SUCESSÕES Monótonas e Limitadas.

pessoal já ouviram falar associações quando é que uma associação é monótona E quando é que uma associação é limitada bem Este é o conteúdo que tem dado muitos problema aos alunos da 11ª série ou aos alunos que TM análise matemática um Por favor fica Neste vídeo que hoje vais aprender muita coisa sobre sucessões vai saber determinar quando é que uma sucessão é monótona E quando é que uma sucessão é limitada vamos a isso pessoal antes de tudo temos que saber o que é uma sucessão bem uma sucessão é uma aplicação do conjunto dos números naturais

Ao conjunto dos números reais uma sucessão é a aplicação do conjunto dos números naturais Ao conjunto dos números reais e normalmente uma sucessão é é denotada dessa maneira né o conjunto dos números naturais aplicado aos números naturais por exemplo a esta a sucessão dos números naturais o de n igual a du X N para qualquer n aqui se substituir se n for 1 terás do se n for 2 terás 4 se n for 3 terás 6 se n for 4 terás oito assim sucessivamente bem o que nos interessa é na classificação das sucessões como é

que as sucessões são classificadas bem as sucessões são classificadas de três maneiras por exemplo se n for o número aqui temos duas X N se substituímos n = a 1 teremos 2 n = a 2 teremos 4 n = a 3 aqui teremos 6 e n = 4 teremos 8 Se repararmos temos 2 4 6 8 logo esta aqui cresce está a crescer está crescente então podemos dizer sucessão crescente aqui por termos esse sinal negativo teremos valores -2 -4 -6 - 8 logo é uma sucessão decrescente é uma sução decrescente aqui se tiver um positivo

teremos men1 se termos o 2 teremos um Se tivermos o TR teremos men1 Se tivermos o quadro teremos um um melhor dizer se tivermos essa sucessão nem cresce nem decresce temos um que é supostamente h de crescer e temos um cresceu ela é oxidante esta sucão oila oxidante é uma sucessão ocid Então tá aqui pessoal a classificação das sucessões as sucessões classificam-se sucessões crescente sucessões decrescentes e sucessões Então esta é a classificações a classificação melhor dizer das sucessões pessoal se inscreva no canal siga o canal e comenta a sua dúvida Neste vídeo se estiver relacionada

com sucessões bem pessoal o que nos interessa tá aqui uma nota o uma sucessão é monótona se for crescente ou decrescente atenção pessoal uma sucessão só é monótona dizemos que uma sucessão é monótona dizemos que uma sucessão é monótona se a própria sucessão for crescente ou decrescente se for idente a sucessão não é monótona e uma sucessão monótona crescente uma sucessão monótona crescente é dada da seguinte maneira o n - 1 menos a sucessão maior que zer sucessão monótona crescente se ela for o de n - 1 Men a sucessão menor que zero el é

uma sucessão decrescente decrescente pessoal então se a sucessão depois de resolvermos dar aqui o DN menos a sucessão maior que zero se ela for maior que zero a sucessão é monótona crescente se ela for menor que zero a sucessão é monótona decrescente é dessa maneira que se determina a monotonia de uma sucessão bem Vamos a um exemplo prático para sabermos quando é que uma sucessão é monótona ou não temos aqui alguns exercícios que vamos analisar aqui agora exercícios tem esta pergunta ali dada a sucessão o de n = 2 x n + 1 que divide

por n + 3 disse se esta sucessão é ou não é monótona bem pessoal aqui vamos resolvesse de uma maneira simples e bonita sabemos que uma sucessão é monótona quando ele é crescente ou decrescente então teremos aqui uma sucessão é monótona quando é crescente ou decrescente então teremos o DN o DN que é esta sucessão 2 x n + 1 na razão de n + 3 e dizemos que uma sucessão é monótona quando ela é crescente ou decrescente então uma sessão monótona quando ela apresenta ou maior que zero ou menor que zero então para sabermos

vamos pegar esta aqui e substituímos então vamos ter a sucessão u n - 1 menos a sucessão não sabemos se ele é maior que 0 ou menor que zero Então vamos manter esse sinal e fazer a classificação final então todo lugar onde tem n na sucessão vamos substituir por n- 1 repito todo lugar onde tem n na sucessão vamos substituir por n - 1 Então temos do teremos 2 que multiplica por n - 1 estamos a substituir mais 1 que é está aqui a dividir por n no lugar de n vamos ter ter n -

1 + 3 menos a sucessão esta sucessão completa é só repassarmos teremos 2 x n + 1 n + 3 não podemos classificar se ele é crescente ou decrescente primeiro temos que resolver a sucessão pessoal dali É aplicarmos o que já sabemos vamos aplicar propriedade distributiva multiplicar este por este este este por este teremos 2 x n - 2 + 1 na razão de -1 + 3 dá-nos 2 aqui teremos + 2 Men a sucessão temos 2 x n + 1 a dividir por n mais 3 aqui dá-nos -1 então teremos 2 x n -

1 na razão de n + 2 A subtrair 2 x n + 1 n + 3 bem pessoal aqui estamos a ver que os denominadores são diferentes Então vamos igualar o mesmo denominador multiplicando este por este este por este então teremos aqui n + 3 que é este que multiplica por 2 x n - 1 menos este sinal mant n teremos n + 2 que multiplica por 2 x n + 1 tudo na razão de n + 2 que multiplica por n + 3 bem pessoal estamos a fazer isso para encontrarmos um único termo agora

aqui vamos multiplicar este por todo este este fator por este fator Du n x 2 x n teremos 2 x n qu n - 1 teremos - 1 3 x 2n teremos aqui + 6N 3 x - 1 teremos -3 tem vamos manter esse sinal n vezes teremos aqui 2 x n qu este por este dá-nos n duas vezes aqui dá-nos 4 + 4 n + 2 isto tudo a dividir por n x n n n x 3os 3n n x 2 dnos 2n e 3 x 2 D 6 vamos continuar pessoal teros aqui Du

ve n que está aqui aqui D 5n pos mais 5n positivo aqui -3 pessoal vamos multiplicar esses sinal por todos que estão aqui aqui dá noos 5 N + 4 dá noos 5 então teremos - 2n qu - 5n - 2 na razão de n qu aqui dá noos 5n + 5n qu + 5n melhor dizer + 4 pessoal agora ali vamos simplificar algumas expressões temos Este é negativo Este é positivo logo este com este é simétrico temos o cin positivo aqui temos o cin negativo logo este com este é simétrico e temos aqui -3

- 2 -3 - 2 danos -5 na ração de n qu + 5n mais 6 pessoal aqui é onde vamos analisar para qualquer número natural que atribuímos a n por este ser negativo por este ser negativo vamos chegar à conclusão de que a sucessão é decrescente para qualquer natural que substituímos logo a sucessão será decrescente Então esta sucessão Será menor que zer E aprendemos que quando uma sucessão é menor que zero ela é decrescente logo resposta aqui dade da sucessão diz se ela é monótona ou não comprovamos que a sucessão é monótona é monótona decrescente

pessoal é uma monótona decrescente pessoal E quando é que uma sucessão é limitada bem uma sucessão é limitada quando estiver dentro de um intervalo uma sucessão é limitada se ela estiver dentro de um intervalo bem se uma sucessão Estiver dentro deest intervalo podemos dizer que ela é limitada se uma sucessão Estiver dentro desse intervalo vamos vamos dizer que ela é limitada bem vamos pegar o mesmo exercício que resolvemos para provar se ela é monótono não pra gente provarmos se ela é limitada ou não bem a sucessão era o de n era igual a 2 x

n mais 1 na razão de n + 3 há diversas maneiras de provar quando é que uma são é limitada ou não diversas maneiras de provar isso uma das maneiras é por atribuir alguns valores outr das maneiras é calcularmos calcular melhor dizer então se atribuímos valores aqui supondo né que n seja 1 nós teremos duas vezes 1 + 1 que divide por 1 + 3 2 x 1 dá 2 + 1 dá 3 na razão de de 4 bem Este é o primeiro valor que nós temos agora precisamos determinar outro valor para satisfazer este intervalo

precisamos determinante valor para satisfazer este intervalo bem para isso vamos dividir essa expressão usando o método chave bem usando o método chave Vamos trabalhar aqui de lado teremos 2 x n + 1 a dividir por n + 3 2 ve n a dividir por n dá-nos 2 aqui se multiplicamos este por este dá-nos 6 duas vezes mais 3 dá positivo quando vem torna-se negativo este vezes este dá-nos 2n este vezes este dá positivo quando vem torna-se negativo logo podemos simplificar essa expressão 1 - 6 dá-nos - 5 Então pessoal dá-nos -5 sabemos que este é

o resto Este é o coeciente então podemos adotar a fórmula podemos adotar a fórmula que diz que o resto de x ou seja coeciente melhor dizer é mais o resto a dividir pelo divisor tá aqui o divisor Então vamos pegar isto e substituirmos aqui para encontrarmos um outro valor bem o coeficiente é quanto coeciente é 2 então teremos aqui 2 coeciente é do está aqui o resto é negativo logo aqui teremos negativo a dividir pelo divisor tá aqui dividindo mhor dizer teremos n + 3 agora pessoal como é que nós vamos determinar outro valor bem

vamos determinar outro valor por fazermos algo aqui vamos pegar todas esta toda esta expressão E estudarmos então teremos aqui -5 na razão de n + 3 agora vamos analisar aqui temos um -5 para todo n que substituí aqui essa será negativa se for negativa então ele é menor que zero se for negativa ele é menor que zero agora compara esta expressão é igual a esta certo sim única diferença que é que temos este dois A somar logo também podemos adicionar por mais dois então teremos dois adicionar aqui né podemos ter aqui o dois adicionar então

teremos -5 aqui na razão de n + 3 + 2 tem que ser menor que 0 + 2 teremos -5 na razão de n + 3 + 2 é menor que 0 + 2 É 2 logo encontramos este valor temos este e temos este valor agora compara entre este e este Qual o maior Com certeza o maior é o dois né né pessoal maior é o do agora como saber se essa sucessão é limitada ou não ve uma sucessão é limitada se ela estiver dessa forma a sucessão desta forma é limitada Então pessoal vamos comparar

Este é maior e este é o menor então o menor valor menor valor x fica à esquerda e o maior fica à direita então trocando esta expressão pessoal trocando esta expressão teremos 2 maior que -5 a divir por n mais 3 então 2 é maior que essa expressão então teremos aqui -5 na razão de n mais 3 se reparares o 2 é maior que essa expressão e essa expressão essa expressão Na verdade essa expressão na verdade é menor que uma razão de é menor ou igual que uma razão de qu pessoal podemos inverter este como

é um maior vem desse lado então teremos uma razão de quadro será maior ou igual a -5 na razão de n + 3 + 2 tá adicional então este Será menor que menor que 2 Então esta expressão é menor que 2 e também menor que esta expressão Então pessoal aqui podemos ter uma razão de quatro é maior ou igual ao de n que é este que representa sucessão e este menor que dois logo encontramos esta expressão igualmente a esta logo dizemos que esta sucessão é limitada esta sucessão é limitada pessoal se inscreva ali no canal

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