Probabilità di un evento e geometria

Ciao ragazzi benvenuti e Ben ritrovati Oggi siamo insieme Per parlare della probabilità di un evento però applicato alla geometria dopo andremo a risolvere un quesito della maturità del pni del 2013 Innanzitutto spendo due parole per dire che cosa è un evento in probabilità andiamo alla definizione facciamo un esempio e poi passiamo al quesito Ok quando parliamo di evento Parliamo di un esito di un esperimento Ok quindi conduciamo un esperimento l'evento è un particolare esito dell'esperimento che stiamo conducendo ad esempio lancio una moneta Questo è l'esperimento l'evento è ad esempio esce il due cioè sto scegliendo

come risultato la faccia due l'evento Ok di un evento ci si può calcolare la probabilità che è data dal rapporto dei numeri dei casi favorevoli sul numero de Casi possibili Infatti un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario indicato con omega che rappresenta tutti i possibili esiti che possiamo avere di un esperimento Ok quando noi calcoliamo la probabilità di un evento altro non stiamo faccendo che applicare questo rapporto cioè il numero di casi favorevoli sul numero de Casi possibile se scegliamo ad esempio come evento esce due al lancio di un dado il numero de Casi

favorevoli è pari a uno Perché una sola faccia ha il numero due su tutti i casi possibili cioè tutte le sei possibili facce che posso ottenere lanciando un dado quindi la probabilità che esca il due nel lancio di un dado sarà Pari a un sesto Ok ora un evento quindi si può Verificare come non verificare stabilire questo questo rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili significa proprio andare a individuare Qual è la frequenza con la quale quel certo evento si presenterà Ok passiamo a un semplice esempio dove dobbiamo applicare

la geometria OK giusto per entrare un po' nel vivo della lezione di oggi si poniamo di avere una situazione dove stiamo facendo tiro con l'arco ok e nelle ipotesi cui io riesco sempre a colpire il bersaglio Ok vogliamo calcolare la probabilità di fare centro Ok quindi questo in azzurro è tutto il bersaglio Ok che avrà le sue varie fasce concentriche ma a noi interessa solo la parte di fare centro Ok qual è la probabilità con la quale la freccia colpisce il centro Supponendo che ad ogni lancio Comunque il bersaglio viene colpito Beh questo è sempre

dato dal numero di casi favorevoli sul numero di casi possibili applicando la definizione Dobbiamo però capire chi sono questi casi favorevoli e i casi possibili il caso favorevole qual è quello di andare a colpire la zona rossa che è un cerchio ok E il caso possibile è colpire una qualsiasi altra zona di tutto il bersaglio quindi il caso favorevole di colpire il cerchio di aria Rossa quindi avrò l'area in rosso come caso favorevole su tutti i casi possibili cioè di colpire un qualsiasi altro punto all'interno del Bersaglio visto che lo colpiamo sempre quindi sarà l'area

di tutto il bersaglio quindi in questo caso il numero di casi favorevoli sul numero di casi possibili è dato dal rapporto delle aree andiamo a sviluppare il calcolo quindi l'area del cerchio in rosso a raggio r piccolo Quindi sarà pco R pic all seconda visto che p r qu è l'area del cerchio l'area invece del Bersaglio è tutto il cerchio di raggio r maiuscolo Quindi sarà p greco R all second il Pi greco Lo possiamo semplificare quindi la probabilità di colpire il centro del Bersaglio è data dal rapporto tra i raggi delle due circonferenze al

quadrato Ok adesso che avete visto il meccanismo geometrico andiamolo ad applicare in questo esercizio del pni del 2013 dal quesito numero 10 e il quesito è seguente data la circonferenza di equazione X qu + Y qu = 16 Quindi abbiamo l'equazione di una circonferenza in forma analitica quindi dobbiamo andarla a disegnare sul piano cartesiano si calcoli la lunghezza dell'arco compreso tra i punti A di coordinate 2 √3 e 2 e B di coordinate 2 e 2 √3 si scelga poi a caso un punto sulla circonferenza e si determini la probabilità che il punto giaccia sull'arco

AB quindi giaccia vuol dire che appartiene all'arco AB andiamo Innanzitutto a disegnare la circonferenza sul piano cartesiano Allora questa è l'equazione di una circonferenza centrata nell'origine di raggio 4 Ok adesso dobbiamo prendere i punti di coordinate 2 √3 e 2 che è a questo è a questo sarà 2 √3 e l'ordinata è 2 e il punto B che invece è 2 2 √3 ok e quello che interessa a noi è l'arco di circonferenza AB quindi questo qui vogliamo andare a determinare la misura dell'Arco di circonferenza perché poi ci chiede preso a caso un punto sulla

circonferenza quindi un qualsiasi punto che appartiene alla circonferenza Ok qual è la la probabilità che questo punto giaccia sull'arco a quindi il testo sta chiedendo qual è la probabilità che il punto p preso a caso appartiene all'arco a di nuovo applicheremo la proprietà dell'evento Ok Quindi il numero di casi favorevoli sul numero di casi possibili i casi favorevoli in questo caso significa che prendendo un punto a caso questo appartenga alla Arco AB quindi qualsiasi punto che appartiene all'arco AB è un caso favorevole Quindi tutti i casi favorevoli saranno tutti i punti dell'Arco AB in sostanza

la lunghezza dell'arco AB su tutti i casi possibili quindi che un punto appartenga alla circonferenza tutta la circonferenza quindi andrò a dividere per la lunghezza di tutta la circonferenza sappiamo calcolare la lunghezza di una circonferenza dobbiamo calcolarci la lunghezza dell'arco AB per farlo basterà impostare una semplice proporzione Intanto traccio i raggi OA e OB Ok Questi saranno i raggi della circonferenza abbiamo detto che il raggio è pari a 4 ora questo arco insiste su un angolo che chiamo Alfa impostando una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza dell'arco B perché faremo la lunghezza dell'arco B sta ad

alfa che possiamo calcolarci come la lunghezza di tutta la circonferenza sta all'angolo giro quindi 2 pco ok 360° radianti e 2 pco adesso dobbiamo calcolarci Alfa in radianti per farlo utilizziamo le leggi della trigonometria adesso consideriamo il triangolo rettangolo che ha un vertice in a ok Quindi abbiamo l'ipotenusa è il raggio a un cateto sarà l'ascissa di a e l'altro cateto sarà l'ordinata di a e noi sappiamo che il rapporto tra i cateti altro non è che la tangente dell'angolo opposto che chiamo Alfa di a quindi l'ordin di a sull'as di a sarà la tangente

dell'angolo Alfa a Ok adesso l'ordinata di a è 2 quindi io so che la tangente di Alfa di a sarà 2 su l'ascissa 2 √3 semplifichiamo il 2 e rimane 1 su √3 Alf è √3 su 3 quindi che è l'angolo è l'arco la cui tangente è √3 su 3 che è un angolo noto cioè pi6 ovvero 30° quindi noi sappiamo che Alfa a è 30° Facciamo la stessa cosa con B quindi traccio il raggio A B e considero il triangolo rettangolo con vertice in B quello che andrò a calcolare è l'angolo che chiamo Alfa

B che sarà pari la tangente dell'angolo sarà pari al rapporto tra l'ordinata e l'ascissa quindi la tangente di Alfa B sarà pari a 2 √3 FR 2 ok perché l'ordinata di B è 2 √3 l'ascissa è pari a 2 semplifichiamo e otteniamo √3 quindi l'angolo ho chiamato Alfa B è l'arco alla cui tangente è √3 che anche questo è un angolo noto ed è pari a pi3 ovvero 60° e adesso andiamo a fare Questo ragionamento se questo angolo tutto questo che ho chiamato Alfa B è 60 e solo quello di a è 30 è chiaro

che quest'angolo qui per differenza sarà pari a 30° cioè pi6 che è quello che a noi interessa nella proporzione Ok abbiamo trovato Alfa questo qui è pari a pi6 quindi possiamo impostare la proporzione e ricavarci l'arco AB l'arco AB sarà pari a il prodotto dei medi quindi Alfa per la circonferenza quindi pi6 * 2 Pi greco R il raggio della circonferenza è 4 su 2 pco semplifichiamo E quindi otteniamo che l'arco AB è pari a 2/3 p greco a questo punto siamo in grado di calcolarci questa probabilità cercata perché la lunghezza dell'arca B adesso l'abbiamo

è pari a 2/3 p greco e la lunghezza dell'intera circonferenza noi sappiamo che è 2 p r r Per noi è 4 Quindi semplifichiamo il 2 P il 3 lo por al denominatore quindi 1/3 sarebbe 1/3 / 4 perciò 1/2 e questo completa quindi l'esercizio cioè la probabilità che prendendo un punto a caso su una circonferenza questo punto cada proprio sull'arco a è pari a un 12o ok Io spero che la lezione vi sia stata utile e Chiara e noi ci vediamo alla prossima ciao