von k berechnen, weil das der rechte Rand ist, so oder so. Dann haben wir 80 - k mal k. Und

das ist in jedem Fall so. Und jetzt können wir eben sagen, oder wir nehmen uns jetzt den größten Wert und den kleinsten Wert raus. Obwohl, das Minimum brauchen wir gar nicht, ne? Also das hier ist auf jeden Fall größer. 0. K ist größer als 0. Das ist größer als 0. Also, wir können auf jeden Fall schon mal sagen, y = 0 ist die Minimalstelle. Und jetzt müssen wir halt noch gucken, welcher von den anderen beiden Werten ist größte. Also, das ist die Minnstelle und falls das kleiner gleich 40 ist, sind wir schon fertig. Dann können

wir sagen, k ist die Maxstelle. Falls K kleiner = 40 ist, gibt es keine inneren stationären Stellen. Dann ist y = K eine Maxstelle. Und falls k größer ist als 40, Müssen wir vergleichen. Da müssen wir gucken, was größer ist. Vergleiche 1600 und 80 - k mal k. Okay, jetzt gibt es da wieder verschiedene Lösungswege. Also, wir könnten jetzt quasi gucken, für welches kchte Seite am größten. Dann kommt raus für k = 40, weil das die gleiche Zielfunktion ist wie ähm vorhin, bloß dass wir damit y Über y maximiert haben. Also können wir argumentieren, dass

der maximalwert von 80 - k mal k die 1600 ist. Oder wir können versuchen, das als binomische Formel aufzustellen und dann eine Ungleichung finden. Wird alles aber zum gleichen Ergebnis. Also k = 40 ist maxstelle von 80 - k* k. Also gilt das 80 - k* k k kleiner gleich ich schreib's noch mal hin 80 - 40* 40 ist aber das ist ja 1600 und also ist wenn k größer als 40 ist y = 40 die Maxstelle. Also gilt, falls K größer ist als 40, ist Y Stern = 40 die Maxstelle. Also mit anderen Worten,

die monopolistische Firma würde gerne 40 Einheiten produzieren, wenn die Fabrik zu klein ist, sodass das Nicht möglich ist, dann produziert sie einfach so viel wie sie kann, um den Gewinn zu marzieren. Okay, wir haben jetzt in diesem univariaten Fall so versteckte Nebenbedingungen in Ungleichheit gehabt. Also die Nebenbedingungen lauten hier y muss größer gleich 0 sein und y muss kleiner gleich k sein. Ja, und diese Nebenbedingung haben wir versteckt, indem wir sie quasi in den Definitionsbereich gepackt haben. Wir werden später genau diese Nebenbedingungen als explizite Ungleichungsnebenbedingungen in dem Problem drin haben und andere Methoden haben, um

das Problem entsprechend zu lösen, die glaube ich ein bisschen schneller gehen. Aber das soll schon mal quasi ein Vorblick sein. Jetzt kommen wir zu lokalen Extremstellen. Also, wenn wir eine Extremstelle benannt haben, dann haben wir ganz am Anfang von Kapitel 9 äh gesagt, eine Maximalstelle muss ein Funktionswert haben, der größer gleich ist, als alle anderen Stellen von der Funktion im Definitionsbereich und bei einer Mittstelle genau anders. Bei einer lokalen Marktstelle muss das nicht mehr gelten. Wenn wir uns hier einmal die Grafik angucken, dann ist P1 eine lokale Maxstelle. Ich schreib das mal dazu oder X1

ist die lokale Maxstelle Und P1 ist dann das lokale Maximum. Und das ist wie folgt gemeint. Es gibt eine Umgebung um x1, sodass x1 den Funktionswert innerhalb dieser Umgebung maximiert. Und diese Umgebung kann groß sein oder auch klein sein. Also in diesem Fall ist sie sogar ziemlich groß. Wenn ich hier mal eine gestrichete Linie zeichne bis an die Stelle, ja, dann kann ich sozusagen das hier x1 oben quer nennen. Und für alle XE, Die in diesem Bereich liegen, ist P1 maximal. Also P1 ist maximal auf dem Intervall von x0 bis quer. We der Bereich ist

ziemlich groß, aber für ein lokales äh Maximum muss einfach nur gelten, dass es einen Bereich gibt, eine Umgebung, eine kleine Umgebung um diesen Punkt drum herum. Und wir werden die in den Definitionen einfach nur so klein wählen, dass es nach links y Einheiten und nach rechts Einheiten geht. Ja, die müssen nicht groß sein, die kann ganz min klein sein. Und ihr seht auch P2 ist auch ein lokales Minimum, aber gleichzeitig ist P2 auch ein globales Minimum. Also auch auf dem ganzen Definitionsbereich von x0 bis X4 ist P2 Minimal. Also jedes globale in diesem Fall Minimum

ist automatisch auch ein lokales Minimum. Und hier haben wir noch mal ein lokales Maximum, Was gleichzeitig ein globales Maximum ist und P4 ist ein lokales Minimum. Also in der Nähe von P4, ne, ist kein Punkt, gibt es keinen Punkt, der ein kleineren Funktionswert hat. Das wollen wir jetzt einmal mit ein paar Ungleichungen definieren. Das seht ihr hier. Also, wir nehmen uns irgendeine Funktion, die muss noch nicht mal mehr stetig sein, aber die soll auf einem Abgeschlossenen Intervall A bis B definiert sein. Jetzt nehmen wir uns einen inneren Punkt von diesem abgeschlossenen Intervall. Der soll hier

seht ihr runde Klammern. Also x0 soll strickt größer sein als A und X0 soll x0 soll strickt größer sein äh kleiner sein als b. Und dieser Punkt ist ein lokales Maximum, falls wir um x0 eine Umgebung konstruieren können. Also, wir gehen von x0 Einheiten nach links und soll aber so Klein sein, dass diese Grenze x0 - y immer noch größer ist als a. Und wir gehen Einheiten nach rechts, aber soll so klein sein, dass x0 + y immer noch kleiner ist als b. Ja, also dieses dieser neue Bereich, das ist eine Epsil Umgebung, eine offene

Umgebung und innerhalb dieser offenen Umgebung soll eben der Punkt x0 maximal sein. Für alle XE, die ich aus diesem Intervall Hier rausnehme, soll der Funktionswert f an der Stelle x kleiner gleich sein als an der Stelle x0. So, das was jetzt hier bei einem inneren Punkt ganz gut funktioniert hat, ich gehe einfach Einheiten nach links, Einheiten nach rechts, geht halt nicht mehr, wenn wir über ein Randpunkt sprechen. Wenn wir beim linken Rand sind, nämlich an der Stelle A, dann können wir ja nicht mehr nach links gehen. Das heißt, hier muss diese Umgebung quasi nur aus

der Hälfte bestehen. Ja, wir gehen nur Einheiten nach rechts und andersrum, wenn wir am rechten Rand sind, x0 = b, dann können wir nicht mehr nach rechts gehen, dann gehen wir einfach einfach nur Einheiten nach links. Das heißt, wir gucken uns für ein lokales Maximum an, eine Umgebung, die ganz nah um dieses um die Stelle ist. Die muss nicht weit weg sein, die muss Ganz nah dran sein und überprüfen dann, ob die Funktion um diese in dieser Umgebung um den Punkt herum maximal ist oder nicht. Und für ein Minimum funktioniert das dann ganz genauso. Also

hier haben wir äh den die zusammenfassende Bezeichnung lokale extremer. Ja, wir können das Minimum, das lokale analog definieren und beides zusammen ist dann ein extremum. Wenn wir jetzt ein lokales Extremum Gefunden haben von der differenzierbaren Funktion, dann muss nach wie vor gelten, dass die erste Ableitung gleich 0 ist an dieser Stelle. Ja, umgekehrt können wir uns jetzt aber merken, wenn ich eine innere stationäre Stelle betrachte, dann kann es ein Maximum sein oder es kann auch nur ein lokales Maximum sein. Ja, und das ist sozusagen der Punkt, der rauskommen kann. Wenn wir uns noch mal die

Grafik hier anschauen und und und Ich mir einfach nur anschaue, bei welchen inneren Punkten ist die erste Ableitung gleich 0, dann kommen hier die Punkte P1, P2 und P3 raus. Aber nur einer von den drei Punkten ist ein Maximum. Ja, bei den anderen Punkten kann es sein, dass es ein lokales Maximum ist oder bei P2 sogar ein Minimum. So, wir können jetzt auch für lokale Maxima oder lokale Minima wieder diesen Test der ersten Ableitung machen. Das Haben wir eine Übung häufiger benutzt. Wie funktioniert das noch mal? Ich nehme die Ableitung der Funktion und multipliziere die

mit einer Klammer. X - X0. X0 ist der Punkt, an den die Funktion maximal oder minimal ist. Ja, und dann gucke ich mir das Vorzeichen von diesem Produkt an. Bei dem globalen Test habe ich mir das Vorzeichen angeschaut für alle XE, die im Definitionsbereich vorkommen. Bei dem lokalen Test gucke ich mir jetzt nur Noch alle XE an, die in der Nähe von x0 liegen. Das ist der Unterschied. Wenn die Funktion diesen Test besteht für alle XE, die in der Nähe von x0 sind, dann habe ich ein lokales Maximum gefunden, falls es kleiner gleich 0 ist,

Minimum, falls es größer gleich 0 ist, also ein lokales Minimum. Und falls diese Funktion hier, dieses Produkt das Vorzeichen nicht wechselt, also immer größer gleich ähm falls dieses Produkt das Vorzeichen wechselt, also auf der Einen Seite größer null, auf der anderen Seite kleiner null ist, dann haben wir kein lokales Maximum und kein lokales Minimum. Das werden wir später Sattelpunkt nehmen. Jetzt kommt der Punkt mit der zweiten Ableitung dazu. Da wurde ich auch schon drauf angesprochen. Bisher haben wir immer geschaut, ob die zweite Ableitung negativ oder positiv ist, egal welches x ich einsetze. Also, ich rechne

die zweite Ableitung Aus F2 und schau mir den Ausdruck an für ein beliebiges X. Wenn dann rauskommt, der Ausdruck ist immer kleiner gleich 0, dann kann ich sagen, die Funktion ist koncave und dann müssen stationäre Stellen Maximumstellen sein, also ein globales Maximum. Jetzt geht's hier um ein lokales Maximum und da müssen wir eben nicht mehr alle XE einsetzen, die im Definitionsbereich vorkommen. Wir müssen auch nicht alle XE einsetzen, die In dieser kleinen Umgebung sind, sondern wir müssen nur noch das x einsetzen, was wir gerade untersuchen, also dieses x0. Wenn wir an einer bestimmten Stelle rausfinden,

dass die zweite Ableitung kleiner als null ist, dann wissen wir, wir haben ein lokales Maximum gefunden. Und das ist manchmal extrem hilfreich, weil wir dann ausschließen können, dass es sich um Minimum handelt. Ja, wenn wenn eine Funktion an der Stelle ein lokales Maximum hat, dann kann nicht Gleichzeitig an der Stelle ein Minimum bestimmen. Okay, damit kommen wir zu den Bedingungen zweiter Ordnung für eben lokale Maximumstellen. Wenn wir eine lokale Maximumstelle haben, muss die zweite Ableitung der Funktion kleiner gleich 0 sein. Ja, ihr gemerkt hier eben war doch eigentlich hier eine strikte Ungleichung. Auf der Folie

davor war die Richtung, aber ich halte mal beide Folien fest hier, damit Ihr beides seht. Auf der Folie davor ist die Ungleichung strickt und wir können also sagen, ich schreib das mal auf f2 von x0 kleiner 0. Dann also der Fall geht so in die Richtung, dann ist x0 eine lokale Maxstelle. Ja, die ist zusätzlich strickt. Das ich hier kurz weg, um den Unterschied zu zu zeigen. So, was drücken? Das werde ich festhalten. Und jetzt gehe ich eins weiter. Wenn ihr auf die nächste Folie kommt, dann seht ihr, dass der Pfeil andersrum ist. Ja, also

wenn ich andersrum argumentiere, x0 ist eine lokale Maxstelle, dann folgt daraus, dass die zweite Ableitung kleiner gleichen ist. Also, dann darf die zweite Abitung auch gleich sein. Okay, wir haben es fast geschafft. Ich werde heute wahrscheinlich ein bisschen früher fertig sein. Ich glaube, da lohnt sich es nicht in letzten 5 Minuten ein neues Kapitel zu anzufangen, aber wir haben hier noch ein Rechenbeispiel, was jetzt in aller Ruhe uns anschauen können. Ihr seht hier eine kubische Funktion. kubische Funktion bedeutet, wir haben ein hoch 3 dabei, ein Polynom dritten Grades und kubische Funktionen haben immer zwei Formen.

Also, wenn wenn alle Parameter, die in der Funktion vorkommen, ungleich null Sind. Also, das hier sind die Parameter, wenn die ungleich null sind, dann haben dann gibt es immer zwei Formen und ich zeichne euch die mal auf. Es kann sein, dass die so aussieht. Oder es kann sein, dass die so aussieht. Ja, das ist der Graf von der kubischen Funktion. Und ihr seht, da haben wir tatsächlich lokale Maxima und lokale Minimum. Wann tritt jetzt welcher Fall auf? Lass uns mal die Funktion angucken, die hier steht. Da ist der erste Parameter, der vor dem X hoch

3 steht, positiv. Wenn ich mir jetzt ein ganz kleines X vor stelle, also z.B. - 1000, dann ist -1000 hoch 3 immer noch negativ. Ja, wenn ich einen ungeraden Exponenten habe, dann bleibt es minus erhalten. Und wenn jetzt der Koeffizient hier positiv ist, dann ist also ein mal -1000 hoch3 immer noch negativ. Das bedeutet, wenn das hier positiv ist, dann sind wir hier im linken Falten. Und wie schreibe ich Das jetzt auf? Also, ich schreib das mal auch so. A, B, C, wenn das die Parameter sind, wenn A positiv ist, dann sind wir hier im

linken Fall und wenn A negativ ist, dann sind wir hier im rechten Fall. Und das hilft einem schon ungemein, um so ein bisschen die Struktur der Funktion nachzuven. Konzentrieren wir uns mal auf den linken Teil. Dann sehen wir, dass die einen Konkaven Teil hat. Also bis hierhin ist sie Konkave und ab hier ist sie dann konvex und im anderen Fall ist es genau anders. Ich schreib es auch mal auf. Bis hier ist sie Konvex und dann ist die andere Hälfte konk. So. Und wir möchten jetzt eben für diese Funktion Extremstellen finden. Und wir wissen bereits

jetzt, okay, es muss nicht unbedingt Extremstellen geben, wenn wir An den Extremwertsatz denken. Das ist hier verletzt. Das Intervall, auf dem es ähm definiert ist, auf dem die Funktion definiert ist, es gilt von minus unendlich bis plus unendlich. Das heiß, wir haben kein beschränktes Intervall und dann muss kein Extremum existieren. Aber lokale Extremer können wir sehen und die wollen wir ausrechnen. Wie gehen wir vor? Erste Ableitung bilden. Habt ihr vielleicht Lust auch noch mal ranzugehen? Dann würde ich Vielleicht noch mal 2 Minuten die Klappe halten, bildet die ersten Ableitung, setzt die gleich null und überprüft

dann die zweite Ableitung an der Stelle, die ihr da rausgefunden habt. Und dann könnt ihr mir sagen, ob ihr lokale Minima oder lokale Maximal gefunden habt und wenn ja, wo. Und wenn jemand schon frühzeitig fertig ist, dann kann diese Person gerne auch schon mal die Wendestelle ausrichten. Jetzt halte ich mal z Minuten meine Kappe und lass euch Einfach mal machen und dann besprechen wir gemeinsam, was da rausgekommen ist. Hat jemand von euch jetzt die erste Ableitung ausgerechnet? Hier schon mal hinschreiben. Ja, bitte. Perfekt. Das ist die erste Ableitung. machen vielleicht gleich weiter, aber wenn ihr

im Video dabei seid, könnt ihr kurz überprüfen, ob ihr da schon mal richtig machen. Falls nicht, könnt ihr noch mal neu probieren, die Nullstellen Auszurechnen. Dazu würde ich jetzt äh übergehen. Möchte jemand die Nullstellen ausrechnen? Ja, da oben bitteschön. Mal 3 recht. Das mache ich. Also, dann wird aus dem 13 ein, dann haben wir x² - 1/3 1. Okay, bitte. Dann rechnen wir auf beiden Seiten bis zwei. Dann kann man was machen. Boah, das habe ich nicht verstanden. Ach so, sieht man das so direkt? Okay, sehr gut. Also die Antwort war jetzt dann kommt für

x eine 2 und eine -1 raus. Wir könnten die mal einsetzen und überprüfen, ob das stimmt. Aber die Frage ist, hy, wie kommt man da drauf? Ich würde jetzt noch eine Zeile höher gehen, hier in die Zeile und da von dort aus vielleicht die PQformel mal anwenden. Ist für manche vielleicht umständlich, manche sehen das direkt, aber das ist ein Lösungsweg, der halt Funktioniert. Wie ging das noch mal mit dem P? Also hier ist das p = -1, das hier ist das Pzusagen und das hier ist das Q. Und jetzt benutze ich die PQ Formel. Dann

ist X1 2 gegeben durch - P/BE p= -1. Also, wenn ich davon die Hälfte nehme, kommt dann - ein/b raus, also + ein/b, dann plus minus die Wurzel, dann muss ich dieses - p/ halbe quadrieren, also ein Und dann muss ich - q rechnen. Aufgepasst, hier steht -2, also -2 ergibt + 2. Jetzt rechne ich aus. 1/2 plus minus. Was genau steht da unter der Wurzel? Die zwei sind 4/4 + 1 sind also nein, die zwei sind 8/4. Jetzt hät ich fast falsch gemacht. Ich schreib lieber schrittweise auf. Also 8/4 so ist ein halb plus

minus die Wurzel aus 9/4 Ist also ein/b plus minus. Und was ist die Wurzel aus 9/? 3/be und dann haben wir x1 = 1/2 - 3/ und das ist -1 und x2 = 1/2 + 3/ und das sind vier halbe, also 2. Also die Stellen, die eben da genannt wurden, stimmen, kommen mit der Formel raus und jetzt wisst ihr auch, wie man darauf kommt. Weise, wenn ich das hier mal eintrage, dann haben wir hier die -1 Und hier die + 2. Und jetzt kommt eben diese Sache mit der zweiten Ableitung. Das heißt, wir müssen die

erste Ableitung, diese hier noch mal ableiten und die zweite Ableitung ausrechnen. Und das kriege ich das auf die gleiche Folie. Nö, warum auch? Also, es halt mal fest. Jetzt kommt die zweite Ableitung. Ich schreib die erste Ableitung noch mal ab, damit auch die Leute im Video das sehen. 1/3 x² - 1/3 x und dann -2/3. Und jetzt will ich die zweite Ableitung haben. Möchte jemand die zweite Ableitung ausrechnen? Bitteschön. 2/3 x - 1/3. Und was machen wir jetzt mit der zweiten Ableitung? Wofür haben wir die überhaupt gebraucht? Ja, bitte. Genau. Also die beiden Stellen, die

wir Eben gefunden haben, diese hier x1 = -1 bzw. x2 = 2. Die können wir jetzt in die zweite Ableitung einsetzen. Können schauen, ob die zweite Ableitung hier plus oder minus ist und dann können wir sagen, wir haben lokales Max oder minus. Ich weiß nicht, ob ich jetzt gerade die richtige Reihenfolge benutzt habe, aber ich rechne jetzt einfach mal aus. F2 an der Stelle -1 2/3* -1 -1/3. Da steht also -2/3 - 1/3 -1 ist kleiner als 0 und an der Stelle 2 haben wir 2/3* 2 - 1/3 also 4/3 - 1/3 ist 3/3 ist

+1 und das ist positiv. So, was hilft uns das jetzt? Ich habe jetzt einfach nur stumpf ausgerechnet, ohne nachzudenken. Also, wenn die zweite Ableitung negativ ist, ist die Funktion konkrav. Wir haben die zweite Ableitung nur an einer einzigen Stelle ausgerechnet. Das heißt, Wir müssen sagen, sie ist in der Umgebung um die -1 konkrav. Das heißt, in dieser Umgebung ist die -1 ein maximal eine Maximalstellung. Das heißt, x = -1 ist ein lokales Maximum. Und wenn die zweite Ableitung größer als 0 ist, dann haben wir eine lokal konvexel Funktion. Also, das ist ein lokales Minimum. Und

wenn ich jetzt noch Mal hochsrolle zu der Skizze, ja, dann seht ihr, dann passt das. Also, wir haben hier an der Stelle x - 1 ein lokales Max und hier haben wir ein lokales Minimum. Okay, vielen Dank fürs Mitmachen. Das war Kapitel 9. Ihr seht hier noch mal Zusammenfassung und ab nächster Woche geht's dann mit Kapitel 10 Integration weiter. Bis dahin, ciao.