Mathematik Vorlesung 8

Hallo und herzlich willkommen zur Vorlesung Mathematik. Mus mal umschalten hier. Wir sind mitten in Kapitel 10 Integration. Das war so ein Kapitel, was nicht notwendig ist für den weiteren Verlauf der Vorlesung, was eigenständig ist, aber was super wichtig ist für wirtschaftswissenschaftliche Anwendung. Also, da benutzen wir das schon relativ Häufig, vor allem dann, wenn wir bestimmte Maße entwickeln wollen, wie gut es nach Gesellschaft geht. Und ich war letzte Woche dabei steheneblieben zu erklären, was die Konsumentenrente sein soll. Ja, das ist ein Maß darüber, wie gut es den Konsument innen geht. Zusammengefasst ist die Konsumentenrente die Summe

aller Handelsgewinne, die durch den Kauf von Gütern entstehen. Mit Handelsgewinn meine ich dann, ich habe ein bestimmtes ähm inneren, ich Habe ein bestimmten inneren Wert für ein Produkt. Z.B. 5 € ist mir das Produkt wert. Ich bezahle am Markt 3 € mein Handelsgewinn eben 2 €. Die Differenz aus dem, was ich selber für eine Wertschätzung für das Produkt habe und dem, was ich bezahle. Das kann für jeden von uns unterschiedlich sein. Und wenn wir für alle Leute das aufsummieren, dann bekommen wir die Konsumenten. Da war ich letzte Woche stehene geblieben und Jetzt hebe ich die

Standbilder auf und so sieht das dann grafisch aus. Also, wir haben hier diese abwärtsgerichtete inverse Nachfragefunktion. Ich schreibe da jetzt mal drüber Nachfragekurve. Die inverse Nachfragefunktion sagt einem, wie viel oder welchen Preis man am Markt für eine bestimmte Menge Q erzielen kann. Und ihr seht eben, je größer die Menge ist, die ich auf den Markt werfe, desto geringer wird der Preis sein, den ich dafür erzielen kann. Und das ist das sogenannte Gesetz der Nachfrage. Je größer die Menge, desto geringer der Preis. Und in diesem Diagramm ist es so, da wird ein bestimmter Preis klein P

bezahlt für ein Produkt. Ja, das ist das, was ich sozusagen verliere, wenn ich das Produkt kaufe und die Kurve oben sagt mir, was ich gewinne, wenn ich das Produkt kaufe. Also, das ist ist meine Wertschätzung Für das Produkt, die eben dann sinkt, je mehr ich davon kaufe. Und die Differenz zwischen diesen beiden Größen, zwischen dem Reservationspreis, meiner maximalen Zahlungsbereitschaft und den tatsächlich bezahlten Preis, das ist die Summe der Handelsgewinner und das nennen wir Konsumenten hier abgekürzt durch KR, ja, die hängt davon ab, wie groß es die Menge ist. Wenn wir die Menge nach rechts schieben,

dann wird die Fläche entsprechend Größer. Wenn wir die Menge nach links schieben, wird die Fläche entsprechend kleiner. Auf englisch heißt das ganze Consumer Surface und wird durch CS abgekürzt. Nur falls ihr das irgendwo lest, dann könnt ihr es wieder. Jetzt kommen wir zu dem Pond auf der Produzentenseite, also der sogenannten Produzentenwente oder auf englisch Producer Surplus. Und ich habe hier auf der Folie ein Optimierungsproblem dargestellt. Ich Wollte das ein ganz kleines bisschen anders machen, aber das widerspricht nicht dem, was ihr auf der Folie seht. Ich habe nur gedacht, wenn ich das handschriftlich einmal vorführe, dann

kann man das vielleicht ein bisschen besser verstehen. Ich komme hier zum Konzept Produzentenrente und dann brauche ich für die Produzentenrente auch sowas wie ein Reservationspreis. Ja, wir hatten das auf der Konsumentenseite auch meine Maximale Zahlungsbereitschaft für ein Produkt, meinen Reservationspreis und genau das gleiche hat die Unternehmung auch die Firma. die überlegt sich auch, wie viel Geld will ich mindestens bekommen, damit ich das Produkt anbiete. Das ist auch ein Reservationspreis, nur eben von unten und nicht von oben. Stellen wir uns mal vor, die Firma bietet bereits eine bestimmte Menge von Einheiten an. Also Firma bietet Bereits

Q0 Einheiten an. Jetzt können wir uns die Frage stellen, wie groß muss der Preis mindestens sein, damit sie noch eine weitere Einheit anbieten? Also sie, da kommt jetzt jemand her und sagt: "Ey, ich will noch eine Einheit mehr kaufen." Und die Firma überlegt sich jetzt: "Hey, wie viel soll der mindestens bezahlen?" So, dass ich bereit bin, diese zusätzliche Einheit herzustellen? Hier steht, dass die Firma bereits Q0 Einheiten anbietet. Das heißt, sie verkauft die auch bereits. Ja, sie produziert die und verkauft die. Also das bedeutet Q0 wird produziert und verkauft und dann können wir eben den

Gewinn ausrechnen, den die Firma macht, wenn sie eben Q0 Einheiten produziert und verkauft. Dann ist der Gewinn, Den nennen wir immer Pi von Q0 gegeben durch P* Q0 - C von Q0. P, das soll der Marktpreis sein, der Preis, den die Firma am Markt eben als gegeben betrachtet. und C, das sind die Kosten, also das ist eine Funktion, ja, die hängt ab von der Menge Q0 und das sind dann insgesamt die Kosten. So, wie hoch muss jetzt P sein, damit eine zusätzliche Einheit produziert und verkauft wird. Ich habe es gleich mit dem Schreiben hier langer

Satz. So, dazu rechne ich jetzt einfach mal den Gewinn aus, wenn die Firma eben Q0 + 1 Einheiten anbietet, produziert und verkauft. Also Pi von Q0 + 1, dann ist das P* Q0 + 1, Aber ich muss jetzt Q0 + 1 in Klammern setzen. Ja, beides wird mit P multipliziert. Das ist der neue Erlös. Und hier haben wir die neuen Kosten. In die Kostenfunktion setze ich jetzt Die Menge Q0 + 1 ein. Und jetzt muss ja gelten, dass der Gewinn bei der Menge Q0 + 1 mindestens genauso groß ist wie bei der Menge Q0. Sonst

würde die Firma ja sagen, nee, die nächste Einheit, die biete ich nicht an. Also, es muss gelten, dass Pi von Q0 + 1 größer gleich ist Pi von Q0. Wenn die Ungleichung andersrum wäre, würde die Firma durch die zusätzliche Einheit verlft machen und ist ja nicht dumm. würde die die zäliche Einheit Nicht angeben. Und jetzt können wir einfach mal einsetzen. Also Gewinn bei Q0 + 1 ist P von Q0 + 1 - C von Q0 + 1. Das muss größer gleich sein. Wo ist der andere Gewinn? Der steht hier oben. P mal Q0 - C

von Q0. Dann haben wir eine Ungleichung und der können wir ein kleines bisschen vereinfachen. Wir sehen nämlich, dass hier in der Klammer auch ein P* Q0 vorkommt. Also hier steht eigentlich, ich schreibe das Vielleicht mal in blau da drüber, p* q0 + p, das ist diese Klammer hier. Das heißt, wir können auf beiden Seiten einfach p* q0 abziehen. Kürzt sich weg auf beiden Seiten p* q0. Dann bleibt auf der, ich streich das mal durch hier. P mal einmal durchgestrichen auf der linken Seite, einmal auf der rechten Seite, dann bleibt auf der linken Seite ein P

übrig und dann bringe ich dieses - C von Q0 + 1 noch auf die rechte Seite, indem ich auf beiden Seiten c von Q0 + 1 addiere und dann habe ich P muss größer sein als C von Q0 + 1 - C von Q0. Ja, mit anderen Worten, der Marktpreis für diese zusätzliche Einheit muss mindestens so groß sein wie die zusätzlichen Kosten, die mir entstehen, wenn ich diese eine Einheiten produziere. Das sind die zusätzlichen Kosten, die wir auf der rechten Seite haben. Und diese zusätzlichen Kosten, die Können wir direkt interpretieren als Mindestpreis, als Reservationspreis der

Firma. Ich nenne das jetzt mal Mindestpreis. für die zusätzliche Einheit. So, und wenn wir das jetzt dieses Problem uns nicht anschauen mit einer zusätzlichen Einheit, die die Firma produzieren soll, sondern wenn wir uns das anschauen mit Ableitung, ja, ich Habe eine Gewinnfunktion, die hängt ab von der Menge Q und ich leite die Gewinnfunktion nach Q ab, dann kriege ich als Optimalitätsbedingung P = Grenzkosten. hier auf der rechten Seite diese zusätzlichen Kosten, die können wir auch ein bisschen als Grenzkosten interpretieren. Ja, wenn Q0 bereits sehr groß ist, z.B. eine Millionen, dann ist die zusätzliche Einheit, die

eine einzige zusätzliche Einheit sehr klein Im Vergleich zu Q0 und dann ist die Differenz ungefähr das gleiche wie die Grenzkoste. Deswegen schreibe ich das auch mal dazu. Das ist ungefähr gleich die Grenzkosten und das ist das, was auf der nächsten Folie dann quasi als Lösung des Optimierungsproblems steht. Gucken wir uns das auch noch mal kurz an. Also, wir haben eine Gewinnfunktion P* Q - C von Q. Ich habe hier oben noch angenommen, die erste Ableitung von C soll positiv Sein. Ja, ist irgendwie klar, je mehr ich produziere, desto größer sind meine Kosten. Und C2 Strich,

das ist die zweite Ableitung von C, bedeutet die Kostenfunktion ist streng konvex. Also die zusätzlichen Kosten werden immer größer, wenn ich noch mehr produzier. und dass die äh Kostenfunktion streng konvex ist, bewirkt das minus die Kostenfunktion streng konkav ist und das bewirkt, dass die ganze Gewinnfunktion Auch streng konkav ist. Und das wiederum bedeutet, dass wir die Bedingung erster Ordnung äh nutzen können, um ein Maximum. So und hier seht ihr die Bedingung erste Ordnung. Ich habe die Gewinnfunktion einmal abgeleitet. P mal Q abgeleitet nach Q ist nur P. Wenn ich C einmal ableite, kommt da C

strich raus. Wenn ich das gleich 0 setze, kommt das P ist gleich Cr. Ja, wir können also die Grenzkosten als Mindestpreis für die Firma Interpretieren. Mindestens so viel will die Firma am Markt bekommen. Ich gucke einmal sicherheitshalber nach, ob im Stream alles in Ordnung ist. Falls das nämlich nicht der Fall ist, kriege ich hier immer Fehlermeldung. Aber das sehe ich jetzt hier aktuell nicht. Ups, jetzt habe ich auch Chat ausgestellt. War dumm von mir. Wie kriege ich den wieder? Hier habe ich ihn. Okay, lass uns das mal anschauen in der Grafik. Ja, wie sieht das

aus im Diagramm? Ich gucke mal ganz kurz, ob ich das direkt auf der nächsten Seite habe. Jawohl, habe ich. Also hier habe ich jetzt einfach mal die Grenzkostenkurve in Diagramm eingezeichnet. Horizontale Achse ist die Mengenachse, vertikale Achse ist die Preisachse. Und hier habe ich halt gesagt, okay, die Grenzkostenkurve ist jetzt so eine inverse Angebotskurve. Ja, vorher hatten wir die inverse Nachfrage Funktion und jetzt haben wir die inverse Angebotsfunktion, die sagt mir halt, zu welchem Preis ist die Firma bereit? die Menge Q anzubieren. Und mit diesem Diagramm können wir jetzt z.B. die Kosten der Firma ausrechnen.

Die Fläche unterhalb der Grenzkostenkurve, Die ist ja das Integral. Da haben wir gesagt, okay, wenn die Grenzkostenkurve überall im positiven Bereich ist, ja, über der X-Achse, dann können wir die Fläche durch ein Integral ausrechnen. Und das seht ihr hier noch mal zur Erinnerung. Da haben wir eine Nullen Q einstellen. Das sind die sogenannten Integrationsgrenzen. Wir haben hier also ein bestimmtes Integral. Wenn wir eine Fläche ausrechnen wollen, machen wir das immer Mit einem bestimmten Integral. Und was steht im Integral drin? Die Funktion von der wir die Fläche ausrechnen wollen. C str von Q. Und da das

Integral sozusagen das Gegenteil von der Ableitung ist, können wir sagen, okay, die Stammfunktion von C str ist einfach C von Q. Beim bestimmten Integral müssen wir jetzt die Stammfunktion einmal an der oberen Integrationsgrenze ausrechnen. Hier C von Q1 und dann einmal an der Unteren Integrationsgrenze C von 0. Ist jetzt automatisch gegeben, dass C von 0 = 0 ist. Ja, wenn ich null Einheiten produziere, habe ich dann null Kosten? Allgemein leider nicht. Allgemein sind das die Fixkosten hier. Ja, ich habe ähm bestimmte Kosten, die immer anfallen, egal welche Menge ich produziere. Die Miete für eine Lagerhalle

z.B., die ist unabhängig davon, wie voll die Lagerhalle ist. Erinnert ihr euch noch? Ich wollte Eigentlich ein Maß entwickeln, wie gut es den Firmen geht. Okay, jetzt habe ich ein Maß entwickelt, wie hoch die Kosten von der Firma sind, aber es wäre doch eigentlich sinnvoller, wenn ich ein Maß hätte, was so die Gewinne repräsentieren würde. Und jetzt möchte ich in dieses Diagramm eben auch die Gewinne einzeichnen. Und zwar ist ja diese Grenzkostenkurve die inverse Angebotskurve. Das heißt, wenn Die Menge Q1 angeboten wird, heißt das, dass der Preis gleich C von Q1 sein muss. Also kann

ich hier auch den Preis einzeichnen. Ja, das ist der Marktpreis P, den die Firma am Markt erzielt und dann gilt eben P = C str von Q1. Also Bild bietet die Firma Q1 Einheiten an. Und jetzt kann ich in diesem Diagramm auch die Erlöse ganz gut ausrechnen. Der Erlös ist nämlich gegeben durch Preis mal Menge. Wisst ihr was? Ich mache hier mal An das P auch so ein kleines eine kleine ein dran. Das ist nicht irgendein Preis, sondern ist der ganz bestimmte Preis, der zur Menge Q1 gehört. Also, dann ist der Erlös gegeben durch P1

mal Q1. Und was war noch mal der Gewinn? Der Gewinn ist Erlös- Kosten, also der der Erlös war P1* Q1. Und was waren die Kosten C von Q1? Okay, kann ich das kann ich diese Differenz hier irgendwo in dem Diagramm auch wiedershen? Fast. Guckt euch mal diese Fläche hier an. Ich schraffiere die mal rot. Das ist die Fläche unterhalb der Preisgrade, aber oberhalb der Angebotskurve, also oberhalb der Grenzkostenkurve. Und das nennen wir Produzentenrente. Okay. Und jetzt können wir nämlich genau ausrechnen, wie groß diese Fläche ist. Das ist das Integral. Ich brauche ein bisschen Platz. Ich

schiebe das mal nach oben. Muss den Strich verlängern. Das ist das Integral. Fängt bei 0 an, geht bis Q1. Und ich muss die Differenz zwischen diesen beiden Funktionen jetzt hinschreiben. Also die, ich mal eine Differenz ein. Ja, diese Differenz, das sind die Geelsgewinne, die die Firma am Markt erzielt für genau diese Einheit Hier. Die Einheit, die an der Stelle produziert wird, die bringt der Firma P1 Einheiten, Geldeinheiten ein und die Firma verliert C strich von dieser Menge an Kosten. Ja, das sind die zusätzlichen Kosten, die der Firma entstehen. Also die Summe dieser Handelsgewinne, das ist

das Integral. Das ist also P1 - C str D. Also ich rechne sozusagen die Differenz zwischen der gestrichelten Preislinie und der Angebotskurve aus. Ja, diese rotstraffierte Fläche, das die Produzentenrte. Und jetzt können wir aber auch noch ein bisschen mehr das Integral ausrechnen. Also, wie ging das noch mal beim bestimmten Integral? Wir müssen die Stammfunktion ausrechnen von dem, was drinnen steht. P1, das ist eine Konstante. Ich muss mir überlegen, welche Funktion muss ich ableiten, damit diese Konstante rauskommt? Das ist P1* Q. Ja, wenn ich das ableite, kommt P1 raus. Und welche Funktion muss ich ableiten, dass

C strich rauskommt? Das ist C von Q. Und das ganze muss ich jetzt einmal ausrechnen an der oberen Inte Integrationsgrenze Q1 und einmal an der unteren Integrationsgrenze 0 und muss die Differenz ausrechnen. Also das ist dann P1*1 - C von Q1 der oberen Integrationsgrenze ausgerechnet und jetzt abziehen die untere Integrationsgrenze - P1* 0 und jetzt steht dann minus minus minus also + c von 0. Ich mache hier mal ein senkrecht Strich, das gehört nicht mehr dazu. Der erste Teil, den erkennen wir sofort wieder. Also P1* Q1 - C von Q1, das ist der Gewinn der

Firma. Das hier nenne ich jetzt einfach mal Pi Von Q1. Das ist der Gewinn der Firma. Steckt irgendwie in der Produzentenrente drin. Dann - P1* 0 fällt weg. Irgendwas mal 0 ist 0. Und dann addieren wir hier noch C von 0 drauf. Und das sind die Fixkosten. Das heißt, die von mir rotstraffierte Fläche, die Produzentenrente, das ist der Gewinn der Firma plus die Fixkosten. Und das ist natürlich super störend, dass da jetzt die Fixkosten dabei sind. Wäre viel schöner, wenn das nur die Produzentenr, wenn das nur der Gewinn wäre ohne die Fixkas, ja, dann könnten

wir sagen, da haben wir ein grafisch äh ganz gut darstellbares Maß für das Wohlergehen der Firma, nämlich ihre ihren Gewinn. Dass jetzt die Fixkosten aber dabei sind, ist eigentlich gar nicht so schlimm. Wir wollen ja dieses Maß benutzen, um zu bewerten, wie sich eine wirtschaftspolitische Maßnahme auf die Firmen auswirkt. Z. Beispiel, wenn wir eine Steuer erheben, eine Mengensteuer werde ich nachher auch noch machen. Ja, dann gucken wir uns die Situation an ohne Mengensteuer und die Situation mit Mengensteuer und dann vergleichen wir die beiden Situationen. Ja, wir gucken uns die Veränderung an. Aber in beiden Fällen

ist bei der Konsumenten äh bei der Produzentenrente sind die Fixkosten dabei. Da wir aber Nur die Veränderung uns anschauen, äh kürzt sich diese äh zu vielen Fixkosten kürzen sich dann sozusagen weg. Ja, die sind dann egal. Im Prinzip sind diese Fixkosten diese Integrationskonstante an die könnt ihr euch vielleicht noch erinnern, wenn wir ein unbestimmtes Integral haben, also ohne Integrationsgrenzen, müssen wir immer eine Integrationskonstante mitdenken, aber beim bestimmten Integral kürzt die Sich dann weg, was die dann. Okay, wir haben jetzt ein Maß für die Produzentenrente. Äh nein, wir haben die Produzentenrente, das ist ein Maß und

die Konsumentenrente. Und jetzt möchte ich beides zusammenfüllen. Ja, jetzt male ich ein Diagramm, wo beides drin vorkommt. Muss ein bisschen gucken, dass ich ähm an den Folien dran bleibe. Ja, hier seht ihr noch mal das schön. Das ist der Gewinn. Dieses Diagramm wollte ich gerade per Hand zeichnen, aber warum per Hand, wenn es viel schöner schon hier auf den Folien ist. Jetzt wollen wir beides zusammenzählen. Also, wir haben irgendeinen bestimmten Marktpreis, den sehen wir hier. die Leute konsumieren. Und ihr seht, ich habe die gestrichelte Linie so gezeichnet, dass die eigentlich bis zum Schnittpunkt gehen würde,

aber Ich habe jetzt absichtlich mal nicht bis zum Schnittpunkt weitergezeichnet, sondern ich habe absichtlich hier bei der Menge Q1 aufgenommen. Ich möchte jetzt ausrechnen, was ist die Wohlfahrt, wenn die Gesellschaft insgesamt oder der Markt Q1 Einheiten handelt? Ja, und zwar jeweils zum Preis P. Dann steht hier die Wohlfahrtsfunktion W steht für Wohlfahrt oder auf englisch Welfare, dass es einfach die Summe aus Konsumenten und Produzenten ist. Und den nächsten Schritt, den muss ich erklären. Ja, beim nächsten Schritt steht, dass wir hier den Reservationspreis der Konsumentinnen einfach äh reduzieren müssen, um den Mindestpreis der Firmen. Ja, das

hier ist der Reservationspreis von den Firmen. Warum das so ist, machen wir jetzt mal ganz langsam. Also vielleicht schreibe ich noch mal Die Konsumentenrente auf. Das ist das Integral von 0 bis Q1, die inverse Nachfrage von den Konsumenten. Und ihr seht, jetzt kommt hier so ein Dzu. D steht für Demand, Shtply, damit wir die unterscheiden können. Der Reservationspreis der Konsumentinnen minus der Marktpreis P DQ, das ist die Konsumentenrente. Hier drunter kommt die Produzentenrente. Das ist das Integral von 0 bis Q1. Jetzt Kriegen die Konsumenten den Preis dazu. Pus ihren Reservationspreis PS von Q dq. Und

jetzt addiere ich das beides auf. Also W von Q1 ist, ich schreib das beides schon mal direkt unter ein Integral. Diese Klammer, die kann ich mir nicht sparen. Okay, also das Integral geht ja in beiden Fällen von 0 bis Q1. Jetzt kommt in blau die äh die Konsumentenrente PD von Q - P plus die Produzentenrente, die schreibe ich in rot dazu. P - PS von Q DQ und ihr seht, da haben wir einmal - P. Den Marktpreis ziehen wir einmal ab. Einmal haben wir plus p. Einmal addieren wir ih drauf und dann fällt er einfach

weg. Also haben wir auf diese Art und Weise eine Formel, mit der wir darstellen können, wie gut geht es Konsumenten und Produzenten gemeinsam insgesamt in Summe, wenn sie die Menge Q1 handeln. Jetzt können wir uns fragen, wie hängt diese Wohlfahrt von Q1 ab? Das heißt, wir können auch mal ausrechnen, was ist eigentlich die Ableitung der Wohlfahrt nach Q1. Und da erinnern wir uns dran, wie ging das noch mal mit Ableitung nach den Integrationsgrenzen? Also, wir haben ja hier das Q1 nicht hier im Integral drin stehen, sondern Oben am Integral dran. Wie ging das noch mal?

Wir nehmen die Funktion, die im Integral drin steht und werten diese Funktion an der Stelle Q1 aus. Ja, einfacher kann das ableiten tatsächlich nicht sein. Das ist also PD von Q1 - PS von Q1. Und solange die Nachfragekurve oberhalb der Angebotskurve ist, ist diese Differenz positiv. Ich kennze zeichne das mal in diesem Diagramm, indem ich die Gleichgewichtsmenge mit einzeichne. Die nenne ich mal Q Stern. Ja, in Gleichgewicht gilt Angebot gleich Nachfrage. Dann kann ich sagen, das ist größer gleich 0. Genau dann, wenn Q1 kleiner gleich Q Stern ist. Und so können wir in dieser sehr

einfachen Darstellung einfach argumentieren, im Marktgleichgewicht ist die Wohlfahrt maximal. Ja, solange wir Weniger produzieren oder handeln als im Marktgleichgewicht, gibt es die Möglichkeit für manche Marktateure noch Handelsgewinner zu erwirtschaften. Ich möchte darauf hinweisen, dass es sich hier um eine Partialanalyse handelt. Parzialanalyse bedeutet, wir gucken uns nur das eine gut an, wo die Menge Q1 heißt. In Wirklichkeit gibt es noch viel mehr Güter in unserer Gesellschaft und der Konsum von einem gut kann sich positiv Oder negativ auf den Konsum von anderen Gütern auswirken und deswegen ist das nur eine Aussage konkret auf dieses eine gut gerichtet.

Wenn man eine allgemeinere Aussage treffen will, dann muss man eben auch ein allgemeineres Modell ausschen. Jetzt gucken wir uns das Ganze an mit Steuern. Ihr merkt, wir sind schon richtig so in der Wirtschaftstheorie drin und das äh wollte ich deswegen Durchführen, damit ihr einfach seht, wofür wir die Mathe in der äh Wirtschaftswissenschaft tatsächlich brauchen. Also, das gleiche Diagramm jetzt mal mit Steuern. Das muss ich tatsächlich per Hand zeichnen. Wir brauchen eine Mengenachse, wir brauchen eine Preisachse. Wir brauchen eine Nachfrageurve und eine Angebotskurve. Ich benutze jetzt einfach nur mal die Ah, Ich schreib es vielleicht hin.

Also hier gilt P ist = groß P von Q. Das ist die Nachfrage. Und bei der roten Kurve schreibe ich jetzt P. Nein, P ist = C str von Q. Das ist das Angebot. Und jetzt führen wir eine Mengensteuer ein. Die nenne ich jetzt mal Mengensteuer T. bedeutet für jede Einheit, die behandelt wird, müssen T Geldeinheiten An den Start abgeführt werden. Und ich modelliere das jetzt mal so, dass die Konsumentinnen diese Steuer bezahlen müssen. Ja, man kann es auch genau andersrum machen, dass wir Produzent innen die Steuer bezahlen müssen und wir werden gleich sehen, es

kommt aufs gleiche hinaus. Was bewirkt das? Ja, überlegt euch mal kurz. Ihr sollt z.B. pro Einheit, die ihr kauft, 1 € Steuern gezahlt. Das bewirkt doch, dass ihr euren Reservationspreis Anpasst. Ja, wenn ihr vorher bereit wart, 3 € zu bezahlen für das Gut, seid ihr dann nur noch bereit 2 € zu bezahlen, weil ihr wisst ja, ich muss noch 1 € drauf rechnen, den ich als Steuern zu entrichten habe. Das heißt, diese ähm Mengensteuer, kann ich das kopieren? Geht das? Nee, dann versuche ich jetzt noch mal per Hand zu machen. Bewirkt, dass die inverse Nachfragefunktion

bzw. die Nachfragekurve einfach parallel nach unten verschoben wird. Also das hier nenne ich jetzt mal P = groß P von Q - T. die wird einfach um t-inheiten nach unten verschoben. Das heißt, dieser vertikale Abstand ist einfach gleich t. Jetzt mache ich die gleiche Analyse wie vorher. Also Gleichgewichtsanalyse. Das hier ist der Gleichgewichtspreis. Den nenne ich jetzt aber mal nicht P Stern, sondern P mit so einem Hochgestellten T, damit man weiß, dass es der Gleichgewichtspreis, der bei einer bestimmten Mengensteuer T bezahlt wird. Dann kann ich hier runtergehen. Das ist die Gleichgewichtsmenge bei Steuern. Das nenne

ich aber nicht Q Stern, sondern Q mit zu einem hochgestellten T. Das also die Menge, die bei dieser Mengensteuer gekauft wird im Gleichgewicht. Und dann habe ich noch einen weiteren Preis. Den hier oben, das ist der Preis PT + T. Ja, der ist ja genau Tinheiten ober der obere Preis ist nun der Preis, den sie die Konsument innen bezahlen und der untere Preis nur das PT ist der Preis, den die Unternehmen bekommen. Und die Differenz von diesen beiden Preisen, die beträgt genau t. Das ist das Geld, was der Staat einnimmt. Das heißt, wir können jetzt

auch in diesem Diagramm einfach mal Flächen Straffieren, z.B. diese Fläche hier. Das hier ist die Konsumentenrente, aber eben beim Steuersatz T. Hier ist die Produzentenrente, aber eben beim Steuersatz T. Und hier in der Mitte, da sehen wir die Steuereinnahmen. Das schreibe ich mal aus. Steuer ein Namen und wir wissen auch genau, wie groß die sind. Die sind t mal qt groß. Das ist Das Geld, was der Staat ein und dem kann er Sachen machen. Und jetzt ist die normale Argumentation in der klassischen Wohlfahrtsanalyse, dass hier ein Dreieck entsteht. Ich glaube, ich verschiebe das kleine Teel

auf die linke Seite und markiere das Dreieck mal. Ich meine dieses Dreieck hier, das ist der sogenannte Wohlfahrtsverlust, der der Gesellschaft flöten geht. Ja, und die Argumentation ist, wir addieren jetzt Konsumentenrente zu Produzentenrente zu Steuereinnahmen zusammen. Das sind sozusagen die Benefits, die drei Positiv Kosten, die der Gesellschaft zugute kommen. Und die Summe von den dreien ist etwas kleiner als die Summe aus Konsumentenrente und Produzentenrente im Marktgleichgewicht. Also, wenn die Leute bis zum Schnittpunkt gehen würden ohne Steuern, ich kann den auch noch mal hier Einzeichnen bis zu Qern. Das heißt, durch die Steuern wird die gehandelte

Menge reduziert und es entsteht ein rosafarbenes Dreieck, der Wohlfahrtöst. Diese Argumentation beinhaltet aber, dass man die Steuereinnahmen genauso stark gewichtet wie die Konsumentenrente oder Produzentenrente. Aber dann kann das kann man natürlich auch hinterfragen. Man kann sagen, okay, Der Staat finanziert mit den Steuereinnahmen z.B. öffentliche Güter, für die fallen einmal Kosten an, aber alle profitieren davon, nicht nur ein Konsument, sondern alle Konsumenten. Deswegen könnte man argumentieren, ja, die Steuereinnahmen, die haben einen stärkeren Einfluss auf das Wohlergehen der Menschen als der simpfe Konsum von einem Apfel. Andere Leute würden dann wieder anders argumentieren, ja, Großteil der Steuernahmen

geht dann für Bürokratie drauf, für Verwaltung und so weiter, was der Gesellschaft eigentlich nichts ja und so kommt man dann eben eine Diskussion rein. Die Standardargumentation ist, man addiert einfach die drei Flächen auf und rechnet dann die Summe aus und fertig aus. Okay, so viiel jetzt zum Thema Wohlfahrtsmaß und Integration, aber es gibt noch mehr Anwendungen für Integrale und auf die möchte ich euch nicht freuen. Ach so, wir kriegen noch ein bisschen Theorie. Partielle Integration habe ich heute nicht vergessen, ganz wichtig. Also, wir haben bisher eine Regel zum Integrieren kennengelernt. Zu der gehe ich noch

mal ganz kurz zurück. Dann komme ich auf die Folie zurück. Das ist diese Regel mit dem R. Die zeige ich euch noch mal ganz kurz. Die war ganz am Anfang. Ist das schon lange her? Wo ist er? Hier. Mit der Regel kriegt ihr fast alles hin. Aber es gibt trotzdem noch so ein paar Spezialfälle, wo ihr auch damit nicht weiterkommen würd. Und dafür brauchen wir noch besondere Regeln. Und das ist z.B. die partielle Integration. Muss wieder vorblättern. Die partielle Integration ist das Pondant zur Produktregel. Beim Ableiten haben wir öfters mal die Produktregel benutzt und die

Parellintegration ist sozusagen die Produktregel rückwärts. Wir haben nicht nur die Produktregel kennengelernt, wir haben auch die Kettenregel kennengelernt und auch für die Kettenregel gibt es eine Regel rückwärts. Das nennen wir dann Integration durch Substitution. Fand ich aber immer ein bisschen schwieriger. Fandet ihr also eure Vorgänger innen fanden das auch schwieriger und ich hätte mir gedacht, ich will das ein bisschen entschlacken. Ja, das heißt Integration per Substitution findet ihr dieses Semester nicht in den Folien, kommt auch nicht in der Klausur vor, aber partielle Integration, das wollen wir machen. Also die parell Integration ist eine Rechenregel, die

euch Weiterhilft, wenn ihr mit der Rregel nicht weiterkommt. Wie sieht das aus? Wofür brauchen wir die Parzelle oder wie wie funktioniert das Ganze? Ruft euch noch mal die Produktregel in Erinnerung. Die steht hier auf der Folie. Das heißt, wir haben hier das Produkt von zwei Funktionen. Leiten das Produkt ab. Die funktioniert so, dass wir erst den ersten Faktor von dem Produkt ableiten, also f str ausrechnen mal den zweiten Faktor, dann kommt ein Pluszeichen, dann der erste Faktor nicht abgeleitet mal die Ableitung des zweiten Faktors. So, das ist die Produktre. Jetzt gehen wir die rückwärts. Bedeutet,

wir schreiben auf beide Seiten von dieser Gleichung einfach Integralzeichen. Auf der linken Seite machen wir ein unbestimmtes Integral und auch auf der rechten Seite machen wir unbestimmte Integrale. Einmal für diesen einen Term hier und einmal für den anderen Term Dort. Das Tolle ist, dass das unbestimmte Integral die Ableitung rückgängig macht. Das heißt, wenn wir hier auf der linken Seite schon eine Ableitung im Integral drin stehen haben, dann können wir sagen, das unbestimmte Integral davon ist einfach f von x mal g von x ohne die Ableitung. Das heißt, die linke Seite von dieser Gleichung, die können

wir leicht aus. Bei der rechten Seite ist es meistens So, dass einer von beiden Termen schwer ist und der andere Term ist leicht. Stellt euch einfach mal vor, das hier wäre der leichte Term und das hier wäre der schwere Term. Dann können wir den leichten Term einfach auf die linke Seite bringen und dann haben wir eine Formel für den Sternm. Und genau das ist die partielle Integration. Die sehen wir jetzt auf der nächsten Seite. Alter, seht ihr, ich habe eine einen von beiden Ausdrücken Habe ich einfach sozusagen auf die andere Seite gebracht und dann können

wir diese Formel benutzen. Bzw. Wir können dann diese Formel benutzen, um dieses schwierige Integral auszueen. Das machen wir natürlich auch gleich mit dem Beispiel. Wenn wir das gleiche nicht nur für unbestimmte Integrale machen wollen, sondern auch für bestimmte, funktioniert das ganz genauso. Wir setzen einfach überall die Integrationsgrenzen ein. Also hier bedeutet das, wir rechnen das Produkt einmal an der Stelle B aus, einmal an der Stelle A und rechnen dann die Differenz aus. Ich lasse jetzt mal die Folie im Hörsaal noch dran, damit wir die gleich benutzen können, um das Beispiel auf der nächsten Seite zu

lösen. So, jetzt steht hier schon ein bisschen die Lösung, deswegen mache ich das noch mal per Hand. Wie heißt das Integral? Das ist x mal e hoch x dx. Das will ich Jetzt mit Hilfe der partiellen Integralktion lösen. So, wir sehen hier nirgendswo oder man kann es nicht gut sehen, zumindest ein R. Ja, also bzw. ich kann ich habe Probleme. Bei dem E hoch X, da sehe ich gar kein R. Bei dem beim ersten Faktor ist es r = 1. Vielleicht könnte ich dann die Rregel benutzen, wer weiß, aber dem e hoch x tue ich

mich schwer. Wenn das e hoch x alleine wäre unter dem Integral, Dann wäre es auch leicht, weil die Ableitung von e hoch x ist e hoch x. Das bedeutet auch, dass die Stammfunktion von e hoch x e hoch x ist. Aber jetzt steht da das blöde X dabei. Das heißt, mit den Regeln, die wir bisher hergeleitet haben, bin ich erstmal am Ende. Wenn ich jetzt die partielle Integration benutzen möchte, dann seht ihr, wenn ihr noch mal eine Folie zurücklettert, wenn ihr gerade im Video seid, dann macht's jetzt hier auch. Dann seht ihr auf der linken

Seite von der Gleichung, dass eine Funktion ohne Strich da steht und eine mit Strich. Also, das heißt, wir haben einmal die Funktion f und einmal die Funktion G strich. Jetzt müssen wir uns bei dem Beispiel entscheiden, ist das hier das f, das x und e hoch x das g strich oder ist es vielleicht Andersrum? Ich mache, ich würde gerne beide Wege gehen, deswegen schreibe ich mal in rot das F und G strich hier auf und in grün mache ich es andersrum. G strich und F und wir probieren einfach beides mal aus. Also, wenn wir müssen

uns irgendwie entscheiden und ähm wir müssen uns überlegen, welche Funktion kann ich leicht ableiten und welche Funktion äh kann ich da kann ich Leicht die Stammfunktion von ausrechnen. Deswegen mache ich das hier mal separat als Nebenrechnung. Also, wir schauen uns mal x an. Ja, ich kann x sehr leicht ableiten, das ist kein Problem. Das ist nämlich gleich 1. Ich lass das Gleichheitszeichen mal weg und ich kann das x aber auch gut integrieren. Also das Integral über x dx mit der rregel ist das 1/2* x². Auch das kriege ich gebackt. Wie sieht das aus mit e

hoch x? E hoch x kann ich auch leicht ableiten, denn da kommt einfach nur e hoch x raus. Ich kann von e hoch x aber auch gleich die Stammfunktion ausrechnen. Da kommt nämlich auch e hoch x raus. Das heißt, in diesen Fällen kann ich eigentlich beide Faktoren in beide Richtungen gut berechnen. Da fällt mir die Entscheidung vielleicht nicht ganz so leicht, welche der beiden Faktoren jetzt f sein soll und welcher G strich. Ich fange jetzt einfach mal mit Dem grünen Vorschlag an und probiere, ob das funktioniert. Dazu werfe ich jetzt aber, ach, habe ich schon

im Server noch mal die Regel für die partielle Integration hin, damit wir genau wissen können, wie wir vorgehen. Also, ich verfolge jetzt den grünen Vorschlag und dann muss ich jetzt mal hier auf die Regel der Integration gucken. Dann muss ich erstmal f* mal g ausrechnen. Also, wenn im grünen Vorschlag ist das Fe hoch x und das x ist g strich. Und dann muss ich jetzt überlegen, okay, was ist die Stammfunktion von x? Also, was ist g? Jetzt habe ich hier vorne stehen. Die Stammfunktion ist 1/ x². Also steht da e x mal 1/ x². Und

jetzt kommt das Integral und im Integral wird es jetzt getauscht. Da muss jetzt im Integral G stehen und f str. Also hier steht g strich und f und jetzt Muss hier g strich stehen. Die Stammfunktion von x habe ich ausgerechnet bereits ein/ x² und die Ableitung von e hoch x ist wieder e hoch x. So, und jetzt erkenne ich, ich habe aus einem komplizierten Ausdruck einen Ausdruck gemacht, der eigentlich noch komplizierter ist als vorher. Das heißt, dieser Weg, der führt zu einer noch komplizierteren Lösung. Lösung Ist noch komplizierter. Deswegen probiere ich es jetzt mal andersrum.

Jetzt nehme ich den roten Weg. Also, ich muss jetzt f* G ausrechnen, aber beim roten Weg ist das X mein f und das G strich ist das E hoch X. Also dann ist f einfach x und g ist die Stammfunktion von e hoch x ist wieder e x und dann muss ich das Integral abziehen mit Wie war das jetzt? f str und g. Ja, im roten Vorschlag ist das x das f. Wenn ich das nach x arbeite, kommt 1 raus und das e hoch x ist das G strich. Die Stammfunktion von e hoch x ist

e hoch x. Und jetzt sehen wir, der neue Ausdruck, der ist eigentlich einfacher geworden. Ja, ich kann jetzt weiterrechnen. Das ist x mal e hoch x-te von e hoch x dx. Das unbestimmte Integral von e hoch x dx ist aber die Stammfunktion. Also wieder e x* E hoch x - e hoch x ohne Integral. Und das ist ja dann haben wir, also jetzt sind wir fertig. Jetzt haben wir das ausgerechnet. Ich kann es noch ausklammern. Ich kann noch schreiben e hoch x mal x - 1, aber das ist nicht unbedingt nur. Das heißt, hier konnte

ich mit der partiellen Integration jetzt dieses komische Integral ausrechnen, wo ich vorher eigentlich keine Randfarbe hatte. Natürlich wie immer machen wir die Probe. Also habe ich grün schon verbraucht, ja? Dann mache ich jetzt mal die Probe in blau. Also hier kommt jetzt die Probe. Wie funktioniert noch mal die Probe? Ich nehme das Ergebnis, was ich ausgerechnet habe, e hoch x* x - 1 und leite das einmal ab. Produktregel erster Faktor abgeleitet e hoch x abgeleitet ist e hoch x mal zweiter Faktor plus erster Faktor nicht abgeleitet mal die Ableitung des zweiten Faktors. Der zweite Faktor

ist x - 1 abgeleitet nach x= 1. Okay, jetzt rechne ich das Ganze aus. E hoch x* x - e hoch x + e hoch x. Und ihr seht raus, äh ihr seht, es kommt raus, e hoch x mal x. Dieser Ausdruck ist der gleiche wie dieser Ausdruck nur in umgekehrter Reihenfolge. Das heißt, die Probe hat Mir gezeigt, ja, ich habe diese partizielle Integration richtig an. Ihr könnt die partielle Integration immer dann benutzen, wenn ihr das Produkt von zwei Funktionen integrieren sollt. Ihr müsst dann irgendwie identifizieren, welche Funktion kann ich super leicht ableiten und welche

Funktion, von welcher Funktion erkenne ich sofort die Stammfunktion. Und dann müsst ihr euch überlegen, also Was ist G strich und was ist f? Und natürlich müsst ihr die Formel für die partielle Integration irgendwie im Kopf haben, irgendwie parat haben. Das ist die komplizierte Formel auf dieser Seite. Aber wenn ihr die Produktregel könnt, dann könnt ihr euch diese Formel eigentlich auch recht gut herleiten. Okay, das war jetzt wieder ein bisschen schwerer für heute. Jetzt kommen wir wieder ein bisschen zur Anwendung, nämlich zu Wahrscheinlichkeiten. Also, das ist jetzt noch ein Grund, warum wir integrieren müssen, warum wir

das können müssen. Wenn wir eine stetige Zufallsvariable haben, dann hat diese Zufallsvariable eine dichte Funktion. Ich vermute sehr stark, dass ihr in der Statistik bereits über sowas gesprochen habt. Vielleicht mal angeteasert. Eine stetige Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die reelle Zahlen annehmen kann und die also einen kontinuierlichen Wertebereich hat, z.B. die Zahlen zwischen 0 und 1 oder alle reellen Zahlen die dichte Funktion übernimmt die Rolle der Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn ihr eine diskrete Zufallsvariable habt, also eine Zufallsvariable, die abzählbar viele Werte ankt, 1 2 3 4 und so weiter und so fort. Mit der dichtefunktion können wir nun

die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer bestimmten Schranke ist. Und diese Schranke habe ich auf der Folie x1 genommen. Und das ist dann tatsächlich das Integral, was ihr hier seht. Also, ich habe jetzt hier mal minus unendlich als untere Integrationskonstante hingeschrieben, falls die Zufallsvariable wirklich alle reellen Zahlen bis minus unendlich annehmen kann. Wenn ich nur die Zahlen bis 0 annehmen kann, dann würde das eben hier schon bei der null anfangen und dann ist das bestimmte Integral von dieser unteren Grenze bis zu x1 von der dichte Funktion die Wahrscheinlichkeit,

dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x1 ist. Und diese Stammfunktion, die wir hier Sehen, die hat in der Statistik einfach den Namen Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion gibt mir eine Wahrscheinlichkeit. Eine ganz wichtige Eigenschaft von Wahrscheinlichkeiten ist, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten auf eins addieren und für eine stetige Zufallsvariable bedeutet das, dass das Integral der Dichte Funktion gleich 1 ist. Das ist eine die Bedingung, die hier unten steht. Lass uns das Ganze mal anschauen, wie das im Diagramm aussieht. Ich habe hier mal diese gausische Glockenkurve geplottet. Das ist die dichte Funktion der Normalverteilung. Vielleicht

schreibe ich das mal dran. dichte Funktion der Normalverteilung und das kann aber auch für alle anderen dichte Funktionen kann man das genauso interpretieren, ne? Äh, ich schreib mal die Formel dazu, wie die heißt. Also hier ist F von Ich schreib das auch in rot, damit das klar ist, was hier gemeint ist. Also f von x 1 durch die Wurzel von 2* sigma² und dann kommt E hoch - x -² geσ². Also, da kommen ziemlich viele Buchstaben drin vor und dessen Buchstaben sogenannte Parameter der Normalverteilung. My ist der Erwartungswert. Zu dem kommen wir auch gleich noch

mal und sigma quadrat, das ist die Varianz der Normalverteilung. Ja, ihr könnt für my auch eine 0 einsetzen und für Sigma Quadrat die 1, dann habt ihr die Standardnmalverteilung. So, und jetzt hat diese Dichte Funktion diese Glocken äh Kurve, diese Glockenform. Und wenn wir uns irgendein X1 anschauen, das habe ich mal hier eingezeichnet, Dann können wir die Fläche bis zu diesem X1 ausrechnen mit dem bestimmten Integral. Und das ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert an dem kleiner gleich x1. Und das Dumme an der Normalverteilung ist, dass man hier die Stammfunktion gar nicht

ausrechnen kann. Und deswegen habe ich mir gedacht, dass ich euch das nicht erst probieren, sondern ich denke mir eine neue dichte Funktion aus, die ein bisschen einfacher ist und anhand der können wir einfach mal die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Also, wir schauen uns mal, ich fange mal mit einem ganz einfachen Beispiel an, die Uniformverteilung. Also, wir schreiben dann, dass x ist uniform verteilt auf irgendeinem Intervall und ich gucke mir jetzt 01 an. Ja, ihr könnt auch AB machen, wenn ihr wollt. Bei mir ist die Zufallsvariable auf 01 verteilt Und dann ist die dichte Funktion gegeben durch 0,

falls x kleiner ist als 0. 0, falls x größer ist als 1 und 1, falls 0 kleiner= x kleiner 1 ist. Das m ich mal auf. Wie sieht das aus? So, hier kommt jetzt mal y hin. Hier x. Dann male ich die 0 hierhin und die ein hier. und auf die y-Achse kommt hier die 1 und dort die 0. Und meine Dichte Funktion zeichne ich mal ein mit einem blauen Strich. Links von der 0 ist die Dichte 0, rechts von der 1 ist die Dichte 0 und zwischen 0 und 1 ist die Dichte g=ich 1.

So sieht die Dichtefunktion aus. Ja, und jetzt muss ich ehrlicherweise noch dazu sagen, die ist ein bisschen unstetig, deswegen mache ich hier noch so gestrichelte Linien dazu, vielleicht ein bisschen dünner. Ist ein bisschen doof, weil wir bei Integralen immer gefordert haben, dass die Funktion stetig ist. Ja, und wenn sie Sprungstellen hat, hat sie ist sie natürlich nicht stetig, aber ist nicht so schlimm. Funktioniert trotzdem. y = f von x. So, ich will jetzt die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ausrechnen für irgendein X1. Setzen wir das einfach mal hier hin. Das heißt, ich rechne jetzt diese Fläche

hier aus. Aber hey, muss ich dafür ein Integral nehmen? Eigentlich nicht, ne? Also die Fläche hier, ich schreibe das mal als Integral auf, von 0 bis1 f von x dx können wir viel einfacher ausrechnen. Ist ja ein Rechteck. Ich würde mal sagen, das ist x1* 1. Ich schreib es erstmal so auf. X1 - 0 mal 1 - 0, aber das ist einfach nur x1. Easy. Okay, das heißt, die Verteilungsfunktion von der uniform verkehrten Zufallsvariable, die auf dem Intervall 01 definiert ist, ist einfach nur f(x) = x, also groß f(x) = x. Jetzt soll es aber

ein bisschen komplizierter werden. Das war jetzt zu einfach. Ich will die Summe von zwei Uniformverteilen sie als Variabel anschauen. Es kommt auf der nächsten Folie, also X und Y, die sollen beide uniform verteilt sein auf 01 und ich definiere Z als die Summe von diesen Beiden Zufallsen. Jetzt möchte ich die Dichte von Z definieren. Das ist dann F von Z. Ich möchte äh euch nicht damit langweilen, das zu begründen, warum das so ist. Also einmal 0, falls Z kleiner ist als 0, geht ja gar nicht, ne? Und dann 0, falls Z größer ist als 2.

Geht ja auch nicht. Und jetzt gibt's noch zwei andere Fälle. Einmal das Zwischen 0 und 1 ist und einmal das Z zwischen 1 und 2 ist. Moment, jetzt muss ich irgendwo noch ein Gleichheitszeichen wegmachen hier. So. Und die Dichte ist wie folgt gegeben. Hier ist es einfach Z und hier ist es 2- Z. Und jetzt zeichnen wir das Ganze auf. So. Und dann brauche ich einmal die 0, Die 1 und die 2. Und hier brauche ich die 0 und die 1. Dann sieht die Dichte Funktion wie wie folgt aus. Die geht hier bis zu null.

Ab der zwei ist immer noch null. Und hier einfach gerade mit der Steigung 1 und hier gerade mit der Steigung -1. Das ist die dichte Funktion von der Funktion z. Und wenn wir jetzt die Wahrscheinlichkeit ausrechnen wollen, dann schreibe ich mal absichtlich Moment zwei verschiedene XE auf äh ZS sollte ich sagen. Und zwar ein Z, was kleiner ist als 1, das ist Z1 und ein Z, was größer ist als 1, das ist Z2. Und ich bitte euch jetzt einmal aurechnen, die Wahrscheinlichkeit von Z1, also dass die Summe der beiden Uniformiten Zufallsvariablen kleiner gleich z1 ist

und b das gleiche für Z2. Der Unterschied ist eben, dass Z1 kleiner ist als 1 und Z2 größer ist als 1. Und ich lasse euch damit jetzt ein bisschen alleine. Knobelt mal ein bisschen rum und dann gucken wir gemeinsam drauf, was die Lösung davon ist. Ihr könnt das übrigens einerseits durch die Integration ausrechnen, aber ihr Dürft natürlich auch Flächen ausrechnen, wie ihr es aus der Geometrie kennt. Dürfte genauso machen. Alles klar? D Minuten und dann bin ich wieder ja solange sol so lange halt hier klapper Okay, ich leg mal wieder los. Ich vermute, dass vielleicht

noch jemand im rechten und ich die Person wird es mir auch zeigen. Hat jemand von euch das Problem für Z1 Gelöst? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Z kleiner gleich Z1 ist? Wie könnte man da dran gehen? Es gibt wie immer ganz viele verschiedene Ansätze, die zum Ziel tun können. Da würde ich jetzt nicht sagen, der eine ist richtig, der andere Ansatz ist falsch. W ich zum gleichen Zug kommen. Hatte jemand ein großes Fragezeichen bei der Aufgabenstellung? Also wusste jemand vielleicht gar nicht, wie man anfangen soll? Okay, dann versuche ich die Aufgabenstellung einfach noch mal zu

formulieren. Mit anderen Worten, also bei A sollte man ausrechnen diese Fläche F von Z1, die schraapiere ich jetzt mal. Nee, blau habe ich ja schon benutzt. Grün, diese Fläche hier. Wie sollte man ausrechnen, also das bestimmte Integral von der Funktion klein f zwischen den Grenzen 0 und z1. Und damit in rot sollte man diese Fläche hier ausrechnen. F von Z2. Die geht aber nicht erst bei Z1 los, sondern die geht schon hier los. Deswegen muss ich die mal, wie soll ich die schraieren? So. Also einmal die grün schraffierte Fläche ausrechnen und einmal die rot schraffierte

Fläche. Auf welche Art und Weise ihr das macht, Ist nicht so wichtig. Das kann ich ja in der Klausur auch nicht überprüfen. Ja, ich frage euch, ich gebe euch dann verschiedene Antwortmöglichkeiten und wie ihr auf die Antwortmöglichkeit kommt, kann ich leider nicht sehen. Okay, die grüne Fläche, die Fläche des Z1. Möchte sich da jemand dran trauen? Wie rechn ich dir aus? Irgendjemand von euch muss und wenn es schief geht, ist überhaupt nicht schlimm. Ich habe so viele Sachen In meinem Leben schon falsch gemacht. Immer wenn man was falsch macht, lernt man draus und dann wird

man besser. Hoffentlich niemand die Fläche des Z1. Doch, da oben. Bitteschön. Super. Also ich ähm du kommst kannst gleich vollenden. Ich wiederhole einfach mal, was du bis jetzt gesagt hast. Du siehst, dass diese grüne Fläche ein Dreieck ist und man kann ein Dreieck ja mit der Formel 1/2* B* Ausrechnen. Weißt du, was A und was B ist in dem Fall? Ah, okay, ich sehe das Problem. Okay, also wie weit sind wir? Wir haben jetzt hier, ich nenne das jetzt einfach mal A und das hier B. Und dann ist dein Ansatz zu sagen f von z1/

a mal b. Und das Problem stand jetzt daran, du weißt nicht, was Z1 ist. Also wenn es könnte jetzt z.B. 0,5 sein, aber Man kann es nicht so richtig in der Grafik sehen. Und ehrlich gesagt wollte ich auch gar nicht, dass Z1 eine konkrete Zahl ist. Also Z1 ist hier eine Variable, die irgendeine Zahl zwischen 0 und 1 sein kann. Mit anderen Worten, das Z1 ist das A. Also hier können wir einfach schreiben ein/ Z1. Und jetzt ist die Frage, wie kommen, wie kriegen wir raus, was das B ist? Dazu müssen wir halt in die

Definition Von klein F reinschauen. Also diese Kurve hier, das da, das klein F, das steht hier. Und wenn das Z1 zwischen 0 und 1 liegt, dann ist es einfach Z bzw. Z1. Das heißt, B ist auch Z1. Also kommt raus, dass es 1/2 Z1 zum Quadrat. Z1 schreibe ich noch mal neu. Ist hlich geworden und das haben wir jetzt berechnet, indem wir die Fläche von einem Dreieck berechnet haben. Natürlich möchte ich Das jetzt auch noch mal über ein Integral bestimmen, auch wenn es komplizierter ist, vielleicht unnötig kompliziert, aber wir sind ja im Thema Integral drin,

ne? Also, ich möchte berechnen das Integral von 0 bis Z1 von z dz muss ich die Stammfunktion von z ausrechnen. Das ist 1/z qu und das muss ich einmal ausrechnen an der Grenze 0 Und einmal an der Grenze z1 und dann die Differenz ausrechnen. Das ist also 1/2* Z1² - 1/2* 0² und dann kommt das gleiche Ergebnis raus. Also das ist groß f1. Okay, ich glaube, dass es wesentlich einfacher ist, wenn man einfach das Dreieck berechnet in dem Fall. Aber ich wollte das in dem Fall jetzt nicht nachlesen. Wie sieht das aus mit der roten

Fläche, die bis Z2 geht? Wie können wir die ausrechnen? Da gibt's auch geometrische Möglichkeiten. Können auch das Integral nehmen, aber es ist in gewisser Hinsicht ein bisschen schwieriger, weil wir müssen einen Zwischenschritt mitdenken. Also, ich schreib mal hier dazu. Hier lautet die Funktion f von z = z und auf der Seite lautet die Funktion f von z = 2 - z. So. Und wenn wir jetzt die Fläche bis z2 ausrechnen, nehmen wir dann z oder nehmen wir 2- Z? Welches von beiden Nehmen wir? Und die Antwort lautet, wir müssen einmal die Fläche bis zur 1

ausrechnen. Also bis hier in den Bereich von 0 bis 1 können wir dann diese Funktion benutzen. F von Z = Z. Und dann müssen wir die Flächeus ausrechnen ab 1 bis Z2 und dann nehmen wir diese Funktion. Okay. Ja, bitttechön. Das ist die schlaue Lösung. Also, ich habe quasi die Schema F Lösung Vorgetragen eben und du hast uns auch die schlaue Lösung. Was ist die schlaue Lösung? Ich wier es einfach noch mal, damit man es auch im Mikrofon hört. Also, man kann ja auch die komplette Fläche unter der Dichte Funktion ausrechnen, also von 0 bis

2 und dann einfach das Dreieck abziehen, was zwischen Z2 und 2 ist. Also dieses Dreieck hier wieder abziehen. Das Tolle an dieser Lösung ist ja, man Muss quasi nur eine Dreiecksfläche ausrechnen, das einfach ist, viel einfacher als das Integral. Und man kann eben ausnutzen, dass die komplette Fläche unter der Dichte Funktion immer eins sein muss. Egal, was für eine Dichte Funktion ihr nehmt, die komplette Fläche muss immer eins sein. Aber ich glaube, das kann man auch sehen. Also hier habe ich ein Dreieck auf der linken Hälfte und genau das gleiche Dreieck auf der Rechten Hälfte.

Und stellt euch einfach mal vor, ihr nimmt das rechte Dreieck und dreht das einmal auf das linke Dreieck drauf. Dann hab ihr ein Quadrat mit der Kanten 1. Die gleich ein. Also war jetzt ganz viel Geometrie in winen Worten verpackt. Also der schlaue Lösungsweg lautet, ich schreib das mal hier in rot. F von Z2 ist 1. Ja, 1 ist die Fläche, die Gesamtfläche unter der Dichte Funktion Minus das bestimmte Integral von z2 bis 2 von klein f von z dz. Und dieses bestimmte Integral, was ich jetzt hier rechts daneben geschrieben habe, das ist dieses kleine

Dreieck, was hier, ich mal das mal in der anderen Farbe und ich markiere das mal gelb. Das ist dieses Dreieck hier. Und das können wir wieder mit der Dreiecksformel ausrechnen. Ein/ a* b. Müssen wir nur wissen, was ist A, was ist die Breite von dem Dreieck und was Ist B? Was ist die Höhe von dem Dreieck? Das mache ich mal. Also, ich rechne das vielleicht mal hier aus. Dieses gelbe Dreieck hier a B und dann ist die Fläche eben ein/b* A* B. Was ist das A? Das ist die Differenz von 2 und Z2. Also A

= 2 - Z2. Aber was ist B? Wie hoch ist das Dreieck? Dazu muss ich Z2 einsetzen in die Funktion klein ft ja hier schon 2 - Z2 kommt raus. Also B ist Auch 2 - Z2. Das ist die Höhe. Also, ich hab einfach nur das Z2 eingesetzt in das kleine F und dann kommt raus 1/2* a* b = 1/2* 2 - z2 z quadrat. Und jetzt muss ich 1 minus das ausrechnen und dann habe ich die Fläche f von z2. Also das ist 1 - 1/2* 2 - z2 zum Quadr. Die Antwort ist richtig.

Jetzt lass uns überlegen, wie kommen wir Denn da drauf, wenn wir nach Schema Fgehen. Ja, manchmal ist es so, man sieht die Aufgaben, man hat eine Idee, die Idee führt zu einer Abkürzung. Manchmal hat man die Idee, aber auch leider nicht. Und dann soll es trotzdem noch möglich sein, die Aufgabe zu lösen, wenn ihr nach dem Schema vorgeht. Was mache ich jetzt? Ähm auf der nächsten Folie. Also hier will ich das Integral ausrechnen von 0 Bis Z2 z dz. Und dazu muss ich erstmal das Integral aufteilen in zwei Abschnitte. Ich muss einmal das Integral ausrechnen

von 0 bis 1 Z dz und dann von 1 bis Z2 Z. Nein, nicht Z, F von Z, was da drin stehen und hier auch F von Z F von Z Dzent. So. Und der das Schwierige an der Aufgabe ist, dass halt im Intervall von 0 bis 1 die Funktion anders definiert ist als im Intervall von 1 bis 2. Das Heißt dieses f und dieses f unterschiedliche Formeln, aber die kann ich jetzt mal einsetzen. 0 von 1. Im Intervall von 0 bis 1 ist die Funktion definiert durch f von x = x bzw. f von

z = z. Dann kann ich nur Z eintragen und in dem anderen Intervall ist die Funktion definiert durch 2 - Z. So, jetzt muss ich Stammfunktionen ausrechnen und Intervall Integrationsgrenzen einsetzen und dann habe ich es geschafft. Die Stammfunktion von Z ist 1/ z² einmal eine 1 ausrechnung, einmal eine 0. Dann muss ich die Standamfunktion von 2 - Z ausrechnen. Also was muss ich ableiten, damit 2 - Z rauskommt? 2 Da ist die Stammfunktion 2* Z. Wenn ich das nach Z ableite, bleibt die 2 übrig und bei - Z ist die Stammfunktion - Z². Mach kurz

die Kurve im Kopf. Z² Abgeleitet. Die 2 geht nach vorne, kürze ich mit dem einen Halbweg. Es bleibt nur Z übrig. Auch das muss ich ausrechnen, aber an den Grenzen Z2 und 1. Okay, das linke Integral ist also 1/2* 1² - 1/2* 0². Und jetzt kommt das rechte, das ist ein bisschen schwieriger. Also zweimal setze ich zuerst Z2 ein. - 1/2 Z2² und dann müss ich abziehen, ich mache Das mal in Klammern, das gleiche mit der 1, also 2* 1 - 1/2* 1 Okay, da vorne bleibt einfach nur ein halb stehen. Und ganz ehrlich, das

hätte ich mir auch sparen können. Also, was ist genau dieses dir dieses dieser Teil hier? Dieser Teil von 0 bis 1, den schauen wir uns noch mal im Diagramm an. Das ist doch die Fläche von diesem Dreieck, was bis zu eins geht. Und die Fläche von diesem Dreieck ist Halt einfach ein/b 1* 1 x ein/ ist genau das, was ich jetzt hier ausgerechnet habe. Und dann kommt dazu + 2 Z2 - 1/2 Z2² und dann steht da in Klammern 2 - 1/ 2 - 1/2 -3/ Okay, jetzt habe ich es fast geschafft. Ich fange mal

mit dem quadratischen Term an. Das ist - 1/2 z2² + 2 z2 + 1/2 - 3/ -2/ also -1. Das ist groß f von z. Aber jetzt habt ihr eben was anderes ausgerechnet. Das gucken wir uns auch noch mal an. Ähm, wo habe ich es aufgeschrieben? Wo war das noch mal? Hier unten. Ja, das war das, was wir quasi über die schlaue Lösung ausgerechnet haben, Das was hier rechts unten auf der Folie steht. Und jetzt habe ich eben diesen Ausdruck ausgerichtet. Aber wenn ihr die schlaue Lösung einmal ausklammert, komplett zu Ende ausrechnet, dann kommt genau

das gleiche raus. Also die beiden Lösungen stimmen überein. Okay, wir haben jetzt Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet und ihr habt's eben schon mal ganz kurz Vielleicht auflinken sehen auf der Leinwand. Es gibt auch Erwartungswerte, die wir ausrechnen müssen. Der Erwartungswert von der Zufallsvariable ist das, was wir so im statistischen Mittel erwarten können, wenn wir mit ein Zufallsexperiment ganz oft wiederholen. Und wenn die Wiederholungsanzahl gegen unendlich strebt, dann strebt der Durchschnitt von den Ergebnissen gegen den Erwartungswert. Und die Formel für den Erwartungswert ist so ähnlich wie Die Formel für eine Wahrscheinlichkeit, bloß dass wir hier vor das f von

x noch ein x davor multiplizieren müssen. Und diesen Erwartungswert, den kann man auch geometrisch interpretieren als Schwerpunkt oder ich habe hier geschrieben Gravitationspunkt. Einmal kurz eingezeichnet. Hier seht ihr wieder diese dichte Funktion und wenn ihr die dichte Funktion quasi auf einem Finger balancieren müsst, dann müsst ihr das am Erwartungswert Und ihr müsst gucken, wo ist der Schwerpunkt von dieser Dichte Funktion und wir können natürlich auch wieder den Erwertungs den Erwartungswert von dem Beispiel ausrechnen, was wir eben schon mal hatten. Das mache ich noch mal. Also für f von x = Ich betrachte jetzt nur mal

diese beiden Bereiche. X falls 0 kleiner = x kleiner= 1 ist und 2 - x falls 1 kleiner x kleiner= 2 ist. Ja und Jenseits von 0 und 2 schreibe ich die dichte Funktion jetzt gar nicht auf. Jetzt will ich den Gravitationspunkt auswechnen. Ich mache das erstmal mit dem Integral reinschema F. Das also der Erwartungswert schreibt man immer e von x ist dann das Integral von 0 bis 2 x mal f von x dx. Und jetzt muss ich das aufteilen in die beiden Abschnitte, weil die Funktion f in den beiden Abschnitten unterschiedlich aussieht. Also von

0 bis 1 X* f(x) dx + von 1 bis 2 x f von x dx. Und jetzt kann ich einsetzen. Im ersten Abschnitt habe ich x mal ja f von x ist im ersten Abschnitt einfach nur x. x mal x dx. Und im zweiten Abschnitt, also von 1 bis 2, habe ich x mal, da gucke ich nach, f(x) 2 - x. Also schreibe ich hier 2 - x dx. Und jetzt kann ich anfangen. Also x* x². Schreibe ich mal runter. X² und davon die Stammfunktion. Wie funktioniert das noch mal? Ich muss den Exponenten um ein

erhöhen auf 3, aber dann mit dem Kehrwert davon multiplizieren. Also ich muss mit ein Drittel multiplizieren mal x hoch 3. Ja, wenn ich das jetzt ableite kommt x hoch x. Das muss ich auswerten an den beiden Grenzen 1 und 0. Beim zweiten Integral würde ich sagen, multipliziere ich das x erstmal in die Klammer rein. Also, dann haben wir hier 2x - x². Und jetzt kann ich versuchen, die Standfunktion zu finden. Ja, was ist die Standfunktion von 2x? x². Wenn ich x² ableite, kommt 2x raus und von -x² ist dann die Stammfunktion - 1/3 x hoch

3 und das werde ich aus an den Grenzen 2 und 1. Okay, dann fange ich damit mal an. Also der erste, vielleicht schreibe ich das hier drunter. So, 1/3 x hoch 3 an den beiden Grenzen Ausgewertet ist, also 1/3* 1 hoch 3 - 1/3* 0 hoch 3. Jetzt kommt der zweite Ausdruck. x² ausgewertet an der 2² - 1/3 hoch 3 minus das ganze an der Stelle 1 ausgewertet, also 1² - 13 1 hoch 3. Jetzt geht mir langsam der Platz aus, aber vielleicht kriege ich es ja noch hin. Vom am Anfang bleibt nur ein Drittel

übrig. 13* 1 - 0= 13 2² 4 2 hoch 3= 8 aber ein drittel davon 1/3* 8 dann -1 und dann steht da minus minus also + 1 dritt. So, und jetzt muss ich zusammenzählen. Also, ich habe hier 4 - 1. 4 - 1= 3. Und wie viel Drittel habe ich insgesamt? Ich habe 1 -8= -7 + 1= -6. -63, also 3 - 2. Und hier kommt raus, dass der Erwartungswert = 1 ist. Und das ist genau dort, wo die Spitze von diesem Dreieck ist. Wenn wir noch mal zurückgehen zu den Bild der Dichtefunktion, ja,

an der Stelle 1, da ist die Spitze von dem Dreieck und ist irgendwie intuitiv, dass man sieht, dass hier der Schwerpunkt ist. Okay, das war der Erwartungswert und jetzt ist das Kapitel geschlossen. Hab es geschafft. Integration können wir abhaken. Ab nächster Woche geht's mit der Multivariatenanalyse weiter. Das heißt, wir schauen uns da mal Funktionen an, die zwei Variablen haben und nicht nur eine Variable. Bis dahin wünsche ich euch eine schöne Woche.