olá pessoal tudo bem com vocês vamos agora mais uma aula de matemática básica e nessa hora que nós iremos estudar os múltiplos de um número inteiro e principalmente o mínimo múltiplo comum que o assunto aí muito solicitado seja na escola no enem e também nos vestibulares tradicionais então mal é muito importante para você beleza pessoal como sempre então anota em tudo aí e vem comigo aqui [Música] então pessoal vamos começar essa aula estudando aqui os múltiplos de um número inteiro tudo bem primeiramente vamos ver esses exemplos aqui ela só eu coloquei o m maiúsculo para
designar aqui em os múltiplos no caso do número 3 vamos abrir aqui formado em conjunto então com os múltiplos o 3 a gente faz olha só três vezes 1 temos aqui o 3 3 vezes o 2 163 vezes o 393 vezes 14 12 três vezes 5 15 três vezes 6 18 três vezes 7 21 13 vezes 8 24 bom bom até aqui né pessoal então facilmente nós obtivemos aqui os múltiplos do número 13 é o conjunto aqui pessoal possui infinitos elementos tudo bem agora pensando aqui nos múltiplos do número 4 olha só quatro vezes 144
vezes 2 é 84 vezes o treze é 12 4 vezes 14 16 o próximo 21 24 28 e por aí vai tudo bem agora o seguinte como é que a gente faz para saber se um número é ou não um múltiplo de um outro número por exemplo nós temos no 18 ali o 18 ele é múltiplo do 3 quando nós vimos agora pra saber rapidamente basta verificar se o número 3 ele é no caso um divisor o número 18 e realmente é um divisor já que 18 / 3 o resultado é 6 tudo bem agora
por exemplo no vinde o 20 ele não é múltiplo no caso do 3 já que o 3d não é divisor do número 20 vem comigo aqui agora pessoal vamos ver aqui o mínimo muito tipo comum que é conhecido como o mmc tudo bem olha só definição pra ele aqui ó o mínimo múltiplo comum também conhecido como mc de dois ou mais números inteiros é o menor ora só é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente desses números para você entender um pouquinho melhor vamos voltar na tela anterior e verificar lá nos múltiplos do 3
e do quadro como é que funciona o mínimo múltiplo comum ok vem comigo aqui então o pessoal aqui nós temos dois conjuntos que representam os múltiplos do 3 e do 4 tudo bem agora só se nós quisermos identificar a que os múltiplos que são comuns aos dois conjuntos repare que nós temos aqui ó o 12 depois nós temos aqui ó o 24 o próximo a ser yo 36 depois de 48 e por aí vai tudo bem só que nesse caso a gente está vendo agora qual é o menor múltiplo comum do 3 e do 4
ou seja o mínimo múltiplo comum nesse caso pessoal claramente nós conseguimos identificar que o número 12 é esse valor ele é o menor número que é múltiplo do 3 e do 4 simultaneamente beleza pessoal existe uma regra prática que ajuda a nós encontrarmos um mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números inteiros e essa regra prática é baseado na faturação de inúmeros prêmios ok vem comigo aqui então vamos ver aqui a qual é essa regra prática muitos de vocês já conhecem ela tá olha só exemplos determine o mínimo múltiplo comum entre os números 12 15
e 20 a primeira mente vou colocar aqui ó o 12o 15 e os 20 o que nós vamos fazer aqui é o que nós chamamos de faturação simultânea em números primos desses três números olha só como é que fica primeiramente vamos começar dividindo por 21 12 / 2 ficamos com o 6o 15 tentamos dividir por dois não dá então a gente apenas repete 15 e o 20 / 2 teremos aqui o 10 agora novamente por dois teremos o 3o 15 e ak pessoal 5 agora não dá mais para dividir por dois vamos pular para o
3 3 / 3 o resultado é um 15 dividir por três ficamos com os 5 e os 5 / 3 não dá então a gente apenas repete agora o 5 aqui é dividido por cinco anos ter 11 e 11 ou seja pessoal que nós temos aqui ó é que o mínimo múltiplo comum entre esses números 12 o 15 e os 20 exatamente igual à multiplicação desses fatores primos que nós encontramos aqui na faturação ou seja é 2 vezes o dois a quatro vezes o 3 12 e vezes os 5 teremos os 60 então os 60
pessoal é o menor número que é múltiplo comum nesses três números fornecidos aqui tudo bem pessoal nós temos aí os três conjuntos que representam os múltiplos do 12 do 15 e do vinde tudo bem repare que nós temos ali os 60 como sendo um dos múltiplos comum tá nós temos ainda deu 120 com o múltiplo comum o próximo seria o 180 o outro seria 240 depois o 300 e por aí vai tá mas enfim pessoal os 60 ali é o menor multi lu comum ou seja dos três números que nós temos ali portanto 60 é
o mmc que está sendo procurado a beleza vem comigo aqui agora pessoal vamos ver algumas propriedades sobre o mínimo múltiplo comum tudo bem olha só o que diz a primeira aqui ó o mínimo múltiplo comum mmc entre dois ou mais números olha só dois ou mais números primos será sempre o produto entre eles feito faz um exemplo é só pra nós visualizarmos beleza só vamos colocar aqui um exemplo é o seguinte ó o mínimo múltiplo comum por exemplo entre os números 5 e os 7 repare que tanto 5 como o set eles são números primos
portanto mínimo múltiplo comum de acordo com essa propriedade é simplesmente a multiplicação entre os dois ou seja cinco vezes sete teremos aqui o 35 ok a segunda propriedade importante comentar aqui é a seguinte entre dois ou mais números se o maior deles olha só se maior deles é múltiplo dos outros então esse maior número ele é o mmc tudo bem olha só um exemplo para evidenciar essa propriedade por exemplo aqui ó o mínimo múltiplo comum entre os números olha só 68 e 24 fazendo aqui um exemplo agora utilizando três números reparei que aqui o 24
ele é múltiplo dos seis e do 8 simultaneamente concorda comigo já que quatro vezes seis resulta 24 e três vezes 8 resultado 24 então nesse caso o mínimo múltiplo comum entre esses três números é o maior número deles ou seja o próprio número 24 beleza agora terceira e última propriedade o seguinte se os números forem multiplicadas olha só ou essa barragem significa outa ou divididos por uma constante cá então o mínimo múltiplo comum entre esses números também será multiplicado dividido pela constante cá vamos fazer um exemplo aqui ó olha só por exemplo o mínimo múltiplo
comum entre os números 4 e 6 1 tudo bem nós vamos calcular que o mínimo comum o resultado é o 12 tudo bem agora olha só se nós multiplicarmos o 4 por dois e os seis por 2 ou seja nossa constante car neste caso é o valor 2 o resultado mínimo como você pode ter certeza que também será multiplicado por dois ou seja o resultado que seria o 24 tudo bem era só o mmc então entre 8 12 o resultado é o 24 agora se nós tivéssemos por exemplo dividido neste caso por dois esses dois
números ou seja ficado aqui ó com dois e com 3 qual é o novo mínimo comum ele também seria dividir por dois e 12 / 2 nós vamos ter o valor 6 ou seja pessoal mínimo tipo comum entre 2 e 3 o resultado é 16 beleza pessoal três importantes propriedades acerca do mínimo múltiplo comum agora o pessoal mais importante é que a gente saiba resolver problemas que envolvem o mmc tá é isso então eu vou fazer agora resolver dois problemas para você entender bem como é que lhe é solicitado e por exemplo no enem ok
vem comigo aqui então vamos lá problemas sobre o mínimo múltiplo comum preste bastante atenção aqui tá nesse primeiro exemplo dia seguinte uma pessoa dá a volta completa em uma pista circular em 24 minutos enquanto que a outra realiza a mesma volta em 30 minutos as duas partem juntas e ao mesmo tempo às 13 horas e 30 minutos ou seja uma e meia da tarde tá beleza debaixo de sol e imagina a e se continuar assim é a que horas as duas pessoas se encontraram novamente no ponto onde partiram e quantas voltas deu cada uma o
pessoal olha só vamos imaginar aqui a nossa pista circular e vamos imaginar que o ponto de partida ele seja aqui tá ea direção aqui ó supondo anti-horário tudo bem aí o que acontece as duas pessoas elas partiram desse ponto aqui vamos por aqui a mãe de beatriz partir daqui uma medalha tarde começar dá voltas vamos supor aqui que amanda é um pouco mais rápida e faz a volta em 24 minutos enquanto que a beatriz aqui segundo a informação faz a volta em 30 minutos tudo bem agora pessoal preste bem atenção para você entender o porquê
essa questão se refere é uma questão de mínimo múltiplo comum tudo bem por exemplo amanda amanda saiu do ponto a e após 24 minutos ela completou a sua primeira volta concorda comigo mais 24 minutos ou seja 41 e 48 minutos depois do momento de partida completou sua segunda volta mais 24 minutos ou seja 72 minutos depois completa completou a terceira volta mais 24 minutos ou seja 96 minutos depois completou a quarta volta e por aí vai tudo bem ou seja nós temos leis valores de 4 48 de 2 96 o próximo é 120 por aí
vai agora em relação a beatriz que está ali né ela completou sua primeira volta após 30 minutos que partir daquele ponto após 60 minutos ela fez a sua sim segunda volta mais 30 minutos ou seja após 90 minutos de um momento de partida ela completou a terceira volta mais 30 - ou seja 120 minutos depois veja só quarta volta e por aí vai tudo bem aí acontece quando é que as duas irão se encontrar novamente no ponto de partida rebate nossas contas nós fizemos nós temos ali o número 120 como sendo o número de tempo
no caso tempo 120 anos depois ela se encontrarão novamente ali no ponto de partida só que no caso amanda fez cinco voltas enquanto que a beatriz ela fez quatro voltas tudo bem agora o negócio é o seguinte pessoal uma questão como essa você não pode colocar os valores ali até encontrar o mínimo múltiplo comum que a gente faz a gente fala faturação simultânea como nós vimos aí anteriormente a beleza vem comigo aqui então pessoal colocando os valores aqui ó 24 eo 30 e fazendo aqui a faturação simultânea nós vamos ter o seguinte dividindo por dois
em contrariar mussak o 12 e 15 por dois encontraremos os 6 e aquilo 15 iremos repetir por dois aqui encontraremos o 3 repetimos o 15 e por três agora ficamos com um a cinco e por cinco dá um então nesse caso aqui ó o mínimo múltiplo comum entre os valores 24 e 30 é dado pela multiplicação desses fatores primos que nós temos aqui dois meses dois meses dois é 83 vezes 8 24 e 52 24 nós vamos ter 120 então pessoal 120 é o mínimo tipo comum entre os 24 e 30 de leza agora as
perguntas a que horas as duas pessoas se encontraram novamente no ponto onde partirão pessoal 120 minutos depois do momento de partida elas se encontraram ou seja só se elas partirão às 13 horas e 30 minutos colocando 120 anos depois ou seja duas horas depois ela se encontrarão às 15 horas e 30 minutos beleza e diz o seguinte ó e quantas voltas deu cada uma aí você fala assim a pega o tempo total que é 120 no caso aqui da amanda você / 24 120 / 24 isso dará um total de cinco voltas isso aqui pra
amanda em relação à benigna a gente chamou de beatriz é o tempo total no caso 120 minutos só que vamos dividir por 30 minutos é o tempo de cada volta beatriz 120 / 30 nós vamos ter aqui quatro ou seja quatro voltas beleza pessoal agora vamos fazer as a ideia que o exemplo dois dia seguinte em uma sala existem quatro lâmpadas a primeira ascende a cada 27 minutos a segunda a cada 45 minutos a terceira a cada hora ea quarta lâmpada só acende quando as outras três estiverem acesas ao mesmo tempo outras três piscam ao
mesmo tempo aí a quarta lâmpada acende a id continua assim em um certo momento as quatro lâmpadas estão acesas pergunta quantas horas após esse momento as quatro lâmpadas voltaram a estar acesas simultaneamente então vamos imaginar aqui as quatro lâmpadas por exemplo lã padá b c e d beleza a lâmpada ra ela acende a cada 27 minutos tá então fazer primeiramente assim em um dado momento vamos chamar de momento zero ou seja tempo 10 às quatro lâmpadas estão acesas tá como diz aqui ó aí depois 27 minutos depois a lâmpada acende depois 54 minutos irá acender
novamente e por aí vai tudo bem enquanto ela passa bem a cada 45 minutos ou seja com tô aqui início 45 minutos depois ela seja novamente a e 90 minutos depois acendeu pela segunda vez e aí continua a laborar por sua vez ela acende aqui a a cada hora ou seja depois número inicial 60 minutos após ela ascendeu pela primeira vez cento e vinte minutos depois de pela segunda vez e por aí vai tá enquanto que a quarta lâmpada aqui ela só irá acender quando as outras três aqui ó se acenderem simultaneamente tudo bem então
o pessoal que nós deveremos encontrar aqui ó é o próximo número tá que é múltiplo comum pensando nessas três lâmpadas aqui ou seja pessoal vamos pegar aqui ó o mínimo múltiplo comum entre 27 45 e 60 me colocar aqui ó 27 45 e os 69 vamos ter então o seguinte olha só começando pela divisão por 2 aqui nós vamos ter o 2745 a gente só repete agora 60 nós ficamos com o 30 por dois vamos repetir o 2745 só que o 30 passou para 15 agora vamos por 3 a 1 aqui nós teremos 19 o
15 e 1 15 por três teremos 15 novamente por três teremos o 3o 5 e 15 novamente por três teremos o 1o 55 e dividir por cinco teremos um beleza então nesse caso aqui nós vamos ter que o mínimo múltiplo comum entre os números 27 45 e 60 é um número dado pela multiplicação desses fatores que está aqui ou seja dois meses 2 a 4 agora vez o 3 12 vejo três 36 vezes no 3 68 e 108 vezes cinco nós vamos ter aqui ou 540 ou seja pessoal 540 só os tempos aqui estão em
minutos então 540 minutos após esse momento que está aqui as lâmpadas três lâmpadas aqui elas irão se acendesse simultaneamente e conseqüentemente essa lâmpada que também vai acender tudo bem como a pergunta que é quantas horas após esse momento as quatro lâmpadas voltaram estar aceso simultaneamente nós temos que transformar as 540 minutos em horas ea simplesmente dividi lo por 66 9 54 então 60 vezes 9 540 resto zero ou seja 9 horas depois as quatro lâmpadas estarão acesas simultaneamente beleza pessoal chegamos então pessoal final de mais uma videoaula espero que ela tenha sido bastante proveitosa e
seus estudos desejo e uma excelente caminhada e nós nos encontramos nos próximos vídeos um abração e até mais [Música]
