Mathematik Vorlesung 3

Hallo und herzlich willkommen. Ich begrüße euch zur Vorlesung Mathematik. Das ist jetzt schon die dritte Vorlesung in diesem Semester und ihr seht, heute kommt ein neues Kapitel dran. Kapitel 8: Konvexe und konkave Funktion. Andersrum konkave und konvexe Funktion. Vielleicht habt ihr diese beiden Begriffe noch so ein bisschen im Kopf. Ja, das hat was damit zu tun, wie eine Kurve gekrümmt ist. Und das wiederum brauchen wir, um Zu bestimmen, ob wir ein Maximum oder ein Minimum gefunden haben. Und darum geht's in dieser Vorlesung Mathematik, also nicht der heutigen Vorlesung, sondern der ganzen Reihe. Wir wollen am

Ende der des Semesters optimieren können, ja? Das heißt, Maxima und Minima finden können. Und das ist eben ein Teil dieser Optimierung. Ich beginne jetzt dieses Kapitel erstmal mit ein bisschen Intuition. Also, ich möchte euch intuitiv erklären, was Konvex und koncav ist. Und dann gehen wir ein bisschen an die Definitionen, an die Formeln ran. Ich habe hier ein Bild mitgebracht, was natürlich nicht KI generiert ist. Man erkennt auch, dass die Steine, wenn man ganz genau hinkommen guckt, so ein ganz kleines bisschen symmetrisch sind. Also die Strukturen der Steine ist natürlich reiner Zufall. Also, ich habe mich

darüber gefreut, ein bisschen rumzuspielen, so ein bisschen Promts Einzugeben. Was sehen wir? Eine Höhle, einen Höhleneingang mit einer Wäscheleine. Was hat das jetzt mit Konkavität und Konvexität zu tun? Das soll eine Eselsbrücke sein, damit man sich besser merkt, merken kann, was ist jetzt genau Konkav, was ist Konvex? Die Konzepte sind sehr ähnlich und man kommt dann ganz leicht durcheinander, was jetzt was ist. Und die Eselsbrücke ist die folgende. Also, wir sehen hier eine Höhle, da ist Auch ein kleiner Spooky drin. Kann man so ganz leicht erkennen. Und Höhle heißt auf englisch Cave. Schreibe ich mal

dazu. Und das Konzept, was ich hiermit erklären will, heißt Concave auf Englisch. Ja, also Concave Deutsch bzw. Concave auf Englisch. Und wenn man jetzt eben nicht mehr genau weiß, ist das jetzt Konkaf oder Konvex, denkt man eben an die Höhle. Gemeint ist hier der Höhleneingang. Ich ma hier mal so ein Rundbogen. Dieser Graf, den ich jetzt dann rot eingezeichnet habe, der ist manche sagen rechts gekrümmt oder eben Concave. So, und jetzt möchte ich ein bisschen näher an die Definition dran, die wir gleich sehen werden. Ihr seht zusätzlich eben noch eine Wäscheleine, die gespannt ist. von

der einen Seite des Höhleneingangs zu der anderen Seite. Und im Idealfall wäre jetzt diese Wäscheleine total gerade. Ja, ich habe das in dem Prompt probiert, aber in den Promts probiert so gerade wie möglich zu machen. Die ist immer noch so leicht gekrümmt. Stellt euch vor, die wä einfach ganz gerade. Und wenn diese Wäscheleine unterhalb von dem Grafen verläuft, unterhalb von dem Höhleneingang, dann sprechen wir von Konkave. Ja, also zwischen Wäschenleine und Graf ist ein bisschen Platz und die Wäscheleine liegt unter dem Grafen, dann ist der Graf konkave. Das ist so die ganze Story von diesem

Bild und ich hoffe, dass man im entscheiden Moment genau daran denkt und sich dann merken kann, was Concav noch mal bedeutet. Das kann man natürlich auch umdrehen und auch hier habe ich ein bisschen rumgespielt und ein Bild generiert von einem Tal, über das eine ein Seil gespannt ist oder Viel mehr eine Seilbrücke. Ja, und der hier kann ich auch wieder einen Grafen einzeichnen. Der soll die Konkur Konturen von dem Graf äh ja, von diesem Tal irgendwie wiedergeben, ne? Dieser Graf wäre konvex gekrümmt. Wir verbinden wieder zwei Seiten, also zwei Punkte, die auf dem Grafen liegen,

verbinden wir durch eine Linie. Und wenn die Linie oberhalb des Grafens verläuft, dann haben wir einen konvexen Grafen. Also das hier soll eben konvex sein. Hier habe ich leider kein Wortspiel gefunden. Ähm, aber wenn man das eine Wortspiel kann, Cave, Concave, ja, dann kann man dadurch dann quasi das andere sich auch mitmerken. So. So, und jetzt müssen wir irgendwie diese beiden Bilder in Definitionen reinpacken. Das heißt, wir müssen es irgendwie schaffen, den Grafenformal darzustellen und die Wäscheleine oder die Seilbrücke Formal darzustellen. Den Grafenformal darstellen, das geht leicht. Ja, da können wir einfach sagen, y =

F von X, wenn das jetzt hier ein Diagramm ist, y = F von X und f irgendeine Funktion. Ja, bei der Höhle ganz genauso. Ich schreibe ich auch mal dazu. Y = F von X. Das ist der Graf, um den es geht. Aber die Frage ist, wie kriegen wir das hin mit der Wäscheleine oder der Seilbrücke? Dazu brauchen wir ein kleines Instrument und dieses Instrument heißt Konvexkombination. Kompliziertes Wort. Man kann auch Mischung sagen. Ja, Mischung kann ich mir viel einfacher merken. Und dieses Konzept Konvexkombination, das können wir tatsächlich auch noch an anderen Stellen benutzen. Und

deswegen ist es sinnvoll, das so mal ganz genau zu definieren. Was brauchen wir für eine Konvexkombination? Wir brauchen erstmal zwei Zahlen, zwei unterschiedliche Zahlen, die heißen hier x1 und x2. Und dann brauchen wir ein Mischungsverhältnis und das ist dieses Lambda. Dieses Symbol hier, das heißt Lambda, wird so geschrieben. Das griechische L hier, das kleine L. Und das kann man sich denken, das ist ein Mischungsverhältnis. Ja, wir sehen, dass Lambda zwischen 0 und 1 sein soll. Wenn Lambda 1/B ist, bedeutet das, wir nehmen von beiden Zahlen, den Zahlen x1 und x2, jeweils die Hälfte. Aber das

Lambda darf eben z.B. auch nah an der Null sein und dann können wir sehen, dass dieses Mischungsverhältnis eben uns irgendeine Mischung zwischen den beiden Punkten x1 und x2 gibt. Also, wenn Lambda sehr nahe an 0 ist, dann ist das Gewicht, was zu x1 gehört, sehr klein und das Gewicht, was zu x2 gehört, nämlich 1 -da, ist dann sehr groß. Das heißt, wenn Lambda gegen 0 läuft, geht Das Mischungsverhältnis eigentlich gegen x2. Ja, dann verwenden wir nur x2. Wenn Lambda gegen 1 geht, dann verwenden wir eigentlich nur x1. Ja, das Gewicht von x2 wäre dann nahe

0. Und wenn dann da irgendwo dazwischen liegt, dann benutzen wir eben beide Zahlen auf irgendeine Weise. Und hier habe ich direkt euch ein Rätsel aufgeschrieben. Also, ich habe konkret mal gesagt, x1 soll die Zahl 5 sein, x2 soll die Zahl 15 sein und jetzt mischen Wir diese beiden Zahlen 5 und 15. Und dann kriegen wir oder dann möchte ich drei Zahlen kriegen, die hier auf der Zahlen gerade abgebildet sind, nämlich die 6, die 11 und die 13. Und für jede der drei Zahlen brauche ich eben ein bestimmtes Lambda. Und ich wollte euch fragen, ob ihr

mir sagen könnt, welches Lambda ich wohl benutzen müsste. Vielleicht ein kurzer Hinweis, wenn ich Lambda = 1 wähle, dann habe ich die 5. Das heißt, an dieser Stelle hier Ist Lambda = 1. Und wenn ich lambda = 0 wähle, dann habe ich die 15. Das heißt, an dieser Stelle ist Lambda = 15. Und meine Frage an euch ist jetzt, welches Lambda brauche ich, damit die Mischung 6 ergibt? Ja, die Mischung zwischen 5 und 15 soll 6 ergeben. Und ihr habt jetzt mal einen kurzen Moment Zeit darüber nachzudenken und ich gucke solange, ob im YouTube Chat

irgendeine Fehlermeldung benannt wird. Okay, kein Fehler, das freut mich. Jetzt Können wir weiter grübeln. Wir können dieses Lambda auch als Prozentzahl interpretieren. Ja, wenn Lambda 1/B ist, dann ist das 50% von x1, 50% von x2. Jetzt lautet die Frage, wie viel Prozent von x1 und wie viel Prozent von x2 muss ich benutzen, damit die Mischung zwischen 5 und 15 6 ergibt? Hat das schon jemand auf die schnelle raus? Oh, ich sehe eine Hand. Bitttechön. 0,9 0,9 Ey, ich weiß es gar nicht, ob das stimmt, aber lass uns das einfach mal ausprobieren. Okay, ich schreibe jetzt

mal 0,9 hier rein und dann mache ich die Probe. Also, ich probiere jetzt mal aus. Lambda = 0,9, dann ist 0,9. Also ich benutze hier oben die Formel, ja? Also für Lambda schreibe ich 0,9* 5 + 1 - 0,9. Das kann ich schon mal ausrechnen. 0,1* 15. Jetzt rechne ich aus. 0,9* 5= 4,5. 0,1* 15= 1,5 und das ergibt tatsächlich 6. Ja, das stimmt. Vielen Dank. Hat gut geklappt. Hat noch jemand Lust für die anderen beiden Werte mir ein Lander zu nennen? einfach nur zum Üben, um reinzukommen, wie das mit den Konvexkombinationen funktioniert. Bitttechön. Hier

wird die 0,4 genannt. Ich vermute mal, das gehört zu 11 oder probieren wir mal aus in blau. 0,4. Ich mache hier mal die Nebenrechnung. 0,4* 5. Jetzt muss ich 1 - 0,4 rechnen. Also 0,6* 15. 0,4 x 5 2 und 0,6 x 15 ist ein bisschen schwieriger. Ich habe jetzt 9 ausgerechnet. Ich hoffe, das stimmt. Ich glaube schon. Das ergebt es ja doch. Haut hin. 2 + 9= 11. Also, das klappt. Und du hast eben schon die dritte Zahl gesagt, aber ich wollte noch jemandem Anders die Möglichkeit geben. Da oben bitteschön. Gerne. Mhm. 0,2 0,2.

Auch das probieren wir mal aus. Welche Farbe habe ich noch nicht? 0,2. Also ich rechne jetzt aus. 0,2* 5 plus was ist die Gegenzahl oder 1 - 0,2 ist dann 0,8* 15. 0,2* 5= 1. Jetzt habe ich ganz schön lange dafür gebraucht. Und 0,8 x 15. Wie rechnen wir das aus? Also ich rechne jetzt 10 x 15 - 0,2* 15. Nee, nicht 10 x 15. 1 x 15 - 0,2 x 15 1 x 15 - 1= 14. Nein, das stimmt überhaupt nicht, was ich hier zurecht rechne. 12 müsste da rauskommen, oder? Meine Güte, 0,8. Also,

ich mach's jetzt mal ganz basic. Das ist 8 und dann haben wir 12. Genau. Also + 12 und dann kommt 13 raus. Perfekt. Stimmt. Jetzt habe ich mich aber ganz schön Schwer getan. Da kommt eine Wortmeldung. Bitttechön. Könen vielleicht erklären auf diese Zahlen kommt. Wie kommt man überhaupt durch die Zahlen? Das ist eine super Frage. Also, ich habe jetzt euch einfach nach den Zahlen gefragt, ihr habt mir Zahlen gesagt und ich habe die verifiziert. Aber hä, wie kommen die Leute überhaupt da drauf? Ja. Ist das einfach jetzt Zufall, dass man die Zahl mal ausprobiert hat?

Also, wir probieren, Wir lösen das jetzt mal auf mit Pink habe ich noch nicht. Ich mache das mal hier oben. Also z.B. die 0,9 möchte ich jetzt mal ausrechnen. Wie kommt man darauf? Um die 0,9 zu finden, sage ich Lambda mal 5 + 1 - Lambda mal 15. Das soll gleich sein die Zahl, die hier unten auf der Zahlen steht. Das ist die 6. Jetzt habe ich eine Gleichung mit einer Unbekannten und kann diese Gleichung nach dieser Unbekannten auflösen. Dazu Muss ich die Klammer ausrechnen. Also 1 - lambda mal 15, das ist 1 x 15

- lambda mal 15 = 6. Jetzt kann ich auf der linken Seite alles sammeln, was mit Lambda zu tun hat und auf der rechten Seite sammel ich alles andere. Also auf der linken Seite habe ich lambda mal 5 - lambda* 15 - lambda mal 10. Auf der linken Seite habe ich hier noch die 15, die muss ich rüber bringen. Das Soll 6 - 15 sein, also - 9. Und jetzt teile ich beide Seiten durch -10. Und dann kriege ich raus lambda = -9 ge -10 und das ist 0,9. Das war der rechten Weg für die

Situation, wo wir hier eine 6 stehen haben. Und wenn ich hier eine 11 stehen habe, dann muss ich eben an der Stelle in der Gleichung nicht 6, sondern 11 schreiben und dann entsprechend das Lambda wieder ausrechnen. Das ist der Lösungsweg, wie wir dahinkommen. Okay, wir haben jetzt zwei Zahlen gemischt, zwei einzelne Zahlen. Aber mit diesem Konzept Konvexkombination können wir auch noch kompliziertere Objekte mischen, z.B. Punkte. Ich habe hier ein Koordinatensystem mit zwei Punkten, die jeweils zwei Koordinaten haben. X1 Y1 und X2Y2. Und wenn wir jetzt diese beiden Punkte Miteinander mischen, dann kriegen wir irgendeinen Punkt

auf der Verbindungslinie zwischen diesen beiden Punkten. Und da kommen wir schon in die Nähe von der Wäscheleine. Ja, diese gestrichelte Linie ist die Menge aller Konvexkombinationen von den beiden Punkten. Das schreibe ich mal dazu. Menge aller Konvexkombinationen und zwar von den Punkten x1 y1 Und X2 y2. Wenn wir lambda = 1 setzen, dann können wir da oben mal nachgucken. Wenn wir lambda = 1 setzen, dann ist das einfach der Punkt x1 y1, weil hier steht nur 0. Also hier ist lambda = 1. Und umgekehrt, wenn wir lambda = 0 setzen, dann wandern wir zu dem

Punkt. Und je nachdem, was für ein Lambda wir auswählen, wandern wir eben auf der gestrichelten Linie hin und her. Jetzt ist wieder die Frage, wie lautet das Lambda für diesen Punkt hier? Da könnt ihr noch mal ein bisschen knobeln. Ich habe hier keine Zahlen angegeben, aber vielleicht kann man das trotzdem lösen ohne Zahlen. Hat jemand eine Idee, welches Lambda ich da wohl benutzen sollte? Vielleicht gebe ich noch eine kleine Hilfe und zwar gehe ich jetzt auf den Punkt, der genau in der Mitte liegt Zwischen den Punkten. Ich gehe auf diesen Punkt. Also hier gehe ich

vier Schritte nach rechts, zwei nach oben und von dem mittleren Punkt müsste ich wieder vier Schritte nach rechts und zwei nach oben gehen. Und wenn ich genau in der Mitte bin, dann ist da lambda = 1/2. Und jetzt kriegt man vielleicht ein Gefühl dafür, wie das andere Lambda sein soll. Bitteschön. 0,25 0,25 wurde angeboten. Gibt's da andere Meinungen dazu? Ich schreib das mal dahin mit dem Fragezeichen. Bittte schön. Lambda = 3/4. Ja, das ist auch so ein Kandidat, den ich gerne nehmen würde, ne? Aber was ist denn jetzt richtig? Also 0,75 0,25. Also, man kann

sich das so vorstellen, dass das monoton verläuft. Also, wenn Das Lambda hier am größten ist in dem Punkt und hier am kleinsten, ja na, dann verläuft es gleichmäßig von der 1 bis zur 0. Hier in der Mitte ist es auf ein/b und das hier ist wiederum die Mitte zwischen 0 und ein/b. Also ist 0,25 tatsächlich richtig. Ja, 0,25, das ist das Gewicht, was wir auf den ersten Punkt legen und 0,75, das Gegengewicht dazu, das wäre das Gewicht, was wir auf den Punkt hier rechts legen. Also 0, Lambda 0,25 bedeutet 25% von dem ersten Punkt und

75% von dem zweiten Punkt. Also das Lambda läuft hier wirklich gleichmäßig, ich bin verrutscht von 1 bis 0. Perfekt. So. Und diese Mischungen von Punkten, das ist im Prinzip die Wäscheleine. Wenn wir noch mal zurückgehen, hier haben wir, wenn das hier einfach die XY Ebene ist, sind das hier alles Koordinaten, die eine x und eine y Komponente haben. Da könnten wir hier halt den Punkt haben x1 y1, ich weiß nicht, ob man das noch sehen kann, so wie ich das eingetragen habe. und hier den Punkt x2y2 und entlang der Wäscheleine, wenn die dann wirklich gerade

wäre, würden wir quasi das Lambda langsam von 1 bis 0 laufen lassen. Und wenn wir uns alle Lambdas angucken zwischen 1 und 0, dann haben wir die komplette Wäscheleine. Wir brauchen diese Konvexkbination, also einerseits um die Wäscheleine zu definieren und damit um zu definieren nachher, ob die Wäscheleine unter oder über dem Grafen liegt. Aber ich möchte euch noch eine andere Anwendung geben. Und zwar ist das eine Anwendung aus der Mikrorlesung, die ihr im Sommer hört. Vielleicht haben einige von euch das schon gehört, vielleicht andere noch nicht. In der Mikrorlesung geht es auch um Präferenzen. Präferenzen

zwischen Verschiedenen Güterbündeln. Also nicht zwischen einzelnen Gütern, sondern zwischen ganzen Bündeln. Und so ein Güterbündel könnte z.B. ein Punkt X1 sein. X1 wäre dann die Menge von dem einen gut, Y1 die Menge von dem anderen gut. So und jetzt gibt es für diese Güterbündel eben Vorlieben. Das nennen wir dann Präferenzen. Ich finde das eine Güterbündel besser als das andere. Und jetzt möchte ich euch ein Beispiel geben, z.B. Pommes und wahlweise Ketchup oder Mayo. Das sind die beiden Güter. Und stellt euch mal vor, ihr habt ein Güterbündel, das besteht nur aus Pommes, da ist aber keine

Soße dabei. Und das andere Güterbündel besteht nur aus Ketchup oder nur aus Mayo. Da sind aber keine Pommes dabei. Wenn euch jetzt jemand anbieten würde, dieses Güterbündel ein bisschen zu mischen, das heißt, ihr nehmt z.B. 90% Pommes und 10% Soße, dann würdet ihr Diese Mischung gegenüber den extremen Punkten, wo nur jeweils eines der beiden Güter verfügbar ist, bevorzugen. Und da kommt eben dieses ähm diese Eigenschaft konvexe Präferenzen ins Spiel. Wenn ihr Mischungen, gemischte Güterbündel gegenüber extremen Güterbündeln bevorzugt, dann habt ihr konvexe Präferenzen. Das hat jetzt noch nicht direkt was mit einer konvexen oder koncaven Funktion

zu tun, so wie das in diesem Kapitel der Fall sein wird. Aber trotzdem brauchen wir diese Konvexkombination. Ich möchte euch auch noch ein anderes Beispiel geben. Stellt euch vor, die beiden Güter sind Milch und Bier. Ich kann mir vorstellen, dass es wenige von euch gibt, die diese beiden Güter gerne mischen würden. Das heißt, da würdet ihr ein Extrem einer Mischung bevorzugen und dann hättet ihr eben keine äh konvexen Präferenzen. Okay, jetzt möchte ich aber wieder ein Bisschen in die Richtung der Mathe vorlesen gehen. Ich möchte in die Richtung der Definition gehen. Wann ist denn eine

Funktion koncavann ist eine Funktion Konvex? Dazu muss ich diese diesen Höhlengingang erstmal ein bisschen äh stilsicherer oder stilistischer darstellen, damit wir von all den unwichtigen Details mal wegkommen. Also diese dieser rote Graf, den wir da sehen, das soll den Höhleneingang symbolisieren und die Punkte A und B, das sind die beiden Aufhängungen von der Wäscheleine. Und jetzt habe ich einen Punkt C markiert, der auf der Wäscheleine liegt. Unten drunter seht ihr die Definition von dem Punkt C. Das ist einfach Lambda mal der Punkt A + 1 - Lambda mal der Punkt B. Wenn ich jetzt Malpunkt

A oder malpunkt B sage, dann meine ich damit beide Koordinaten, ja, also die X und die y Koordinate von dem Punkt A wird mit Lambda multipliziert. Ich kann hier unten auf der X-Achse jetzt die Konvexkombination von der X-Koordinate ablesen, aber ich kann genauso gut auch die Konvexkombination der y Achse mir anschauen. Und das schreibe ich mal hier dazu. Die Yordinate, die kann ich auf gleiche Art und Weise ausrechnen. Aber was brauche ich dafür? Ich brauche dafür die y Koordinaten von A und B. Deswegen schreibe ich mal bei B Dazu, das ist Xb und YB und

A ist XA und Y. Und die Yordinate von dem Punkt C ist dann genauso definiert wie die X-Koordinate von dem Punkt C, nämlich Lambda mal y a + 1- lambda mal yb. Und wir werden jetzt sagen, der Graf, dieser diese rote gekrümmte Graf ist konkav, wenn die y Koordinate von C kleiner ist als die Yordinate von dem Punkt, der Hier oben auf dem Grafen genau über C drüber liegt. Ja, also wenn der die Wäscheleine unterhalb des Grafens verläuft, dann müssen wir eben die Yordinate von C vergleichen mit der Yordinate von dem Grafen, der genau äh

von dem Punkt, der auf dem Grafen genau über C liegt. Und dieser Vergleich, der steht in der Definition, die wir auf der nächsten Folie sehen. Vielleicht halte ich einmal kurz die Folie fest. Hier haben wir die Definition für eine konk Funktion. Und zentral in dieser Definition ist eine Ungleichung und zwar die Ungleichung, die ihr hier seht. Und ich würde gerne euch erstmal sagen, was ist auf der rechten Seite von der Ungleichung? Wir haben hier Lambda mal den Funktionswert an der Stelle a + 1- Lambda mal den Funktionswert an der Stelle B. Und das dieses klein

f von a, das ist Die y Koordinate Koordinate von dem Punkt A Folie 7 und dieses klein f von b, das ist die y Koordinate von dem Punkt B. auf Folie 7. Das heißt, das was wir auf der rechten Seite sehen, das ist die Konvexkombination von diesen beiden YK Koordinaten. Das ist also die Y-Koordinate von dem Punkt, der auf der Wäscheleine Liegt, also von dem Punkt C auf Folie 7. Also, wir sagen, die y-koordinate von diesem Punkt C muss kleiner oder gleich sein von der Y-Koordinate, die direkt oben drüber auf dem Grafen liegt. Und das

ist das, was wir auf der linken Seite sehen von der Ungleichung. Also, was steckt hier drin? In der Funktion f steht die Konvexkombination von den x-Koordinaten von den beiden Punkten. Das ist die Konvexkombination der X-Koordinaten von den Punkten A und B auf Folie 7. Ja, wenn wir darüber gucken, wäre das XA und XB. Hier auf der Folie heißt das eben klein A und klein B. Und jetzt werten wir den die Funktion genau an dieser Konvexkombination aus. Also, das heißt, wenn wir davon jetzt f Ausrechnen, ist das der Funktionswert von diesem von dieser Konvexkombination. Das ist

also die Y Koordinate, die direkt über dem Punkt C auf dem Grafen liegt. Also, ich schreib das mal auf. Das ist die y Koordinate von dem Punkt der senkrecht über C auf dem Graf Liegt. Also, wenn wir uns noch mal die äh vorherige Folie angucken, dann gilt ja entlang des Grafens habe ich wieder rot. Ja. y = F von X. Ja, so entsteht ja der Graf. Und jetzt seht ihr, dass wir hier x von lambda einsetzen und dann in die Funktion einsetzen und dann kriegen wir den Funktionswert an dieser Konvexkombination. Ja, so ist diese Ungleichung

gemeint und Diese Ungleichung hat auch einen Namen, die heißt jensche Ungleichung. Aber hey, wir brauchen den Namen eigentlich nicht. Nur falls das jemand mal sagt, dann könnt ihr euch vielleicht dran erinnern. Äh, ich schreib das mal dazu. Das ist die Jensche Ungleichung. Und diese Definition ist tatsächlich eine Definition, die ist ein bisschen Aufwendiger. Ich muss super viel rechnen bei einer Funktion, um diese Ungleichung zu verifizieren. Wir werden das auch anhand von bestimmten Funktionen ausprobieren und durchführen, aber dafür sind die Voraussetzungen, die an die Funktion gelten muss, gar nicht so groß. Insbesondere müssen wir diese Funktion

nicht ableiten können. Ja, diese Funktion f darf Knicke haben. Wir müssen sie auch nicht zweimal Ableiten können. Also, wir können hier diese Definition auf viele Funktionen anwenden. Dafür ist die Funktion etwas komplizierter. Und am Ende der heutigen Vorlesung will ich rübergehen zu einer viel einfacheren Definition, die die zweite Ableitung einfach nur benutzt. Aber dafür müssen wir eben eine Funktion haben, die keine Knicke hat. Jetzt steht hier noch ein Zusatz. Ich ich darf ja irgendein Lambda benutzen zwischen 0 und 1. Hier seht ihr Ja sogar eckige Klammern. Das heißt, ich darf auch lambda = 0 oder

lambda = 1 benutzen. Jetzt sagt der Zusatz aber, wenn ich jetzt ein Lambda benutze, was echt zwischen 0 und 1 liegt, also nicht gleich 1, nicht gleich 0, sondern wirklich irgendwo dazwischen liegt und dann die Ungleichung immer strickt ist, also nicht größer gleich, sondern strickt größer, dann heißt die Funktion strickt koncav. Also zur Sprechweise, wenn ich nur Konkave sage, dann gilt nur das Größergleichzeichen. Und wenn ich strikt Konkave sage, dann gilt das echt größer Zeichen. Manchmal, wenn der Unterschied besonders wichtig ist, sagt man auch noch schwach, aber das wäre sozusagen die normale Bedeutung von Konkave.

Also koncav ohne irgendeinen Zusatz bedeutet schwach konkav und ansonsten sagt man strickt oder streng konkav. Okay, Genau genauso auf genau die gleiche Art und Weise funktioniert Konvex, nur andersrum. Also ich schreibe jetzt hier nicht mehr so viel auf die Folie. Die Bedeutung ist aber wirklich die gleiche. Hier haben wir die Konvexkombination der y Koordinaten von C. Und hier haben wir den Funktionswert an der Konvexkombinat Kombination der X-Koordinaten. Und im Unterschied zu vorher steht jetzt hier ein kleiner Gleich. Ja, bei Koncav steht Ein größer Gleich und hier steht ein kleiner Gleich. Das ist der einzige Unterschied.

Könnt ihr hier auch vergleichen. Das heißt, bei Konvex muss diese Linie, die die beiden Punkte auf dem Grafen verbindet, oberhalb des Grafens liegen. Das ist die Brücke über den Bach. Und bei Konkave muss diese Linie eben unterhalb des Grafens liegen. Das ist die Wäscheleine vor der Höhle. Aber ansonsten funktioniert wirklich Alles gleich. Es gibt hier auf der Folie noch eine Anmerkung und die ist super wichtig. die steht ganz unten. Und zwar, wenn die Funktion f konvex ist, dann ist das Äquivalent dazu, dass wenn ich alles in dieser Funktion mit -1 multipliziere, also wenn ich -f

mir anschaue, dass dann - fonkav ist. Und das ist super wichtig, denn wenn wir übers Maximieren sprechen, dann muss die Funktion koncave sein, damit das gut klappt. Und wenn wir gleichzeitig verstehen wollen, wie minimieren funktioniert, dann müssen wir die Funktion einfach nur mit -1 multiplizieren und dann ist sie automatisch konvex. Also dieser Zusammenhang ist super wichtig, weil wir dann beim Optimieren quasi nur alles übers Maximieren lernen müssen und dann automatisch auch minimieren können, weil wir einfach nur alles mit -1 multiplizieren müssen. Wir haben schon mal eine Eigenschaft Kennengelernt, die eine Funktion haben kann, nämlich monoton

steigend und monotonfallend. Und dieses Diagramm soll verdeutlichen, dass die Eigenschaften monoton steigend, monotonfallend und konkav und konvex wirklich unabhängig voneinander passieren können. Also, da wird nichts irgendwie ineinander impliziert oder ist nichts äquivalent. Alle vier Fälle sind möglich und alle vier Fälle Fälle sehen wir hier. Also in der linken Spalte Sehen wir zwei konvexe Grafen. Ich zeichne dafür mal die Verbindungslinien ein. Das wären sozusagen die Brücken. Die laufen hier ein bisschen schräg, aber egal. Also, ich nehme zwei beliebige Punkte auf den auf dem Grafen und verbinde diese beiden Punkte durch eine gerade Linie. Wir nennen das

auch eine Sekante. Und wenn die Sekante oberhalb des Grafens ist, dann ist die Funktion konvex. Ja, und diese Eigenschaft darf nicht nur für zwei ganz bestimmte Punkte erfüllt sein, die muss für alle zwei Punkte erfüllt sein, die auf diesem Grafen zu finden sind. Und bei Koncav ist es genau andersrum. Also hier sind die beiden Verbindungslinien eben jeweils unter dem Grafen. Und dann sehen wir, dass bei einer wachsenden Funktion diese Verbindungslinie eine positive Steigung hat und bei einer fallenden Funktion hat Die Verbindungslinie eine negative Steigung. Alles ist hier möglich. Also, wir müssen beide Eigenschaften separat voneinander

uns anschauen. Wir werden jetzt ein paar allgemeine Eigenschaften ähm herausarbeiten, die für Funktionen gelten, die wir irgendwie zusammensetzen. Und wir sprechen hier nur über Konkabe Funktionen. An einer Stelle habe ich Auch die Konvexe dabei, einfach der Vollständigkeit halber, aber alles was eben für Konkabe Funktionen gilt, gilt unter dem negativen Vorzeichen auch für konvexe Funktion. Lass uns diese Eigenschaften einfach mal Stück für Stück anschauen. Summen, ich habe zwei Funktionen, die heißen F und G. Und wenn die beide konkav sind, dann ist die Summe auch konkav. Wenn eine von den beiden Funktionen Strickt konkav ist, dann ist

die Summe auch strikt konkav. Also es müssen nicht beide strickkonkav sein, damit die Summe strickkonkav ist. Es reicht aus, dass eine von beiden strickkonkav ist. Habe ich hier auch ein Beispiel? Jawohl, ich habe ein Beispiel. Lass uns das doch mal genauer angucken. Das Beispiel lautet x² - 2x + 2. Na, das ist jetzt eine Summe von drei Termen. Also, ich habe hier den Term x², ich habe hier den Term -2x Und ich habe den Term + 2. Aber da, was für zwei die Summe von zwei Funktionen gilt, gilt natürlich auch für die Summe von drei

Funktionen. Und jetzt müssen wir uns überlegen, wie sieht's aus? Wie sehen die einzelnen Teile aus? Sind die konvex oder konkav? Sind die strikt konvex? Strickt konkav. Und dann können wir was über die Summe aussagen. Ich würde sagen, ich also ich glaube, ich zeichne das Nicht so in Koordinatensystem ein, sondern ich skizziere das gleich nur. Hat jemand eine Vorstellung davon, wie können wir jetzt Konkavität oder Konvexität auf x² mal überprüfen? Hat jemand eine Idee, ob x² schwach oder strickt, konvex oder koncave ist? Wie kann man das rausfinden? Es gibt immer zwei Wege. Der eine Weg ist

das zu skizzieren und der andere Weg ist das auszurechnen. Und da wir bisher nur eine schwierige Definition zum Ausrechnen haben, ist das Ausrechnen tatsächlich viel schwerer. Ich mache aber trotzdem mal beides. Also, wir machen erstmal die Skizze. Hier ist die X-Koordinate. Das die ist die y Koordinate und ich m hier jetzt mal x² rein. Das ist eine Parabel. Y = X². Und ihr seht, ihr könnt euch jetzt zwei beliebige Punkte packen, die auf dem Grafen liegen, die durch eine Verbindungslinie verbinden. Die Verbindungslinie liegt oberhalb des Grafens, also ist das Ding konvex. Also, ich muss ein

bisschen ehrlicher sein. Ich habe das jetzt in der Skizze natürlich nur für ein bestimmtes Paar von zwei Punkten gezeigt. Für diese beiden Punkte hier. Theoretisch müsste ich das für alle Punkte zeigen. Kann ich natürlich nicht, aber ich denke, man sieht es dem Grafen an, dass es Eigentlich egal ist, welche zwei Punkte ich mir nehme. Ich schreibe aber trotzdem mal dazu, was hier passiert ist. Das liegt oberhalb von dem Grafen und deswegen ist y = X² konvex. So, jetzt ist die Frage, ist es streng konvex oder ist es schwachvex? Ja, wir sehen, dass diese blaue Linie

den Grafen wirklich nur an den Endpunkten berührt. Dazwischen ist überall Platz. Das heißt, die blaue Linie liegt für ein Mischungsverhältnis, was echt zwischen 0 und 1 liegt, streng über dem Grafen. Da wäre die Ungleichung strickt. Deswegen können wir sagen, es ist streng konvex. Ich schiebe mal das Wörtchen Konvex ein bisschen nach rechts. Macht das für euch Sinn, was ich da jetzt gerade vorgeführt habe oder ist das Komisch? Meldet euch bitte gerne, wenn ich irgendwas nicht so gut erkläre. Das passiert mir, dann kann ich daraus lernen und es das nächste Mal besser machen. Ja, bitte schön.

Bedeutet streng und strick das gleiche. Ja, streng und strickt können wir einfach synonym benutzen. Jetzt möchte ich das Ganze aber auch noch mal rechnerisch zeigen und das ist Deutlich äh viel mehr Arbeit, sagen wir es mal so. Aber vielleicht lasse ich den das Bild hier mal auf der Seite. Also, ich schreibe noch mal die Ungleichung auf, die für Konvex gelten soll. Also F ist konvex. Falls der Funktionswert an der Konvexkombination der X-Koordinaten kleiner oder gleich ist als die Konvexkombination der Funktionswerte. Und wenn dieses Ungleichheitszeichen ein echtes Ungleichheitszeichen ist ohne gleich, sondern strickkleiner, dann ist es

strengkonvex. Und jetzt nehme ich mir die Funktion, also für f(x) = x² setze ich einfach mal ein. Also lambda mal x1 + 1 - lambda* x2 das ganze zum Quadrat kleiner gleich lambda* x1² + 1 - lambda mal x2². Ich habe jetzt schon kleiner gleich hingeschrieben, Aber im Kopf habe ich noch ein Fragezeichen. Ja, ich will das erst überprüfen. Also, ich rechne jetzt einfach mal los und schaue, ob das hinhaut oder ob ich irgendwo einen Widerspruch kriege. Ein Widerspruch könnte z.B. sein, 1 ist kleiner als 0. Ja, wenn ich sowas rauskriege, dann weiß ich das

Vorzeichen oder dieses Ungleichheitszeichen war falsch rum. Okay, wie kann ich das jetzt machen? Wir Haben hier sowas wie die binomische Formel. Also, wenn das hier mein A ist und das hier mein B, dann kann ich die erste binomische Formel anwenden. Also a² ist dann also lambda² mal x1². Jetzt kommt 2* A* B, also 2* Lambda* X1* 1 - Lambda mal X2 und dann kommt b², also 1 - Lambda zum Qu mal x2². Die rechte Seite schreibe ich einfach mal ab. Lambda mal x1² + 1 - lambda mal x2². Jetzt muss ich diese ja Gleichung, Ungleichung

bisschen sortieren. Ich versuche mal alle Terme, wo ein x1² vorkommt, zusammenzufassen. Wir sehen auf der linken Seite lambda² mal x1² und auf der rechten Seite sehen wir lambda mal x1². Ich kann hier übrigens überall so Äquivalenzzeichen hinschreiben. Und jetzt bringe ich die x1 quadrat mal auf die rechte Seite, dann steht da Lambda - lambda² mal x1². Okay, ich habe das Lambda qu mal x1² von links nach rechts gebracht. Jetzt mache ich das gleiche mit den x2 quadrats. Die sehen wir hier. Und dann steht da + 1- lambda - 1 - lambda zum Quadrat mal x2².

Vielleicht unterstreiche ich die beiden auch noch mal, damit man sieht, wo das herkommt. Und jetzt lasse ich zunächst mal das, Was auf der linken Seite ist, noch was noch übrig geblieben ist, noch da stehen. Das sortiere ich aber ein bisschen um. Da steht 2 mal Lambda. Und jetzt ziehe ich diesen Faktor 1 - Lambda 1 nach vorne. 1 - Lambda mal x1* x2. Okay, die linke Seite lasse ich jetzt noch mal so, wie sie ist. 2* Lambda mal 1 - Lambda mal x1 x2 ist kleiner gleich. Auf der rechten Seite brauche ich nämlich ein bisschen

mehr Platz. Wie sieht das aus mit dieser Klammer? Da steckt doch ein Lambda und ein Lambda Quadrat in der Klammer. Das heißt, ein Lambda können wir auch aus der Klammer rausziehen. Das Lambda schreibe ich mal vor die Klammer. Was bleibt dann in der Klammer übrig? Eine 1 und ein - Lambda mal x1². Und was ist mit dem zweiten Teil? Also mit der zweiten Klammer meine ich hier. Das können wir genauso machen, dass wir Da 1- Lambda rausklammern. Also 1 - Lambda kommt hier aus der Klammer raus. 1 - Lambda schreibe ich vor die Klammer und

dann bleibt in der Klammer drin stehen hierfür eine 1 und beim zweiten bleibt 1 - Lambda da drin stehen. Also dieses Ausklammern ist manchmal ein bisschen schwieriger. Überlegt euch einfach die Rückwärtsrichtung. Ja, stellt euch bei der linken Klammer vor, was passiert, wenn ich das Lamma Lambda Wieder in die Klammer reinmultipliziere oder bei der rechten Klammer, stellt euch vor, was passiert, wenn ich das 1- Lambda wieder in die Klammer reinmultipliziere. Okay, ich versuche hier die Schritte wirklich einzeln zu machen, deswegen schreibe ich hier auf der linken Seite noch mal ab. Da bleibt alles gleich. Den ersten

Term, den finde ich schon ganz gut. Den lasse ich auch so, wie er Ist. Und was hier ist hier passiert beim zweiten Term? Den Vorfaktor 1- Lambda lasse ich da stehen. Und jetzt steht da in der Klammer drin 1 - 1, die 1 fällt weg und dann steht da mal - lambda. Ergibt also + Lambda lambda mal x2². Und jetzt seht ihr, dass da jeder einzelne Teil ein Lambda davor stehen hat und ein 1- lambda. Und wenn wir uns jetzt nur Lambdas anschauen, die echt zwischen 0 und 1 sind, dann können wir also durch Lambda

teilen und wir können auch durch 1- Lambda teilen. Das schreibe ich mal in rot daneben. Wir teilen die ganze Gleichung durch Lambda und durch 1- Lambda für Lambdas, die echt zwischen 0 und 1 liegen. Ja, dann ist nämlich dieses Lambda mal 1- Lambda auch nicht gleich 0. Was bleibt dann übrig? Auf der linken Seite bleibt übrig 2x1 x2 ist kleiner gleich. Auf der rechten Seite bleibt übrig + x2². Und jetzt sind wir fast fertig. Vielleicht sehen das jetzt schon ein paar Leute von euch, was hier passiert. Ich bringe jetzt noch das 2x1 x2 auf die

andere Seite. Also ich rechne -2 x1 x2 und dann auf der linken Seite bleibt dann stehen 0. ist kleiner gleich x1² und dieses -2x1 X2 schreibe ich hier rein in die Mitte + x2² und jetzt sind wir wieder bei einer binomischen Formel angekommen. Das die zweite binomische Formel, die rechte Seite ist nämlich gleich x1 - x2 zum Quadrat. Egal, welche Zahlen x1 und x2 ihr hier einsetzt, eine Quadratzahl kann niemals negativ werden. Auch wenn das, was in der Klammer steht, eine Minuszahl ist, z.B. 1 - 2, also -1. Wenn ihr das quadriert, kommt was positives

raus oder es kommt eine 0 raus, wenn x1 = x2 ist, aber es kann niemals was Negatives rauskommen. Ja, und deswegen können wir sagen, diese Ungleichung, mit der wir angefangen haben hier oben, die ist für alle x1 und x2 erfüllt, also ist die Funktion konvex. Aber ihr habt gemerkt, wir müssen super viele Rechenschritte dazwischen machen und am Ende der heutigen Vorlesung Können wir das etwas schneller. Ist diese Funktion auch strengvex? Dafür müssen wir uns die Situation angucken, dass das Lambda eben nicht gleich 0 oder gleich 1 sein darf. Ja, haben wir im Prinzip schon. Und

wir müssen uns die Situation angucken, dass die beiden Endpunkte, also x1 und x2, unterschiedlich sind. Ja, wenn x1 nicht gleich x2 ist, dann ist die Quadratzahl natürlich positiv und dann gelten alle Ungleichungen strickt. Also können wir hier sagen als Ergebnis, das ist streng konvex. So, das war jetzt super aufwendig, hat viel Zeit gekostet und ab jetzt werde ich x² nie wieder überprüfen. Na, ich werde ab jetzt, wenn ich irgendwo x² sehe, immer direkt sagen, das ist streng konvex. Das war aber auch nur ein einziger Teil von dieser zusammengesetzten Funktion, mit der wir angefangen haben. Wenn

wir Noch mal zurückgehen, ja, dann ist das hier der erste Teil und da haben wir eben gesagt, das ist streng konvex. Jetzt müssen wir die anderen beiden Teile auch überprüfen. Das geht aber deutlich einfacher. Habe ich hier die richtige Folie? Ja, genau. Also -2x z.B. oder -2x + 2. Mir kommt gerade ein Gedanke, um ein bisschen Zeit zu sparen, fasse ich diese beiden letzten Teile einfach mal zusammen. Ja, das ist mal Eine Funktion und das geht nämlich genauso gut. Also lass uns mal diese Ungleichung überprüfen und vielleicht können wir dann eine Aussage über die gesamte

Funktion sagen. Also jetzt heißt die Funktion f von x = -2x + 2. Und jetzt konstruiere ich einfach beide Seiten dieser Ungleichung. Also, ich rechne jetzt zuerst aus f von lambda mal X1 + 1 - lambda mal x2. Also, ich rechne aus -2 und jetzt muss ich hier anstelle von x die Konvexkombination hinschreiben. Also lambda mal x1 + 1 - lambda mal x2 + 2. Also das, was hier in der Funktion drin steht, das ist das x. Anstelle von dem X, was wir hier oben sehen, habe ich also diese komplizierte Konvexkombination hingeschrieben. Und jetzt multipliziere

ich die -2 da mal rein. Das ist dann eben -2* Lambda x1 -2* 1 - lambda mal x2. Jetzt mache ich noch was. Ich spalte die + 2, die wir da rechts sehen, auf in zwei Teile und zwar in einen Teil, der das Gewicht Lambda hat und in einen Teil, der das Gewicht 1- Lambda hat. Das ist der nämlich lambda mal 2 + 1- lambda mal 2. Ja, wenn ich das zusammenzähle, kommt wieder 2 raus, weil lambda + 1 - lambda 1 ist. Jetzt muss ich nur noch umsortieren und dann bin ich fertig. Zuerst tausche

ich hier einfach mal die Reihenfolge. Hier steht -2* Lambda x1. Daraus mache ich lambda mal -2 x1. Dann hole ich mir das andere Lambda, was da hinten steht, erst an dritter Stelle hole ich mir schon direkt nach vorne. + Lambda mal 2. Jetzt kommt der Rest. Hier tausche ich wieder das 1 - Lambda wandert nach vorne. + 1 - Lambda mal -2 x2. Und dann kommt hinten der Term + 1 - Lambda mal 2. Ihr merkt vielleicht, worauf es hinausläuft. Jetzt kann ich nämlich bei den ersten beiden Termen ein Lambda ausklammern und bei den zweiten

Termen ein 1- Lambda. Dann haben wir also lambda mal -2x1 + 2 + 1 - lambda mal -2x2 + 2. Und das sind was das, was in den Klammern steht, ist immer diese Funktion, mit der wir angefangen haben. Das ist also lambda mal f an der Stelle x1 + 1 - lambda mal f an der Stelle x2. Das heißt, das was wir bei der Ungleichung eigentlich vergleichen wollte wollten, dass der eine Teil Größer oder kleiner ist als der andere, geht hier gar nicht so gut, weil die beiden Teile gleich groß sind. Ja, das was als

Ungleichung bei Konkave oder bei Konvex gelten soll, gilt bei dieser Funktion in Gleichheit. Mit anderen Worten, die Ungleichungen gelten in beide Richtungen. Ja, diese Funktionen sind sowohl Konvex als auch konkav. Die sind einfach beides. F ist konkav Und konvex. So, was für ein Typus hat diese Funktion f? Das ist einfach eine lineare Funktion. Ich habe, glaube ich, irgendwann mal ein bisschen penibel gesagt, dass ist eine affine Funktion, weil der y Achsenabschnitt, ich meine hier diese + 2 nicht gleich 0 ist. Egal, ist eine Funktion mit konstanter Steigung, die können wir ruhig lineare Funktion nennen. Und

für alle linearen Funktionen gilt, die sind sowohl konvex Als auch konkav. Ich schreibe das mal als Anmerkung da drunter. Alle Funktionen der Form. Jetzt benutze ich mal einen anderen Namen für die Funktion g von x = M* X + B sind konkav und Konvex. Also, ihr könnt jetzt euch eine andere lineare Funktion aussuchen und genau die Gleichen Rechnungen durchführen. Jetzt kommt das gleiche Ergebnis raus. So, was machen wir jetzt damit? Jetzt gehe ich noch mal zurück zu der Ausgangssituation. Dieser Teil, der ist koncav und konvex. Und jetzt ist die Frage, wie sieht's aus mit der

Summe von den beiden Funktionen? Was ist jetzt mit der Summe? Ist die Summe konkav oder konvex oder strickkonv oder Strickkonvex? Hat jemand von euch eine Idee, was wir dahinschreiben können? Wie können wir die Aussage von oben drüber benutzen? Bitttechön. Genau. Super. Es ist die das ganze zusammengesetzte Teil ist streng konvex. Es ist konvex, weil die Einzelteile alle konvex sind. Also x² ist konvex und -2x + 2 ist konvex. Ja, dass dieser zweite Teil auch zusätzlich noch konkav ist, ist egal. Er ist konvex. Und der zusammengesetzte Ausdruck ist Strengkonvex, weil mindestens einer der Teile eben auch

strengkonvex ist. Also können wir sagen, f streng konvex. Das hier ist wichtig. Das Konkave ist nicht so wichtig, also ist das zusammen streng konvex. Man kann sich noch ein eine kleinen kleine Abkürzung äh merken. Hier handelt es sich um eine quadratische Funktion, um ein Polynom zweiten Grades. Und wenn das Vorzeichen vor dem X² Positiv ist, dann ist der die Funktion streng konvex. Wenn das Vorzeichen vor dem X² negativ ist, dann ist die Funktion streng konkav. Ja, das ist genau das gleiche wie mit der Parabel, die nach oben geöffnet ist. oder die nach unten geöffnet ist.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, streng konvex, ist sie nach unten geöffnet, streng konkav. Wenn ihr euch die ganze Funktion anseht, x² - 2x + 2, würde mir auf Anhieb nicht einfallen, wie ich das grafisch lösen Sollte. Ja, ich weiß jetzt nicht direkt, wie der Graf dazu aussieht. Da hilft mir vielleicht die Betrachtung der Einzelteile, ne? Weil x², das kriege ich hin. Das kann ich grafisch mir gut anschauen. Okay, das war jetzt die Regel für Summen. Mal gucken, ob es noch mehr Regeln gibt. Minima. Ich kann aus einer aus zwei Funktionen ein Minimum oder ein

Maximum bilden, Indem ich mir jeweils den größeren der beiden Funktionswerte anschaue. Also hier haben wir wieder zwei Funktionen, die heißen f und G. Und ich schaue mir jetzt das Minimum der beiden Funktionswerte an. Und hier steht, wenn f und G koncav sind, dann ist das Minimum von den beiden ebenfalls koncav. Ja, wir können alles, wenn wir mit es mit Minuszeichen versehen umdrehen für Konvex. Aber hier auf der Folie ist das Ein bisschen schwieriger, deswegen habe ich das dazu geschrieben. Wenn die Funktionen f und G konvex sind, dann müssen wir nämlich das Wörtchen min durch max

austauschen. Ja, wenn wir zwei Funktionen anschauen, die konvex sind und davon das Maximum bilden, dann ist das Maximum konvex. Woran liegt das? Ich kann mal hier drunter was machen. Also das Minimum von - F und - G. Hier kann ich das Minuszeichen aus dem Minimum rausholen. Ich kann das also davor schreiben, aber dann verändert sich eben min zu max. Also das ist das gleiche wie das Maximum von f und G. Setzt für F und G einfach mal zwei Zahlen ein. Ja, das Minimum von -2 und -3 ist die -3. Ja, die -3 ist kleiner als

die -2. Das Maximum von 2 und 3 ist die 3. Mitzeichen davor haben wir die -3. Kommt also das gleiche raus. Okay, Auch das wollen wir mal überprüfen. Ja, auch da wollen wir ein Beispiel nehmen, um zu versuchen, diese Rechenregel anzuwenden. Ich lass die Folie mal auf und dann gucken wir uns das Beispiel an. Wir haben hier zwei Funktionen gegeben. Die eine heißt 2 - x und die andere heißt -2 + x. Zwei Funktionen. Aus diesen Funktionen wollen wir das Maximum bilden. Und die Frage ist, ist das jetzt also das Maximum von beiden? Konkav Konvex,

streng konkav, streng, konvex Oder gar nichts von beiden? Wir können jetzt die Regel von eben benutzen, von der Folie davor, von Folie 14 oder wir können das Ganze zeichnerisch lösen und einfach mal uns angucken, wie das aussieht. Ich möchte erstmal kurz mir anschauen, was die Regel sagen würde und dann probiere ich das mal aufzuzeichnen. Die Regel würde sagen, wenn beide Funktionen konvex sind, dann ist das Maximum von beiden Funktionen Ebenfalls konvex. Lass uns die einzelnen Funktion mal anschauen. 2 - x 2 - x ist so eine lineare Funktion. Es gibt einen Achsenabschnitt, es gibt eine

konstante Steigung. Also ist 2 - x sowohl konvex als auch koncav. Schreibe ich mal drüber. Das ist konkave und konvex. Wie sieht das aus mit der Funktion -2? + X. Da gilt genau das gleiche. Wir haben einen Achsenabschnitt, wir haben eine konstante Steigung. Hier ist die Steigung eben nicht -1, sondern +1. Also ist auch diese Funktion sowohl koncav als auch konvex. Also sind beide Funktionen konvex. Und wenn wir jetzt das Maximum von den beiden Funktionen uns anschauen, dann ist eben laut Aussage der vorherigen Folie 14 die Äh wo ist sie denn? Da muss ich hingucken.

Folie 13, dann ist das Maximum ebenfalls konvex. Und das möchte ich jetzt überprüfen. Und dazu male ich das ganze Ding mal auf. Hier kommt die X-Achse hin. Ich versuche das jetzt mal ohne Koordinatensystem. Wahrscheinlich klappt das hoffentlich. Hier ist X, hier ist Y. Und jetzt male ich erstmal F von X auf. Ich brauche da eine 1. Ich brauche da eine 2. Hier brauche ich eine 1. Hier Brauche ich eine 2. Ich mache mal noch ein paar Koordinaten mehr bis zu 4. Hier kommt die -1 hin und hier unten die -2. So, ich zeichne F ein.

2 - x der absen ab achsenabschnitt ist die Steigung ist -1. Das heißt, wenn ich zwei Schritte nach rechts gebe, muss ich zwei Schritte nach unten gehen. Wenn ich vier Schritte nach rechts gebe, muss ich vier Schritte nach unten gehen. Das ist die Funktion f. Schreibe ich mal dran. Y = F von X 2 - X. Jetzt mache ich das gleiche mit der Funktion G. So. -2 + x, der Achsenabschnitt, der y Achsenabschnitt ist -2, fängt hier an. Und wenn ich einen Schritt nach rechts gehe, muss ich ein Schritt nach oben gehen. Die Steigung ist

ein oder wenn ich vier Schritte nach rechts gehe, muss ich vier Schritte nach oben gehen. So ungefähr sollte das so aussehen. Das hier ist jetzt y = g von x, also -2 + x. Und jetzt bilde ich das Maximum von den beiden Funktionen. Das heißt, für jeden Wert von x schaue ich mir an, liegt die blaue Kurve oben oder liegt die rote Kurve oben? Und ich markiere jeweils die obere Kurve. Ich fange mal an mit dem blauen. Also das Maximum ist hier die blaue Kurve. In dem Bereich, wenn x kleiner als 2 ist, ist die

blaue Kurve oben und wenn x größer als 2 ist, ist die rote Kurve von äh oben. Das heißt, das hier, das ist das Maximum von f(x) und g von x. Und wir sehen, ja, das ist tatsächlich konvex. Wenn wir uns zwei beliebige Punkte auf dem Grafen nehmen, dann liegt die Verbindungslinie dieser beiden Punkte nicht unterhalb des Grafens. Ich nehme mal zwei Punkte, die links und rechts von dem äh Knick liegen. Ja, z.B. diese beiden Punkte hier. Der Eine Punkt liegt auf dem blauen Grafen, der andere auf dem roten Grafen und die Verbindungslinie, die liegt wirklich

echt über dem Grafen. Also hier hätten wir quasi strikte Konvexität, aber das muss ja für alle Paare von Punkten gelten. Also z.B. auch für zwei Punkte, die nur im roten Bereich liegen. Ja, wenn ich mir wenn ich mir nur diese beiden Punkte hier anschaue, dann sehen wir, dass die Verbindungslinie auf dem Grafen liegt. Also, da wäre diese Ungleichheit mit Gleichheit erfüllt und deswegen haben wir keine strikte Konvexität. Ja, strickte oder strenge Konvexität gilt nur, wenn die gestrichelte Linie, also die Verbindungslinie immer echt oberhalb des Grafens liegt. Aber wir können hier eben auch Paare finden, wo

sie auf dem Grafen liegt. Deswegen nur schwach konvex. Aber die Aussage auf Folie 13 lautet ja auch nur, dass das Maximum schwach, also normal konvex ist. Also können wir hier sagen, dass Max von F und G ist konvex. Also zwei unterschiedliche Begründungen. Erste Begründung, die Einzelteile, die in dem Maximumoperator drin stehen, sind beide für sich genommen, konvex. Also muss auch das Maximum konvex sein. Und die andere Begründung ist grafisch. Wir haben das Ganze aufgezeichnet und eben Einfach die Verbindungslinien überprüft. Gibt's an der Stelle Fragen dazu? Rückfragen? Jetzt können wir eine eine andere Funktion uns anschauen,

die auch auf der Folie steht. Was ist denn mit der Funktion h? Da stehen so Betragsstriche. Betrag von x - 2. Die Betragsstriche bedeuten, wir messen den Abstand von x zu der Zahl 2. Und dieser Abstand ist dann gleichzeitig auch der Funktionswert. Können wir über diese Funktion auch etwas aussagen? Und was hat das mit der Fragestellung zu tun, die da direkt oben drüber steht? Ja, bittte schön. Ich würde sagen, ist auch Konvex. Also hier kommt die Ansage, das ist auch konvex. Woran machst du das fest? Ja, bitte, weil das ist ja heißende gleiche Funktion wie

Max F. Ganz genau. Also, das ist tatsächlich Genau die gleiche Funktion, die wir oben drüber schon mal betrachtet haben. Also der Betrag von irgendetwas ist der positive Teil von dem, was zwischen den Betrags Strichen drin steht. Also, wenn x größer ist als 2, dann ist der Betrag von x - 2 einfach = x - 2. Das wäre dann die Funktion f. Und wenn x kleiner ist als 2, dann ist der Betrag davon das umgedrehte, also 2 - x. Das wäre dann die Funktion g. Das heißt, diese Analyse, die wir jetzt Gemacht haben, gilt allgemein für

Betragsfunktion. Wann immer wir eine Betragsfunktion sehen, können wir jetzt sagen, die Betragsfunktion ist konvex. Genauso wie bei x² müssen wir die Rechnung also nicht noch mal machen. Wir können immer sagen, der Betrag ist eine konvexe Funktion, allerdings eben nicht streng konvex, sondern nur schwach konvex. Und das kann für euch auch eine gute Abkürzung sein. Sobald ihr irgendwo Eine komplizierte Funktion seht, überlegt mal kurz, ist das vielleicht eine Betragsfunktion? Und falls ja, dann könnt ihr euch die ganzen Berechnungen sparen. Jetzt kommt noch der letzte Zusammenhang, Verkettung von Funktionen. Also, wir haben zwei Funktionen f und G.

Und ich habe das Beispiel so aus dem Buch übernommen, deswegen habe ich mich genau dran gehalten, was auch im Buch steht. Falls ihr im Buch nachgucken Wollt, wie das genau funktioniert, hier steht jetzt, dass die Verkettung von G und F ebenfalls konkave ist. Wir brauchen noch eine kleine Zutate. Die Funktion G muss monoton steigend sein. Also F und G sind beide konv. G ist monoton steigend und dann ist die Verkettung G und F auch koncav. Warum habe ich eben betont, dass ich das so aus dem Buch übernommen habe? Weil hier die Reihenfolge andersrum ist. Also

G verkettet mit F. Das ist also G von F Von X. Bisher haben wir das immer andersrum aufgeschrieben, aber ist ja eigentlich egal. Sind ja nur Namen. Also in diesem Beispiel ist G die äußere Funktion und f die innere Funktion. Auch diesen Zusammenhang würde ich euch gerne begründen, aber aus Zeitgründen lasse ich das jetzt mal sein. Die Begründung findet ihr im Buch. Aber ich f es spannend, wenn ihr wenn ihr mal eine freie Minute habt, wenn ihr euch selber überlegt, wie man das zeigen Kann und falls es euch interessiert, dann können wir gerne auch in

der Sprechstunde das besprechen, aber die Begründung ist wie alle anderen Begründung auch für die Klausur nicht relevant. Also nur falls ihr Interesse daran habt. Inverse Funktionen, auch das ist ein bisschen schwieriger. Wir haben neben eine Funktion f, die soll streng monoton wachsend sein und koncave. Und dann können wir diese Funktion f Invertieren. Ja, strengmon wachsend bedeutet, wir können sie invertieren. Und die inverse Funktion, die Umkehrung von der Funktion f, die ist dann streng konvex. Na, ich habe eben gesagt, wenn f streng konkav ist, dann ist die Umkehrfunktion streng konvex. Wenn die Funktion f nur konkav

ist, dann ist die Umkehrfunktion eben auch nur konvex. Ein Beispiel dafür ist die Wurzelfunktion, ne? Die Wurzelfunktion ist strengmon steigend und konkave Und wenn ihr die umkehrt, dann bekommt ihr x² und da haben wir vorhin schon gesagt, das ist streng konvex. Jetzt möchte ich mich langsam hinarbeiten zu dem Zusammenhang von Konkavität und den Ableitungen einer Funktion. Und jetzt sehen wir hier ein Bild, wo die Ableitung vorkommt. Ja, wir haben dieses Bild auch, glaube ich, schon Kapitel 6 gehabt. Die Ableitung einer Funktion ist definiert als die Steigung der Tangente an die Funktion in Einem bestimmten Punkt.

Und dieser Punkt heißt hier eben x0. Da habe ich die Tangente dran gezeichnet und die Gleichung für die Tangente gleich dazu. Ja, f von x0 + f str. Das ist die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 mal x - x0. Egal, welches x ihr einsetzt, ob ihr jetzt links oder rechts von x0 seid, ihr landet mit dieser Gleichung auf der Tangente und die Steigung von dieser Tangente ist eben f von x0. So, jetzt überlegt euch mal, was mit dieser Steigung passiert, wenn ihr ein bisschen nach links geht oder ein bisschen nach rechts. Ja,

dann werdet ihr sehen, diese Steigung verändert sich und wir wollen genau diese Veränderung untersuchen und dann mal überlegen, ob wir dann später über die zweite Ableitung sprechen können. Also, was haben wir auf der Folie davor gesehen? Wir haben davor gesehen, Deswegen behalte ich die Folie glaube ich mal im Hörsa auf der Seite. Auf der Folie davor sehen wir, dass diese Tangente immer oberhalb von dem Grafen verläuft. Also die y Koordinate von der Tangente und das ist diese hier, das ist die y Koordinate von Tangente ist immer größer als die y Koordinate von der Funktion. Die

y Koordinate von der Funktion bekommen wir, wenn wir auf dem Grafen wandern und ansonsten müssen wir auf der Tangente wandern. Und genau das steht jetzt auf der nächsten Folie. Also hier ist die y Koordinate von der Tangente der Tangente und das hier ist die y Koordinate des Grafs. Und wenn der Graf immer unterhalb von der Tangente liegt, ja, dann können wir sagen, die Funktion ist koncav und die andere Richtung funktioniert auch. Wenn die Funktion koncav ist, dann liegt die Tangente immer komplett Oberhalb vom Grafen. Im Buch findet ihr noch das Wort supergradient. Das habe ich

mir jetzt aber für die Vorlesung gespart, es zu definieren. Hat aber was eben mit dieser Folie zu tun. Und wir benutzen jetzt diesen Zusammenhang, um uns zu überlegen, wie verändert sich die Steigung von der Tangente, wenn wir mit dem X größer werden. Ja, wenn wir auf der x-Achse nach rechts wandern, dann seht ihr, dass Die Tangenten sich jeweils anpassen. Also hier ist die Tangente noch sehr steil, hier ist sie noch so ein bisschen steil und dann sinkt sie sogar. Das heißt, die Steigung von der Tangente nimmt ab, je weiter wir nach rechts laufen. Und diese

Eigenschaft, die haben wir schon mal benutzt als Monotonie. Ja, diese Folie soll illustrieren, dass die erste Ableitung einer Konkaven Funktion monoton fallend ist in X. Wir erhöhen das x und die erste Ableitung, also die Steigung der Tangente wird kleiner. Und genau das ist ja auch genau das, was hier oben im Titel steht. Ja, die Steigung der Tangente ist monotonfallend in X. Und das steht auf der nächsten Folie. Also fangen mal hier unten an. Ja, f ist monotonfallend. Also F strich wird kleiner, wenn x größer wird. Das ist doch genau das gleiche wie wenn wir sagen,

wenn wir die erste Ableitung noch mal ableiten, dass das Ergebnis dann kleiner als null ist. Ja, wir haben gesagt, bei einer monotonfallenden Funktion ist die Ableitung negativ. Jetzt steht hier aber, dass die zweite Ableitung negativ ist. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung. Das schreibe ich mal dazu. Also F2 Ist die Ableitung von F. Ja, wenn F in x fällt, ist die Ableitung von F kleiner = 0. Also f2 ist kleiner = 0. Und jetzt können wir sagen, das ist gleich bedeutend damit, dass die Funktion konkave ist. Das funktioniert aber wirklich nur, wenn

wir die erste und die zweite Ableitung auch wirklich ausrechnen können. Also, wenn die Funktion keine Knicke hat oder Keine Unstätigkeitspunkte. Ja, Unstätigkeitspunkte wären hier auch sehr schlecht, aber diese Ableitungsdefinition macht das Leben für uns viel einfacher. Ja, wir können das genau umdrehen für konvexe Funktionen. Also, wenn die zweite Ableitung größer gleich 0 ist, dann ist die Funktion konvex. Und ich würde jetzt hier noch mal die Funktion nehmen, die wir vorhin gebraucht haben, wo wir ganz viel Gerechnet haben. Also als Beispiel f(x), was war das? x² - 2x + 2. Jetzt können wir die erste Ableitung

ausrechnen. f(x) aus x² wird 2x und aus -2x wird einfach nur die -2. Und jetzt mache ich noch mal eine Ableitung. F2 von x, also 2x abgeleitet nach x= 2 und die -2 fällt weg und die 2 ist größer als 0. Also können wir sagen, die Funktion ist konvex. Und das geht ja Viel einfacher als das, was wir vorhin gemacht haben. F ist konvex. Trotzdem gibt's jetzt hier noch eine kleine Anmerkung. Wir haben eben mit der Analyse festgestellt, dass diese Funktion streng konvex ist und hier steht jetzt nur, dass die Funktion konvex ist. Auf dieser

Folie sehen wir eben nur den diesen dieses Äquivalenzzeichen Für den Fall, dass F2 kleiner= 0 ist oder dass F2 größer = 0 ist. Wir haben hier nicht den Fall betrachtet, dass f2 strikt kleiner 0 ist. oder strikt größer als null. Ich schreibe das mal dazu, damit das nicht verloren geht. Welche Farbe nehme ich? Vielleicht mal grün. Ähm, hier schreibe ich das hin. F2 von X ist kleiner 0 für alle X. Und auf die linke Seite schreibe ich f Strengkonv. Und leider können wir jetzt hier kein Äquivalenzzeichen hinschreiben. Wir können hier nur einen Pfeil schreiben, der

nach links geht. Aber das reicht uns in den allermeisten Fällen. Also, wenn wir wissen, die zweite Ableitung ist strick kleiner als 0, dann wissen wir, dass die Funktion streng konkav ist. Und umgekehrt, wenn die zweite Ableitung strickt größer als 0 ist, Dann können wir sagen, daraus folgt, dass f streng konvex ist. Woran liegt das, dass wir den Pfeil nicht in beide Richtungen schreiben können? Es gibt Funktionen, die streng konkav streng konvex sind, die aber nicht an allen Stellen eine negative oder positive zweite Ableitung haben. Und eine so eine Funktion zeige ich euch, damit klar wird,

warum man diesen Fall nur in eine Richtung bringen kann. Also für f von x = x hoch 4 können wir die zweite Ableitung ausrechnen. Die erste Ableitung lautet, die 4 kommt nach vorne 4* x hoch 3. Die zweite Ableitung lautet dann 3 nach vorne, also 3* 4 mal x hoch 2, also 12x². So. Und für das x² können wir eigentlich sagen, das kann keine negativen Zahlen annehmen, aber es kann eben doch manchmal null sein. Deswegen können wir hier sagen, das ist größer gleich 0 Für alle x, nämlich an der Stelle x = 0 ist die

zweite Ableitung hier auch gleich 0. Also insbesondere F2 an der Stelle 0 ist dann 12 x 0², also = 0. Ja, für alle anderen x wäre die zweite Ableitung wirklich positiv, aber für dieses eine x ist es nur gleich 0. Und deswegen können wir auf der vorherigen Folie das, was ich im grün dazu geschrieben habe, nicht mit dem Äquivalenzzeichen versehen. Also, was Genau meine ich? Ja, wir können jetzt nicht aus streng konvex folgen folgern, dass die zweite Ableitung überall positiv ist. Aber trotzdem das, was ich jetzt hier in grünen dazu geschrieben habe, hilft uns hier

zu sagen, die Funktion x² - 2x + 2, die ist nicht nur konvex, sondern die ist sogar streng konvex. Ja, da habe ich den Pfeil nur in eine Richtung geschrieben, nicht hin und zurück. Also, wir merken uns, was bedeutet konkav und Konvex? Wie können wir es überprüfen? Konkave bedeutet, eine Verbindungslinie liegt unterhalb des Grafens. Konvex bedeutet, die Verbindungslinie liegt oberhalb des Grafens. Das können wir durch diese jensensische Ungleichung darstellen. Wenn die Funktion zweimal differenzierbar ist, brauchen wir auf diese Ungleichung keine Rücksicht zu nehmen. Wir können einfach die zweite Ableitung angucken. Das geht viel besser, viel

schneller. Was ist eine Wendestelle? Das ist das letzte Konzept für heute. Die Wendestelle ist die Stelle, an der die zweite Ableitung ihr Vorzeichen ändert. Also, wir sehen hier einen Grafen und dieser Graf, der hat einen Abschnitt, da ist der Konkave. Ja, auf der linken Seite der Y-Achse ist der Graf Konkave. Das schreibe ich mal Hier hin. Die Verbindungslinie liegt drunter und auf der rechten Seite ist der Graf konvex. Ja, wir haben eben gesagt, na ja, wenn der Graf konkav ist, ist die zweite Ableitung kleiner gleich 0. Also f2 str kleiner gleich 0. Und auf der

rechten Seite sehen wir, dass die zweite Ableitung größer gleich 0 ist, weil der Graf konvex ist. Und das bedeutet an dieser Stelle hier An, ich schreib es mal so hin, an dieser Stelle ist f2 von x = 0. Ja, hier wechselt die zweite Ableitung des Vorzeichen von negativ nach positiv und das nennen wir dann Wendepunkt oder Wendestelle. Also die X-Koordinate ist die Wendestelle und beide Koordinaten zusammen, das ist der Wendepunkt. So, jetzt ähm hoffen einige schon darauf, dass ich ein bisschen früher Schluss mache. Ich habe noch mir eine Sache vorgenommen und das geht wunderbar In

den verbliebenen 9 Minuten, die auch was mit Konvexität und Konkavität zu tun hat, aber nicht mit Funktionen, sondern mit Mengen. Und das brauchen wir an späterer Stelle. Und weil wir jetzt gerade mitten im Thema Konvex Concave sind, finde ich das eigentlich ganz gut geeignet, das hier an dieser Stelle kurz einzuschieben. Dann können wir uns das später sparen. Und das Thema bedeutet konvexe Mengen. Und ihr werdet merken, das ist sehr Anschaulich. Ja, ich werde das äh nicht mit Formeln aufschreiben, sondern nur grafisch. Also eine Menge können wir grafisch darstellen, z.B. durch eine geometrische Figur. Ich sage

jetzt mal alle Punkte in der XY Ebene, die in diesem Kreis liegen, die formen die Menge A. Und jetzt kann ich mir zwei beliebige Punkte aus dieser Menge A rausnehmen. Also, ich nehme einfach z.B. diesen Punkt und diesen Punkt und die durch eine Verbindungslinie verbinden. Also dieser Punkt sei jetzt mal x1 y1, dieser Punkt sei x2 y2. Und dann betrachte ich alle Mischungen zwischen diesen beiden Punkten, alle Konvexkombinationen von x1 y1 und x2y und wenn diese Menge der Konvexkombinationen vollständig in der Menge A drin liegt, dann nennen wir A konvex. Also die Menge Aißtx, falls

die blaue Linie, das sind alle Konvexkombinationen. Langes Wort. Falls alle Konvex Kombinationen von allen Punkten X1 y1 und X2Y2 aus A, also diese beiden Punkte x1 Y1 X2 Y2, die sollen in A drin liegen, die sollen aus der Menge A kommen, ebenfalls In A halt großes A liegen. Also die Menge der Konvexkombinationen, das ist die blaue Linie, die muss ebenfalls in A drin sein. Dann haben wir eine konvexe Menge. Ich kann mir Sachen ganz gut merken, wenn ich ein Gegenbeispiel habe. Deswegen male ich jetzt noch eine Menge auf, die nicht konvex ist. Die hat eine

Delle, eine sogenannte Niere. Das ist die Menge B. Alle Punkte, die jetzt in dieser Niere drin liegen, die gehören zur Menge B. Und hier kann ich tatsächlich zwei Punkte finden, sass die Verbindungslinie in B liegt. Aber das reicht nicht aus. Ja, damit B konvex ist, muss das für alle beliebigen zwei Punkte gelten. Und wenn ich noch lange genug weitersuche, dann finde ich z.B. diese beiden Punkte und da sehen wir, dass die Verbindungslinie nicht komplett in B Drin liegt, also ist B nicht konvex. Schreib ich mal hier drunter. B ist nicht konvex wegen dieser Verbindungslinie hier,

die teilweise auch außerhalb liegt. Jetzt könnte man meinen, ja, dann ist die Menge B halt konkav, aber konkave Mengen gibt's gar nicht. Ja, es gibt nur konvexe Mengen oder nicht konvexe Mengen. Äh Konkave Mengen sind nicht definiert. Wir brauchen diesen Konvexitätsbegriff Für Mengen nachher, um unsere zentralen Aussagen für das Optimieren zu aufzuschreiben. Jetzt habe ich es für heute geschafft. Ich bedanke mich sehr für eure Aufmerksamkeit. Ich wünsche euch eine schöne Woche.