de exposant a + D exposant B + D exposant C = 148 cherchez A B et C mesdames et messieurs bonjour ce problème est posé aux Olympiades math et on va voir comment trouver la valeur de A B et C bien ici on a 2 exposants A+ 2 exposants B + 2 expos C é= à 148 la première des choses dont nous avons besoin de faire c'est de mettre de exposant a en facteur donc c'est-à-dire on factorise ça par D exposant a donc d exposant a facteur alors si on factorise des termes par de exposants
a c'est-à-dire que à chaque terme on va diviser par de exposant a c'est-à-dire de exposants a qui est ici on le divise aussi par de exposant a plus 2 exposant B on le divise par 2 exposant B euh a également plus 2 exposants C aussi on le divise par 2 exposant a pourquoi parce qu'on a mis de exposants a en facteur alors c'est-à-dire que chaque terme on divise par de exposants a égal à 148 donc on écrit 148 première étape 2è étape il faut écrire ici deux expos a et là nous avons quoi qu'est-ce qu'on
a d exposant a divis par D expos a donc on simplifie ça reste 1 + D exposant B sur D exposant A+ 2 exposant C sur 2 exposant a qui est égal à 148 première étape 2è étape on doit décomposer les 148 bien décomposant les 148 donc je vais écrire quelque part là 148 je divise par 2 donc 148/ par 2 ça me donne 140 c'est 70 donc le 8 c'est 4 donc ça fait 6 on divise par 2 ça donne 37 alors le 37 est un nombre premier on le divise par 37 ça nous
donne 1 donc là qu'est-ce qu'on va écrire on va écrire c'est équation est équivalente à 2 exposant a facteur de 1 + 2 exposants B on divise par 2 exposant a + 2 exposant C on divise par de exposants a qui est égal et là 148 c'est égal à 2 x 2 x 37 donc on écrit 2 x 2 x 30 7 bien maintenant ici de exposant a facteur de 1 + 2 expos B sur 2 exposant a + 2 expos C sur 2 exposant a é= le 2 x 2 je vais écrire 2 au
Carr x 37 alors ici nous avons le produit d exposant a multiplié par toute cette quantité alors vous savez que ici quelle que soit la valeur de a et b toute cette quantité là est une quantité imp parce que on sait déjà que d exposant B sur D exposant a + D exposant C sur D exposant a quelle que soit la valeur de a ça va nous donner quoi ça va nous donner un nombre paire plus le 1 ici ça donne un nombre Impire vous voyez alors maintenant pour tout a supérieur à 0 pour tout
a non nul cette quantité là elle est toujours quoi une quantité paire donc c'est une quantité paire donc quand on a une quantité pair multiplié par une quantité imp paire ça donne une quantité paire multiplié par une autre quantité qui est impère donc qui par identification veut dire que d exposant a a ça donne d au carré qui est ici donc et ici c'est clair que d exposant a donc on a d exposant 2 c'està-dire que le 2 qui est ici c'est celui-là donc le a va être égal 2 et toute cette quantité qui est
là c'est équivaut au 37 qui reste donc qu'est-ce qu'on va dire donc ici le pair équivaut au nombre paire qui est ici et l'impè équivaut au nombre impèire qui est là donc qu'est-ce qu'on va dire on va dire ici 2 exposant a é= à 2 au Carr ça veut dire que ici le a é=ale 2 et bien là 1 + 2 exposant B sur 2 exposant a + 2 expos C sur 2 exposant a égal à combien égal à 37 on a déjà trouver la valeur de a incroyable une seule équation à trois inconnus et
toutes ces trois inconnus peuvent se trouver alors là maintenant je vais effacer ici on va continuer la suite alors abonnez-vous et laissez une pouce bleu afin de nous encourager maintenant prenons cette équation 1 + 2 exposant B sur 2 exposant a + 2 exposant C sur D exposant a ég à 37 qu'est-ce que nous allons faire j'ai besoin d'amener le 1 ici de l'autre côté voilà et ici comme il y a de exposants a au dénominateur d exposant a je peux écrire une seule fois d exposant a afin de me casser la tête j'écris deux
fois donc c'est-à-dire d exposant B + 2 expos c le tout sur 2 exposant a ég à 37 le 1 vient par ici ça devient 1 donc qu'est-ce qu'on fait on trouve D exposant B + D exposant C les tout sur D exposant a a c'est égal à D donc d exposant a c'est-à-dire 2 exposant 2 donc c'est 2 au carré qui donne 37 - 1 qui donne 36 bien ce que nous allons faire ensuite donc on a déjà trouvé la valeur de a je vais l'écrire quelque part que c'est a é= à bon je
l'écris quelque part ou gardons les en mémoire que a é= à 2 déjà donc ici nous avons 2 exposant B + 2 expos C sur 2 au car c'est 4 qui est égal à 36 donc on fait produit de moyenne est égal au produit extrême c'est-à-dire les 4 multiplie directement les 36 ceci équivalent à 2 exposant B + 2 expos C ég à 36 x 4 ok alors maintenant qu'est-ce qu'on fait on doit mettre re ici 2 exposant B en facteur donc regardons 2 exposant B en facteur quand on met de exposant B en facteur
on trouve d exposant B sur D exposant B + D exposant C sur 2 exposant B qui est égal à 36 je vais décomposer directement le 36 ça va me donner 4 x 9 donc 4 x 9 et x 4 donc j'ai pas décomposé en produit des facteurs de nombre premier mais je les pose comme ça alors qu'est-ce qu'il faut faire maintenant ici on sait que 2 exposant B et là 2 exposant B D exposant B se simplifie il reste 1 + 2 expos C sur 2 exposant B alors là les 4 x 4 j'ai
besoin d'écrire 4 ici comme 2 x 2 et le 4 ici aussi comme 2 x 2 et le 9 je les garde 9 comme ça bien maintenant qu'est-ce qu'on fait on va dire 2 exposant B facteur de 1 + 2 exposant C sur 2 exposant B é= 2 x 2 x 2 ça donne 2 exp 4 x 9 bien on est revenu à la même histoire d exposant B par identification ça c'est un nombre pair ici même ça va donner un nom ici même c'est un nombre pair vous voyez donc le pair on va le
mettre égal au pair par identification et là un nombre ici c'est un nombre toujours paire alors + 1 ça donne un nombre imp paire donc 1 + 2 exp C sur 2 expos B ça nous donne combien ça nous donne 9 donc par identification le 2 exposant B é= à D exp 4 et le 1 + D exp C sur D expos B va être égal à 9 bien donc j'ai jefface ici là maintenant par identif on va dire 2 exposant B est ég à 2 expos 4 et 1 + 2 expos C 2 expos
C sur 2 expos B égal égal combien égal à 9 et ici ça veut dire que B = 4 donc j'ai trouvé a ég combien 2 B é= 4 bien il reste seulement l'unique équation ici qu'on va travailler avec alors là j'écris 1 + 2 exp C sur 2 exp B = à 9 donc j'ai j'ai besoin de déplacer le 1 par ici ça devient 1 donc je fasse là donc j'écris 2 exposant C sur 2 exposant B é= 9 et le 1 ça devient 1 donc c'est-à-dire d expos c sur de exposant b b
c'est combien B c'est 4 qui est égal à 9 - 1 ça fait 8 alors 2 expos C sur 2 exp 4 ça nous donne 16 qui est égal à 8 alors on fait produit de ég produit d' extrême c'est-à-dire d expos C ég à 8 x 16 le 16 là je le garde de exposant 4 c'est mieux 4 alors ici d expos C = 8 8 c'est 2 au³ x d expos 4 bien maintenant on trouve ici 2 exposant C = 2 au³ x 2 expos 4 c'est comme si c'est a à la puissance
m X a à la puissance N qui donne a à la puissance m + N donc ça donne 2³ x 2 exposant 4 ça donne 2 exposant 7 et là qui veut dire que euh ici le C ég à 7 donc on a trouvé la valeur de a é= 2 B é= euh 4 et le C ég à 7 bien a é= 2 B = 4 et C = 7 on va vérifier on va remplacer a par sa valeur B par sa valeur et C par sa valeur pour voir est-ce que on trouve le tout
ça nous donne 148 donc je passe ici vérification donc 2 et a c'est exposant combien a exposant a = 2à D + B c'est 4 et le C c'est 7 est-ce que tout ça là on va trouver que c'est égal à 148 alors 2 expos 4 c'est ég 2 exp 2 c'est é= 4 d expos 4 c'est é= 16 et 2 exposant 7 donc 2 expos 7 on peut utiliser la calculatrice 2 expos é= 128 ok égal à 128 est-ce que le T nous donne 148 alors 4 + 6 + 16 ça nous donne 20
20 + 128 est-ce que ça nous donne 148 et donc 20 + 128 ça donne 148 donc 148 é= à 148 c'est vrai et voilà la solution euh comme c'est des triplé donc je peux dire a c'est égale à 2 B = 4 et C é= 7 voilà comment on résout cette équation ainsi nous sommes arrivés à la fin de cette vidéo n'oubliez pas de laisser une pouce bleu et à très bientôt pour une nouvelle vidéo
