Vector Algebra and 3D Geometry | Mission Advanced 2026 | JEE Advanced 2026 | MathonGo

हाय एवरीवन, वेलकम बैक। कैसे हैं सब? जल्दी बताइए क्या आप मुझे देख पा रहे हैं, सुन पा रहे हैं? आज आपका यहां पे डिस्कशन होने वाला है वेक्टर अलजेब्रा और 3D ज्योमेट्री का। आप सभी जानते होंगे कितना ज्यादा इंपॉर्टेंट टॉपिक है। ये जो आपका एक छोटा सा सेक्शन आता है आपके पूरे जेई सिलेबस का उसके ऊपर आपको तीन-चार सवाल मिल जाते हैं जेईई एडवांस के पेपर में। एंड दैट्स अ ह्यूज नंबर एंड स्पेशली अगर आप यहां पे थोड़ी सी मेहनत अगर अच्छी तरीके से कर लेते हैं तो आपको 3D ज्योमेट्री के ऊपर मुझे लगता है

कि काफी अच्छी तरीके से यहां पे सवाल करते आएंगे। काफी इंटरेस्टिंग सिनेरियोस यहां पर बनते हैं। जहां पर आपका प्लेन भी अब इन्वॉल्व हो जाता है। राइट? सो मेक श्योर कि आप यहां पे थोड़ा सा प्लेन के ऊपर भी अपना काम करें। आपको यहां पे क्योंकि जो जेईई मेन तक की प्रिपरेशन है उसके अंदर लाइन के ऊपर तो कॉन्फिडेंस हमेशा आ ही जाता है। लाइन की इक्वेशन के ऊपर कैसे हम पॉइंट कंसीडर करते हैं? कैसे हम यहां पे पॉइंट और लाइन के बीच का डिस्टेंस निकालते हैं? पैरेलल लाइंस के बीच में डिस्टेंस कैसे निकालते हैं?

कई सारे ऐसे सिनेरियोस हैं जो हम जेई मेन के लिए प्रैक्टिस करते हैं। लेकिन जैसे ही हम डिस्कशन स्टार्ट करते हैं जेई एडवांस का तो प्लेन के साथ में जो इंटरेक्शंस अब यहां पे होना स्टार्ट होंगे उनके ऊपर आपके सवाल मेजरली बनेंगे। एंड अगर आप यहां पे अपने पिछले पीवाईक्यूस को अगर एनालिस एनालिसिस करते हो उनको अगर आप जाके अच्छी तरीके से देखते हो यू रियलाइज़ कि देखो प्लेन तो होने ही वाला है डिस्कशन में। ठीक है ना? प्योरली लाइन का सवाल है ना थोड़ा कम देखने के लिए मिलेगा। कहीं ना कहीं ऐसे सवाल आपको

ज्यादा देखने के लिए मिलेंगे जहां पर दोनों चीजें आपको मिल रही हैं। ठीक है? जल्दी बताइए। क्या आप रेडी हैं? हाउ इज द जोश एवरीवन? हाउ इज द जोश? क्या हम यहां पे शुरू करें हमारा डिस्कशन? अब तो मुझे लगता है कि जोश आपका और भी हाई होना चाहिए क्योंकि कल एक धमाका ऑलरेडी हो चुका है। यस और नो। आप सभी को पता चल चुका है कि आप क्या कहां स्टैंड करते हैं जेईई मेन का क्योंकि आपका रिजल्ट आ चुका है। राइट? सो एक चीज मैंने यहां पे अपने बैच के अंदर भी बच्चों को बोली

थी जब मैं उनको कल यहां पे सेशन में पढ़ा रहा था। इट इज दिस कि अगर बाय चांस आपका परसेंटाइल थोड़ा सा कम रह गया है। जेईई मेन के अंदर अगर आपका बाय चांस परसेंटाइल थोड़ा सा कम अगर रह गया है देन इट गिव्स यू इवन मोर ऑफ अ रीज़ टू प्रिपेयर फॉर जेईई एडवांस। क्योंकि अगर आपका यहां पे लेट अस से 95 96 97 इस टाइप का अगर परसेंटाइल भी अगर है तो आप चाहोगे कि आप जेई एडवांस क्रैक कर लो ताकि उस परसेंटाइल पे आपको जो भी एनआईटी या जो भी यहां पे ब्रांच

मिल सकती थी जेईई मेन के स्कोर पे वो यूज़ करने की जरूरत ही ना पड़े। यस और नो वो आपको यूज़ करने की जरूरत ही ना पड़े। ये अगर आप यहां पे गारंटी कर लेते हो तो आपको यहां पर है ना? क्योंकि आईआईटी मिल जाएगा। है ना? आपको यहां पे जेई एडवांस क्रैक करके आईआईटी मिल जाएगा। तो आपको उस पर्टिकुलर स्पोर्ट पे एनआईटी में क्या मिलने वाला था? आपको ज्यादा टेंशन लेने की जरूरत नहीं है। ठीक है ना? यस रेडी हैं सारे बच्चे? एवरीथिंग इज फाइन। कैन वी स्टार्ट विद आवर फर्स्ट क्वेश्चन? फर्स्ट क्वेश्चन जो

हम यहां पे करना चाहते हैं, इट इज़ दिस वेक्टर से रिलेटेड हमारे यहां पर सवाल है। हमें यहां पे कुछ वेक्टर्स के हिसाब से डेटा दिया हुआ है। और हमें यहां पे इस डेटा को समझना है। वेक्टर इक्वेशन सॉल्व करनी है। और अल्टीमेटली ये जो कुछ वेक्टर्स हैं u वेक्टर, V वेक्टर, W वेक्टर उनको AB, C वेक्टर के टर्म्स में कैलकुलेट करके बताना है। ठीक है? क्या बात है। हम यहां पे टुवर्ड्स द एंड ऑफ़ द डिस्कशन, एंड ऑफ़ द लेक्चर आपसे यहां पर बात भी करेंगे। देखेंगे कि आप लोगों का क्या-क्या स्कोर आया है।

अभी के लिए क्वेश्चंस के ऊपर आ जाते हैं। एंड लेट अस स्टार्ट सॉल्विंग द क्वेश्चंस। ऑलराइट। हां जी। क्या बात है बधाइयों सहज। ऑलराइट। सवाल देखो यहां पर क्या है आपका? सवाल है आपका ऐसा कि आपको तीन अननोन वेक्टर्स गिवन हैं। u v एंड w। और आपके पास में यहां पे दो नोन वेक्टर्स हैं। a वेक्टर एंड b वेक्टर। आई गेस। तीन नोन वेक्टर्स हैं। a b एंड c। ठीक है ना? a b और c के टर्म्स में हमें यहां पे uvw निकाल के बताना है। सो ऐसे क्वेश्चंस में सबसे पहले आपका ध्यान क्या जाना

चाहिए? ऐसे क्वेश्चन में सबसे पहले आपका ध्यान जाना चाहिए कि यार आपके पास आपके पास यहां पे बेसिकली तीन जो है ये वेक्टर इक्वेशंस हैं। और बाकी जो तीन है वो एक्चुअली इक्वेशंस नहीं है। वो इक्वेशन जैसी दिख रही हैं। लेकिन वो आपका डेटा है। दोनों में डिफरेंस यहां पर समझोगे अगर तो आपको क्लियर हो जाएगा कि हमें यहां पे स्टार्ट कहां से करना चाहिए। क्योंकि आपके पास में देखो u डॉट a अगर किसी ने कर दिया है, av अगर किसी ने कर दिया है, आपको यहां पे मैग्नीट्यूड अगर दे दिया है तो उसको आप

आगे यूज़ नहीं कर सकते हो फॉर क्रिएटिंग मोर सच सिंपलर इक्वेशंस। जबकि ये जो वेक्टर इक्वेशंस आपके पास में हैं इनको आप फर्दर सॉल्व कर सकते हो। कुछ नए रिलेशंस इनसे जनरेट कर सकते हो। राइट? सो इसलिए ये जो पहले वाले तीन इक्वेशंस हैं, है ना? इनको हम वेक्टर इक्वेशन कहते हैं। वेक्टर इक्वेशंस में भी हम यहां पे जानते हैं कि देखो वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट आपका कहां दिखाई दे रहा है? इन दोनों में दिखाई दे रहा है। तो अगर आप चाहो तो इनको पहले से ओपन करके अलग से रख सकते हो। ठीक है ना? तो

अगर मैं इनका प्रोडक्ट अगर ओपन करना चाहता हूं तो कैसे करते हैं हम यहां पे इसका प्रोडक्ट ओपन? पहले दूर वाले का डॉट करते हैं। फिर पास वाले का डॉट करते हैं। राइट? सो दूर वाले का अगर मैं डॉट करूंगा तो कितना आ जाएगा? U.W आ जाएगा। इसके साथ में कितना आ जाएगा आपका? V वेक्टर आएगा। ऑलराइट? एंड माइनस अगर आप देखेंगे यहां पे तो पास वाले को डॉट करके आपको U.V मिलेगा। एंड देन आपको w वेक्टर मिलेगा। व्हिच इज़ गोइंग टू गिव अस B वेक्टर। जल्दी बताइए। क्या यहां तक क्लियर है? इस तरह से

वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट ओपन करते आता है सारे बच्चों को। है ना? दूर वाले का डॉट एंड देन पास वाले का डॉट। बढ़िया बात है। ऐसे ही अगर मैं इसको भी अगर ओपन करता हूं तो यहां पर पहले दूर वाले का डॉट कर लेंगे। ठीक है ना? एंड देन पास वाले के साथ में डॉट कर लेंगे। सो दूर वाले के साथ में डॉट करेंगे तो फिर से यहां पे u.w ही बन रहा है। इसके साथ में भी आपका v वेक्टर ही आने वाला है। ठीक है ना? एंड माइनस। अच्छा ये भी बात समझो कि ये दोनों

बराबर नहीं होते हैं। ठीक है ना? ये दोनों आपके यहां पे बराबर वेक्टर्स नहीं है। अलग-अलग यहां पर वेक्टर्स आपके क्रिएट होने वाले हैं। पास वाले का अगर आप यहां पे डॉट करते हो तो आपको यहां पे v.W मिलता है। vww मिलता है। ठीक है? और उसके साथ में आता है आपका कितना? v.w के साथ में आपका u वेक्टर निकल कर आता है। और ये चीज़ आपको C वेक्टर के बराबर दे रखी है। ठीक है ना? सो नाउ दिस इज़ समथिंग व्हिच इज़ गिवन टू अस। दिस इज़ समथिंग व्हिच इज़ गिवन टू अस। नाउ अब

यहां पे हम करें क्या? आप अगर यहां पे देखोगे ध्यान से तो आपके पास में अब एक ऐसी वेक्टर इक्वेशन बची है जिसको अभी तक हमने यूज़ नहीं किया है। ठीक है ना? इस वेक्टर इक्वेशन के साथ में अगर आप देखते हो तो आपका डेटा भी एक्चुअली बहुत अच्छी तरीके से अलाइन है। समझना जरूरी है यहां पर कि आपको यूज़ कैसे करना होता है डेटा को। आप अगर यहां पर देखेंगे तो आपके में ये जो वेक्टर इक्वेशन है इसके राइट में जो आपको यहां पे a वेक्टर दिया हुआ है उस a वेक्टर के साथ में

आप अगर डॉट u करते हो तो कितना आता है ये इनेशन इन्होंने दी है तो कहीं ना कहीं ऐसा नहीं लग रहा आपको कि यार ये कहीं ना कहीं हमसे करवाना चाह रहा है। इस डायरेक्शन में ये हमसे है ना काम करवाना चाह रहा है क्योंकि डेटा भी उसने उसी के जैसा कुछ ना कुछ दिया हुआ है। वैसे यहां पर समझो कि आपके पास में a के साथ में जो v का डॉट होगा उसका भी डेटा दिया हुआ है और a का ही मैग्नीट्यूड भी दिया हुआ है। तो, अगर आप यहां पे पूरे इक्वेशन को

राइट हैंड साइड में दिए गए a वेक्टर के कंपैरिजन में अगर देखते हो, तो यह डाटा अगर आप सही तरीके से यूज़ करना चाहो, तो कुछ पर्टिकुलर स्टेप्स आप यहां पे डेफिनेटली करना चाहोगे। जल्दी बताओ। हम क्या सबसे पहले यहां पे इस गिवन इक्वेशन के साथ में इस गिवन इक्वेशन के साथ में डॉट u करना चाहेंगे क्या? इस गिवन इक्वेशन के साथ में अगर मैं डॉट u करता हूं, जल्दी बताओ। तो आपके पास में यहां पे क्या-क्या बनने वाला है? u. बनेगा बेटा यहां पे। अब u. का वैल्यू आपका कितना आना चाहिए? ये आपका बेसिकली

वन के बराबर आना चाहिए क्योंकि u v तीनों के तीनों कैसे हैं? यूनिट वेक्टर्स हैं। ऐसा आपको दिया हुआ है। डन है? सो आप यहां पर अगर देखेंगे तो uu का वैल्यू मैं डायरेक्टली वन लिख दूं। उसके बाद में हमें अगर डॉट करते हैं u के साथ में तो एक u. नाम का टर्म बनेगा। फिर यहां पे u.w नाम का भी एक टर्म बनेगा। एंड ये चीज़ आपकी किसके साथ में कंपैरिजन में जाएगी? a.u और a.u का वैल्यू यहां पे लिखना चाहता हूं। व्हिच इज़ 3/2 के बराबर। डन। और अगर आप यहां पर वन को

राइट हैंड साइड में पुश करते हैं, तो आपके में यहां पे दो वेक्टर्स का जो यहां पर कॉम्बिनेशन है, है ना? u. एंड देन u.W उसकी वैल्यू आपकी आ जाती है 1/2 के बराबर। यू कैन सेव दिस एज़ वन ऑफ़ द क्रिटिकल इनेशंस। यही काम एक बार फिर से करेंगे। लेकिन इस बार क्या करेंगे? डॉट किसके साथ में करना चाहिए? हमने यहां पे डॉट डॉट v के साथ में करना चाहिए। इज़ंट इट? अगर मैं इसी चीज़ को उठा के लाता हूं आगे और डॉटV करवाता हूं। सो आपका यहां पर सबसे पहला वाला जो बनेगा वो

u. बनेगा। उसके बाद में v. जो बनेगा उसको मैं यहां पर वन लिख सकता हूं। फिर v.w भी यहां पर आपका बनने वाला है। और राइट हैंड साइड में a. V आएगा जिसकी जगह मैं 7/4 डालूंगा। एंड वन को उस तरफ अगर मैं वापस पुश करता हूं तो मेरे पास फिर से दो का कॉम्बिनेशन आ गया है। u. आ गया है। v.w आ गया है। और ये चीज़ आपको कितनी मिल जाएगी? ये चीज़ आपको बेसिकली 3/4 के बराबर मिल जाएगी। अनदर इनफेशन व्हिच वी कैन सेव एट दिस पॉइंट। ठीक? हां जी। तो अगर मेरे पास

में ये दो इक्वेशंस आ चुकी है। अब मैं और क्या करना चाहता हूं? मैं यहां पे a के मैग्नीट्यूड का डेटा भी यहां पे सही तरीके से यूज़ करना चाहता हूं। वो भी इनफेशन इन्होंने मुझे क्लियरली दे के रखी है। तो क्या मैं इस पूरी इक्वेशन का मैग्नीट्यूड ही ले डालूं? जल्दी बताओ। क्या ये करना ठीक लगता है आपको? मोड ही ले लेते हैं ना। पूरी इक्वेशन का मोड ले लेते हैं। इस तरफ का मोड अलग से ले लेते हैं। इस तरफ का मोड अलग से ले लेते हैं। एंड ऐसा अगर मैं यहां पे करूंगा

तो क्या होगा? ऐसा अगर मैं करता हूं तो आपके पास में यहां पर क्या आ जाएगा? कि u + v + w का जो मोड है ये a के मोड के बराबर आना चाहिए। यस और नो। और अगर ऐसा है तो हम यहां पर और भी क्या कर सकते हैं? दोनों साइड स्क्वायरिंग करवा लें। क्योंकि यार ये इस तरफ वाला जो मोड है ये ओपन करके ना अंडर रूट वगैरह आएगा। तो हम चाहते नहीं है कि यहां पे हम अंडर रूट के साथ में डील करें। जल्दी बताओ। सो क्या हम यहां पे स्क्वायरिंग करा के

थोड़ा सा यहां पे सिंपलीफाई कर सकते हैं इस प्रश्न को? यस और नो? स्क्वायरिंग अगर मैं करा लूंगा तो यहां पे देखो क्या-क्या बनेगा? इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर स्क्वायर मतलब क्या होता है? वेक्टर का स्क्वायर मतलब मैग्नीट्यूड का स्क्वायर और इन तीनों का ही मैग्नीट्यूड कितना है? 1 1 के ही बराबर है। राइट? सो इस वजह से आपके इसमें यहां पे 1 1 आने वाला है सबसे पहले तो। राइट? 1 1 आने वाला है। और क्या आएगा इसके साथ में? आपके इसमें 2 टाइम्स ऑफ़ u. V.W एंड w.u ऐसे आपके इसमें

तीन टर्म्स और आने वाले हैं जो टू के साथ में रहेंगे। मतलब 2 टाइम्स ऑफ़ u. फिर 2 टाइम्स ऑफ़ V.W एंड देन 2 टाइम्स ऑफ़ u.W ये आपके पास में क्रिएट होगा। ये वाला फार्मूला आई होप सारे बच्चे यहां पर जानते होंगे। ये सारी चीजें तो आपने जेईई मेन के अंदर भी काफी अच्छे से प्रैक्टिस करके रखी होगी। और साथ ही साथ आपका राइट हैंड साइड में कितना आ जाएगा? मैग्नीट्यूड का स्क्वायर व्हिच इज़ गोइंग टू बी इक्वल टू फोर। नाउ व्हाट इज़ दैट गोइंग टू गिव यू? अगर आप ध्यान से देखते हैं तो

ये थ्री पहले उस तरफ जाके वन बनाएगा और फिर यहां पे टू से अगर मैं डिवाइड कर देता हूं तो आपके पास में यहां पर बनने वाली है एक बहुत ही शानदार चीज u. + v.W एंड + u.w ये चीज आपकी कितनी आ जाएगी? 1/2 के बराबर आ जाएगी। दिस इज़ द थर्ड कंडीशन दैट वी हैव सक्सेसफुली जनरेटेड। ज्यादा डिफिकल्ट नहीं है। सिंपल लग रहा है। अगर मेरे पास में ये तीन इक्वेशंस हैं तो क्या आप यहां पे ये जो तीन अननोन है डॉट डॉट डॉट वाले जो तीन अननोन हैं उनको आइडेंटिफाई कर पाओगे जल्दी

से? इनफैक्ट काफी जल्दी कर सकते हो क्योंकि आप यहां पे देखो ध्यान से कि आपके में यहां पे हाफ है। यहां पे हाफ है। ठीक है ना? तो इन दोनों का कॉम्बिनेशन एक्चुअली हाफ ही बनता है। किनका-किनका? u. एंड u.w.v एंड u.w को यहां पे आइडेंटिफाई करो। कहां पे लिखा है? U.V एंड U.W इनको ऐड करके एक्चुअली हाफ आता है। ये इस इक्वेशन से हमें ऑलरेडी दिख रहा है। तो यहां पे जैसे ही मैं हाफ रिप्लेस करूंगा तो हाफ हाफ दोनों साइड से कैंसिल हो जाएगा। इसका मतलब V.W कितना होना चाहिए? v.w आपका ज़ीरो के

बराबर होना चाहिए। ठीक है ना? v.w आपका ज़ीरो के बराबर होना चाहिए। राइट? अगर मैं V.W को ज़ीरो ले चुका हूं, तो V.W कहां दिख रहा है आपको? देखो, यहां दिख रहा है V.W। v.w अगर आपको यहां पे ज़ीरो मिल गया है तो हम यहां पर सब्स्टट्यूट कर सकते हैं। इसका मतलब U.V का वैल्यू कितना आ जाएगा? 3/4 के बराबर आ जाएगा। डायरेक्ट U.V U.V का वैल्यू कितना आ जाएगा? 3 / 4 के बराबर आ जाएगा। एंड U.V का वैल्यू अगर 3/4 आ गया है तो U.V का डॉट अगर आपको 3/4 पता चल चुका है

तो U.V यहां पे डाल सकते हैं। अगर मैं यहां पे डाल दूंगा 3/4 तो 3/4 उस तरफ जाएगा। तो U.W भी आ गया। फिर तो u.w कितना आ गया? u.w कितना आ गया आपका? -1 / 4 के बराबर आ गया। सो ये तीन चीजें आपको यहां पर पता चल चुकी हैं। जितनी मेहनत अभी हमने यहां पे करी मेरे ख्याल से वो सफिशिएंट है। क्योंकि हम अब क्या कर सकते हैं? हम तो अल्टीमेटली क्या निकालना चाहते हैं? देखो यहां पर हम UV और W वेक्टर्स निकालना चाहते हैं। अभी जो हमने यहां पर मेहनत करी है उससे

UVW नहीं आए हैं। अभी जो हमने यहां पर मेहनत करी है उसकी वजह से यहां पर इनके जो डॉट के वैल्यूज़ हैं वो हमें संभव पता चले हैं। जो एक्चुअल U VW वेक्टर्स लिखे हुए हैं ना वो तो एक्चुअली यहां लिखे हैं। देखो v वेक्टर लिखा है। यहां भी v लिखा है। यहां पे W लिखा है। यहां पे u लिखा है। मतलब दीज़ आर द मेन इक्वेशंस। ये जो दोनों इक्वेशंस हैं, ये हमारी मेन इक्वेशंस हैं। इसको हम यहां पे m1 इक्वेशन और m2 इक्वेशन बोल सकते हैं। मेन इक्वेशन वन, मेन इक्वेशन टू। सो, m1,

m2 में ऐसा करते हैं कि अब यहां पे जो डॉट वाले ब्रैकेट्स हैं, क्योंकि इनकी वैल्यूज़ हम निकाल चुके हैं। तो उनको सब्स्टिट्यूट करते हैं। राइट? अगर सब्स्टिट्यूट करेंगे तो क्या होगा? देखें जरा। नाउ यूजिंग इन m1 एंड m2 है ना? ये अगर आप करते हैं तो आपके इसमें क्या बनेगा बेटा? यहां से आपके इसमें बेसिकली आने वाला है क्या? U.W U.W का वैल्यू कितना है? -1 /4 है। -1 /4 है। किसके साथ में है ये? ये है बेसिकली v वेक्टर के साथ में। ऑलराइट? अगर आगे देखते हैं तो यहां पे U.V है। u. कितना

है? 3/4 के बराबर है। है ना? सो -3/4 आएगा। किसके साथ में? w वेक्टर के साथ में आएगा। और ये बेसिकली b वेक्टर के बराबर आपको मिल रहा है। और ऐसे ही अगर आप नीचे इनपुट में डालते हैं तो u.w यहां पर भी आपको डालना है। u.w का वैल्यू -1 /4 है। वो यहां पे आ जाएगा। ये है v वेक्टर के साथ में। फिर यहां पे v.w की रिक्वायरमेंट है। vw एक्चुअली आपका ज़ीरो है। तो यहां पे ज़ीरो आ जाएगा। किसके साथ में आ रहा था? ये u वेक्टर के साथ में एक्चुअली आने वाला था।

और इसकी वैल्यू बनने कितने वाली थी? इसकी वैल्यू आपकी c वेक्टर के बराबर बनने वाली थी। राइट? सो, सबसे पहले आपका एक्चुअली कैलकुलेट हो के क्या निकल कर आ गया है? इतना सब गु्थमग्था जो हुआ है चीजें एक दूसरे में जो मिली ही जुली हैं मिलने जुलने के बाद अब आपका यहां पर जो आंसर फाइनली निकल कर आया है उसमें आप सबसे पहले v को यहां पे आइडेंटिफाई कर पा रहे हो क्योंकि ये तो हट गया आपका तो बस यहां पे -4 क्रॉस मल्टीप्लाई करवा दो। सो यहां से v वेक्टर के ऊपर गारंटी आ गई

है कि -4c वेक्टर के ही बराबर है। राइट? v वेक्टर इज़ बेसिकली -4c वेक्टर। डन। अच्छा v वेक्टर अगर आपका -4c वेक्टर है। इनफैक्ट आप डायरेक्टली यहां पर ये भी कर सकते हैं कि ये पूरा का पूरा एक्सप्रेशन c के बराबर है। तो यहां पे c ही इमेजिन कर लो। अगर यहां पे आप c इमेजिन कर लोगे इसका मतलब क्या है? इस इक्वेशन से आप क्या निकाल सकते हो? इस इक्वेशन से यहां पे अगर आपने c डाला है तो c - b c वेक्टर - b वेक्टर ये आपका 3/4 ऑफ़ w वेक्टर के बराबर आ

रहा है। तो यहां से w वेक्टर आपका कंफर्म हो जाएगा। w वेक्टर आ जाएगा आपके यहां पे 4 / 3 के साथ में c वेक्टर - b वेक्टर। दिस इज़ आल्सो वन ऑफ़ द फाइंडिंग्स। तो दो वेक्टर्स देखो हमने यहां पे पता कर लिए। अब बात ये है कि हम u वेक्टर कैसे पता करेंगे? v वेक्टर वाला क्वेश्चन कौन सा है? सेकंड वाला है। सेकंड वाले क्वेश्चन में C आंसर आप कर सकते हैं। -4c वेक्टर अह जो आपका W वेक्टर है वो आपका थर्ड क्वेश्चन है। 4/3 के साथ में C - B 4/3 के साथ

में C - B मतलब फोर्थ ऑप्शन आपका यहां पे करेक्ट कर सकते हैं। यस। अब क्या? अब आपको चाहिए यहां पर कि यार आपका u वेक्टर कितना होना चाहिए? जल्दी बताओ। u वेक्टर कितना होना चाहिए? तो u वेक्टर में आप यहां पे फिर से अपनी ये वाली इक्वेशन उठा सकते हो ना। इस इक्वेशन में कोई बुराई थोड़ी है। फर्दर ये आपको हेल्प कर रही है। u वेक्टर के लिए क्या करोगे आप? यहां पे v और w जो आपने कैलकुलेट किए हैं वो सब्सीट्यूट कर दो। एंड आपका आंसर आ जाएगा। u वेक्टर + v वेक्टर +

w वेक्टर जो है ये आपका कितना है? ये आपका a वेक्टर के ही बराबर है। राइट? सो u वेक्टर के साथ में v वेक्टर मिलाना है। v वेक्टर मतलब कितना हो जाएगा? - 4c वेक्टर एंड यहां पे आपको W वेक्टर मिलाना है। मतलब कितना हो जाएगा? 4 /3 के साथ में C वेक्टर एंड देन - ऑफ़ 4/3 के साथ में B वेक्टर। ये हो जाएगा a वेक्टर के बराबर। ठीक है ना? तो यहां से कैलकुलेशन कर लो। एंड दैट शुड गिव यू योर फाइनल रिजल्ट एज़ वेल। ठीक है ना? सो u वेक्टर हो जाएगा आपका

a वेक्टर के साथ में आ गया है 4/3 के साथ में B वेक्टर। एंड इन दोनों को अगर आप सिंपलीफाई करते हैं तो कितना आ रहा है ये? ये आ जाएगा आपका बेसिकली - ऑफ़ - ऑफ़ 8 / 3 इस तरफ जाके हो जाएगा + 8 / 3 C वेक्टर। ये आंसर कहां दिया इसको एक बार नोटिस करके सारे बच्चे देख लें। फर्स्ट इक्वेशन डाल दिया। वेरी नाइस। ठीक है? सो आपके यहां पर a वेक्टर है। उसके साथ में यहां पे 4/3 है। एंड देन 8/3 मतलब सेकंड ऑप्शन इस केस में ठीक लग रहा है।

सो बी, सी एंड डी ये ऑप्शंस आपके यहां पे फाइनली निकले हैं। एंड वी कैन सी सम स्टूडेंट्स आंसरिंग दिस ऑलरेडी। क्या बात है। वेरी नाइस। ओके। ऑलराइट। सो इक्वेशन सॉल्विंग वाले आपके सवाल आप एक्सपेक्ट कर सकते हैं डेफिनेटली। है ना? और भी यहां पर सवाल करते हैं। अगला सवाल जो हम यहां पे सॉल्व करना चाहते हैं आज के लेक्चर में। लेट अस मूव ऑन टू दैट। एंड द नेक्स्ट क्वेश्चन इज दिस। देखने में काफी छोटा सा सवाल है। लेकिन काफी बढ़िया कांसेप्ट है यहां पर। है ना? इनफैक्ट ये वाला क्वेश्चन मैंने अपने अ जो

बैच में लेक्चर हुआ था उसके अंदर भी कराया था। है ना? काफी काफी बढ़िया। छोटा सा सवाल है। लेकिन आप यहां पे उस डायरेक्शन में सोच पा रहे हैं कि नहीं सोच पा रहे हैं? ये देखना जरूरी है। जल्दी बताओ। टेट्राहेड्रन कुछ तो यहां पर इन्होंने बोल दिया है। कंसीडर अ टेट्राहेड्रन विद इट्स कोटर्मिनस एजेस एज वेक्टर्स a वेक्टर, b वेक्टर, c वेक्टर। हां जी लाइव क्लास है ये? हां ये अपनी लाइव क्लास चल रही है। इनफैक्ट अगर आपको यहां पर अभी पता चला है इस पर्टिकुलर सीरीज के बारे में जो YouTube के ऊपर चल

रही है। सो पीछे जाके बाकी लेक्चर्स भी डेफिनेटली देखें। बहुत अमेजिंग आपके यहां पर जो है क्वेश्चंस का कलेक्शन आपके साथ में मैं डिस्कस कर रहा हूं। अह आपको यहां पर एक अच्छी फ़ील आएगी कि यार जेईई एडवांस के क्वेश्चंस एक्चुअली कैसे दिखाई देते हैं। किस तरह से हम यहां पर हिम्मत रख के सवालों के साथ में लगे रहना होता है। ठीक है ना? वो सारी चीज़ आपको यहां पर सिखाई जा रही है। सो मेक श्योर कि आप यहां पे अगर नए आए हैं इस चैनल के ऊपर जुड़े हैं इस पर्टिकुलर सीरीज के साथ में

तो पीछे वाले वीडियोस भी डेफिनेटली एक बार गो थ्रू करें। ठीक है? हां जी। बताइए। देखने में सवाल हार्मलेस टेट्राहेड्रल बनाना है। कोटर्मिनल एजेस आपके यहां पर जो है a वेक्टर, b वेक्टर, c वेक्टर हैं। और ये वाली कंडीशन कहीं ना कहीं आपकी सेटिस्फाई हो रही है। कौन सी कंडीशन सेटिस्फाई हो रही है? a.b, b.C, c.A तो आपका यहां पे ज़ीरो है ही लेकिन ये वाली चीज़ जो है आपकी सिक्स के बराबर दे रखी है। फिर से चेक करो यहां पे। क्या करना चाहिए? तो एक चीज तो ये समझ में आ रहा है कि देखो

कुछ हो ना हो ये मॉड्यूलस तो ओपन करना ही पड़ेगा। देखो जब भी आपको सवाल में कुछ भी समझ में ना आए तो कहीं से तो स्टार्ट करना पड़ेगा ना। ठीक है ना? तो एक बेसिक सी चीज जो यहां पर आपने करना चाहिए वो ये है कि यार देखो ये मॉड्यूलस तो ओपन कर ही लेते हैं और मॉड्यूलस ओपन कर रहे हैं तो स्क्वायर करके हमेशा ओपन करना बेनिफिशियल रहता है। ठीक है ना? सो क्या होगा यहां पे? यहां पर अगर आप देखते हैं कि मॉड्यूलस का स्क्वायर मॉड्यूलस का स्क्वायर आपको ओपन करना है। मतलब

इसका स्क्वायर इसका स्क्वायर इसका स्क्वायर। फिर इन दोनों का डॉट टू टाइम्स ऑफ इन दोनों का डॉट टू टाइम्स ऑफ इन दोनों का डॉट टू टाइम्स ऑफ इन दोनों का डॉट। लेकिन डॉट करके तो क्या आने वाला है? ज़ीरो आने वाला है। हमें पता है। सो जब मैं ओपन करूंगा इस मैग्नीट्यूड के स्क्वायर को तो लिटरली इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर इतना ही बचेगा। तो ज्यादा दिक्कत नहीं है इसके अंदर। ठीक है ना? अच्छा तो अगर मैं इसका स्क्वायर ओपन करता हूं तो कितना हो जाएगा? ये आ जाएगा आपका बेसिकली फोर। उसके

साथ में आ जाएगा 3 एंड देन a के मैग्नीट्यूड का स्क्वायर। अब ये बार-बार a के मैग्नीट्यूड का स्क्वायर लिखने में अच्छा नहीं लगता। तो इसको डायरेक्टली a² ही लिख लेते हैं। ठीक है ना? क्या कहते हो? इसको a का स्क्वायर लिख लें। इनफैक्ट a का स्क्वायर आएगा भी नहीं। a ही आएगा क्योंकि वो खुद भी अंडर रूट के अंदर है ना। तो अगर मैं यहां पे इसका पूरा स्क्वायर करता हूं तो ये जो आपका कोफिशिएंट है इसका तो स्क्वायर हो जाएगा। एंड उसके साथ में a.a आएगा। a कैप कैप a कैप. A कैप तो

आपका वन ही बनने वाला है। मतलब यहां पे जो मैग्नीट्यूड का स्क्वायर है वही बस यहां पे दिखाई देगा। व्हिच इज़ बेसिकली ध्यान से देखें तो 12a. वैसे ही यहां पे भी अगर मैं देखता हूं तो इसका स्क्वायर करने पर हमारे पास में जो मैग्नीट्यूड है उसका तो स्क्वायर आएगा ही आएगा। व्हिच विल बी 9b। उसके साथ में b.b आएगा। b कैप.b कैप वो आपका वन के बराबर हो जाएगा। ओके? सिमिलरली अगले वाले को भी अगर मैं यहां पे चेक करता हूं तो ये हो जाएगा आपका 2C एंड देन उसके साथ में C.C है। C

कैप C कैप है तो वो भी आपका होने वाला है वन के बराबर। बाकी तीनों नंबर्स जो आपके आने वाले थे वो तो आने वाले हैं ज़ीरो के बराबर। राइट हैंड साइड में आपको 36 मिलने वाला है। ठीक है ना? सो दिस स्मॉल इक्वेशन इज़ व्हाट वी अल्टीमेटली गेट कि 12a + 9b + 2c ये आपका 36 के बराबर होना चाहिए। ठीक है? यहां तक की कहानी ये आपका 36 के बराबर बनना चाहिए। और हम क्या कर सकते हैं? आगे यहां पर ये समझ सकते हैं कि यार अब यहां पे इन्होंने क्या बोला है कि

हम वॉल्यूम के ऊपर कुछ ना कुछ कमेंट करना चाहते हैं। राइट? टेट्राहेड्रन बन चुका है ए बी सी की मदद से। एंड मैक्सिमम वॉल्यूम ऑफ़ दिस टेट्राहेड्रन इज़ V। ऐसा इन्होंने बता दिया है। मैक्सिमम वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रन इज़ V. तो पहली बात तो बताओ वॉल्यूम कैसे निकालेंगे? वॉल्यूम कैसे निकालेंगे? पहले ये बताओ। वॉल्यूम निकालने के लिए अगर आप यहां पे इस क्वेश्चन में थोड़ा सा दिमाग लगा के अपने वेक्टर्स को एक अच्छे ओरिएंटेशन में रख लेते हो तो आपको बहुत फायदा मिलेगा। अच्छा ओरिएंटेशन मतलब कौन सा ओरिएंटेशन? आप यहां पे ये सोचो कि यार देखो

आपके पास में यहां पे x एक्सिस, y- एक्सिस, z एक्सिस का अगर लेट अस से इस तरह का यहां पे स्ट्रक्चर है तो क्यों ना आप ऐसा मान के चलो कि आपके जो ये वेक्टर्स हैं ना a वेक्टर, b वेक्टर, c वेक्टर क्योंकि ये आपस में परपेंडिकुलर हैं। क्योंकि ये सब वेक्टर्स आपस में परपेंडिकुलर है। डॉट की वैल्यू ज़ीरो इसका मतलब क्या है? आपस में परपेंडिकुलर हैं। कोई सी भी दो को उठा लो। तो हम इनको x एक्सिस, y- एक्सिस, z एक्सिस के अलोंग ही मान लेते हैं ना। और इनके मैग्नीट्यूड्स अगर ABC के बराबर

हैं तो मान लेते हैं कि यहां पे कहीं A डिस्टेंस पे जाके आपका जो है एक पॉइंट आया है जिसको आप बेसिकली स्मॉल A वेक्टर कहते हो। यहां पे B डिस्टेंस दूर जाके आपको कोई एक पॉइंट मिला है जिसको आप पोजीशन वेक्टर के पॉइंट ऑफ व्यू से B वेक्टर कहते हो। और वैसे ही इस डायरेक्शन में आके कहीं आपको C पॉइंट मिला है जो पोजीशन वेक्टर के पॉइंट ऑफ़ व्यू से आपका C वेक्टर बन रहा है। राइट? सो अगर आप इनको जॉइन कर लोगे तो यहीं से तो आपका टेट्राहेड्रल बन रहा है। जल्दी बताओ। क्या

यहां से टेट्राहेड्रल बनते हुए दिखाई देगा आपको? यस। अगर आप इन एंड पॉइंट्स को जॉइ कर दोगे फिर इसको भी जॉइन कर दोगे और इसको भी जॉइन कर दोगे। ठीक है ना? तो इंक्लूडिंग ओरिजिन इंक्लूडिंग ओरिजिन आपके इसमें यहां पे चार पॉइंट्स हैं और उन चार पॉइंट्स से आपको यहां पर एक टेट्राहेड्रन बनते हुए नजर आ रहा है। डन है यहां तक की कहानी। इससे फायदा ये हुआ है कि अगर मैं अब इसके वॉल्यूम की बात करता हूं तो मैं यहां पे अब सीधे-सीधे वेक्टर्स के टर्म्स में अपनी बात रख सकता हूं। राइट? यहां पर

क्योंकि a वेक्टर को मैं सीधे-सीधे ai कैप बोल पा रहा हूं। B वेक्टर को मैं यहां पे BJ कैप बोल पा रहा हूं। और C वेक्टर को मैं यहां पे CK कैप बोल पा रहा हूं। राइट? सो वॉल्यूम अगर मैं यहां पे लिखना चाहता हूं। यहां कर लेते हैं। वॉल्यूम अगर मैं यहां पे लिखना चाह रहा हूं तो कितना हो जाएगा? 16 ऑफ़ बॉक्स ऑफ़ AI कैप, BJ कैप एंड CK कैप। तो यहां से ABC जो आपके यहां पे कांस्टेंट वैल्यूज़ हैं वो तो बाहर आ जाएंगे। और ij के का बॉक्स कितना होता है? वन

के बराबर होता है। मतलब वॉल्यूम जो है आपका वो अगर आप यहां पे लिखना चाहते हैं तो ये 16 ऑफ़ ABC लिटरली आप लिख सकते हो। इसमें कोई दिक्कत नहीं है। ठीक है ना? यहां तक बात समझ में आ रही है? सो ये सेकंड इक्वेशन भी आपकी यहां पर कंफर्म हो गई। अब इन दोनों को मर्ज कैसे करें? इन दोनों को अब यहां पे मर्ज कैसे करें? वेरी वेरीेंट। और यहां पर आईडिया लगता है एएमजीएम का। यहां पर आईडिया लगता है एएमजीएम का। कितने बच्चे सोच पा रहे हैं? क्योंकि आपके पास भी यहां पर ABC

के प्रोडक्ट को मैक्सिमाइज करने का टास्क मिला है। अगर आप टेट्राहेड्रन के वॉल्यूम को मैक्सिमाइज करना चाहते हैं मतलब आप इस एक्सप्रेशन को मैक्सिमाइज करना चाहते हैं। और आपके ओर से जो इनके ऊपर रेस्ट्रिक्शन है वो एडिशन के फॉर्मेट में दी हुई है। सो ये क्वेश्चन कहा जाता है। है ना? छोटा सा सवाल है लेकिन बहुत ही प्यारा यहां पर जो है कांसेप्ट का इन्वॉल्वमेंट है। जहां पे हमें कहते हैं कि यार लेट अस अप्लाई am > = gm। ठीक है ना? लेट अस अप्लाई am > इक्व gm एंड द टर्म्स दैट आई वांट टू

टेक एट दिस पॉइंट इज़ व्हाट? 12a 9 एंड 3c है ना? अगर मैं इन तीन टर्म्स को लेके चलता हूं 12a 9b एंड 3c तो इनका अर्थमैटिक मीन कितना आएगा? सबको ऐड करके थ्री से डिवाइड कर देते हैं। और ये ग्रेटर और इक्वल टू किसके होना चाहिए? जब मैं सबको मल्टीप्लाई करके पावर में 1/3 ले लूंगा तो ये आपका gm कहलाएगा। यस और नो। सो यहां पर तो आप क्या रिप्लेस कर सकते हैं? 36 यहां पर तो आप 36 रिप्लेस कर सकते हैं डायरेक्टली न्यूमैरेटर में। तो यहां पर कितना आ जाएगा? 12। सो 12 का

क्यूब करने से यहां पर आपका इसमें क्या आएगा? राइट हैंड साइड वाला प्रोडक्ट का वैल्यू निकल कर आएगा। जो कैसा नजर आ रहा है? वो आ जाएगा कुछ इस तरीके से कि आपका जो 12 का क्यूब है ग्रेटर दैन और इक्वल टू यहां पे कितना आ रहा है आपके पास में? 12 9 एंड 3 12 9 3 एंड साथ में आ जाएगा ABC। दिस ABC इज़ व्हाट वी वांट टू आइडेंटिफाई कि कितना हो रहा है प्रोडक्ट। ठीक? सो यहां पे 81 12 तो कैंसिल हो जाएगा आपका। है ना? 81 12 डायरेक्टली कैंसिल हो जाएगा। सो

ABC का जो वैल्यू है दैट हैज़ टू बी लेस दैन ऑ इक्वल टू 12 * 12 / 9 * 3 व्हिच इज़ गोइंग टू बी ABC लेस दैन ऑ इक्वल टू हाउ मच इज़ दिस? यहां से आपके पास में कितना बचेगा? 12 * थ्री बच रहा है। कितना बच रहा है ये? ओके। टू है ना यहां पे? हां, ये टू है ना? मैंने यहां पे थ्री क्यों कर दिया? मैं यहां पे थ्री नहीं लेना चाहता हूं। टू ही लेना चाहता हूं। है ना? यहां पे जो चेंज किया है मैंने यहां पर वाइट कलर से लिख

रहा हूं। अगर आपको बाय चांस कंफ्यूजन है तो कलर यहां पर जो मैंने वाइट रखा है ये बताने के लिए कि इसको मैंने चेंज किया है। ठीक है ना? तो यहां पे हम बेसिकली क्या लेना चाहते हैं? ऑब्वियसली द सेम डेफिनेशन जो यहां पे हम यूज़ करना चाह रहे हैं 12a 9 एंड 2C। ठीक है ना? वही चीज़ यहां पर भी इस्तेमाल करेंगे। और यहां पे आपका इसमें कितना आएगा? इसका मतलब फिर से इसी लॉजिक से यहां पे आपका टू एंड यहां पे आपका टू आना चाहिए। ठीक है? डन है? तो ये आ जाएगा आपका

कितना? आठ। एंड दैट इज़ व्हाट इज़ गोइंग टू गिव अस द फाइनल वैल्यू ऑफ़ वॉल्यूम। वॉल्यूम अगर आपका यहां पे बड़े से बड़ा होगा तो कितना आएगा? वॉल्यूम अगर आपको यहां पे बड़े से बड़ा करना है। V मैक्स अगर आपको यहां पे करना है। सो ABC की सबसे बड़ी वैल्यू जो पॉसिबल है वही यूज़ करनी पड़ेगी। तो V मैक्स आपका यहां पर कितना हो रहा है? V मैक्स। ये हो जाएगा आपका 16 ऑफ़ एट। क्योंकि ABC का जो प्रोडक्ट है वो यहां पे मैक्स टू मैक्स एट के बराबर ही निकला है। राइट? और यहां से

आपको जो फर्दर निकालना है वो क्या है? 3V का वैल्यू निकालना है। सो थ्री टाइम्स अगर मैं यहां पे करता हूं वैसे ये वैल्यू है कितना आपका? 4/3 के बराबर है। सो अगर आप यहां पे 3v करते हो तो ये आता है आपका चार के बराबर। ये इस क्वेश्चन का फाइनल आंसर है। क्लियर है? ये इस क्वेश्चन का फाइनल आंसर बनने वाला है। चमका क्या? आज कैलकुलस का शेड्यूल था। नहीं नहीं। आज आपका वेक्टर 3D ही था। कैलकुलस से भी ज्यादा इंपॉर्टेंट यहां पर मुझे लगता है। देखो हमने अलजेब्रा यहां पे सेक्शन कवर कर लिया

है अपने पिछले लेक्चर्स में। अब हम वेक्टर 3D आज कवर कर रहे हैं। उसके बाद में हम कैलकुलस स्टार्ट करेंगे और कैलकुलस में भी जहां तक मुझे याद है मैंने जो शेड्यूल यहां पर बनाया है उसमें हम इंटीग्रल कैलकुलस को पहले टारगेट करेंगे। ठीक है ना? लेट अस सी इफ अ दोज़ सेम क्लासेस आर शेड्यूल्ड फॉर यू गाइस। ठीक है ना? बाकी थॉट तो यही है कि आपके जो हाई वेटेज टॉपिक्स हैं उनको यहां पर पहले कवर करना है। राइट? हां जी। बढ़े आगे। चलिए। सो आपका यहां पर ये वाला सवाल फिर से जो है

छोटा पैकेट, बड़ा धमाका वाला सवाल था। लेट अस कम टू दिस क्वेश्चन नाउ। अनदर वेरी वेरीेंट क्वेश्चन। अब यहां पर प्लेन इंक्लूजन में आ चुका है, डिस्कशन में आ चुका है। ठीक है ना? कंसीडर द प्लेन व्हिच इज़ दिस एंड पॉइंट व्हिच इज़ 1 2 एंड -3 और एक लाइन का इक्वेशन भी दिया है जो देख के उतना अच्छा नहीं लग रहा। अगर आप चाहो तो पहले इसको कन्वर्ट करके रख सकते हो। ठीक है ना? ये तीन चीजें तो आप यहां पे एक बार अच्छे से नोट डाउन कर ही लो। बाकी तीनों क्वेश्चंस क्योंकि इनके

ऊपर ही कहीं ना कहीं आपके बेस्ड है। यस और नो? क्या यहां पर आपका प्लेन का इक्वेशन कितना दिया है? प्लेन का इक्वेशन इन्होंने यहां पर हमें दे रखा है व्हिच इज़ x + y - z = 1 फिर आपको यहां पर एक पॉइंट दिया हुआ है। पॉइंट इज़ बेसिकली 1 2 -3 एंड देन जो लाइन दिया है वो हमें जिस तरह से देखने की आदत है। है ना? वैसे ही हम एक बार इसको लिख लेते हैं। लाइन कैसे देखने की आदत है? कि यार ये ना x - 1 / 3 ऐसे देखने की आदत

है। x - 1 / 3 फिर यहां पे है आपका y - 2 / -1 y - 2 / -1 और यहां पे आ जाएगा आपका कितना? z - 3/4 ये सब के सब आपके r के बराबर ही है ना। तो हम यहां पे इस तरह से इनको इक्वेट करके लिख सकते हैं। ठीक है? यहां तक की कहानी क्लियर है? ऑलराइट। सो हमारे पास में जो पहला सवाल आ रहा है वो क्या कहता है? द कोऑर्डिनेट ऑफ़ ए पॉइंट B ऑन द लाइन L सच दैट AB इज़ पैरेलल टू द प्लेन। अब यहां पे सबसे

इंपॉर्टेंट और क्रिटिकल इनेशन जो प्लेन के बारे में आपको पता होती है, है ना? वो यहां पे टेस्ट हो जाएगा कि आप सब बच्चों को पता है कि नहीं। ठीक है ना? प्लेन अगर कोई आपको देता है, अगर आपको कोई प्लेन देता है बनाने के लिए। ठीक है ना? ऐसे कुछ प्लेन इमेजिन कर लें। राइट? एक लाइन भी हमारे पास में है। लाइन भी इमेजिन कर लेते हैं। ऐसी कुछ लाइन आ रही है लेट अस से इस तरह से। कहीं ना कहीं इंटरसेक्ट करेगी लाइन प्लेन को। है क्योंकि पैरेलल तो नहीं है। यस पैरेलल तो

नहीं है। हां, कुछ-कुछ प्रॉब्लम्स आपके यहां पे रिपीट हो सकते हैं। जो बच्चे यहां पर पहले मेरे से पढ़ चुके हैं। उन्होंने यहां पे कुछ प्रॉब्लम्स यहां पे जो इंपॉर्टेंट वाले देखे हुए होंगे। लेकिन चलो बाकी बच्चों को भी मौका देते हैं यहां पे चीजें यहां पे एनालाइज करने का, सीखने का। कुछ नए प्रॉब्लम्स भी आपको यहां पे डेफिनेटली सॉल्व करने के लिए मिलेंगे आज के लेक्चर में। ठीक है ना? चलो, आगे आते हैं इस पर्टिकुलर क्वेश्चन के ऊपर। क्या है यहां पर? द कोऑर्डिनेट ऑफ़ अ पॉइंट B ऑफ़ लाइन L सच दैट AB बिकम्स

पैरेलल टू द प्लेन। तो आपके पास में यहां पे ऑलरेडी इन्होंने क्या दे के रखा है? A पॉइंट तो देखो दिया हुआ है कहीं ना कहीं। A पॉइंट हमारे पास में पहले से है व्हिच इज़ बेसिकली 1 2 -3। अब मैं B के B के कोआर्डिनेट को इस तरीके से आइडेंटिफाई करना चाहता हूं कि जब मैं यहां पे नोटिस करूंगा AB का डायरेक्शन जब मैं यहां पे नोटिस करूंगा तो वो प्लेन के पैरेलल हो जाना चाहिए। मतलब क्या ऐसा ही कुछ करना चाहते हैं? क्या हम ऐसा ही कुछ करना चाहते हैं? और अगर यह AB

जो है अगर यह प्लेन के पैरेलल हो रहा है मतलब प्लेन का जो नॉर्मल होगा उसके परपेंडिकुलर हो रहा है। प्लेन का जो नॉर्मल होगा उसके परपेंडिकुलर हो रहा है। नॉर्मल डायरेक्शन कैसे निकलेगी आपकी? नॉर्मल डायरेक्शन ऐसे कुछ निकलेगी यहां पे। है ना? इस तरह से ये आपका ऊपर जाएगा। जल्दी बताओ। राइट? सो हमारे पास में नॉर्मल डायरेक्शन निकालने का तरीका क्या होता है? सिंपल है। प्लेन में जो इक्वेशन में आपको x y z के कोफिशिएंट्स दिखाई देते हैं ना उनका ही बस एक्सट्रैक्शन कर लो आप। प्लेन में मुझे xy z के कोफिशिएंट दिख रहे

हैं 1 1 - 1 इनको ही एक्सट्रैक्ट करके ij के लगा दो उसके आगे। तो यही आपका नॉर्मल वेक्टर होता है। नॉर्मल वेक्टर जो लाल कलर से आपको यहां पे दिखाई दे रहा है वो इसका मतलब i कैप + j कैप - k कैप इस क्वेश्चन में होगा। हम चाहते हैं कि b एक पॉइंट हम किसके ऊपर निकालें? इस लाइन के ऊपर निकालें। लाइन के ऊपर कोई सा भी पॉइंट अगर मुझे निकालना है तो क्या मैं उसको डायरेक्टली ऐसे ही मान लूं क्योंकि मैं जब यहां पे इसको सिंपलीफाई करूंगा तो ये 3r + 1 -r

+ 2 4r + 3 वही बनने वाला है। तो ये एक्चुअली जो लाइन का इक्वेशन था ये पैरामीट्रिक फॉर्मेट में ही इन्होंने लाइन का इक्वेशन हमें दिया हुआ था। तो अगर आपको यहां पे b कंसीडर करना है इन टर्म्स ऑफ़ r तो वो हम काफी ईजीली कर सकते हैं। कितना लिख सकते हैं? हैं। डायरेक्टली वही वाला वैल्यू लिख सकते हैं। 1 + 3r फिर यहां पे आ जाएगा 2 - r एंड यहां पे आ जाएगा आपका 3 + 4r राइट? और अब यहां पे ab वेक्टर बना के डॉट करके ज़ीरो करवा देते हैं। किसके साथ

में? नॉर्मल वेक्टर के साथ में। क्योंकि परपेंडिकुलर है ना? परपेंडिकुलर के लिए क्या करना है आपको? डॉट करा के ज़ीरो करवाना है। ठीक है? सो आपको यहां पर जो ba या ab वेक्टर बनता है उसको पहले देखो। नोटिस करो क्या है? ab वेक्टर। मतलब दिस -1 सो 3r i कैप फिर दिस -2 मतलब - r j कैप एंड दिस - 3 तो ये क्या हो जाएगा? ये हो जाएगा 4r + 6 k कैप। दिस वेक्टर ab वेक्टर हैज़ टू बी परपेंडिकुलर विद n वेक्टर। सो ab.n निकालने का यहां पर आपका टारगेट है जो हम यहां

पे अब सॉल्व कर रहे हैं। ab.n ये आपका हो जाना चाहिए ज़ीरो के बराबर। ab.n मतलब क्या होगा? i कैप इसके साथ में तो यहां पे 3r आएगा। फिर j कैप इसके साथ में तो -r आएगा। एंड देन इसके साथ में आपको -k मिल रहा है। मतलब -4r - 6 आपको मिल रहा है। ठीक है ना? और ये हो जाएगा कितना? 0 के बराबर। सो हाउ मच इज़ दिस गोइंग टू बी? ये हो जाएगा आपका इसमें बेसिकली। ओो कितना आ रहा है ये? नेगेटिव में वैल्यू आ रही है आपकी। ठीक है? तो ये हो जाएगा

आपका कितना? -3 के बराबर। r का वैल्यू यहां से निकला है -3 के बराबर। R का वैल्यू अगर आपका -3 निकला है तो हम क्या कर सकते हैं? यहां पे डायरेक्टली उसको इस B वाले अरेंजमेंट में सब्स्टट्यूट कर सकते हैं। B वाले अरेंजमेंट में जैसे ही आप सब्स्टिट्यूट करते हो तो आपका जो B का रिक्वायरमेंट है वो यहां पर आपको पता चल जाएगा। डी आंसर आ रहा है। वेरी नाइस। क्या बाकी सारे बच्चे भी यहां पर आइडेंटिफाई कर पा रहे हैं कि फाइनली B का जो कोऑर्डिनेट बन रहा है उसके अंदर -3 डाल के आपको

-9 मिल रहा है। सॉरी -9 के साथ में एक +1 भी है तो -8 मिल रहा है। फिर यहां पे आपके पास में कितना आ जाएगा? 5 आ जाएगा। और यहां पे -3 डाल के आपके पास में -9 आ जाएगा। ठीक है ना? एग्जैक्टली व्हाट इज़ अवेलेबल इन आवर डी ऑप्शन। तो एक चीज़ तो इस क्वेश्चन की सॉल्व हो चुकी है। अगले वाले पे चलते हैं। नेक्स्ट क्वेश्चन देखते हैं क्या है? द इक्वेशन ऑफ़ द प्लेन कंटेनिंग द लाइन L एंड पॉइंट A वेरी वेरी जेन्युइन सिनेरियो। ये जो आपका सिनेरियो है ये प्रैक्टिस करना जरूरी

है। ये जो सिनेरियो है ना इक्वेशन ऑफ़ द प्लेन कंटेनिंग द लाइन एंड दिस पर्टिकुलर पॉइंट यह मान के चलो कि आपके पेपर में आएगा ही आएगा। ठीक है ना? अब वो क्या है? वो आपके क्वेश्चन का एक पार्ट हो सकता है। कैसे हो सकता है? कि यार ये जो प्लेन आप अभी निकलवा रहे हो उस प्लेन को आगे यूज़ कर लिया है लेट अस से फैमिली ऑफ़ प्लेन बनाने में। उस प्लेन को यूज़ कर लिया है आगे चल के यहां पे लाइन ऑफ इंटरसेक्शन के लिए। कुछ भी हो सकता है या उस प्लेन को

एज़ अ मिरर इस्तेमाल करवा लिया है। लेकिन ये स्टार्टिंग पॉइंट आपको डेफिनेटली मिल सकता है आपके जेई एडवांस के क्वेश्चन में। तो इसको कैसे सॉल्व करते हैं? इसलिए यहां पर ये पता होना जरूरी है। ठीक है? सो आपका जो क्वेश्चन नंबर टू है उसको अब यहां पर एड्रेस करते हैं। ये आपका क्वेश्चन नंबर वन था। ठीक है ना? क्वेश्चन नंबर टू पे चलते हैं। क्वेश्चन नंबर टू में एक नए प्लेन की चर्चा है। क्वेश्चन नंबर टू में जो प्लेन है डिस्कशन में उसमें क्या प्रॉपर्टी सेटिस्फाई हो रही है? कि ये जो लाइन है वो तो

उसके ऊपर ही ल कर जाती है। ये जो लाइन है ये तो उसके ऊपर ही ल कर जाती है। राइट? कौन सी वाली लाइन जो हमें दे रखी है यह वाली लाइन है ना ये इसके ऊपर लाई करती है और क्या दिया है कि ये जो पॉइंट a है ये भी उसके ऊपर ही लाई करता है। तो पॉइंट a का कोऑर्डिनेट यहां पे लिख लेते हैं पहले तो पॉइंट a कितना है आपका यहां पे 1 2 - 3 और लाइन का जो इक्वेशन है यहां पे लाइन की इक्वेशन से दो चीजें आपको एक्सट्रैक्ट करते हमेशा

आना चाहिए ये वाली चीज़ लेकिन आपको आती होगी करते फॉर श्योर क्यों क्योंकि आपने ये लाइन के बारे में चीजें जेईई मेन के अंदर भी बहुत बार प्रैक्टिस की हुई है। राइट? सो आपको यहां पे मुझे एक पॉइंट अगर निकालना है जो इस पर्टिकुलर लाइन के ऊपर लाई करता है। सो दैट हैज़ टू बी वन टू एंड थ्री। वन टू एंड थ्री क्या करते हैं? न्यूमरेटर को इक्वल टू 0 करते हैं ताकि मुझे लाइन के ऊपर लाई करने वाला पॉइंट पता चले। सो 1 2 3 डेफिनेटली इज़ दैट पॉइंट जो इसके ऊपर लाई करता है।

एंड लाइन किस डायरेक्शन वेक्टर के अलोंग है? वो वेक्टर अगर मुझे पता करना है तो नीचे वाले पॉइंट्स नीचे वाले जो आपकी वैल्यूज़ हैं वहीं से आपका वेक्टर निकलता है। 3 - 1 एंड 4। ठीक है ना? तो कितना आ जाएगा? 3i कैप -j कैप एंड 4k कैप। राइट? बढ़िया बात है। सो आपके पास में यहां पे अब जो प्लेन का इक्वेशन निकालने का टारगेट है वो अकंप्लिश कैसे किया जाता है? वो अकंप्लिश किया जाता है इस थॉट के साथ में कि आपका जो ये डायरेक्शन वेक्टर लाइन का है और जो डायरेक्शन वेक्टर अभी आपको

यहां पे PA की मदद से मिल सकता है। इनके परपेंडिकुलर होगा नॉर्मल। आपका जो नॉर्मल होगा वो इनके भी परपेंडिकुलर होगा। और अगर आपको दो गिवन वेक्टर्स के परपेंडिकुलर जाना है तो उनका क्रॉस करना ही एकमात्र हमारे पास में सॉल्यूशन होता है। राइट? सो क्या करेंगे यहां से? d वेक्टर ऑलरेडी हमारे पास में है। pa वेक्टर क्रिएट करेंगे और इन दोनों का क्रॉस करके आपका यहां पे नॉर्मल वेक्टर कैलकुलेट करेंगे। ठीक है ना? ये हमारा आईडिया है इस क्वेश्चन को सॉल्व करने का। राइट? सो व्हाट इज़ PA वेक्टर? PA वेक्टर आप यहां पे देख सकते

हैं कि हेड माइनस टेल करके आपको यहां पे 0i कैप मिलेगा। फिर आपको 0j कैप मिलेगा। एंड देन आपको -6k कैप मिलेगा। और यहां पे डायरेक्शन वेक्टर तो आपके इसमें ऑलरेडी है। करना चाहते हैं हम यहां पे PA वेक्टर क्रॉस डायरेक्शन वेक्टर। कितना आ जाएगा? i कैप j कैप K कैप। 0 0 - 6 और यहां पे आ जाएगा आपका 3 - 1 4 तो i कैप के साथ में कितना बनता है आपका? सिक्स बनता है। -j कैप के साथ में कितना बनेगा? -j कैप के साथ में आपका यहां पर बनता है -18 -8 नहीं

+8 और k कैप के साथ में आपका 0 बनने वाला है। k कैप के साथ में आप ध्यान से देखो आपको ज़ीरो मिलने वाला है। तो यहां से आप एक और चीज़ कर सकते हैं। यहां से आप सिक्स अलग निकाल सकते हैं जो हमारे लिए ज्यादा इंपॉर्टेंट नहीं है। तो आपके इसमें यहां पे i कैप - 3j कैप ही बस बचेगा। ये जो सिंपलीफाइड वेक्टर है, हम उसको अपना नॉर्मल वेक्टर मान लेते हैं। क्योंकि नॉर्मल वेक्टर नीड नॉट बी एग्जैक्टली इक्वल टू दिस क्रॉस प्रोडक्ट। बट इट हैज़ टू बी इन लाइन विद दैट क्रॉस प्रोडक्ट।

ठीक है ना? तो हम यहां पे नॉर्मल वेक्टर की तरह मान सकते हैं i कैप - 3j कैप। और ये अगर आपका नॉर्मल वेक्टर है तो इसकी मदद से आपको क्या लिखते आना चाहिए? प्लेन का इक्वेशन लिखते आना चाहिए। नॉर्मल वेक्टर अगर आपका निकला है i कैप - 3j कैप। और आप जानते हैं कि इसके ऊपर एक पॉइंट लाई करता है व्हिच इज़ बेसिकली 1, 2, -3, तो इस प्लेन की इक्वेशन निकालने का तरीका क्या होता है? इस प्लेन की इक्वेशन ऐसे निकलती है। ठीक है ना? इस प्लेन की इक्वेशन निकलती है आपकी यहां पे

x - x1 a के साथ में, y - y1 b के साथ में एंड z - z1 c के साथ में। ठीक है ना? ये इसलिए इतना बेसिक बता रहा हूं क्योंकि कई सारे बच्चों ने प्लेन प्रैक्टिस नहीं किया हुआ होता है। तो डायरेक्टली लिख दूंगा तो थोड़ी दिक्कत आ सकती है कुछ बच्चों को। इसलिए यहां पर एक इक्वेशन भी मैंने लिख के बता दी कि मैं क्या यूज़ करने वाला हूं। यहां पे जो a b c आपके होते हैं प्लेन की इक्वेशन में वो नॉर्मल के जो आपके ij k के कॉम्पोनेंट्स हैं वही होते

हैं। राइट? मतलब यहां पर आपको a का वैल्यू वन डालना है, b का वैल्यू -3 डालना है। एंड c का वैल्यू आपको ज़ीरो डालना है। है ना? तो ये मैटर नहीं करता कि आगे क्या आने वाला है। आपके जो x1, y1, z1 वाले पॉइंट्स हैं ये बेसिकली क्या रिप्रेजेंट करते हैं? उस प्लेन के ऊपर लाई करने वाला जो पॉइंट है वो रिप्रेजेंट करते हैं। ठीक है ना? कुछ गड़बड़ हो गया है। अच्छा ठीक है। एक बार मुझे बता दो क्या गड़बड़ हो गया है? x - 1 उसके साथ में यहां पे y - 2 है

जो आपको मिलने वाला है। ठीक है ना? एंड देन बस आगे तो आपको यहां पे ज़ीरो ही मिलेगा। कुछ अगर यहां पे गड़बड़ है तो बताओ जरा। एक बच्चा बोला सर कुछ तो आपको बदलाव करने पड़ेंगे। हो सकता है करना पड़े। ठीक है ना? लेट मी जस्ट चेक। कहां पे बोल रहे हो आप चेंज करने के लिए? i कैप के आगे नेगेटिव आएगा। अच्छा देख लेते हैं एक बार। i कैप के आगे नेगेटिव आएगा। i कैप के नेगेटिव आएगा। ओह माय गुडनेस। बिल्कुल सही बात बताई बच्चों ने। i कैप के आगे नेगेटिव आएगा। क्योंकि यहां

पर हमारे पास में +6 बन चुका है। और हमें क्या करना होता है? दिस माइनस दैट करना होता है। तो बेसिकली 0 - 6 बनेगा। तो -6 बनेगा। वेरी नाइस। और अगर मैं यहां से अब कॉमन निकाल रहा हूं तो मैं -6 कॉमन निकाल सकता हूं। कंप्लीटली एग्रेड विथ द किड। एंड देन यहां पे अगर मैं माइनस लेकिन कॉमन निकाल रहा हूं तो यहां पर आपका +3 आएगा। फिर अभी ठीक लग रहा है। अगर ये आपका ठीक लग रहा है तो आपका इसका मतलब जो नॉर्मल वेक्टर है वो i कैप + 3j कैप के डायरेक्शन

में जाना चाहिए। फिर तो यस। और अगर ऐसा है तो यहां पर भी मुझे क्या करना पड़ेगा? चेंज। यहां पर भी मुझे बेसिकली प्लस करना पड़ेगा। अब बताओ अब ठीक लग रहा है बेटा? तो बहुत-बहुत धन्यवाद आपका। तो यहां पर क्या हो जाएगा? x + 3y एंड साथ में आ जाएगा आपका यहां पे -7 = 0 डन ये होना चाहिए। एक बार चेक कर लेते हैं वैसे ऑप्शन हमारा है ना क्योंकि थोड़ा सा ऊपर नीचे हुआ है। x + 3y - 7 हम सही है। अब सही है। अब सही है। ठीक है? क्लियर होता है।

अच्छा एक बच्चा पूछा था यहां पर ये 1 2 3 कहां से आया? यहीं से आया। लाइन की इक्वेशन में न्यूमैरेटर को जीरो करके जो आपके पास में वैल्यू बनती है वही उस लाइन पे लाई करने वाला पॉइंट होता है। तो इसलिए यहां पे न्यूमरेटर को ज़ीरो करो वन आएगा। न्यूमरेटर को ज़ीरो करो टू आएगा। न्यूमरेटर को ज़ीरो करो थ्री आएगा। तो 1 2 3 एक्चुअली इस लाइन पे लाई करने वाला पॉइंट है। और लाइन की इक्वेशन में जो डिनोमिनेटर्स होते हैं उनके आगे i कैप, j कैप, k कैप लगा दो। तो वही उस लाइन

के अलोंग जो डायरेक्शन वेक्टर है उसकी वैल्यू बनती है। ठीक है? यस बढ़े आगे। इन द सेंस हमारे यहां पर लास्ट वाला क्वेश्चन भी एक बार अटेंड कर लें। ये वाले क्वेश्चन में क्या बोल रहे हैं? द डिस्टेंस बिटवीन द पॉइंट्स ऑन द लाइन व्हिच आर एट अ डिस्टेंस ऑफ़ 4 / 3 फ्रॉम द प्लेन। ये वाला सवाल भी काफी इंटरेस्टिंग है। ठीक है ना? सिंपल है लेकिन बढ़िया और इंटरेस्टिंग सवाल है। जगह है हमारे पास में। बहुत ही बढ़िया बात है। सो क्वेश्चन नंबर थ्री यहां पर कर लेते हैं। राइट? किसी एक प्लेन का

पहले तो यहां पे फोटो दिमाग में लेके चलते हैं। कोई एक प्लेन है हमारे पास में। ओके? डिस्टेंस बिटवीन द पॉइंट्स ऑन द लाइन। कौन सी लाइन? यही वाली लाइन है ना? यहां पर ये लाइन कौन सी है? आपकी लाइन जो क्वेश्चन में दी हुई है। लाइन l व्हिच आर एट अ डिस्टेंस ऑफ़ 4 / 3 फ्रॉम द प्लेन। ऐसे कुछ फिगर बेसिकली यहां पर हम आगे वापस बनाना चाहते हैं। ठीक है ना? कि कोई एक प्लेन है, एक लाइन उसको कट करके जा रही है। ठीक है ना? इस तरह से कुछ यहां पे दिमाग

में ले चलते हैं। ओके? ऐसी कुछ लाइनें हैं आपकी जो आगे और फर्दर जाएगी। ये लाइन आगे कैसे जाने वाली है? वैसे अगर आप यहां पे सोच के देखो तो ये लाइन अगर आगे और जाएगी तो ये ऐसे कुछ जा सकती है क्या? क्योंकि ये क्या उधर से दिखाई नहीं देगा ना तो इसको थोड़ा ऐसा बना सकते हैं कि पीछे की साइड से तो दिखाई नहीं देगा लेकिन यहां से फिर से दिखाई देना स्टार्ट हो जाएगा। ठीक है ना? ऐसे लाइन जा रही है। ये इस पॉइंट पे इसने क्या कर दिया है? इसको इस पॉइंट

पे इसने इंटरसेक्ट कर दिया है। और पीछे से फिर यहां पे लाइन जब ये नीचे आई है तो हमें दिखना वापस स्टार्ट हो गई है। राइट? फील हो रहा है ऐसा कुछ होते हुए। सवाल क्या है? सवाल यह है कि इस ग्रीन लाइन के ऊपर आपको ऐसे दो पॉइंट्स मिलेंगे जो प्लेन से 4/ 3 के डिस्टेंस पे हैं। वो बोल रहा है हमें कि ऐसे दो पॉइंट्स मिलेंगे। तो आप पहले तो बताओ कि ऐसे दो पॉइंट्स आप ढूंढ पा रहे हो क्या? द डिस्टेंस बिटवीन उनके बीच का डिस्टेंस निकालना है। द डिस्टेंस बिटवीन द पॉइंट्स

ऑन द लाइन दिस व्हिच आर एट अ डिस्टेंस ऑफ़ 4 / 3 फ्रॉम द प्लेन। प्लेन भी कौन सा है? गिवन प्लेन जो हमने यहां पे अभी क्वेश्चन में दिया हुआ है। उसी की हम बात कर रहे हैं। तो कोई तो पॉइंट यहां पे होगा। जिसका डिस्टेंस अगर मैं निकालता हूं तो एग्जैक्टली 4 / 3 के बराबर ही डिस्टेंस आपका निकलता है। डिस्टेंस कैसे निकलेगा? परपेंडिकुलर डिस्टेंस ही निकलेगा ऑब्वियसली। सो इस तरह से जो आपका यहां पे परपेंडिकुलर डिस्टेंस अभी यहां पे 4 / 3 के बराबर आप इमेजिन कर पा रहे हो ऑन दिस साइड

बिल्कुल ऐसा ही आप यहां पे नीचे की साइड भी कहीं ना कहीं इमेजिन कर पाओगे। समझ रहे हो? ऐसा ही नीचे की साइड भी आप कहीं ना कहीं इमेजिन कर पाओगे कि आपने यहां से परपेंडिकुलर ड्रॉप डाला और वो परपेंडिकुलर ड्रॉप एग्जैक्टली कितना दूरी पे है वो एग्जैक्टली आपके 4 / 3 डिस्टेंस पे ही है। तो हम यहां पे m और n के बीच का जो डिस्टेंस है ये निकाल के बताना है। m और n के बीच का डिस्टेंस निकाल के बताना है। क्या है समझ में आ रहा है सवाल? तो व्हाट वुड बी द

बेस्ट वे ऑफ़ सॉल्विंग दिस क्वेश्चन? m से अगर हमने यहां पे m1 परपेंडिकुलर ड्रॉप दिया है। n से अगर हमने यहां पे n1 परपेंडिकुलर ड्रॉप दिया है। तो हमें यहां पे जो डिस्टेंस निकाल के बताना है दैट इज mn जो डिस्टेंस निकालना है दैट इज़ mn डिस्टेंस। जो पता है डिस्टेंस वो क्या है? ये दोनों ऑल्टीट्यूड्स आपको एक्चुअली पता है। समझे क्या? ये पता है आपको 4 / 3 ये भी पता है 4 / 3। इनफैक्ट मुझे ये बताओ कि ये स्ट्रक्चर जो भी बना हुआ है क्या ये सिमिट्रिक स्ट्रक्चर है? और अगर ये सिमिट्रिक

स्ट्रक्चर है तो यहां पे जो भी आपका ये पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन है लेट अस कॉल दिस पॉइंट ऑफ़ इंटरसेक्शन लेट अस से L नहीं बोलते हैं कुछ और बोल देते हैं। चलो लेट्स कॉल दिस पॉइंट ऑफ़ इंटरसेक्शन लेट अस से Z ठीक है ना? तो ये Z पॉइंट जो आपको यहां पर बीच में मिला है। अगर मैं डिस्टेंस ZM का निकाल लेता हूं और उसको डबल कर देता हूं तो भी चलेगा। ZM का डिस्टेंस निकाल के उसको डबल कर दूंगा तो MN का डिस्टेंस आ जाएगा जो मेरा एक्चुअली क्वेश्चन है। और अगर मैं ZM निकालना

चाहता हूं तो क्या मैं इस ट्रायंगल का हाइपोटेनस निकालना चाहता हूं। जबकि मुझे ऑलरेडी परपेंडिकुलर पता है? इस ट्रायंगल का परपेंडिकुलर मुझे ऑलरेडी पता है। जबकि मैं क्या निकालना चाहता हूं? हाइपोटेनस निकालना चाहता हूं। तो ये काम हम काफी ईज़ली कर सकते हैं। अगर हमारे पास अवेलेबल डेटा कौन सा हो जाए? कि यार ये एंगल कितना है? अगर कोई मुझे यह एंगल बता दे तो मैं काफी ईजीली ये काम कर सकता हूं। फिर तो क्वेश्चन क्या चाहता है कि आप एंगल बिटवीन प्लेन एंड लाइन को यहां पे कैलकुलेट करो। मतलब ईजी तो यही तरीका है

करने के लिए। तो आप यहां पे बहुत सारे तरीके से कर सकते हैं सवाल। लेकिन सबसे आसान तरीका इस क्वेश्चन को सॉल्व करने का यही है कि आप इस एंगल की बात करो। यस। सो एंगल कैसे निकलता है? एंगल आपका यहां पे काफी सिंपल है। आपको यहां पे क्या करना है? नॉर्मल वेक्टर को ही पिक करना है। ऑलदो एंगल नॉर्मल वेक्टर के साथ में पूछा नहीं है किसी ने। लेकिन हम नॉर्मल वेक्टर ही क्योंकि जानते हैं ना प्लेन की इसलिए हमें यूज़ तो वही करना पड़ेगा। सो यहां पे आ जाएगा आपका i कैप + j

कैप - k कैप। और लाइन का जो डायरेक्शन वेक्टर है उसको भी हमें पिक करना है। लाइन का डायरेक्शन वेक्टर अगर हम यहां पे देखते हैं तो 3i - J + 4k 3i - j + 4k ऐसा हमारा यहां पे बनता है डायरेक्शन वेक्टर। ठीक है ना? अब जब भी हम इनके बीच में एंगल निकालेंगे तो एक्चुअली एंगल कौन सा निकलेगा? डायरेक्शन वेक्टर देखो कहां पर है और आपका डायरेक्शन वेक्टर कहां पर है यहां पर और नॉर्मल वेक्टर कहां पर है? ऊपर जा रहा है। तो अगर इनके बीच में एंगल निकालूंगा तो इट विल नॉट

बी थीटा एंगल। इट विल बी बेसिकली 90 - थीटा। इसीलिए जब भी आप यहां पे इन दोनों का इस्तेमाल करके फार्मूला cos थीटा वाला अप्लाई करते हो तो बन जाता है sin थीटा। क्योंकि आप इनके बीच का जो एंगल है उसको कहना नहीं चाहते हो थीटा। आप उसको कहना चाहते हो 90 - थीटा। रिक्वायरमेंट क्योंकि यहां है। कैलकुलेशन हम ऊपर वाले की कर रहे हैं। ठीक है ना? तो हम लिखने लिखते समय भी ये बोल सकते हैं कि cos ऑफ़ 90 - थीटा यहां पे कैलकुलेट हो रहा है। और cos ऑफ़ 90 - थीटा कैसे

होगा? कैलकुलेट दोनों को तीनों डॉट कर लो पहले तो। तो कितना आएगा? डॉट करके 3 - 1 एंड देन -4 और नीचे कितना आ जाएगा? अंडर रूट के अंदर इसका मैग्नीट्यूड मतलब थ्री। एंड अंडर रूट के अंदर इसका स्क्वायर, इसका स्क्वायर, इसका स्क्वायर मतलब ये कितना आ जाएगा आपका? 9, 1 एंड 16। ये आपका क्या निकला है? बेसिकली, sin थीटा का वैल्यू निकला है। क्या निकला है ये? sin थीटा का वैल्यू निकला है। राइट? तो sin थीटा कितना है इस क्वेश्चन में? इनफैक्ट sin थीटा तो अच्छी बात है ना? बहुत ही बढ़िया आंसर निकला है

हमारा। sin थीटा। है ना? ये कितना आ जाएगा आपका यहां पे? 2 / रूट के अंदर थ्री है और यहां पे रूट के अंदर आपका कितना है? रूट के अंदर आपका 26 है। क्योंकि अगर आप ध्यान से देखते हो तो आपका जो mz वैल्यू है mz वैल्यू जो है ये 4 / 3 / sinθ के ही बराबर है। देखना जरा ध्यान से। 4 / 3 / sin थीटा के ही बराबर है। और इसको डबल करके आपका क्या आने वाला है? इसको डबल करके आपका फाइनल आंसर आने वाला है। ठीक है ना? तो आप अगर यहां

पे इसको डिवाइड कर देते हैं। तो 4 / 3 एंड देन डिवाइड करने का मतलब है कि रेसिप्रोकल से मल्टीप्लाई कर लो। राइट? तो यहां से ये कैंसिल होगा। यहां से ये कैंसिल होगा। तो ये 2 26 आपका बेसिकली बनता है। लेकिन ये mz है। इस बारे में ख्याल रखना। ये आपका mz निकला है। आपको जो चाहिए वो तो mn चाहिए ना। देयर फॉर mn क्या हो जाएगा? ये हो जाएगा 2 टाइम्स ऑफ़ mz और ये हो जाएगा आपका कितना? 4 26 क्लियर है? 4 26 4 26 मतलब ए ऑप्शन इस क्वेश्चन में आपका करेक्ट

होना चाहिए। समझे क्या? क्लियर है? तो यहां पर आप देख सकते हो कि इंडिविजुअल क्वेश्चंस में उतना ज्यादा कुछ दम नहीं है। लेकिन आपको जेईई एडवांस में भी ऐसे ही क्वेश्चन मिलते हैं। आप जाके एक बार देख सकते हैं जेई एडवांस के रीसेंट पीवाईक्यूस जिसके अंदर आपको मैच द कॉलम दे दिए हैं। इस तरह के कंप्रहशन दे दिए हैं। दिखने में सवाल सारे बड़े हैं। जैसे कि ये सवाल भी दिखने में बड़ा है। दिखने में फर्स्ट ग्लांस में बड़ा है। बट अल्टीमेटली है तो कुछ मल्टीपल क्वेश्चंस का कलेक्शन। मैट्रिक्स मैच वाले जो आपके क्वेश्चंस होते

हैं उसके अंदर भी यही होता है। कई सारे आपके यहां पर जो है अह क्वेश्चंस का कलेक्शन होता है। उन चार क्वेश्चंस को लाइन से ए बी सी डी ऑप्शन में प्लेस कर देते हैं। और फिर बोलते हैं कि मैट्रिक्स मैट्रिक मैथ्स करके बताओ। ठीक है ना? ऑलराइट। सो उस हिसाब से अगर आप यहां पे देखो तो वेक्टर 3D के सवाल बन जाते हैं। है ना? ऐसे बहुत ज्यादा डिफिकल्ट नहीं होते हैं। बन जाते हैं। अनदर वेरी-वेरी नाइस क्वेश्चन। काफी अच्छा यहां पर ज्योमेट्री है। इस पर्टिकुलर क्वेश्चन में इसको भी एनालाइज़ करें। ठीक है ना?

इस साल की मैथ्स डिफिकल्ट आएगी क्या? आ सकती है? बिल्कुल। ठीक है ना? इस साल की मैथ्स डिफिकल्ट आएगी क्या? आनी चाहिए। मैथ्स देखो आप जेई के स्टूडेंट हो यार। जैसे आप यहां पे देखो कि जो भी नीट का स्टूडेंट होता है वो पता है सबसे ज्यादा क्या पढ़ता है? बायोलॉजी। राइट? और उसका फिजिक्स और केमिस्ट्री हमेशा वीक रहता है। और मैंने नोटिस किया है कि जेई के जो स्टूडेंट्स हैं वो एक्चुअली फिजिक्स ज्यादा पढ़ाई करते हैं। है ना? मैथ्स के ऊपर उनका लगता है कि यार मैथ्स उतना ज्यादा नहीं है यार यहां पे फोकस

हमारा। और थोड़ी गलती वैसे तो यहां पे अपने सिस्टम की भी है। ठीक है ना? नीट के अंदर क्या है? बायोलॉजी का वेटेज भी ज्यादा है। तो बच्चे इस रीज़न से बायोलॉजी ज्यादा पढ़ते हैं। यहां पर भी मैथ्स का वेटेज ज्यादा रखना चाहिए। जैसे बिट में होता है। बिटसेट में भी मैथ्स का वेटेज थोड़ा सा ज्यादा है। राइट? ओके? हम ये वाला सवाल देखो। इस सवाल में एक बहुत ही अच्छा स्ट्रक्चर आपको मिलने वाला है। बहुत ही बढ़िया क्वेश्चन है आपका। ठीक है ना? द पोजीशन वेक्टर्स ऑफ द वर्टिससेस A, B एंड C ऑफ़ अ

टेट्राहेड्रन A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, B, C, D आर गिवन टू अस। द ऑल्टीट्यूड फ्रॉम D टू द अपोजिट फेस ABC मीट्स द लाइन कंटेनिंग द मीडियन फ्रॉम A एट ट्रायंगल ऑफ ट्रायंगल ABC एट पॉइंट E. ओके? सो काफी कुछ यहां पर बोल दिया है। ऐसा करते हैं कि पहले इसको ड्रॉ कर लेते हैं। थोड़ा मतलब यहां पर अंडरस्टैंडिंग बिल्ड करने में दिक्कत नहीं होगी। कोई तो एक हमारे पास में क्या बनाना है? हमने एक टेट्राहेड्रन बनाना है। ठीक है ना? टेट्राहेड्रन कैसे बनाते हैं? सबसे आसान तरीका क्या है? टेट्राहेड्रन

बनाने का? टेट्राहेड्रल बनाने का आसान तरीका है कि आप पहले एक ट्रायंगल बना लो और फिर उसके बाद में इस तरह से कुछ जॉइनिंग दिखा दो। 3D स्ट्रक्चर है क्योंकि बोर्ड के ऊपर 3D स्ट्रक्चर बनाना है तो ऐसे कुछ आपको डिस्टोर्टेड फिगर ही हमेशा नजर आता है। ठीक है? ओके? सो आपके पास में आपके पास में ये जो पर्टिकुलर ज्योमेट्री बन रही है, इसके अंदर ऐसा करते हैं कि आपके जो नीचे वाले तीनों पॉइंट्स हैं A, B एंड C ऐसे ले लेते हैं। ठीक है ना? एंड D हम यहां पे कहीं टॉप पे ले लेते

हैं। क्योंकि आप यहां पे सवाल में भी देखो ऐसे कुछ यहां पे इनका जो है कहने का तरीका है। द ऑल्टीट्यूड फ्रॉम ऑल्टीट्यूड मतलब हमेशा यहां पर जो है ऐसा परपेंडिकुलर ड्रॉप देखने में हमें अच्छा लगता है। ठीक है ना? ऑल्टीट्यूड ऑल्टीट्यूड फ्रॉम वर्टेक्स D टू द अपोजिट फेस ABC है यानी मतलब यहां पर ये जो हॉरिजॉन्टल है इसको मान के चलो ABC मीट द लाइन कंटेनिंग द मीडियन A ऑफ ट्रायंगल ABC एट पॉइंट E तो यहां पे फिर से डेटा आपका यहां पे काफी अलग तरीके से यहां पर जो है प्रेजेंट किया गया है

ऐसा लग रहा है। ध्यान से देखो। आप पहले तो यहां पर एक मीडियन इमेजिन करो। है ना? मीडियन तो चलो इमेजिन करना कोई मुश्किल काम नहीं है। फिर आप यहां से एक ऑल्टीट्यूड इमेजिन करो। ऑल्टीट्यूड जो आप बना रहे हो वो जब ड्रॉप होता है तो मीडियन पे ही जाकर गिरता है। एक्सजेक्टली ऐसा ये बोल रहा है। मीडियन पे ही जाके गिरता है। ऐसा हमारा ये स्ट्रक्चर है। फिगर आराम से बना लेते हैं। कैलकुलेशन तो चलो हो ही जाएगी। लेकिन फिगर अगर यहां पे समझ में आ जाता है आपको तो आप यहां पे ज्यादा ईजीली

क्वेश्चन को जो है अटेम्प्ट कर पाओगे। ठीक है ना? अगले एक दो क्वेश्चन में भी और यहां पे ध्यान से देखना। आगे जो आपको दो तीन क्वेश्चन कराने वाला हूं मैं। ठीक है ना? उन क्वेश्चंस में भी फिगर वगैरह अच्छे से बना लेते हैं तो चीजें दिखती हैं। अदरवाइज 3D ज्योमेट्री में अगर चीजें दिखेंगी नहीं तो फिर इक्वेशन बनाने में और भी दिक्कत आती है फिर। ठीक है ना? इसलिए थोड़ी सी मैं यहां पे कोशिश करके नीट एंड क्लीन फिगर बनाने की कोशिश कर रहा हूं आप सबके लिए। ठीक है? पोजीशन वेक्टर्स भी यहां पर

दिए हुए हैं। तो चलो एक-एक करके मार्क कर लेते हैं पोजीशन वेक्टर्स। a का वैल्यू क्या है हमारे पास में? 11 1 है। b कितना है आपके पास में? 1 0 है। एंड c कितना है हमारे पास में? ये है 300 ठीक है? ऑल्टीट्यूड फ्रॉम D हमने यहां पे जो ड्रॉप किया है वो यहां पर आके E पे मीट कर रहा है। इसका नाम हमने E रख दिया। चलो और यहां पे जो AD आपको साइड लाइन दिखाई दे रहा है उसकी वैल्यू फोर इन्होंने हमें दे रखी है। है ना? ये वाला डिस्टेंस आपका फोर के

बराबर है। वॉल्यूम ऑफ टेट्राहेड्रन इन्होंने दिया हुआ है जो कि 2 2 / 3 के बराबर है। अब वॉल्यूम ऑफ टेट्राहेड्रन इसके पहले भी डिस्कशन में आया है आज के ही लेक्चर में। याद है? जहां पे हमने क्या इस्तेमाल किया था? बॉक्स ऑफ ABC का इस्तेमाल किया था। राइट? लेकिन यहां पे वो नहीं कर पाएंगे। क्योंकि आपको एकदम से यहां पे ये जो तीनों वेक्टर्स हैं वो नहीं पता है। आपको यहां पर लेकिन इनके मैग्नीट्यूड्स डेफिनेटली पता है। सो व्हाट इज़ द अदर वे ऑफ़ यूजिंग दिस इनफेशन? वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रल? जो रॉ फार्मूला होता है

आपका यहां पर है ना रॉ फार्मूले को ही कन्वर्ट करके हम क्या करते हैं 1 ऑफ बॉक्स एबीसी में कन्वर्ट करते हैं अपने लेक्चर्स में जब हम थ्योरी पढ़ रहे होते हैं। ठीक है ना? लेकिन उसके पहले क्या स्टेप लिखते हैं? उसके पहले हम लिखते हैं 1/3 ऑफ़ एरिया ऑफ़ बेस * हाइट। वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रन क्या होता है? वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रन होता है 1/3 ऑफ़ 1/3 ऑफ़ एरिया ऑफ़ बेस * हाइट। हाफ ऑफ़ बेस * हाइट नहीं होता है। हाफ ऑफ़ बेस * हाइट नहीं होता है। 1/3 ऑफ़ एरिया ऑफ़ बेस * हाइट होता है।

ठीक है ना? तो जब भी यहां पर आपके पास में 3D ज्योमेट्री होती है, 3D स्ट्रक्चर कोई होता है, तो आप यहां पे 1/3 के बारे में अगर याद रखना चाहते हैं, तो आप यूजुअली कोन की मदद से इस चीज को याद रख सकते हैं। राइट? कोन की मदद से कैसे? जो आपका यहां पे कोन है और जो आपका सिलेंडर है, ठीक है ना? उनके फॉर्मूलेज़ में कितना डिफरेंस है? जो आपका कोन है और जो आपका सिलेंडर है उनके फॉर्मूलेज़ में कितना डिफरेंस है? थोड़ा सा ही डिफरेंस है ना? ये क्या होता है आपका? ये

वाला फार्मूला होता है आपका πr²h और ये होता है 1/3 πr²h सही है क्या? 1/2 तो नहीं है कहीं यहां पे। 1/2 तो नहीं आता ना? 1/3 आता है ये। राइट? सो ये भी क्या है? बेसिकली एरिया ऑफ़ बेस * हाइट ही तो है। एरिया ऑफ़ बेस कितना है आपका? πr² * हाइट। मतलब ये आपकी हाइट है। सो अगर तो आपका यहां पे 3D फिगर ऐसा है जो ऊपर जाके अपना साइज मेंटेन करके रखता है। अगर 3D स्ट्रक्चर आपका यहां पे साइज मेंटेन करके रखता है। ठीक है ना? देन इन दैट केस आपको क्या होता

है? आपको यहां पर बस डायरेक्टली ही एरिया ऑफ़ बेस हाइट सेंसर मिल जाता है। लेकिन अगर ये ऊपर जाके टेपर हो जाता है। टेपर हो जाता है इन द सेंस ऐसा पतला हो जाता है। किसी एक पॉइंट पे जाके मीट कर जाता है। जैसे कि कोन भी करता है। टेट्राहेड्रन भी वही काम करता है। है ना? ये भी ऊपर जाके एक पॉइंट पे बेसिकली मीट हो जा रहा है। राइट? तो उस केस में क्या करेंगे? हम यहां पे एक्स्ट्रा 1/3 करेंगे। जो स्टैंडर्ड आपका आईडिया होता है एरिया ऑफ़ बेस * हाइट का उसका 1/3 करेंगे।

ठीक है ना? ऑलराइट। जस्ट सो दैट यू रिमेंबर द इनेशन। इसलिए यहां पर एक बार और मैंने इसको डिटेल में डिस्कस कर दिया। बाकी आगे बढ़ते हैं अभी। एंड लेट अस ट्राई टू नाउ सॉल्व फॉर द फर्स्ट ऑप्शन। ठीक है ना? ऑल्टीट्यूड फ्रॉम द वर्टेक्स D इज़ ऑफ़ टू यूनिट्स। ये जो D से लेके E तक का डिस्टेंस है, है ना? वो हमें निकाल के बताना है। यस। टेट्राहेड्रन के लिए किसकी एनालॉजी है? टेट्राहेड्रन के लिए प्रिज्म की एनालॉजी है। एक बच्चा पूछ रहा है कि सर यहां पे आपने सिलेंडर को 1/3 करके दिखाया कि

कोन बन गया है? टेट्राहेड्रन किसका 1/3 हो रहा है? तो टेट्राहेड्रन एक्चुअली प्रिज़्म का 1/3 हो रहा है। क्योंकि अगर आप ये बोलते हो कि आपका जो बेस है वो भी ट्रायंगुलर बेस है। और जो आपका यहां पे टॉप है वो भी ट्रायंगुलर टॉप है। क्योंकि ये टेपर नहीं होना चाहिए ना। तो उस केस में जो आप यहां पर क्रिएट कर रहे हो फिगर वो एक प्रिज्म क्रिएट कर रहे हो। समझ रहे हो? प्रिज्म। प्रिज़्म है ये। राइट? ऑलराइट। ट्रायंगुलर बेस वाला प्रिज़्म है। ओके? चलो इधर-उधर की बातें ज्यादा हो गई। क्वेश्चन को एड्रेस करते

हैं। तो आपका यहां पर जो आईडिया है दैट इज़ टू फर्स्ट फाइंड एरिया ऑफ़ बेस। हाइट तो हमें निकालनी ही है। है ना? हाइट को अगर आप यहां पे कहना चाहो तो h कह सकते हो। ठीक है? और वॉल्यूम तो दिया ही हुआ है। तो कंपेयर करके आपका आंसर आ जाएगा। अब एरिया ऑफ़ बेस निकालने का तरीका क्या है कि हम पहले तो AB क्रॉस AC निकाल लें। अच्छा AB क्रॉस AC लिखें या BA क्रॉस BC लिखें ये ज्यादा अच्छा लग रहा है मुझे। है ना? Ba क्रॉस BC तो i कैप J कैप K कैप

है ना? BA तो हेड माइनस टेल अगर मैं करूंगा तो 0 1 आएगा। और अगर मैं BC करता हूं तो हेड माइनस टेल आएगा। मतलब यहां पे 2 0 आएगा। तो अगर आप इसको ओपन करते हो तो i कैप के साथ में कितना दिख रहा है? ज़ीरो दिख रहा है। -j कैप के साथ में कितना दिख रहा है? -j कैप के साथ में आपको -2 दिख रहा है। एंड देन k कैप के साथ में कितना दिख रहा है? k कैप के साथ में आपको फिर से -2 दिख रहा है। ठीक है ना? लेकिन अगर इसको

सिंपलीफाई करेंगे तो टू कॉमन निकाल के आपको j कैप - k कैप मिलने वाला है। सो j कैप - k कैप। अब इसके अंदर से ये मत कर देना। जैसे पिछले वाले क्वेश्चन में हमने यहां पे ये मैग्नीट्यूड अलग से वेस्ट कर दिया था ये बोल के कि नहीं नहीं चाहिए हमें। यहां पे -6 नहीं चाहिए। हमने यहां पर केवल i कैप + 3j कैप के साथ में अपना काम कर लिया। ठीक है ना? ये नॉर्मल की अगर बात चल रही है तो ऐसा वेस्ट करना चलता है मैग्नीट्यूड एक्स्ट्रा। लेकिन जब हम यहां पे कैलकुलेट

ही एरिया ऑफ़ बेस करना चाह रहे हैं तो इस एक्चुअल वेक्टर को ही यूज़ करना पड़ेगा आपको। ठीक है ना? उस एक्चुअल वेक्टर का ही मैग्नीट्यूड लेना है और उसका हाफ करना है। तो एरिया ऑफ़ बेस मतलब एरिया ऑफ़ ट्रायंगल ABC आपका कितना आ गया? ये आ जाएगा आपका हाफ ऑफ़ मैग्नीट्यूड ऑफ़ दिस। मतलब 2i कैप एंड देन 2K कैप। सॉरी 2j कैप एंड 2K कैप। और ये कितना आ जाएगा आपका? 1/2 ऑफ़ अंडर रूट के अंदर 4 + 4 मतलब ये आ जाएगा आपका 2 के बराबर। तो आपका एरिया ऑफ़ बेस आ चुका है।

ठीक है ना? और हम यहां पे क्या करना चाहते हैं? बस इतना सिंपल सा यहां पर काम करते हैं कि भ आपका वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रन जो है वो कैसे आ जाएगा? 1/3 ऑफ़ एरिया ऑफ़ बेस * हाइट। 1/3 ऑफ़ एरिया ऑफ़ बेस * हाइट। और ये कंपेयर किसके साथ में हो रहा है? ये कंपेयर हो रहा है आपका 2 2 / 3 के साथ में। थ्री से थ्री जाएगा। 2 से 2 जाएगा। तो h का वैल्यू आपका टू एकदम करेक्ट निकल कर आ रहा है। h का वैल्यू एकदम ठीक है। है ना? टू ही इन्होंने

भी यहां पर क्योंकि बोला है। तो ये ऑप्शन आपका करेक्ट है। अब ये जो आगे के पॉइंट्स हैं ये तो मेरे ख्याल से एकदम स्ट्रेट फॉरवर्ड हैं। जितना भी कैलकुलेशन इस क्वेश्चन में था मेरे ख्याल से हमने कर ही लिया है। क्योंकि लास्ट क्वेश्चन देखो क्या है? लास्ट पार्ट क्या कहता है कि j - K इज़ नॉर्मल टू द प्लेन। यस ऑब्वियसली नॉर्मल टू द प्लेन के लिए भी हम यहां पे इसके अलोंग जो आपके जो a ba और bc है उनका क्रॉस करके जो वेक्टर निकाल रहे हैं वही नॉर्मल के डायरेक्शन है। सो j

- के एकदम सही फिट बैठता है। इसमें कोई गलत बात नहीं है। इसको हम सेलेक्ट कर सकते हैं। राइट? अब यहां पे मुझे बताओ कि सेकंड और थर्ड में से कोई ऑप्शन करेक्ट हो सकता है क्या? ए और डी तो आपके करेक्ट हैं ही। लॉजिकल डिस्कशन बेसिकली रिमेंस फॉर सेकंड एंड थर्ड क्वेश्चन। और अगर आपको ऐसा कभी भी सिचुएशन मिलता है जहां पर आप ऑलरेडी काफी हद तक अपने क्वेश्चन को संभाल चुके हैं। लेकिन अब कंफ्यूजन है तो ऐसे ऑप्शंस को मार्क मत करो चलेगा। पार्शियल मार्किंग लेके आप यहां पे आगे बढ़ सकते हो। ठीक

है ना? लेकिन ये मत करना कि हमने और एक्स्ट्रा सोचा तो नेगेटिव हो गया। ठीक है ना? ऐसा नहीं होना चाहिए कि हमने थोड़ा और सोचा क्वेश्चन के बारे में तो कुछ गलत ही इनफेंस निकाल के आ गया। ऐसा नहीं होना चाहिए। देयर इज़ ओनली वन पॉसिबल पोजीशन फॉर ई। ये एक ऑप्शन है आपका। देयर आर टू पॉसिबल पोजीशंस ऑफ E. ये आपका दूसरा ऑप्शन है। ये कैसे हो सकता है? मतलब यहां पे तो हमें दिख ही रहा है E तो एक ही जगह जाएगा। E अगर आप ये कहते हैं कि यार ये तो ऊपर

से आपने परपेंडिकुलर ड्रॉप जो दिया है उसका यहां पर जो बेसिकली लोकेशन है फुट ऑफ परपेंडिकुलर वही तो है ही। बी और सी पे कमेंट नहीं कर सकते। नहीं बी और सी पे कमेंट कर सकते हैं। और यहां पर एक्चुअली सी आंसर आपका करेक्ट है। मतलब आपका थर्ड ऑप्शन करेक्ट है। इस क्वेश्चन में हो क्या रहा है? देखो यहां पर क्योंकि हमने एक फिगर बना दिया है इसलिए हमारा दिमाग नहीं चल रहा। भाई एक सुंदर सा दिखने वाला फिगर आपके सामने है। तो इसका मतलब यह थोड़ी है कि यही फिगर पॉसिबल है। क्योंकि d के

लोकेशन के बारे में देखो इनके कोऑर्डिनेट्स हमने फिक्स कर दिए हैं। A, B और C के कोआर्डिनेट्स हमारे फिक्स्ड हैं। लेकिन क्या आपका D का कोऑर्डिनेट फिक्स है क्या? नहीं है। D का कोऑर्डिनेट फिक्स नहीं है। बस इतना पता है हमें कि आपका जो A और D के बीच का डिस्टेंस है वो चार के बराबर है। जो A और D का डिस्टेंस है वो चार के बराबर है। अब A और D का डिस्टेंस अगर आपका चार के बराबर है तो आप सोचो कैसा एक फिगर इमेजिन कर पाओगे पता है आप? क्योंकि आपको यहां पर अब

ऑल्टीट्यूड भी चेंज नहीं करना है। ऑल्टीट्यूड क्यों नहीं चेंज करना है? क्योंकि वॉल्यूम आपको स्टैटिक रखना है। आपका हाफ ऑफ़ एरिया ऑफ़ बेस समझ रहे हो? हाफ चेंज नहीं होने वाला। एरिया ऑफ़ बेस चेंज नहीं होने वाला। मतलब हाइट भी चेंज नहीं करना है। तभी जाके आपको यहां पर वॉल्यूम एक स्टैटिक क्वांटिटी मिलेगी। तो मतलब मुझे यहां पे ये जो अपना फोर लेंथ है ये भी मेंटेन करना है। और मुझे यहां पर ऑल्टीट्यूड भी चेंज नहीं करना है। लेकिन इन दोनों चीजों को भी मेंटेन करते हुए मैं बहुत सारे अलग-अलग पोजीशंस ऑफ़ D बना सकता

हूं। और D के जो बहुत सारे पोजीशंस यहां पर बन सकते हैं उन पोजीशंस को अगर मैं एक साथ अगर प्लॉट करता हूं तो वो एक प्लेन पे लाई करेंगे। कौन से प्लेन पे लाई करेंगे वो डिस्कस कर रहा हूं। देखो यहां पे। अगर आप यहां पर ऐसा कुछ बनाते हो तो इट कैन लाई ऑन अ प्लेन व्हिच इज बेसिकली पैरेलल। दिख रहा है क्या? पैरेलल ऐसा एक पैरेलल प्लेन बेसिकली आप इमेजिन कर सकते हैं। किसके पैरेलल? यही जो आपका यहां पर ट्रायंगल है उसके पैरेलल। ठीक है ना? इनफैक्ट इसको मैं ऐसा बनाने की कोशिश

करता हूं ताकि आपको यहां पे पैरेलल प्लेन थोड़ा सा और नजर आए। इसी ट्रायंगल को ऊपर उठा दो आप। है ना? इसी ट्रायंगल को ऐसे ऊपर उठा दो। ऐसे उठा पा रहे हो ट्रायंगल के ऊपर? सो ये जो ट्रायंगल का बेस है और ये जो आपका मैंने यहां पे एक प्लेन बनाया ये कैसे हैं? आपके पैरेलल प्लेेंस हैं। अब पैरेलल प्लेन के ऊपर अगर आप यहां पे अपने इस पर्टिकुलर डी को अगर घुमाना स्टार्ट करते हो। सो d को कैसे घुमाऊं? आप यहां पे ऐसा मान के चलो कि आपके पास में ये जो है ये

एक रोड है। ए से लेके d तक आपने एक रोड की तरह इमेजिन करना चाहिए। A से ले डी तक आपको एक रोड है। ऐसा इमेजिन करना है। इस रोड को यहां पर हमने क्या करके रखा है? हिंज करके रखा है। हिंज और फिर बोला है कि डी अब यहां पे तुम घूम सकते हो। इधर-उधर जा सकते हो। लेकिन ये ध्यान रखना कि आपको इस प्लेन को हमेशा टच करना है। डी कैन नॉट फॉल डाउन। डी कैन नॉट फॉल डाउन। व्हाई? बिकॉज़ इफ डी फॉल्स डाउन तो आपका यहां पर जो ऑल्टीट्यूड का डिस्टेंस वैल्यू है

वो चेंज हो जाएगा। सुनो इफ दिस रोड AD फॉल्स डाउन तो आपका यहां पर D का जो डिस्टेंस है बेस है वो चेंज हो जाएगा। तो हम इसको गिरने नहीं दे सकते हैं। इट कैन आल्सो नॉट स्टैंड अप। ये रोड जो है आपकी ऐसी खड़ी नहीं हो सकती। अदरवाइज़ फिर से आपका यहां पर ये डी थोड़ा ऊपर चला जाएगा। मतलब इसको ऐसा एंगल पे ही मेंटेन करके रखना पड़ेगा अपने आपको। ये अगर आपकी रोड इस एंगल पे ही है तब भी आप क्या कर सकते हो? इस तरह का एक कोनिकल सरफेस बना सकते हो क्या?

है ना? यहां पे आपकी हिंज्ड है। आपका जो ऊपर वाला प्लेन है उसके ऊपर डी हमेशा टच किया हुआ होना चाहिए। डी अगर उस पे टच किया हुआ है। डी अगर इस प्लेन को टच कर रहा है तो फिर वहां से ऑल्टीट्यूड का जो ड्रॉप होगा वो हमेशा दो के बराबर होगा। जल्दी बताओ। ये ड्रॉप का लेंथ आपका चेंज नहीं होगा। अगर आप यहां पे क्या कहां रखते हैं? इसको d को इस प्लेन के ऊपर रखते हैं। जो हमने पैरेलल प्लेन बना के रखा है। राइट? और उस चक्कर में आपका यहां पर जो रोड अब

यहां पे एक फिगर बना सकता है वो क्या है? रोड एक कोन बना सकता है। क्या बना सकता है रोड? एक कोन क्रिएट कर सकता है। और ये जो कोन आपका क्रिएट होगा उसका जो एक सर्कुलर बेस है उस पे d कहीं पर भी हो सकता था। मतलब यहां पे एक्चुअली बहुत सारे अलग-अलग टेट्राहेड्रन बनने के चांसेस हैं। समझे? इस तरह के बहुत सारे अलग-अलग टेट्राइड बनने के चांसेस हैं। आप यहां पे कहीं पर भी क्या ले सकते हैं? आप इस पर्टिकुलर जो आपका पर्पल सर्कल है उसके ऊपर डी को कहीं पर भी लोकेट कर

सकते हो। राइट? बट क्या यहां पे इसका मतलब अब मैं डी को कहीं पर भी लेके जा सकता हूं तो E भी इनफाइनाइट हो जाएंगे। क्या? अगर मैं D को कहीं पर भी ले जा सकता हूं तो परपेंडिकुलर ड्रॉप भी कहीं पर भी हो सकता है। फिर तो क्योंकि अगर आपने पॉइंट चेंज कर दिया तो आपके परपेंडिकुलर ड्रॉप की लोकेशन भी चेंज होती जा रही है। नीचे भी एक पूरा सर्कल आप बना सकते हो जो E की लोकेशन को यहां पे दर्शाएगा। यस और नो। लेकिन क्योंकि यहां पे एडिशनल कंडीशन दे रखी है कि E

हैज़ टू बी ऑन द लाइन कंटेनिंग द मीडियन। सो मीडियन वाली लाइन के ऊपर ही क्योंकि आपका ये प्रेजेंट होना चाहिए। क्या प्रेजेंट होना चाहिए? E पॉइंट वहीं कहीं प्रेजेंट होना चाहिए। तो आपके उसमें अब इनफाइनाइट पॉसिबिलिटीज़ D के लिए नहीं बची हैं। लेकिन तब भी दो पॉसिबिलिटीज़ बची हैं। अगर एक आप यहां से परपेंडिकुलर ड्रॉप दे के मीडियन वाली लाइन के ऊपर अगर परपेंडिकुलर ड्रॉप पहुंचा पा रहे हो। तो एक और पॉइंट आप कहीं ना कहीं ढूंढ जरूर पाओगे। जहां से परपेंडिकुलर ड्रॉप देने पर आप वापस कहां पहुंच गए हो? आप मीडियन वाली लाइन

पे ही पहुंच गए हो। समझे क्या? समझे? हां। तो आप यहां पे सवाल को भी एक बार ध्यान से देख सकते हैं। द ऑल्टीट्यूड फ्रॉम द वर्टेक्स D टू द अपोजिट फेस ऑफ़ ABC मीट्स द लाइन कंटेनिंग द मीडियन। लाइन कंटेनिंग द मीडियन। ठीक है ना? तो आपके इसमें यहां पर अगर केवल मीडियन एज अ लाइन सेगमेंट देखोगे तब तो एक ही यहां पे पॉसिबिलिटी थी। लेकिन एक लाइन जो मीडियन के ऊपर से हो के जा रही है तो आपके में यहां पे एक पॉइंट इस तरफ भी आ सकता है और एक पॉइंट इस तरफ

भी आ सकता है। समझे क्या? यस। अब एक बच्चा और भी इंटरेस्टिंग यहां पर जो है लाइव चैट में कांसेप्ट इंट्रोड्यूस करवा रहा है। वो बोल रहा है कि सर अभी हमने जिस तरह से फिगर बनाया है मानते हैं। लेकिन ये भी हो सकता है कि d का हमने मिरर इमेज ले लिया है नीचे। वहां पे भी अगर मैं अपना d मानता तो भी तो मेरे पास में क्या आता? तो भी तो मेरे पास में यहां पर एक टेट्राहेड्रन बन सकता था। यह थोड़ी बोला है किसी ने यहां पर कि आपका बेस मतलब जो है

नीचे ही हो सकता है। बेस आपका ऊपर भी हो सकता है। उल्टा पिरामिड भी तो हो ही सकता है। मतलब ऐसा कोई मतलब ऐसा थोड़ी है कि स्ट्रक्चर यहां पर जो है आइडियल सिनेरियो में स्टैटिक होना चाहिए। है कि नहीं? व्हाई डी कैन बी वर्टिकल? व्हाई डी कैन नॉट बी वर्टिकल? आप यहां पर जो है अपने जो d पॉइंट है उसका डिस्टेंस चेंज नहीं करना चाहते हो। और आप यहां पे AD का डिस्टेंस भी चेंज नहीं करना चाहते हो। जब आप इन दोनों बातों का ख्याल रखते हो कि आप यहां पे AD का डिस्टेंस भी

चेंज नहीं होने देना चाहते हो और आप यहां पे इसका वर्टिकल डिस्टेंस भी चेंज नहीं होने देना चाहते हो। ठीक है ना? तो आपका यहां पर जो D मूवमेंट शो करेगा वो बेसिकली एक पैरेलल प्लेन के ऊपर जो सर्कल है वहां पे ये मूवमेंट शो करेगा। मतलब आपका यहां पर जो रोड है AD वो बेसिकली एक कोनिकल सरफेस क्रिएट करेगा। ऐसा आप यहां पे सोच सकते हो। ये इस क्वेश्चन का कंप्लीट अंडरस्टैंडिंग है। क्लियर है क्या? ई आपका सेम होगा। बिल्कुल। तो यहां पर जो बच्चा नेक्स्ट यहां पे कॉन्सेप्ट इंट्रोड्यूस कराने की कोशिश कर रहा

था वो ये था कि सर हम इसको नीचे भी तो ले सकते हैं। हां नीचे लेने लेने से आपके इसमें d के मल्टीपल वैल्यूज़ निकल कर आएंगे। लेकिन E का तो पोजीशन अभी भी वही रहेगा ना। आप चाहे परपेंडिकुलर ड्रॉप ऊपर से दे दो चाहे नीचे से दे दो। E तो वहीं पे ड्रॉप जाएगा आपका एग्जैक्टली। E की पोजीशन एक्स्ट्रा नहीं मिलने वाली वहां से आपको। और वैसे ये वाला जो D होगा यहां से भी आपका जो परपेंडिकुलर ड्रॉप है एग्जैक्टली इसी पॉइंट पे जाके गिरेगा। सो E के ऊपर अगर मैं यहां पे बात करता

हूं। ई के ऊपर अगर मैं बात करता हूं तो ई के तो दो ही पोजीशंस आ सकते हैं। लेकिन अगर मैं डी की बात करता हूं। सो डी के चार पोजीशंस आ सकते हैं। ऊपर की साइड दो आ सकते हैं और नीचे की साइड भी दो आ सकते हैं। सो क्वेश्चन में अगर डी होता तो चार वाला ऑप्शन फिर आपको यहां पे पिक करना पड़ता। ठीक है? समझ में आई बात? हां जी। डन है। बहुत ही बढ़िया। चलिए तो आप यहां पर फिर से देख सकते हो कि सवाल का जो कैलकुलेशन वाला पार्ट है वो

ज्यादा नहीं है। लेकिन इसके अंदर ये लॉजिकल कॉम्पोनेंट जो इन्होंने इंक्लूड किया है ये बहुत शानदार है। यस और नो अगर बेस आपका इक्विलैटरल ट्रायंगल होगा तो एक ही पॉइंट आएगा। नहीं बेस आपका इक्विलैटरल ट्रायंगल हो चाहे कुछ भी हो फर्क नहीं पड़ता। जिस तरह से इन्होंने क्वेश्चन दिया है। एक आपका परपेंडिकुलर ड्रॉप जो है लाइन सेगमेंट के ऊपर लाई करेगा। मीडियन के ऊपर लाई करेगा और एक एक्सटेंडेड मीडियन के ऊपर लाई करेगा आपका परपेंडिकुलर ड्रॉप। ठीक है ना? एक बार फिर से यहां पर जो है बैठ के इसके बारे में सोचना। अच्छा क्वेश्चन है।

राइट? अ सर व्हाई d कैन बी वेरिएबल एज़ इट इज़ नॉट गिवन इन द क्वेश्चन। हां। तो दैट्स व्हाई इट कैन बी वेरिएबल। d कैन वैरी इट्स पोजीशन बिकॉज़ उसका एग्जैक्ट कोऑर्डिनेट गिवन नहीं है। उसका एग्जैक्ट कोऑर्डिनेट नहीं गिवन है। उसके डिस्टेंससेस गिवन है दो अलग-अलग लोकेशन से। प्लेन से उसका डिस्टेंस गिवन है। एंड देन इस A पॉइंट से भी उसका डिस्टेंस गिवन है। तो इस रिस्ट्रिक्शन की वजह से आपके इसमें यहां पे मल्टीपल डी के लोकेशनेशंस बन पा रहे हैं। ठीक है ना? अब अगला वाला क्वेश्चन भी यहां पर आपको करा रहा हूं ना।

उसके अंदर भी बहुत इंपॉर्टेंट विजुअल्स हैं। तो विजुअल यहां पर समझने की कोशिश करना। ठीक है ना? ये वाला क्वेश्चन करेंगे। बहुत ही प्यारा सवाल है। बहुत ही बढ़िया। ये क्वेश्चन मैंने अपने बैच में कराया था। इनफैक्ट मैं हर साल जब से पढ़ा रहा हूं ये वाला क्वेश्चन तो हमेशा करवाता ही हूं बच्चों को क्योंकि अच्छे सवाल ही तो आपसे करवाने हैं। ठीक है ना? अच्छे सवाल तो करवाने ही पड़ेंगे। कहीं पर भी हो। है ना? इसके पहले भी इतनी अलग-अलग जगह पढ़ाया है। सब जगह कराया क्वेश्चन। हम ये वाला सवाल देखो। और ज्यादा मजेदार

क्वेश्चन है ये। पिछले वाले क्वेश्चन में अगर आपको लॉजिकल डिस्कशन से मजा आया है तो ये वाले क्वेश्चन में और ज्यादा मजा आएगा। देखो क्या हो रहा है। कंसीडर अ राइट पिरामिड विद अ स्क्वायर बेस ABCD ऑफ साइड 2a द हाइट ऑफ द वर्टेक्स V अबव द बेस इज़ A और इसके बेसिस पे आपको यहां पर ये तीन क्वेश्चंस आंसर करके बताना है। और ये तीन क्वेश्चंस तो आंसर हो जाएंगे। चलो ये तीन क्वेश्चन आंसर हो जाएंगे। पहले यहां पर जो है स्ट्रक्चर आप यहां पर देख लो कि आपको अगर बनाना है और इस क्वेश्चन

को सही तरीके से समझना है तो स्ट्रक्चर एक्चुअली बहुत अच्छा बनाना जरूरी है थोड़ा सा इसके अंदर। ठीक है ना? आप यहां पे स्ट्रक्चर पहले इमेजिन करो कि कैसे बन सकता है। तो यार पहले तो आपको क्या दिखाना पड़ेगा पता है? आपको तो एक 3D डब्बा पहले मुझे दिखाना पड़ेगा। तब जाके आप यहां पे रियलाइज़ कर पाओगे कि इस क्वेश्चन में चल क्या रहा है। ठीक है ना? तो 3D डब्बा तो मेरे ख्याल से सबने लाइफ में बनाया ही होगा। है ना? तो आप लोग भी अपने नोटबुक में इसको बना लो। पहले तो एक डब्बा

यहां पर बना लेते हैं पहले तो। इससे क्या हुआ? इससे बेसिकली एक आईडिया लग गया कि अच्छा ठीक है हम यहां पे एक 3D स्पेस की बात कर रहे हैं। एक 3D स्पेस में हम हैं कहीं ना कहीं। अब यहां पे देखो इन्होंने ये जो A B CD आपको यहां पर जो बेस दिया है उसका बेसिकली साइड लेंथ भी इन्होंने कितना 2a के बराबर दिया है। तो कुछ सोच समझ के दिया है इन्होंने। 2a के बराबर अगर इन्होंने यहां पर अगर अपना बेस अगर मैं अपने ये जो बेसिकली बेस है इसी को यहां पर अगर

लेट अस से मान लेता हूं कि हमारा पिरामिड का बेस है। ये जो इस डब्बे का बेस है इस डब्बे का जो बेस है वही हमारे पिरामिड का भी बेस है। राइट? तो मुझे एक पॉइंट और पता करना है वर्टेक्स। है ना? क्योंकि ये सारी चीजें ऊपर जाके एक जगह मिलने वाली है कहीं ना कहीं। ये ऊपर जाके कहीं ना कहीं मिलने वाली है। राइट? अच्छा। तो इफ दैट इज ट्रू तो हम यहां पे क्या बोल सकते हैं इस केस में? इस केस में हम यहां पे जस्ट अ सेकंड गाइस। ओके बच्चे इस केस में

हम यहां पर ये बोल सकते हैं कि यार आप ऐसा करो कि यार ये जो बेस है ना इसका जो डायगोनल का इंटरसेक्शन पॉइंट है उसको ओरिजिन मान के वहीं से अपना वर्टेक्स ऊपर जा रहा है ऐसा सोचो तो आपका बेस्ट यहां पर क्या बन सकता है बेस्ट पॉसिबल आपका यहां पर जो है फिगर इस क्वेश्चन में बन सकता है। ठीक है ना? सुनो ध्यान से। क्या हम बोल रहे हैं? आप यहां पर पहले देखो कि यार आपका जो बेस है पिरामिड का वो तो हम यही वाला जो बेस आपको दिखाई दे रहा है नीचे

उसी को मानना चाहते हैं। लेकिन आपका V कहां पे होगा? क्योंकि आपका राइट पिरामिड है। अब देखो यहां पर ये राइट पिरामिड भी इन्होंने बोला है ये इंपॉर्टेंट है। जैसे पिछले वाले क्वेश्चन में क्या हो रहा है? पिछले वाले क्वेश्चन में जब हम यहां पे परमिशन दे रहे हैं कि आप यहां पे इधर भी कहीं हो सकते हो। तो आप कैसा टेढ़ा-मेढ़ा टेट्राहेड्रन बनेगा? अच्छा सुंदर टेट्राहेड्रन नहीं बनेगा। टेढ़ा सा कुछ टेट्राहेड्रन बनेगा आपका यहां पे। तो बनने दो। उससे क्या फर्क पड़ता है? टेट्राहेड्रन जो है आपका राइट टेट्राहेड्रन होगा। ये तो नहीं बोला किसी

ने। है ना? राइट टेट्राहेड्रन का मतलब क्या होता है? कि आपके जो यहां पे ये वाले तीनों ट्रायंगल्स हैं वो कैसे होंगे? एक जैसे आपके ट्रायंगल्स होंगे। मतलब सिमिट्रिकली यहां पर ये ऊपर जाके टेपरिंग शो करेगा। ठीक है ना? ऐसा यहां पे कहीं बोला नहीं था। लेकिन इस क्वेश्चन में इन्होंने राइट बोला है। राइट पिरामिड अगर बोल रहा है मतलब यहां पे इस स्क्वायर बेस के एकदम बीचोंबीच से जो अगर मैं यहां पे ऑल्टीट्यूड ड्रॉप करता हूं ना ऊपर जाता हूं तो आपको यहां पे वर्टेक्स v कहीं ना कहीं मिलना चाहिए। राइट? सो वर्टेक्स V

आपका कितना दूर है? वर्टेक्स V आपका बेसिकली A डिस्टेंस पे है ना? वर्टेक्स V आपका A डिस्टेंस पे है। ओके? सो इसको यहां पे ऐसे कुछ मार्क कर लेते हैं। A डिस्टेंस पे ये हमारा वर्टेक्स V जाने वाला है। अच्छा और एक चीज़ आप यहां पे कर सकते हैं। आप यहां पे बोल सकते हैं कि यार ये जो बेसिकली हमारा पूरा स्ट्रक्चर है, इसमें क्योंकि ये बीच वाला पॉइंट काफी इंपॉर्टेंट है। तो इस पॉइंट को ही ओरिजिन लेके हम यहां पे अपना फिगर इमेजिन करेंगे। इस पॉइंट को ही लेके हम अपना फिगर इमेजिन करेंगे। इन

द सेंस कि आप ये कह सकते हैं कि आपका जो x एक्सिस है वो एक्चुअली ये डायरेक्शन है। जो आपका y एक्सिस है वो ये वाला डायरेक्शन है। ये कौन सा डायरेक्शन है? ये डायरेक्शन आपके बेसिकली साइड के ही पैरेलल वाला डायरेक्शन मैंने पकड़ लिया है। क्लियर है? तो आपका यहां पर ये जो बेस है उसके ऊपर आपको एक 3D स्ट्रक्चर दिखाई दे रहा है क्या ऑलरेडी? है ना? जल्दी बताओ। और ये आपका क्या हो जाएगा? ये आपका हो जाएगा ओरिजिन। यह क्या हो जाएगा? ओरिजिन। अब इस ओरिजिन को अगर हमने यहां पर मान लिया

तो हमारे यहां पर सवाल थोड़ा अब यहां पे एड्रेस करना इजी हो गया है। सवाल एड्रेस करना इसलिए इजी हो गया क्योंकि अब आप यहां पे क्योंकि अपना जो बेस है उसका लेंथ जानते हो 2a के बराबर है। तो सिमिट्रिकली लोकेटेड पॉइंट से अगर मैं यहां पे अब 2a डिस्टेंस ट्रेवल करना चाहता हूं तो यार a डिस्टेंस इस तरफ a डिस्टेंस इस तरफ साइड तक पहुंच जाएंगे। और अगर मैं वर्टिससेस तक पहुंचना चाहता हूं तो ये चारों वर्टिससेस के वैल्यूज मैं काफी ईजीली लिख सकता हूं। अगर मैं मानता हूं कि यार ये मेरे पास में

जो अवेलेबिलिटी है ये किसकी है? ये डायरेक्शन मेरी x एक्सिस की है। और ये डायरेक्शन मेरी y एक्सिस की है। ठीक है ना? ऑब्वियसली ये जो आपका पर्पल डायरेक्शन में v जाने वाले हो आपका z डायरेक्शन में जा रहा है। राइट? x और y का क्रॉस करके आपको क्या मिलता है? z डायरेक्शन मिलती है। राइट? अच्छा तो ऐसे सिचुएशन को अगर आप नोटिस करते हो अगर आप इस बेस को यहां पे ओरिजिन लेके चल रहे हो। तो a डिस्टेंस इधर और a डिस्टेंस y एक्सिस के अलोंग चलने पर जो आपको यहां पे वर्टेक्स मिल रहा

है इसको हम क्या कह सकते हैं? a 0 कह सकते हैं। फिर आप यहां पे देखते हो कि a डिस्टेंस पीछे जाना है और a डिस्टेंस आगे जाना है। तो इस पॉइंट b को आप क्या कह सकते हो? इसको आप बेसिकली -a a 0 कह सकते हो। समझ रहे हो? आपके यहां पर जो पूरा xy प्लेन है वो जमीन पे गिरा हुआ है। जमीन पे गिरा हुआ प्लेन है आपका। मतलब ये जो पॉइंट है ये आपके थर्ड क्वाड्रेंट में पॉइंट है। राइट? ये वाला पॉइंट आपका थर्ड क्वाड्रेंट में है। आप नेगेटिव x- एक्सिस के अलोंग

चलोगे, नेगेटिव y- एक्सिस के अलोंग चलोगे, aa डिस्टेंस चलोगे तो आप यहां पे पहुंच जाओगे। इसको अगर मैं c कहता हूं तो ये आपका -a, -a एंड ज़ीरो वाला आपका पॉइंट होना चाहिए। एंड ऐसे ही ये जो पॉइंट है आपका ये फोर्थ क्वाड्रेंट में है। a डिस्टेंस x- एक्सिस के अलोंग और यहां पे आपका -a डिस्टेंस आप y-एक्सिस के अलोंग चलने वाले हो। ठीक है ना? तो ये a -a 0 वाला आपका पॉइंट बनेगा। क्या समझ में आया? इज दैट फाइन? लेक्चर सफिशिएंट है क्या? हां, मैंने जहां पर भी पढ़ा है, अगर आप वहां से

पढ़ रहे हैं, तो मैंने तो अपनी हिसाब से ईमानदारी से सारी चीजें पढ़ाई हैं। ठीक है ना? तो आप अगर अच्छे से फॉलो करोगे तो सब कुछ सफिशिएंट है। ठीक है ना? ईमानदारी से फॉलो करो सब कुछ चल जाएगा यहां पे। ठीक है? ओके। कलर कम बढ़ जाते हैं यार। वाइट कलर से कर लेते हैं। चलो। तो अब यहां पे फाइनली मैं क्या करता हूं? फाइनली मैं यहां पर अपना जो प्रिज़्म है उसको भी कंप्लीट कर लेता हूं। इन द सेंस कि यार देखो इसको जॉइ कर देते हैं। फिर इसको जॉइ कर देते हैं। फिर

इसको भी जॉइ कर देंगे एंड इसको भी जॉइ कर देंगे। तो ऐसा कुछ बेसिकली ये जो वाइट कलर से आपको यहां पर जो है फिगर नजर आ रहा है ये क्या हो जाएगा आपका ये आपका बेसिकली प्रिज्म सॉरी आपका क्या कहना चाहिए इसको पिरामिड कंप्लीट हो जाएगा बेसिकली और ये आपका वर्टेक्स भी है। समझे क्या? तो अभी तक हमने वैसे फिगर बनाया है इस क्वेश्चन में। ठीक है ना? लेकिन अब इससे क्या है? एज अ टीचर मुझे यहां पे काफी सपोर्ट मिल जाएगा। जस्ट बिकॉज़ आई हैव दिस ऑन द स्क्रीन। तो यहां पर समझाते समय

मुझे यहां पर एक्सपेक्टेशन है कि आप लोगों को भी वो चीजें दिखाई दे रही होंगी जो मैं बोल रहा हूं। ठीक है ना? आप यहां पे हो सकता है कि रफ फिगर जल्दी से बना के यहां पर क्वेश्चन सॉल्व करना स्टार्ट कर दो अगर आपकी अंडरस्टैंडिंग अच्छी है तो। ठीक है ना? वो बात अलग है। ठीक है ना? बट एज अ टीचर मैंने यहां पर थोड़ा टाइम डेफिनेटली लिया है टू हेल्प यू अंडरस्टैंड कि हो क्या रहा है। और यहां पे हमने डायरेक्टली z एक्सिस के अलोंग बेसिकली a डिस्टेंस ट्रेवल किया है। ऐसे इन्होंने बोल

के रखा है। तो ये 0 a वाला आपका पॉइंट है। ठीक है ना? ओके। वर्टेक्स V को भी वेरिएबल ले सकते हैं क्या? अच्छा अब जिस तरह से मैंने यहां पर ज्योमेट्री कंस्ट्रक्ट कर दी है, अब उसको वेरिएबल नहीं ले सकता मैं। यस आपका यहां पे क्योंकि इसने बोल के रखा है कि आपका जो V है, है ना? वो अबव द बेस कितना जा रहा है? A डिस्टेंस पे जा रहा है। और यहां पे इसने राइट भी बोल के रखा है। राइट बोल के रखा है। मतलब ये एकदम बीचोंबीच ही रहेगा। तो यहां पर हम

इसको ज्यादा डिस्टर्ब नहीं कर सकते अपने फिगर को। ठीक है ना? ओके। अच्छा एक बात और मैं यहां पर चेंज करना चाहता हूं क्योंकि इस क्वेश्चन में आपको आगे चलके कहीं ना कहीं क्या करना है? शॉर्टेस्ट डिस्टेंस ऑफ द वर्टेक्स A फ्रॉम एज BV निकालना है। सो A और BV के बीच का डिस्टेंस आपको बहुत अच्छे तरीके से नजर वैसे नहीं आएगा और क्योंकि फिगर आपका सिमिट्रिक है। इसलिए मैं क्या चाहता हूं यहां पर इनके नाम थोड़ा सा चेंज करना चाह रहा हूं। ठीक है ना? लेट मी जस्ट कीप द नेम्स ऑफ़ A B C

D डी टू बी लाइक दिस। क्योंकि देखो मोस्टली क्वेश्चन आपके डिस्टेंससेस पे अगर बेस्ड हैं तो फर्क नहीं पड़ता कि आपने किस पॉइंट को A, किस पॉइंट को B, किस पॉइंट को C, किस पॉइंट को D बोला है। ठीक है ना? ये करने से क्या होगा? आप जब यहां पे सेकंड क्वेश्चन में जाओगे ना और यहां पे BV बोलोगे। सो BV आपको दिखेगा यहां पे सामने के सामने। पहले पीछे जा रहा था। ठीक है ना? वैसे ही यहां पे जो A है ये सामने के सामने दिखेगा। अदरवाइज़ पहले पीछे जा रहा था। ठीक है ना?

तो हम थोड़ा सा यहां पर नेमिंग हमने यहां पर थोड़ी सी अपने हिसाब से कन्वीनिएंटली चेंज करी है। ओके? ओके। सो अब सोचो आपका पहला क्वेश्चन जो है उसका आंसर क्या आना चाहिए? द लाइन ऑफ द ग्रेटेस्ट स्लोप इन एनी ऑफ़ द ट्रायंगुलर प्लेन इज़ इंक्लाइंड टू द बेस एट एन एंगल ऑफ़ व्हाट? पूछना क्या चाहता है? द लाइन ऑफ द ग्रेटेस्ट स्लोप। स्लोप इन द सेंस लाइन ऑफ़ द ग्रेटेस्ट स्लोप इज़ द मतलब ग्रेटेस्ट एंगल ऑफ़ इंक्लिनेशन। द लाइन ऑफ द ग्रेटेस्ट स्लोप इन एनी ऑफ द ट्रायंगुलर प्लेेंस। सो ट्रायंगुलर प्लेन कितने हैं हमारे

पास में? चार हैं। सामने, राइट में, लेफ्ट में, पीछे की साइड। ऐसे चार ट्रायंगुलर प्लेेंस हैं हमारे पास में। तो उन ट्रायंगुलर प्लेेंस में अगर आप यहां पे कोई सी भी एक लाइन बनाते हो तो उसका मैक्सिमम एंगल ऑफ इंक्लिनेशन कितना हो सकता है? ऐसा हमसे ये पूछ रहा है। मैक्सिमम एंगल ऑफ इंक्लिनेशन कितना होगा? जैसे आपको दो लाइंस नजर आ रही है क्या? देखो आपके यहां पे सबसे क्लीन फेस जो नजर आ रहा है वो एक्चुअली ये वाला है। VBC VBC फेस को थोड़ा सा एनालाइज़ करो क्योंकि बाकी सब भी इसके साथ में सिमिट्रिक

हैं। बाकी सारे जो आपके ट्रायंगुलर फेसेस हैं वो इसी ट्रायंगुलर फेस के साथ में सिमिट्रिक हैं। तो यहां पे अगर कुछ कंक्लूड करते हैं तो बाकी ट्रायंगुलर प्लेेंस में भी वैसा ही कंक्लूजन आएगा। तो डरने की बात नहीं है। ठीक है ना? सो लेट अस फोकस ओनली ऑन BVC वाला फेस। सो आप यहां पर देख सकते हैं कि आपके पास में इस ट्रायंगुलर के ऊपर ऑब्वियसली दो लाइंस हैं। एक आपका VB है और एक आपका VC है। ये ऑलरेडी कुछ एंगल बना रहे हैं बेस के साथ में। बेस के साथ में कितना एंगल बना रहे

हैं? ध्यान से देखो। तो बेस के साथ में ये वाला एंगल बना रहे हैं। राइट? जो आपका यहां पर एक ट्रायंगल बन रहा है VOB VOB यह जो आपका ट्रायंगल बन रहा है उसमें ये जो OBV एंगल है वो बेसिकली ये लाइन बना रही है बेस के साथ में राइट तो ऐसे ही आप यहां पे अपनी लाइन को अगर चेंज करते जाओगे यहां से लेके वहां तक अगर आप अपनी लाइन को लेके जाते हो यहां से लेके वहां तक अगर आप अपनी लाइन को लेके जाते हो ठीक है ना कहां से लेके कहां तक VB

से लेके VC तक तो क्या बीच में यहां पे कोई बड़ा एंगल भी आपको मिल सकता सकता है क्या? यस मिल सकता है। इनफैक्ट आप ध्यान से देखो कि जो एंगल आपका VB बना रहा है बेस के साथ में और जो VC बनाएगा बेस के साथ में वो सेम रहेंगे। वो दोनों एंगल्स आपके सेम रहेंगे। एकदम उसमें कोई बदलाव नहीं होने वाला। ये वाला एंगल भी आपका उतना ही आएगा एग्जैक्टली जिसको अभी मैंने पिंक कलर से यहां पे नोट किया है। लेकिन बीच में अगर आप एग्जैक्टली आ जाते हो मतलब x एक्सिस के ऊपर अगर

आप आ जाते हो। ठीक है ना? तो वो सिचुएशन थोड़ी सी एनालाइज करके देखो। उस केस में क्या होगा? अगर आप एकदम बीच में आ जाते हो तो ये एक्चुअली आपका मैक्सिमम इंक्लिनेशन होना चाहिए। यहां से जो आपली अपने V पॉइंट को देखोगे वो मैक्सिमम एंगल पे आपको नजर आएगा। इसके लिए हम कोई खास कैलकुलेशन नहीं करके दिखाना चाहते हैं। इसके लिए हम थोड़ा सा बस इंट्यूशन ही यहां पर इस्तेमाल करेंगे तो भी हम इस चीज को आंसर कर सकते हैं। कैसे कर सकते हैं? आप यहां पर इमेजिन करो कि जैसे आपके पास में ट्रिग्नोमेट्री

के अंदर वो होते थे ना हाइट्स एंड डिस्टेंससेस वाले क्वेश्चन होते थे। तो आप यहां पे एक आपके पास में एक ग्राउंड है। ग्राउंड के बीच में एक पोल है। पोल के ऊपर लाइट लगा हुआ है। है ना? अब आप यहां पे उसका एंगल ऑफ इंक्लिनेशन स्टडी कर रहे हो। अरे तो एंगल ऑफ इंक्लिनेशन सबसे ज्यादा कब होगा? जब आप उस पोल के नजदीक खड़े रहोगे तो सबसे ज्यादा आपका एंगल ऑफ इंक्लिनेशन बनने वाला है। तो नजदीक कहां पर हो आप? जल्दी बताओ। B से अगर आप इस हाइट को देखते हो इस पोल को देखते

हो B से खड़े हो के इस पोल को देखते हो B से खड़े हो के तो आपको यहां पे ज्यादा गर्दन उठानी पड़ेगी या यहां पे ये X- एक्सिस वाले पॉइंट से देखते हो तो ज्यादा गर्दन उठानी पड़ेगी है ना ये अगर मिड पॉइंट अगर मैं लेके चलता हूं तो सो यहां पे खड़े हो के आपको ज्यादा गर्दन उठानी पड़ेगी। क्यों? क्योंकि आपका यहां पर जो डिस्टेंस है वो मात्र a यूनिट के बराबर है। जो आपका OM डिस्टेंस है फर्स्ट क्वेश्चन का सशन बस इतना ही है। जो आपका OM डिस्टेंस है वो A के बराबर

है। जबकि आपका OB डिस्टेंस जो है वो OC के बराबर है। और वो कितना है? वो आपका A 2 के बराबर है। तो अगर आप पोल से दूर चले जाओगे तो आपका एक्चुअली एंगल ऑफ़ इंक्लिनेशन कम रहेगा। अगर आप पोल के नजदीक आ जाओगे तो आपका एंगल ऑफ़ इंक्लिनेशन ज्यादा रहेगा। मतलब ये जो आपका ट्रायंगल है यहां पे आप सबसे ज्यादा एंगल ऑफ इंक्लिनेशन नोटिस करोगे। लेट मी जस्ट हाईलाइट दैट। ये जो आपका ट्रायंगल है इस ट्रायंगल में जो आप बेसिकली एंगल ऑफ इंक्लिनेशन देखते हो वो आपका मैक्सिमम एंगल ऑफ इंक्लिनेशन होगा। समझ में आया?

और यहां पे ये 45° है। ये निकालने में कोई दिक्कत ही नहीं है। क्योंकि आपका हाइट भी यहां पे A के बराबर है और आपका OM भी A के बराबर है। तो 45° आपका यहां पे एंगल बनेगा ही बनेगा। क्या समझ में आया? बी आंसर इस क्वेश्चन में आपका करेक्ट है। क्लियर? इतना ही करना है इसके अंदर। इसके अंदर इतना ही करना है। कोई टेंशन की बात नहीं है। समझे क्या? यस। ऑलराइट। ऐसे ही अगले वाले क्वेश्चन को आंसर कर सकते हैं क्या आसानी से? द शॉर्टेस्ट डिस्टेंस ऑफ़ द वर्टेक्स A फ्रॉम द एज BV.

A से BV का शॉर्टेस्ट डिस्टेंस कितना है? ये निकालना है आपको। तो अब ये तो अपने आप में एक क्वेश्चन है जिसके अंदर आपको इक्वेशंस वगैरह खुद से जनरेट करनी पड़ेगी। यस v से पास करना है ये तो नहीं बोला है। हां ये बात भी यहां पर जो है बच्चे ने अच्छी सोची कि सर मुझे तो यहां पर कोई ऐसी वाली लाइन के साथ भी तो एंगल ऑफ इंक्लिनेशन ज्यादा मिल सकता है। आप बताओ मिल सकता है क्या? आपको यहां पर ये टेढ़ी लाइन का जो इंक्लिनेशन है क्या ये ज्यादा मिल सकता है? क्योंकि आप

यहां पर सोच के देखो कि आप अगर किसी एक B पॉइंट को पकड़ते हो। B पॉइंट को अगर आप पकड़ते हो और यहां पर आप BC क्रिएट करते हो। BC सोचो BC अगर आप क्रिएट करते हो BC तो BC का तो एंगल ज़ीरो हो गया ना प्लेन के साथ में। BC का जो एंगल है वो तो बेस के साथ में ज़ीरो हो गया। फिर जैसे-जैसे आप ऊपर जा रहे हो वैसे-वैसे आप एंगल बढ़ा तो रहे हो। देखो। समझ रहे हो? तो आप जितना किसी भी एक फिक्स पॉइंट को अगर आप पकड़ लेते हो, किसी एक

फिक्स पॉइंट को अगर आप पकड़ लेते हो और वहां से जीरो एंगल से अगर आप यहां पे ट्रांजिशन स्टार्ट करते हो तो बढ़ते हुए आगे जा रहे हो। जल्दी बताओ। इसके अंदर भी कोई कैलकुलेशन से समझाना नहीं चाह रहा मैं यहां पे आपको। तो जब मैं यहां पे V वाले पोजीशन पे जाऊंगा वही बेसिकली मैक्सिमम पॉसिबिलिटी हो सकता है। अगर मैं B को यहां पे लेके चल रहा हूं तो। सो BV ही यहां पर जो है मैक्सिमम वैल्यू क्रिएट करके देगा। BC आपको लोएस्ट वैल्यू क्रिएट करके देगा। तो हम यहां पे ये V पॉइंट तो

अपने डिस्कशन में इंक्लूड करना ही चाहते हैं। क्या समझ में आया? बट आपका सवाल ठीक है कंसीडरिंग कि हां ऐसा कुछ एक्सप्लसिटली गिवन नहीं था क्वेश्चन में कि आपको V को इंक्लूड करना ही है। तो आपने सोच समझ के V को इंक्लूड करना चाहिए एक्चुअली। ठीक है ना? यस। अच्छा बताओ। शॉर्टेस्ट डिस्टेंस ऑफ़ द वर्टेक्स A फ्रॉम द एज BV कितना होगा? तो उसके लिए हम यहां पर क्या कर सकते हैं? पूरा इक्वेशन वगैरह लिख के काम कर ले अपना। ठीक है ना? आपको यहां पे जो BV का इक्वेशन है वो क्या हो जाएगा? BV

का इक्वेशन लाइन ही तो है ना अल्टीमेटली। क्या हम यहां पे इसके ऊपर लाई करने वाले दोनों पॉइंट्स पता है? B भी पता है, V भी पता है। तो कोई दिक्कत नहीं आएगी। पॉइंट ये वाला इस्तेमाल कर लेते हैं। 0 a मतलब क्या आ जाएगा? x - 0 y - 0 एंड z - a नीचे कितना आ जाएगा? डायरेक्शन? डायरेक्शन कितना आ जाएगा आपका? अह दिस - दिस। है ना? 0 - a करेंगे तो -a आएगा। फिर 0 -a करेंगे तो +a आएगा। एंड देन a - 0 करेंगे तो आपको a मिलेगा। इसको भी आप

क्या कर सकते हैं? थोड़ा सिंपलीफाई कर सकते हैं। कैसे कर सकते हैं? आप यहां पे a कैंसिल आउट करवा लो। कोई दिक्कत नहीं है। क्योंकि डायरेक्शन की ही बात चल रही है ना। तो यहां पे आप -1 लिख सकते हो। यहां पे वन लिख सकते हो। यहां पे वन लिख सकते हो। तो ये जो आपके सामने अभी लिखा हुआ है ये bv का इक्वेशन आ गया। BV का इक्वेशन है आपके पास में और आपके इसमें A का कोऑर्डिनेट है। आपको क्या करना है? आपको यहां पे शॉर्टेस्ट डिस्टेंस बताना है। तो शॉर्टेस्ट डिस्टेंस मतलब क्या हो

जाएगा? शॉर्टेस्ट डिस्टेंस मतलब परपेंडिकुलर ड्रॉप का लेंथ हो जाएगा क्या? परपेंडिकुलर ड्रॉप कहां पे गिर रहा है? है ना? थोड़ा सा और अच्छे से बनाने की कोशिश करते हैं। क्या परपेंडिकुलर ड्रॉप ऐसा कुछ बना दूं इस पे? 90° 90° बेसिकली यहां पे कहीं दिखाई दे रहा है। ठीक है? ऑलराइट। सो ये डिस्टेंस बेसिकली मुझे निकाल के बताना है। ठीक है ना? तो लाइन के ऊपर मुझे परपेंडिकुलर ड्रॉप का लेंथ निकालना है। क्या ये अपने आप में एक सिंपल क्वेश्चन होता है क्या? ये जेईई मेन का एक सिंपल सा क्वेश्चन है कि यार देखो लाइन दे

रखी है मैंने आपको। कितनी दी है लाइन की इक्वेशन? x / -1 y / 1 एंड z - a / 1 क्या करो इसके ऊपर? इक्वल टू लैम्ब्डा करके एक पॉइंट आइडेंटिफाई कर लो। इक्वल टू लैम्ब्डा करके अगर मैं इसके ऊपर कोई एक पॉइंट आइडेंटिफाई करता हूं तो उसको मैं क्या मान लूंगा? इनफैक्ट अगर आप चाहो तो एक सिंपल फिगर यहां पे बना के रख सकते हो। मेरे ख्याल से ये ज्यादा अच्छा रहेगा आपके लिए। ये लाइन इमेजिन करो कि ये वाली लाइन है। ये पॉइंट इमेजिन करो कि आपका a वाला पॉइंट है व्हिच इज़

-a, -a एंड ज़ीरो। इसके ऊपर हम m फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर अगर मानते हैं। है ना? m मत मानो। m हम हमने ऑलरेडी मान लिया है। अ क्या नहीं माना है अभी तक? e नहीं माना है क्या? e मान लेते हैं। चलो। ठीक है ना? सो e हमने यहां पे अगर परपेंडिकुलर ड्रॉप अगर माना है तो हम यहां पे अपना सिंपल सा काम करना चाहते हैं। ठीक है ना? लेट अस फॉरगेट दिस कॉम्प्लिकेटेड फिगर। लेट अस कम टू आवर सिंपल फिगर। एक लाइन है, एक पॉइंट है, डिस्टेंस बताना है सिंपल। ठीक है ना? तो क्या करेंगे

इसको? e को लिखेंगे लैम्ब्डा के टर्म्स में। कितना आ जाएगा ये? x आपका आ जाएगा बेसिकली - लैम्ब्डा के बराबर। - लैम्ब्डा y आपका आ जाएगा बेसिकली लैम्ब्डा के बराबर। एंड ये आ जाएगा आपका लैम्ब्डा + a के बराबर। राइट? अगर ये आपके इसमें x y z के वैल्यू्यूज निकले हैं तो इनकी मदद से हम क्या निकाल सकते हैं? फर्दर हम यहां पे ae वेक्टर निकाल सकते हैं क्या? जल्दी बताओ। आपका ae वेक्टर कितना होगा? सो उसमें से a सब्ट्रैक्ट कर - a और ये सब सारी चीजें सब्ट्रैक्ट करना स्टार्ट करो। सो दिस -a तो

कितना हो जाएगा? -λ + a i कैप। फिर दिस -a तो ये हो जाएगा म्ब्डा + a j कैप एंड देन दिस - 0 तो ये हो जाएगा लैम्ब्डा + a k कैप सही है यहां तक और अगर इतना हमने कर लिया हमने यहां पे अगर ae का यहां पर जो वेक्टर है वो आइडेंटिफाई कर लिया तो उसका लाइन के डायरेक्शन के साथ में डॉट कितना करना है लाइन का डायरेक्शन वेक्टर कितना है -i j जे j k इनका डॉट बेसिकली लिए ज़ीरो होना चाहिए। यहां से क्या आ जाएगा आपका? लैम्ब्डा का वैल्यू आ जाएगा।

ठीक है ना? सो अगर मैं ae = 0 करता हूं। इसका मतलब क्या है? यहां ये आ जाएगा म्ब्डा - a यहां पे आ जाएगा लैम्ब्डा + a और यहां पे आ जाएगा म्ब्डा + a इक्वल टू होना चाहिए ज़ीरो। तो यहां से आपका a हो जाएगा कैंसिल। एंड यहां से आपका लैम्ब्डा का वैल्यू कितना निकल कर आ रहा है? ये आ रहा है आपका बेसिकली - a / 3 के बराबर। है ना? एक बार इसकी कैलकुलेशन भी सारे बच्चे चेक कर लें। हमारा यहां पर लैम्ब्डा कितना निकला है? - a /3 निकला है। ठीक

है? - a /3 अगर आपका यहां पर वैल्यू निकलता है, तो हम क्या करना चाहते हैं यहां पे? हम यहां पे अब इसकी मदद से जो ae वेक्टर है वही निकाल लेते हैं। ae वेक्टर का जो लेंथ होगा वही हमसे पूछा गया है। तो ae वेक्टर कितना होगा? वो यहां पर देख के बताओ मुझे यहां पे ध्यान से। एंड ये कैलकुलेशन भी एक बार चेक करो। थोड़ा सा मुझे यहां पर ठीक नहीं लग रहा। कैलकुलेशन में क्या हमने सब कुछ ठीक किया है? 0 0 एंड देन -a है। उसके साथ में आपका यहां पर जो

a है -a -a 0 हमने यहां पे लेके रखा है। ओके? माइनस माइनस है 0 तो यहां पर आपके पास में आ जाएगा -λ - लैλ हम यहां पर भी हां नहीं ठीक है एंड देन लैम्ब्डा + a इसमें से हमने यहां पे सब्ट्रैक्ट किया है कितना यहां पे आ गया म्ब्डा - a उसके साथ में आ गया है लैम्ब्डा + a यहां पर पर भी आ गया लैम्ब्डा + a ठीक है? तो आपका यहां पर जो कैलकुलेशन है ये ठीक लग रहा है मुझे तो आप लोग एक बार चेक फिर से कर लेना। तो

आपका यहां पर जो बेसिकली ae वेक्टर बन रहा है वो कितना आ जाएगा? ae वेक्टर आपका यहां पर आ जाएगा। जब मैं -a /3 यहां पे रिप्लेस करता हूं। ठीक है ना? कितना हो जाएगा? -a /3 अगर मैं यहां पे डालता हूं तो यहां पे आ जाएगा आपके इसमें +a / 3 a / 3 के साथ में यहां पे अगर मैं कैलकुलेट करता हूं तो 4a / 3 आपका यहां पर बन रहा है। i कैप के साथ में। ऐसे अगर मैं यहां पर करता हूं। यहां पे अगर मैं डालता हूं - a / 3 तो

ये बनता है आपका 2a / 3j कैप के साथ में। और वैसे ही यहां पे अगर मैं देखता हूं तो यहां पर फिर से आपका सेम ही बन जाएगा। व्हिच विल बी हाउ मच? 2a / 3 k कैप के साथ में। और इसका जो मैग्नीट्यूड है वही आपसे पूछा गया है। मतलब कितना आ जाएगा? अंडर रूट के अंदर अंडर रूट के अंदर यहां से आ जाएगा 16a² / 9 यहां पे आ जाएगा 4a² / 9 एंड यहां से आ जाएगा आपका वापस 4a² / 9 तो हम यहां से एटलीस्ट a / 3 तो कॉमन निकाल

ही लेते हैं। अंडर रूट के अंदर कितना बच जाएगा आपका 24 और 24 जो आपका यहां पर बचा है यहां से हम टू भी फर्दर बाहर निकाल सकते हैं। सो हो जाएगा 2a / 3 के साथ में 6 2a / 3 के साथ में 6 ओके ठीक आ रहा है। मतलब पहले वाली कैलकुलेशन भी ठीक ही रही होगी। ठीक है ना? ए ऑप्शन इस क्वेश्चन का करेक्ट ऑप्शन है क्या? यस। ए ऑप्शन इस क्वेश्चन में आपका करेक्ट आंसर बन रहा है। ठीक है? सो यहां पर स्ट्रक्चर समझ के हमने क्या किया है? स्ट्रक्चर समझ के

हमने अपना जो है इक्वेशन जनरेट कर लिया है। पॉइंट हमारे पास में है। तो हमने यहां पर जो स्टैंडर्ड आईडिया होता है लाइन और पॉइंट के बीच के परपेंडिकुलर डिस्टेंस का उसको यहां पर हमने अप्लाई किया है। ऑलराइट। नाउ लेट अस कम टू आवर लास्ट क्वेश्चन ऑफ़ दिस पर्टिकुलर पेज। जहां पर क्या दिया है? एंगल बिटवीन टू एडजेसेंट ट्रायंगुलर फसेस इज़ व्हाट? मतलब अगर मैं यहां पर VAB ट्रायंगल कंसीडर करता हूं, VBC ट्रायंगल कंसीडर करता हूं तो इन दोनों ट्रायंगुलर फेस के बीच में जो एंगल बन रहा होगा वो हमें निकाल के बताना है। तो

एंगल बिटवीन द प्लेेंस कैसे निकलता है? वेरी वेरीेंट। इनफैक्ट ये क्वेश्चन अपने आप में बहुत इंपॉर्टेंट है। एंगल बिटवीन द प्लेन की तो बात चल ही रही है। लेकिन और भी एक इंपॉर्टेंट बात यहां पे डिस्कशन में आने वाली है। यस। बाय इंट्यूजन 120° होना चाहिए। ओके बाय इंट्यूजन बच्चा बोल रहा है 120° होना चाहिए। वेरी नाइस। तो इतना अच्छा अगर आपका इंट्यूशन चल रहा है तो क्या ही कहना है फिर तो अच्छा ये वाले क्वेश्चन को ट्रिग्नोमेट्री से भी कुछ बच्चे कर रहे हैं। बिल्कुल कर सकते हैं। लेकिन मुझे लगता है कि मैक्सिमम स्टूडेंट्स

इस सॉल्यूशन के साथ में ज्यादा एग्री करेंगे। क्योंकि यहां पे हम ये जो काम करते हैं 3D ज्योमेट्री में एक्चुअली हम ज्यादा बार कर चुके होते हैं एज़ कंपेयर टू एनालाइजिंग द फिगर। ठीक है ना? फिगर एनालाइज करने में दिक्कत होती है। ये करना एक्चुअली ज्यादा सिंपल फील आता है। हां एंगल बिटवीन द प्लेेंस के लिए एंगल बिटवीन द नॉर्मल्स का कैलकुलेशन होता है। ये चीज ध्यान रखना बहुत ज्यादा जरूरी है। आप किसी रैंडमली दो लाइंस के बीच का एंगल नहीं बता सकते हैं। ठीक है ना? जैसे आपको अगर इन दोनों फेसेस के बीच में

एंगल बताना है तो आपने बोला कि मैं BA ले लेता हूं, BC ले लेता हूं और BA BC के बीच का एंगल बता देता हूं। नहीं BA BC के बीच का जो एंगल है वो एक्चुअली दोनों के ट्रायंगल ट्रायंगुलर फेस के बीच का एंगल नहीं माना जा सकता। इनफैक्ट वो गलत आंसर है क्योंकि BC BA और BC तो एक्चुअली परपेंडिकुलर है। राइट? तो 90° तो नहीं है यहां पर आंसर आपका। राइट? राइट? सो हम यहां पे आगे बढ़ते हैं और एक बहुत ही इंपॉर्टेंट कांसेप्ट यहां पे जो सीखने वाले हैं जिसकी वजह से मैंने यहां

पे स्टार मार्क लगाया है। उसको भी यहां पे डिस्कस करेंगे। ठीक है? क्वेश्चन नंबर थ्री। सो उसके लिए मुझे यहां पर देखो ये तो करना ही पड़ेगा कि मैं दो नॉर्मल वेक्टर कैलकुलेट कर रहा हूं। n1 वेक्टर किसको कह रहा हूं मैं यहां पे? मैं यहां पे VA और VB को क्रॉस करना चाहता हूं। ठीक है ना? VA और VB को क्रॉस करना है। मतलब क्या है आपका? I कैप, J कैप, K कैप। ठीक है ना? एंड मेहनत शुरू कर दो। VA मतलब दिस - दैट कितना हो जाएगा? -a फिर दिस - दैट मतलब हो

जाएगा आपका वापस -a। एंड देन दिस - दैट मतलब हो जाएगा वापस -a. -a बढ़िया बात है। आप यहां पे अलग निकाल पा रहे हैं तो। राइट? अच्छी बात है। फिर अगर मैं यहां पर देखता हूं कि अगला वाला हमारा यहां पर जो VB है वो कितना बनेगा? दिस माइनस दैट मतलब a -a एंड देन -a a - a -a इज़ व्हाट वी आर गेटिंग। सो यहां से एक काम आप कर सकते हो बिफोर यू स्टार्ट सॉल्विंग। आप यहां से a² कॉमन निकाल सकते हो क्या? अ मतलब आप -a यहां से कॉमन निकालो। -a यहां

से भी कॉमन निकालो। उसको बाहर निकाल के रख लो। ठीक है ना? सो अगर आप a² बाहर निकाल के रख लेते हैं तो अंदर आपके इसमें क्या आ जाएगा? I कैप, J कैप, K कैप और यहां पे सिंपली 1 आ जाएगा और यहां पे आपका -1 1 आ जाएगा। है ना? सो ये भी करना ठीक है। डिटरर्मिनेंट के अंदर से हम रोय रो चीजें कॉमन निकाल सकते हैं। कोई दिक्कत नहीं है। ठीक है ना? तो a² के साथ में अब i कैप के साथ में कितना आ जाएगा आपका? ज़ीरो आ जाएगा। टू है ना? और

k कैप के साथ में आपको कितना मिल जाएगा? k कैप के साथ में आपको मिल जाएगा फिर से टू। राइट? सो, ओवरऑल अगर आप यहां पे देखते हैं, तो एक्चुअली क्या हो रहा है? -a² के साथ में आपको टू अलग निकाल के j कैप - k कैप मिल रहा है। सो मैं यहां पे सिंपलीफाइड वर्शन यूज़ करना चाहूंगा किसके कैलकुलेशन में? आगे चलके जो डॉट वाला कैलकुलेशन मैं ऑलरेडी दिमाग में ले के चल रहा हूं कि मुझे करना होगा उसमें केवल और केवल ये सिंपलीफाइड वैल्यू ही मैं पिक करूंगा j - k। ठीक है? बिल्कुल

ऐसा ही कैलकुलेशन मैं किसके लिए करना चाहता हूं? N2 के लिए भी करना चाहता हूं। ठीक है ना? सो N2 वाला जो कैलकुलेशन होगा उसके लिए मैं क्या करूंगा? यहां पे VB और VC को यहां पे इस्तेमाल करूंगा। ठीक है ना? तो VB क्रॉस VC राइट? सो जब आप यहां पे एक काम करोगे I कैप, J कैप, K कैप तो VB के प्लेस पे तो हमें पता ही है क्या डालना है? a - A - A डालना है। VC कैलकुलेट कर लेते हैं। मतलब दिस - दैट, दिस - दैट, दिस - दैट। तो ये आपका

कितना आएगा? aa - aa - a अगेन आप यहां पे क्या कर सकते हैं? अ -a² कॉमन निकाल लो। इन द सेंस ऊपर वाले से -a कॉमन निकाला है। नीचे वाले से केवल a कॉमन निकाला है। ठीक है ना? सो i कैप, j कैप, k कैप ताकि कम से कम माइनस यहां पे दिखाई देंगे तो अच्छा लगेगा। तो यहां पे -1 1 बनेगा और यहां पे आपका 1 1 -1 बनेगा। ठीक है ना? सो -a² के साथ में आप क्या जनरेट कर पा रहे हैं? i कैप के साथ में कितना हो जाएगा? -2 फिर आपका

-j कैप के साथ में कितना हो जाएगा? 0 एंड देन k कैप के साथ में कितना हो जाएगा? ध्यान से देखें अगर तो ये हो जाएगा आपका -2 के ही बराबर। राइट? सो ये भी आप यहां पे संभाल के रख लो। तो यहां से फिर से आप क्या कर सकते हो? -2 कॉमन निकाल सकते हो। -2 अगर आप कॉमन निकालते हो तो आपको यहां पर मिल जाएगा 2a² के साथ में i कैप + k कैप। सो यहां से मैं केवल i कैप + k कैप ही पिक करना चाहूंगा और यहां से मैं केवल j कैप

- k कैप पिक करना चाहूंगा। इज दैट फाइन? यस। अगर मैं ये सारी चीजें पिक करता हूं और यहां पे इनके बीच का एंगल बताता हूं तो यहां पे एंगल कितना आ रहा है? देखो जरा ध्यान से। कितना आ जाएगा यहां पे? क्या नाम दे दें हम इसको? cos थीटा नाम दे दें। cos थीटा मतलब क्या है? इन दोनों का डॉट इन दोनों का डॉट अगर मैं करता हूं तो कितना आ जाएगा? j - k का डॉट करना है i + k के साथ में। और नीचे आपका आ जाएगा कितना? 2 एंड 2। इसके ऊपर

मोड लगाना चाहिए कि नहीं? क्या हम यहां पे एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स का जो फार्मूला होता है, उसके ऊपर मोड यूज़ करते हैं या नहीं करते? पहले ये बताओ। एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स का जो आपका यहां पर फार्मूला होता है एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स क्योंकि अभी हम एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स ही निकाल रहे हैं। और एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स का जो फार्मूला होता है उसके ऊपर हम मोड इसलिए लगाते हैं क्योंकि हम जानते हैं कि दो वेक्टर्स जब यहां पे इंटरसेक्ट करेंगे तो उनके पास यहां पे हमेशा ही दो आंसर आएंगे। अरे ये चीज़ हमने

पढ़ी है ना क्लास में यार कि अगर मैं क्लास में बोलूंगा कि इनके बीच में एंगल निकाल के बताओ तो क्लास में लड़ाई हो जाएगी। क्योंकि आधे बच्चे बोलेंगे कि ये एंगल है। आधे इस चीज को हमने ऑलरेडी रेक्टिफाई करके रखा है कि दो वेक्टर्स के बीच में आप यहां पर क्या कर सकते हैं? मोड के साथ में जो अपना छोटा एंगल उसको हां लेकिन यहां पे ये भी है अ कि वेक्टर्स लाइन के बीच में सॉरी वाली बात करते हैं। अगर दो लाइंस के बीच में आपके यहां पर जो है एंगल बन रहे होते

हैं। दो लाइंस के बीच के अगर आपके एंगल की बात हो रही होती है तो हम यहां पे कहते हैं कि लाइन के बीच में एंगल मैटर नहीं करता यार। आप ये वाला एंगल भी लाइन के बीच का ही एंगल है। ये वाला एंगल भी लाइन के बीच का ही है। तो हम यहां पर क्या कर सकते हैं? यहां पर हम मोड लगा के ही अपना आंसर बताते हैं ताकि हर कोई एक्यूट आंसर ही बताएं। हमें पता होगा हमेशा कि ऑब्ट्यूस भी एक्सिस्ट हमेशा करेगा। ठीक है ना? लेकिन वेक्टर के बीच में हां वेक्टर के

बीच में हम यहां पे मोड नहीं लगाते ना वेक्टर के बीच में क्योंकि आपका यहां पे अगर एक्यूट एंगल है तो एक्यूट पता चलना चाहिए और ऑब्ट्यूस एंगल है तो ऑब्ट्यूस पता चलना चाहिए। ठीक है ना? तो मोड हटा ले फिर यहां से। है ना? ओके? तो मैं डिस्कशन जो करना चाहता हूं उसको अलग तरीके से करके दिखाता हूं आपको। अभी यहां पर जो आपके इसमें कैलकुलेशन होकर आ रहा है वो कितना आ जाएगा? -1 / 2 आ जाएगा। एंड अगर cosθ का वैल्यू आपका -1 / 2 निकला है। सो थीटा क्लियरली आपका फिर 120°

होना चाहिए। ठीक है ना? कितना होना चाहिए? 120° होना चाहिए। यस। समझ गए भाई? ये रेज़ वेज़ होती हैं। चलो। तो आपका यहां पर जो एंगल है एक्यूट भी हो सकता है, ऑब्वियस भी हो सकता है। तो यहां पे हम मोड नहीं लगाते हैं। ठीक है? सो आपका यहां पर क्या आ जाएगा? 120° यहां पर जो है हमारा आंसर निकल रहा है। हमारा आंसर यहां पे 120° निकल रहा है। ठीक है ना? लेकिन मुझे बताओ कि क्या हर बच्चे का डॉट के साथ में कैलकुलेशन प्लस सॉरी -1 / 2 ही आया होगा क्या? क्या हर

बच्चा जब यहां पे अपनी कैलकुलेशन अपने हिसाब से करेगा तो क्या वो हर बार ही -1 / 2 जनरेट करेगा? जरूरी नहीं है। जरूरी नहीं है कि वो हमेशा यहां पर जो है -1 / 2 जनरेट करेगा। क्यों? क्योंकि हो सकता है कि उसने यहां पे -2a² कॉमन नहीं निकाला था। उसने हो सकता है कि यहां पे कॉमन निकालते समय उसने यहां पर केवल 2a² कॉमन निकाला था। सो अगर ये केवल 2a² कॉमन निकालने वाला एग्जांपल अगर मैं लेके दिखाऊं आपको तो यहां पे क्या हो जाएगा? -j + k उसकी गलती है क्या? ये बताओ

क्या उसकी गलती है? कि उसने यहां पे -2a² कॉमन नहीं निकाला। उसने यहां पे केवल 2a² कॉमन निकाला। और अगर उसने केवल 2a² कॉमन निकाल के बोला कि अच्छा ये वाला मेरा नॉर्मल वेक्टर है और ये वाला मेरा नॉर्मल वेक्टर है। मैं क्या करता हूं? इनको इस्तेमाल करके अपना डॉट कर लेता हूं। तो अगर इनको इस्तेमाल करके अगर वो डॉट करता तो तो यहां पे +1 / 2 आया होता ना उसके पास। क्या आया होता? +1 / 2 आया होता। और +1 / 2 आया होता तो उसके पास में यहां पे डाउट डेफिनेटली आता कि

यार डी ऑप्शन भी तो हो सकता है। फिर डी ऑप्शन नहीं हो सकता क्या? नहीं हो सकता। यही आंसर करना है। ये आपके लिए एक दुविधा हो जाती अगर आपको यहां पे -1 / 2 नहीं मिला होता तो। राइट? ये आपका एक्चुअली डी ऑप्शन सही नहीं है। एक तो आप यहां पे डायरेक्टली स्ट्रक्चर देख के बता सकते हो। है ना? जैसे यहां पर बच्चे बोल रहे थे कि इंट्यूजन से बता दिया सर मैंने कि ऑब्ट्यूस एंगल होगा। तो मैंने तो यहां पर इंट्यूजन से बता दिया कि 120° होना चाहिए क्योंकि बाकी और कोई ऑब्ट्यूस एंगल

हमें दिखाई नहीं दे रहे थे। ठीक है ना? समझे? लेकिन हां ये तो दिख रहा है ऑब्वियस। तो यही चीज़ आपको यहां पे नोटिस करनी है कि आपके पास में यहां पे जब भी इस तरह का क्लोज स्ट्रक्चर होता है तो जब भी एंगल पूछा जाता है पहली बात तो ये ध्यान रखो। ये ध्यान रखो कि आपके पास में यहां पे जो अंदर वाला एंगल है वही हमें बताना है। जो अंदर से आप यहां पे एंगल फील कर पा रहे हो वो आपको बताना है। अंदर से जो आप यहां पे एंगल फील कर पा रहे

हो वो आपको बेसिकली बताना है। ठीक है ना? और वो एंगल आपको अगर निकालना है, तो आप एक और चीज़ यहां पे जो है अच्छी तरीके से कर सकते हो। आप यहां पे हमेशा इस बारे में ख्याल रखो। है ना? इस बात का ख्याल रखो कि आपके पास में जो वेक्टर्स फाइनली कैलकुलेट हो रहे हैं क्या वो दोनों ही वेक्टर्स नॉर्मल वेक्टर आपके दोनों ही बाहर जाने वाले वेक्टर या दोनों ही अंदर जाने वाले वेक्टर हैं क्या? अगर दोनों आपके बाहर जाने वाले वेक्टर हैं तो फिर ये गेम मत खेलो। पहली बात तो उसके साथ

में माइनस साइन वाला गेम मत खेलो उसके साथ। ठीक है ना? वो जैसा बन रहा है उसको बनने दो और यह भी जैसा बन रहा है उसको बनने दो। आप अपना गेम मत खेलो। ठीक है ना? दोनों वेक्टर्स को आप यहां पे बाहर निकालो। ठीक है ना? दोनों वेक्टर्स को बाहर निकालो। मतलब VA क्रॉस VB करके बाहर आएगा। एंड वैसे ही VB VC करके बाहर आएगा। फिर उसके बीच में जो भी एंगल आ रहा है वही आप बता दो। ठीक है ना? इसलिए यहां पर जो है अगर आप बाय चांस अगर गलती से 1/2 क्रिएट

करते हैं तो बस यही बताना चाह रहा था मैं यहां पे कि 60° तब भी आपका आंसर तो नहीं ही होना चाहिए। आपका आंसर तो इस क्वेश्चन में आएगा 120° ही। फिर भले ही आपको यहां पे अपने आप को करेक्ट करना पड़े। ठीक है? आ रही है बात समझ में? तो यहां तो गेम मत खेलो। आप ये वाले गेम मत खेलो। जो भी यहां पर जो कॉमन वार्म निकालने वाला मैंने यहां पर बताया वो मत करो। सिंपली आप यहां पे जो भी बन रहा है वो ले लो। राइट? और फिर उनके बीच में एंगल यहां

पे बता दो। ठीक है ना? चलिए। तो आपका यहां पर फिर से एक और क्वेश्चन अभी हमने सॉल्व किया जिसके अंदर आपकी ज्योमेट्री काफी अच्छी बन रही थी। है ना? अब एक क्वेश्चन यहां पे सॉल्व करते हैं जिसके अंदर आपका थोड़ा सा जो कांसेप्ट का कवरेज है वो भी यहां पर अच्छे से होगा। ठीक है ना? क्योंकि अभी हमने यहां पे क्वेश्चन तो काफी अच्छे सॉल्व किए हैं, लेकिन कुछ-कुछ कांसेप्ट्स अभी भी हम टच नहीं कर पाए हैं। सो, लेट अस कम टू दिस क्वेश्चन। दिस क्वेश्चन विल एक्चुअली टच अपॉन द कांसेप्ट्स जो अभी तक

यहां पे ज्यादा हमने हाथ नहीं लगाए। ठीक है ना? देखो यहां पर क्या है? सबसे पहले आपके पास में यहां पे ए बी सी डी चार पॉइंट्स हैं। और ए बी सी डी पॉइंट्स की मदद से हमने क्या किया है यहां पे? हमने एक पैरेललोग्राम जो है वो तो ऑब्वियसली बनाया ही है। फिर क्या है? पाई नाम का जो यहां पर प्लेन है वो इस पैरेललोग्राम को ही कंटेन करता है। मतलब एक तरीके से पैरेललोग्राम का ही प्लेन क्या है? है वो हम यहां पे अ जो है पाई नाम उसको दे रहे हैं। एंड लेट

L बी द लाइन पासिंग थ्रू दिस पॉइंट एंड पैरेलल टू दिस वेक्टर। ओके? सो करना क्या है हमें यहां पे? डिस्टेंस बिटवीन AB एंड CD बताना है पहले तो। अब ये क्वेश्चन लाइन का क्वेश्चन है। क्योंकि आपकी यहां पर जो पैरेललोग्राम अगर बन रहा है तो AB और CD पैरेलल फेसेस हैं। तो पैरेलल साइड्स के बीच का डिस्टेंस बेसिकली निकालने का ये क्वेश्चन है ये पहला वाला। ठीक है ना? अगला क्वेश्चन है इक्वेशन ऑफ़ प्रोजेक्शन ऑफ़ लाइन L ऑन द प्लेन। आपके पास में एक प्लेन है, एक लाइन है। ठीक है ना? तो अगर आप

इसका प्रोजेक्शन लेते हैं, तो यहां पे इस तरह से इसका एक शैडो बनेगा। तो शैडो वाली जो लाइन है, उसका इक्वेशन आपको निकाल के बताना है। इक्वेशन ऑफ़ मिरर इमेज ऑफ़ द लाइन। है ना? इस लाइन का मिरर इमेज अगर आप निकालते हो, तो फिर से आपके इसमें एक लाइन आएगी। उसका इक्वेशन निकाल के बताना है। ठीक है ना? एंड लास्ट क्या है? इक्वेशन ऑफ़ ए प्लेन। अब आपको एक प्लेन निकाल के बताना है। इक्वेशन ऑफ़ द प्लेन कंटेनिंग द लाइन L लाइन L होना चाहिए उसके ऊपर। बट परपेंडिकुलर टू द गिवन प्लेन बट परपेंडिकुलर

टू द गिवन प्लेन। ये सारी चीजें अभी हमें करके बतानी है। ठीक है? ऑलराइट? चलो तो स्टार्ट करते हैं। थोड़ा समय लग सकता है इस क्वेश्चन को कंप्लीटली एड्रेस करने में क्योंकि यहां पर अलग-अलग क्वेश्चंस हैं सारे। मतलब ये आप मान सकते हो कि चार क्वेश्चन से मिलके एक क्वेश्चन बना है। राइट? लेकिन कॉन्सेप्ट्स भी उतने ही ज्यादा है। इसका मतलब कवर होने वाले हैं। तो चलो खुशी-खुशी करते हैं। है ना? दुख की बात क्या है इसमें? टाइम लगेगा तो यार टाइम तो देने आए हैं डेफिनेटली। है ना? टाइम तो देना ही पड़ेगा। ऑलराइट। सो,

लेट अस फर्स्ट ऑफ़ ऑल इमेजिन अ फिगर लाइक दिस। जहां पे हमारे पास में ए बी सी डी कुछ है। ए बी सी डी है ना? ए बी सी डी इनफैक्ट आपको यहां पे ज्यादा अच्छी तरीके से मार्क करके दिखाता हूं। फिगर अगेन बिकॉज़ बिकम्स वेरी इंपॉर्टेंट। सो ए बी सी डी अगर मैं अपने पैरेललोग्राम में इस तरह से मार्क करता हूं तो मुझे क्योंकि d नहीं पता ना। तो उसको मैं कोने में छोड़ दिया मैंने यहां पे। ठीक है ना? तो क्या है? वैसे तो निकाल सकते हो। और D निकालना है तो कोई बड़ी

बात नहीं है। बेसिकली आपका जो BD का मिड पॉइंट है और जो AC का मिड पॉइंट है वो सेम होना चाहिए। तो एक क्वेश्चन ये भी हो सकता है। एक क्वेश्चन ये भी हो सकता है कि ऑप्शंस में कि फाइंड D फाइंड द कोऑर्डिनेट ऑफ़ D ये भी एक क्वेश्चन हो सकता है। ठीक है ना? ऑलराइट। सो उस केस में हम यहां पे दोनों ही डायगोनल्स के मिड पॉइंट को इक्वेट करके D निकालते हैं। काफी आसानी से आ जाता है। तो इसलिए यहां पर हमने उसको इंक्लूड नहीं किया वैसे डिस्कशन में। आपका यहां पर जो

B है वो 1 0 -1 के बराबर है। एंड आपके पास में यहां पे जो C है ये 1 2 एंड 3 के बराबर है। सबसे पहला सवाल है कि आपको डिस्टेंस बिटवीन AB एंड CD निकाल के बताना है। सो डिस्टेंस बिटवीन AB एंड CD जैसे ही आप इमेजिन करते हो तो क्या ये ऐसा फील होता है कि पॉइंट और लाइन के बीच के डिस्टेंस की ही बात चल रही है। पॉइंट और लाइन के बीच की ही बात चल रही है। क्योंकि मैंने यहां पे d वगैरह निकालने का जो है स्टेप ही हटा दिया। मैंने

बोला कि क्यों? राइट? सो हम यहां पर कहते हैं कि यार ये पॉइंट से C पॉइंट से जो भी ऑल्टीट्यूड आप यहां पर ड्रॉ करते हो AB के ऊपर वो जो डिस्टेंस आपका निकल कर आने वाला है वही क्या हो जाएगा फाइनली आपका इस क्वेश्चन का आंसर बनना चाहिए सो उसके लिए क्या करेंगे आप यहां पे AB लाइन की इक्वेशन लिख लो ab लाइन की इक्वेशन कैसे लिखेंगे ab लाइन की इक्वेशन के लिए पॉइंट ये वाला यूज़ कर लेते हैं सिंपल वाला पॉइंट ओके x - 1 कितना आएगा यहां पे x - 1 उसके साथ

में आएगा y - 0 एंड देन आएगा यहां पे z -1 मतलब मतलब z + 1 डायरेक्शन क्या लेनी चाहिए मैंने यहां पे? डायरेक्शन लेनी चाहिए मैंने। दिस माइनस दैट तो यहां पर आ जाएगा वन। दिस - दैट मतलब आ जाएगा -1 एंड दिस माइनस दैट मतलब आ जाएगा +5। राइट? एक बार चेक कर लूं। इसको सब्ट्रैक्ट किया वन आया। इसको सब्ट्रैक्ट किया -1 आया। इसको सब्ट्रैक्ट किया फाइव आया। तो मेरे पास में ये जो लाइन है ये भी उसकी इक्वेशन आ के रखी हुई है। तो इसको अगर मैं इक्वल टू लैम्ब्डा कर देता हूं

तो मैं यहां पे लैम्ब्डा के टर्म्स में जो आपका फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर है उसको आइडेंटिफाई कर सकता हूं। तो m लैम्ब्डा यहां पे आप लिख के देखो कैसा हो जाएगा। m इन टर्म्स ऑफ लैम्ब्डा राइट ठीक है। सो m इन टर्म्स ऑफ लैम्ब्डा अगर मैं यहां पे लिखता हूं m इन टर्म्स ऑफ लैम्ब्डा तो वो कितना हो जाएगा? ये आ जाएगा आपका लैम्ब्डा + 1 और कितना आ जाएगा आपका - लैम्ब्डा एंड देन यहां पे आ जाएगा 5 लैλ - 1 राइट ऐसा कुछ बन रहा है। और क्या कर सकते हैं? और हम यहां पे

कर सकते हैं ऐसा कुछ कि आप यहां पे अब mc वेक्टर अच्छे से लिख लो। mc वेक्टर या cm वेक्टर नाम दे दो इसको अगर ऐसा लिखना है तो क्योंकि हेड माइनस टेल अगर आपको करने की आदत है तो cm वेक्टर आप इसको नाम दो तो ये पॉइंट है वो पॉइंट है दोनों को सब्ट्रैक्ट करना है तो कितना आ जाएगा आपका लैम्ब्डा i कैप फिर दिस - 2 करेंगे तो यहां पे आ जाएगा आपका माइनस कॉमन निकाल के लैम्ब्डा + 2 j कैप एंड दिस - 3 करेंगे तो यहां पे आ जाएगा आपका इसमें कितना

5λ - 3 k कैप डन है ये जो अब यहां पर बन रहा है ये जो आपका आपका बन रहा है बेसिकली CM वेक्टर। इसका हम क्या करना चाहते हैं? जो ऑलरेडी एकज़िस्टिंग लाइन का डायरेक्शन वेक्टर है उसके साथ में इसका डॉट ज़ीरो करवाना चाहते हैं। तो लाइन का डायरेक्शन वेक्टर कितना है? i कैप - j कैप + 5k कैप और इसको क्या करेंगे? डॉट करके cm डॉटd करके ज़ीरो करवाएंगे। सो कितना आ जाएगा यहां से? लैम्ब्डा आएगा। उसके बाद में आपका लैम्ब्डा + 2 आ रहा है। है ना? माइनस माइनस क्योंकि प्लस हो जाएगा।

और यहां से आपका इसमें कितना आ रहा है? 25 है कि नहीं? यहां पे आपने यहां पर क्या करा है? ओ यार यहां पे थोड़ा सा यहां पर एक कैलकुलेशन मुझे अभी दिख गई तो मैं चेंज कर लेता हूं। यहां पे मेरे ख्याल से ये -4 आएगा। राइट? आप लोगों को भी दिख गई होगी शायद। जल्दी से देख लो यार यहां पे बता दिया करो पहली बार में। हम यहां पे जब सब्ट्रैक्ट कर रहे हैं 5 - लैम्ब्डा - 3 तो कितना हो जाएगा? 5 लैλ - 4 हो जाएगा। ठीक है ना? वापस आते हैं

इसके ऊपर। डॉट करेंगे तो आपके यहां पे लैम्ब्डा आ रहा है। डॉट करेंगे तो लैम्ब्डा + 2 आ रहा है। एंड डॉट करेंगे तो आपके इसमें यहां पे 25 - 20 आ रहा है। ठीक है ना? तो लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी बन जाती है इस केस में? ओके। लैम्ब्डा की वैल्यू काफी गंदी सी यहां पर बन रही है आपकी। है ना? इतनी ही गंदी आती है क्या लैम्ब्डा? जरा चेक करके बताना। -7 / 2 बेसिकली आपकी लैम्ब्डा की वैल्यू यहां पे बन रही है। ठीक है ना? मैं भी एक बार जो है चेक कर लेता

हूं डाटा मेरा क्योंकि क्वेश्चन में वैसे ही काफी ज्यादा समय लगने वाला है। हम ऑलराइट डायरेक्शन भी हमने यहां पर जो है ये वाली पकड़ी है। ठीक है ना? ऑलराइट लेट मी जस्ट चेक वंस अगेन है ना? अह तो आपके यहां पर जो डेटा है उसके हिसाब से मुझे क्या करना है? डायरेक्शन वगैरह सब सही पकड़ा है। राइट? यहां से 1 - 1 एंड 5 पकड़ा है। 1 - 1 एंड 5 पकड़ा है। एंड देन यहां से हमने बेसिकली पॉइंट भी बेसिकली 1 0 एंड -1 ले रखा है। ठीक है ना? सो यहां से हमारा

जो पॉइंट है दैट हैज़ कम आउट टू बी लैम्ब्डा + 1 देन इट हैज़ कम आउट टू बी - लैम्ब्डा एंड देन 5 लैλ - 1 सो लुक्स ओके टिल दिस पॉइंट। सो आपको यहां पर बेसिकली अब निकालना क्या है आपको? CM वेक्टर बेसिकली निकालना है अगेन। तो cm वेक्टर निकालेंगे। एंड cएम वेक्टर का जो मैग्नीट्यूड होगा उसी को हम यहां पर एज अ फाइनल आंसर रिपोर्ट करने में इंटरेस्टेड हैं। ठीक है ना? अच्छा यहां पर ये लैम्ब्डा भी आएगा। 25 लैम्ब्डा आएगा। अच्छा वही यहां पर मैं देख रहा था कि ये मेरा यहां पर

वैल्यू जो है थोड़ा सा गड़बड़ सा लग रहा था मुझे। जो यहां पर चेंज किया है मैंने यहां पे क्योंकि बातें करते मैं यहां पर मैंने इसको चेंज करने में यहां पर जो है लैम्ब्डा रिंगने का रह रहेगा मेरा। ठीक है ना? ओह माय गुडनेस। ऐसा कुछ यहां पर 25 लैम्ब्डा ऐसे गंदा सा कुछ आ रहा है यहां पे। ठीक है ना? इसका डॉट इसके साथ में करूंगा तो लैम्ब्डा आएगा। इसके साथ इसके साथ डॉट करूंगा तो लैम्ब्डा + 2 आएगा। फिर यहां पे मैं क्या करूंगा? इसको इसके साथ में डॉट करूंगा तो 25 लैम्ब्डा

बनेगा क्या? एंड देन आपका -20 आएगा। ऐसे कुछ यहां पर ये क्वांटिटी आपका बन रहा है। तो ये तो और भी गंदा हो गया। कि अच्छा हो गया। ठीक है? सो आपका यहां पर जो क्वांटिटी अब बन रहा है वो जो बन रहा है वही बन रहा है। आप क्या कर सकते हैं? आपका यहां पर बेसिकली हो जाएगा कितना? 27 लैम्ब्डा और उसके साथ में आ जाएगा यहां पे 18 जो कैंसिलेशन में वैसे ठीक बन रहा है वैल्यू आपका अल्टीमेटली 2 / 3 के बराबर फिर आपका लैम्ब्डा निकल कर आ रहा है। ठीक है ना?

पानी पी लिया जाए थोड़ा सा। हां जी। 25 लैम्ब्डा आएगा। थैंक यू सो मच। तो आपका यहां पर जो बेसिकली अभी 2 / 3 निकला है इसको हमें कहां पे डालना चाहिए? इसको हमने अपने जो CM वेक्टर है उसी के अंदर डाल देना चाहिए। उसके अंदर डाल के CM वेक्टर आ जाएगा। उससे आपका मैग्नीट्यूड जो आएगा वही आपका एक्चुअली रिक्वायर्ड आंसर होना चाहिए। तो CM वेक्टर आपका यहां पर कितना आ जाएगा? 2 / 3 अगर यहां पे डालते हैं तो 2 /3 i कैप फिर उसके बाद में 2 /3 अगर यहां पे डालेंगे तो कितना

हो जाएगा ये? 2 /3 अगर यहां पर डालते हैं तो ये हो जाएगा आपका 6 एंड देन -8/3 -8/3 j कैप हम और यहां पे अगर मैं डालता हूं तो ये कितना हो जाएगा? ये हो जाएगा आपका यहां पे 10 - 12 - 2 / 3 k कैप। ठीक है ना? ये आपका बेसिकली जो है cm वेक्टर निकला है। इसका मैग्नीट्यूड निकालना हमारा टारगेट बनता है। ठीक है ना? तो cm वेक्टर का मैग्नीट्यूड कितना है? यहां पे कर लें छोटे से में। तो cm वेक्टर का मैग्नीट्यूड कितना हो जाएगा? ये हो जाएगा आपका अंडर रूट

के अंदर इसका स्क्वायर इसका स्क्वायर इसका स्क्वायर मतलब यहां पे आ जाएगा 4 / 9 उसके साथ में आ जाएगा आपका 64 / 9 एंड देन यहां पे आ जाएगा 4 / 9 ठीक है ना? ये आपका बेसिकली कैलकुलेशन अभी बन रहा है। ठीक है ना? तो कोई राहत राहत मिली क्या? 2 2 आया। अरे वाह क्या बात है। 2 2 यहां पर हमारा वैल्यू एक्चुअली मैच कर गया है। मतलब ये आंसर आपका करेक्ट आंसर है। फर्स्ट ऑप्शन आपका करेक्ट है। ठीक है? ये वाला पार्ट तो मेरे ख्याल से हमने पहले भी किया हुआ है।

जल्दी बताओ। अभी किया था क्या हमने ये पार्ट? जो भी हमने अपना ये वाला क्वेश्चन किया था ना पिरामिड वाला। उसके अंदर भी सिमिलर सिनेरियो था। राइट? कि एक लाइन है, एक पॉइंट है। वहां से आपको परपेंडिकुलर ड्रॉप निकाल के बताना है। ये डिस्टेंस निकाल के बनाना है। ये हमारा सवाल था। जहां पर हमने सेम ही काम किया था कि यार हमने यहां पे लाइन के ऊपर एक पॉइंट मान लिया है लैम्ब्डा के टर्म्स में एंड उससे हमने यहां पर ये वेक्टर का मैग्नीट्यूड निकाल लिया था। राइट? सेम चीज हमने यहां पर करी है। तो

इस क्वेश्चन में एज सच नया नहीं था कुछ। है ना? लेकिन यहां पे हमें अभी आधा या 1/4 ही क्वेश्चन एड्रेस करते आया है। ठीक है ना? अब आगे चलते हैं। और अब यहां पे प्रोजेक्शन जो लाइन का है उसकी इक्वेशन बताने की कोशिश करेंगे। ठीक है ना? तो अब यहां पर ये चीज है थोड़ी सी नई। इसको डिस्कस करते हैं। बढ़िया है। सेकंड पार्ट यहां पर ऑप्शन टू जो है इसको डिस्कस करते हैं। क्या हो रहा है आपके पास में? बेसिकली ऑलरेडी एक प्लेन है। आपके पास में ऑलरेडी एक प्लेन है। राइट? इक्वेशन ऑफ़

द प्रोजेक्शन ऑफ़ द लाइन ऑन द प्लेन पाई। प्लेन पाई कहां है भाई? प्लेन। अच्छा वो ये वाले जो आपके कोऑर्डिनेट्स हैं इनकी मदद से मुझे निकालना पड़ेगा। अभी हमने निकाला नहीं है। ठीक है ना? लेकिन मुझे ऑलरेडी इसके ऊपर लाई करने वाले क्या है? तीन पॉइंट्स पता है। तो मैं पाई प्लेन यही है। ऐसा मान के चलता हूं। ये मैंने लेट अस से निकाल लिया। ठीक है ना? Okay। और मुझे अब यहां पे एक लाइन भी जो है अ क्या मुझे दी हुई है लाइन? लाइन भी एग्जैक्टली दी हुई नहीं है। लेकिन मुझे यहां

पर पॉइंट एंड डायरेक्शन उसका डेफिनेटली पता है। ठीक है ना? सो लाइन का मुझे क्या पता है? लाइन का मुझे पोजीशन उसके ऊपर लाई करने वाला एक पॉइंट एंड देन उसका डायरेक्शन भी पता है। तो वो कहीं ना कहीं जाके इंटरसेक्ट तो कर ही रही होगी। तो यहां पर मान लेते हैं कहीं ना कहीं इंटरसेक्ट कर रही है। इसके ऊपर ल करने वाला कोई एक पॉइंट है जो हमें पता है। वो पॉइंट का वैल्यू कितना है? उस पॉइंट का वैल्यू आपका 2 1 एंड 0 के बराबर है। राइट? सो आपका ये जो सवाल है इक्वेशन

ऑफ़ प्रोजेक्शन ऑफ़ लाइन L ऑन पाई। इसको अगर आप यहां पे इमेजिन करते हैं तो आपकी लाइन कैसे बनने वाली है? लाइन कैसे बनने वाली है? लाइन आपकी कुछ ऐसे ही इमेजिन करो आप कि यार हर एक पॉइंट का प्रोजेक्शन इमेजिन करो। इसका भी प्रोजेक्शन कहीं ना कहीं आएगा। फिर इसका भी प्रोजेक्शन कहीं ना कहीं आएगा। इसका भी प्रोजेक्शन हर एक पॉइंट का प्रोजेक्शन ले लो ना। तो हर एक पॉइंट का प्रोजेक्शन लेने पे अगर आप उन सभी पॉइंट्स को जॉइन करते हो तो वो जो लाइन आपको बनते हुए नजर आएगी वही आपका क्या हो

जाएगा? वही आपका भाई साहब क्या हो गया ये? कुछ अलग ही हो गया। हां, वही आपका क्या हो जाएगा? प्रोजेक्टेड लाइन का यहां पर फिगर हो जाएगा। इज दैट क्लियर? आप हर एक पॉइंट का प्रोजेक्शन निकालने की कोशिश करो। राइट? तो ये जो वाइट कलर से आपको दिखाई दे रहा है यही आपकी प्रोजेक्टेड लाइन की इक्वेशन है। यह आपका कांसेप्ट है। क्या कांसेप्ट समझ में आया? प्लेन के पैरेलल रहेगा। हां, प्लेन के पैरेलल रहेगा। इनफैक्ट प्लेन के ऊपर ही रहेगा। इस प्लेन के ऊपर ही रहने वाला है वो प्रोजेक्शन का जो भी यहां पर वैल्यू

आपका बनने वाला है। ठीक है ना? सो, हम यहां पे क्या बोल सकते हैं कि अब देखो, आपको ये वाइट लाइन की इक्वेशन निकालना है ना। वाइट लाइन की इक्वेशन निकालने के लिए आप क्या कर सकते हैं? एक तो यहां पर जो पॉइंट ऑफ़ इंटरसेक्शन है उसको कैलकुलेट कर लो। पॉइंट ऑफ़ इंटरसेक्शन जो है इसको अगर मैं लेट अस से नाम दे देता हूं यहां पे लेट अस से A. A कहीं यूज़ किया है क्या हमने इसके पहले? A यूज़ किया है। अच्छा A जाने दो। P Q कर लें इसको। Q कहीं पे यूज़ नहीं

किया। तो एक तो हम पॉइंट ऑफ़ इंटरसेक्शन यहां पर जो है निकाल सकते हैं। काफी ईज़ली प्लेन और लाइन का प्लेन और लाइन का वो यहां पे निकाल के रख लेते हैं। एंड प्लेन की इक्वेशन अगर मेरे पास में है तो मैं यहां पे फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर भी ईज़ली निकाल सकता हूं। फुट ऑफ परपेंडिकुलर लेट अस से आपने यहां पे r निकाला है। राइट? तो अगर मेरे पास में यहां पर वाइट लाइन के ऊपर लाई करने वाले दो पॉइंट्स आ जाएंगे तो उनको ज्वाइन करके मैं क्या कर सकता हूं? उनको ज्वॉइ करके मैं यहां पर

अपने प्रोजेक्टेड लाइन की इक्वेशन निकाल सकता हूं। क्या ये बात समझ में आ रही है? आई बात समझ में? तो ये दो काम करना है। अब दोनों काम करने में यहां पर कैलकुलेशन देखो करनी पड़ेगी। आपको सबसे पहला कैलकुलेशन जो करना पड़ेगा वो तो यही है कि यार मुझे प्लेन का इक्वेशन निकालना पड़ेगा। पाई प्लेन का इक्वेशन। ठीक है ना? तो आपके पास में यहां पे a b c क्या-क्या है वो देखते हैं जरा। आपका जो A है वो है बेसिकली 2 - 1 4 जो आपका B है 1 0 - 1 और जो आपका

C है वो है 1 2 3 तो प्लेन की इक्वेशन डायरेक्टली हम अपने डिटरर्मिेंट फॉर्मूले से निकाल सकते हैं क्या? डिटर्मिनेंट फॉर्मूले से हम अगर प्लेन की इक्वेशन निकालने की कोशिश करें तो इक्वेशन ऑफ़ प्लेन क्या हो जाएगी? इक्वेशन ऑफ़ प्लेन हो जाएगी यहां पर। सबसे पहले आपको लिखना है यहां पे x - x - कोई सा भी एक पॉइंट उठा सकते हैं। तो यहां पर ये सिंपल लग रहा है। तो ये उठा लेते हैं। x - 1 कर लेते हैं। y - 0 कर लेते हैं। एंड देन z -1 मतलब z + 1 कर

लेते हैं। और इसी चीज को सब्ट्रैक्ट करना आसान है बाकी दोनों में से। तो नीचे क्या कर लेंगे? नीचे यहां पर ab में से सब्ट्रैक्शन की जो वैल्यूज़ हैं यहां लिख लेंगे। एंड bc वाले सब्ट्रैक्शन की वैल्यू नीचे लिख लेंगे। ठीक है ना? ये क्या होता है? पता है ये डिटर्मिनेंट फॉर्मेट में आपके प्लेन की इक्वेशन लिखने का डायरेक्ट फार्मूला है। अगर आप अगर ये नहीं करना चाहते तो आप यहां पर क्या करोगे? ab और bc का क्रॉस करोगे। ab bc का क्रॉस करके नॉर्मल वेक्टर आएगा और नॉर्मल वेक्टर की मदद से आप पॉइंट किसी

भी एक को यूज़ कर लेना। तो वहां से आपका प्लेन का इक्वेशन उस तरह से भी निकाला जा सकता है। ठीक है ना? अदरवाइज़ डिटरर्मिनेंट सॉल्व कर लो। सो डिटरर्मिनेंट के अंदर क्या-क्या आ जाएगा? इनका सब्ट्रैक्शन आया है। है ना? इनका सब्ट्रैक्शन कितना है? वन है। इनका सब्ट्रैक्शन कितना है? -1 है। इसका सब्ट्रैक्शन कितना है? पांच के बराबर है। इनका सब्ट्रैक्शन कितना है? ज़ीरो है। इसका सब्ट्रैक्शन कितना है? दो है। इसका सब्ट्रैक्शन कितना है? चार के बराबर है। ठीक है ना? बस ये आपका इक्वेशन ऑफ़ प्लेन है। इसको एक बार ओपन करके देख लेते हैं।

ओके? ओके बॉयज एंड गर्ल्स लेट्स डू इट। तो x - 1 के साथ में आपको कितना मिल रहा है? X -1 के साथ में आपको कितना मिल रहा है? -4 एंड देन -10 -4 एंड -10 तो -14 ही मिल गया भाई साहब। ठीक है ना? उसके बाद में आपके पास में y - 0 मतलब - y के साथ में कितना मिल रहा है? -y के साथ में आपको मिल रहा है डायरेक्टली फोर। ये थोड़ा छोटा सा वैल्यू मिला हमें। ठीक है? एंड वैसे ही z + 1 के साथ में हमें क्या मिल रहा है? z

+ 1 के साथ में आपको यहां पर मिल रहा है टू। ये भी छोटा सा वैल्यू मिल गया। दिस इक्वल टू 0 बेसिकली हमारा प्लेन बन रहा है। ठीक है ना? क्रॉस प्रोडक्ट का यूनिट वेक्टर लेना जरूरी होता है ना? ये जरूरी नहीं होता। क्रॉस प्रोडक्ट का यूनिट वेक्टर लेना जरूरी नहीं होता। है ना? लेकिन आप अगर यूनिट बनाते तो उससे कैलकुलेशन थोड़ी सिंपल हो जाती है। यूनिट से नहीं कैलकुलेशन सिंपल होती है। एक्चुअली यूनिट वेक्टर तो कभी भी नहीं लेना होता। ठीक है ना? एक बच्चा डाउट पूछ रहा था इसलिए बता दिया। यहां पे

क्या आ रहा है आपके उसमें? -14x एंड +4 - 4y - 4y एंड देन यहां पे आपका आ रहा है 2z + 2 = 0 ठीक है ना? कांस्टेंट एक बार अगर मैं ध्यान से देखता हूं यहां पे यार आज कैलकुलेशन में कुछ तो यहां पर काम किए है मैंने। है ना? अगेन आई फील कि एक बार मैंने इस प्लेन की इक्वेशन चेक कर लेनी चाहिए। ठीक है? सो अगर मेरे पास में यहां पे इस तरह का कैलकुलेशन आ रहा है -14x है। उसके साथ में -4y है। एंड मेरे पास में 2z है। एंड साथ

में मेरे पास में 16 है = 0। तो यहां से -2 से अगर मैं कैंसिलेशन करवाता हूं तो मेरे पास में क्या आएगा? अ 7x आएगा। फिर आपके यहां पे 2y आएगा। -z आएगा। -8 आएगा। ठीक आया इस बार। ठीक है? इतनी बुरी हालत नहीं हुई है। बुढ़ापा नहीं आया अभी है ना? सो ये आपका प्लेन वन जो है उसको हमने कैलकुलेट कर लिया है। ठीक है ना? अब इसके रिस्पेक्ट में आपको क्या-क्या चीजें करनी है? एक तो आपको इस पॉइंट से फुट ऑफ परपेंडिकुलर निकालना है और इस पर्टिकुलर लाइन के साथ में आपको पॉइंट

ऑफ इंटरसेक्शन निकालना है। ठीक है ना? सो आप यहां पर क्या करेंगे? आप यहां पे पहले तो ये लाइन ही लिखना चाहोगे। ठीक है ना? लाइन की इक्वेशन क्या लिखोगे आप? लाइन की इक्वेशन क्या लिखोगे? यहां पे लिखें। लाइन की इक्वेशन लिखने के लिए आपके पास में जो पॉइंट है वो क्या है? x - 2 फिर y - 1 एंड z - 0 डायरेक्शन क्या है आपकी? डायरेक्शन दे रखी है इन्होंने कि ये जो लाइन है ये बेसिकली ij k वाले डायरेक्शन में जा रही है। मतलब वन वन वन यहां पे नीचे आ जाएगा। तो

अगर मैं इस पर्टिकुलर लाइन और इस पर्टिकुलर प्लेन का क्या निकालना चाहता हूं? इंटरसेक्शन पॉइंट निकालना चाहता हूं। तो कैसे निकलेगा? इस वाला इस वाले लाइन को लैम्ब्डा से इक्वेट करते हैं। इसको लैम्ब्डा से इक्वेट करके जो पॉइंट आएगा उसको बेसिकली यहां पे सेटिस्फाई करवा देंगे। ठीक है ना? तो पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन वहां से निकल कर आएगा। ठीक है ना? तो यहां से मेरा जो q है उसको अगर मैं लैम्ब्डा की टर्म्स में लिखना चाहता हूं तो q इन टर्म्स ऑफ़ लैम्ब्डा कितना आ रहा है यहां से? म्ब्डा + 2 फिर यहां से आ जाएगा

आपका लैम्ब्डा + 1 एंड ये आ जाएगा लैम्ब्डा। इसको उठा के डाल देते हैं ऊपर वाले प्लेन में। क्योंकि पॉइंट ऑफ़ इंटरसेक्शन है ना। पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन ऐसे ही निकलता है। एक लाइन एक पॉइंट जो इसके ऊपर लाई करता है। एंड देन Q में स्पेशल बात ये है कि वो प्लेन के ऊपर भी लाई करेगा। ठीक है ना? सेटिस्फाई अगर मैं इसको करवाता हूं तो क्या बनेगा? इसका मतलब यहां पे आ जाएगा आपका 7 लैλ + 14 यहां पे आ जाएगा 2 मल्टीप्लाई करके आपके इसमें 2 लै्ब्डा + 2 और यहां पे आ जाएगा -

लैम्ब्डा - 8 = 0. सो लैम्ब्डा कितना है? उसको एक बार नोटिस करें जरा। ये आ जाएगा आपके इसमें कितना? ये आ जाएगा आपका एट। राइट? ये आ जाएगा 8 लैλ। कांस्टेंट की अगर हम यहां पर बात करते हैं तो ये हो जाएगा आपका +8 के बराबर। लैम्ब्डा आपका काफी बढ़िया आ गया। लैम्ब्डा आ गया -1 के बराबर। ठीक है ना? लैम्ब्डा इस क्वेश्चन में आया है -1 के बराबर। आप लोग भी एक बार कैलकुलेशन चेक कर लें सारे बच्चे। लैम्ब्डा अगर आपका -1 आया है तो यहां से हम क्या निकाल सकते हैं? यहां से

हम बेसिकली अपना अब जो q है उसको आइडेंटिफाई कर सकते हैं। एंड इसको अभी संभाल के रखना है। ये जो हमारे पास में आया है ये कुछ भी नहीं है अभी तो। क्योंकि दिस इज़ जस्ट वन ऑफ़ द पॉइंट्स। ऐसे ही एक और पॉइंट निकलेगा और उन दोनों का जॉइन जो है वो आपका आंसर है। है ना? उसको जॉइन करते हुए जो लाइन मिलेगी वो आपका फाइनल आंसर बनेगा। ठीक है ना? लेकिन क्या है बेटा? क्वेश्चन क्वांटिटी पॉइंट ऑफ व्यू से भले ही आप कम करो लेकिन ऐसा क्वेश्चन करो कि यार पूरे कॉन्सेप्ट ही रिवाइज़

करके चला गया हो एक क्वेश्चन। ठीक है ना? तो यहां पे आएगा आपका वन। यहां पे आएगा आपका ज़ीरो और यहां पे आएगा -1। और यह करते से ही दिखना चाहिए कि यार ये तो एक्चुअली था आपके पास पहले से आपके 10 -1 तो पहले से था इस क्वेश्चन में। मतलब ये जो q निकला है जो आपका एक्चुअली इंटरसेक्शन पॉइंट है वो एक्चुअली जो B पॉइंट इन्होंने दे के रखा है क्वेश्चन में वही है। बट ये पहले से पता करने का कोई तरीका थोड़ी था हमारे पास में। है ना? ये तो अब कैलकुलेट कर लिया।

इतनी मेहनत कर ली तब जाके पता चला कि यार ये तो वही वाला पॉइंट निकल गया। ठीक है ना? तो q इज़ बेसिकली सेम एज B. Q इज़ सेम एज B इन दिस क्वेश्चन। दैट्स फाइन। हमें बुरा नहीं लगना चाहिए इस पॉइंट पे आके। है ना? बस ऐसे ही बता दिया मैंने कि यार सेम ही निकला है। R पॉइंट के लिए हम क्या करेंगे? R पॉइंट के लिए वी आर वेरी कंफर्टेबल। क्योंकि हमें यहां पे डायरेक्टली फार्मूला पता है। प्लेन उठाते हैं। पॉइंट उठाते हैं। डायरेक्टली फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर का फार्मूला अप्लाई करते हैं। ठीक है

ना? तो फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर का फ़ूला अप्लाई करने के लिए प्लेन क्या है आपका? पाई नाम का जो प्लेन है 7x + 2y - z - 8 = 0 7x + 2y - z - 8 = 0 पॉइंट इज़ बेसिकली 21 पॉइंट इज़ बेसिकली 21 सो करना है हमें यहां पर क्या फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर कैलकुलेट करना है। अगेन वेरीेंट फॉर रिवीज़ पर्पस फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर। फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर का यहां पे कैलकुलेशन कैसे होता है? x - x1 / a x - x1 / a x1 y1 यहां से उठेगा। x1 y1 z1 और a c यहां

से आने वाला है। x - x1 / a y - y1 / b एंड z - z1 z - z1 / c ऐसा निकलेगा। इक्वल टू में कितना आ जाता है? इक्वल टू में बेसिकली आपका जाता है - ऑफ़ ax1 + by y1 + c है ना? यहां पर ये इनपुट में जाएंगे एक-एक करके। ठीक है ना? तो ये आ जाएगा आपका 14 एंड 2 एंड देन 0 एंड -8 और नीचे आएगा आपका यहां पे a² + b² + c² तो ये आ जाएगा आपके इसमें कितना 49 50 एंड 54 आपको यहां पर मिल रहा

है। राइट? ऊपर अगर आप ध्यान से देखते हैं तो आपको यहां पर क्या मिलेगा? -8 मिलेगा। नीचे आपको 54 मिलेगा। जिसको सिंपलीफाई करके आप -4 / 27 बोल सकते हो। वैल्यू थोड़ी सी खराब आ रही है। है ना? लेकिन कुछ नहीं कर सकते इसका। ठीक है ना? ये ऐसे ही चलेगा। तो एक-एक करके अब मैं कंपेयर अगर करता हूं तो मेरे पास में x की वैल्यू आएगी, y की वैल्यू आएगी। एंड देन z की वैल्यू आएगी। एंड आई नीड टू बेसिकली देन फाइंड द इक्वेशन ऑफ़ QR. ठीक है ना? तो R पॉइंट हम यहां पे

इसका मतलब निकाल रहे हैं यहां पे। फुट ऑफ़ परपेंडिकुलर मतलब। सो R पॉइंट कितना आ जाएगा? से इसके अंदर मल्टीप्लाई करो। से इसके अंदर मल्टीप्लाई करोगे तो ये कितना हो जाएगा? - 28 / 27 एंड टू अगर उस तरफ जाएगा तो कितना हो जाएगा? तो 54 - 28 तो 26 / 27 ऐसा कुछ आपका यहां पर बन रहा है क्या? एक बार चेक करके देखना। ओके। सही किया ना? हम सो आपका यहां पर जो नेक्स्ट है कैलकुलेशन उसको भी कर लेते हैं। यहां पर हम अगर इसके अंदर टू मल्टीप्लाई कराते हैं तो -8 / 27

एंड वन अगर उस तरफ जाएगा वन अगर उस तरफ जाएगा तो 1 - 8 / 27 तो ये आ जाएगा 19 / 27 और वैसे ही आप यहां पे लास्ट वाले को कैलकुलेट करते हो तो ये आता है आपका 4 / 27 ये वाली कैलकुलेशन एक बार सारे बच्चे चेक कर लें। ठीक है ना? ओके। ये वाली कैलकुलेशन में एक बार देख लो। ये हमने क्या निकाला है? हमारे यहां पे A B C के वैल्यू सॉरी हमने यहां पर अभी R के कोऑर्डिनेट्स भी निकाल लिए हैं। राइट? सो R का कोऑर्डिनेट आपका यहां पर जो

निकला है दैट हैज़ कम आउट टू बी दिस पॉइंट। ठीक है ना? क्या-क्या निकला है हमारा यहां पे? 26 / 27, 9 / 27 एंड देन 4/27। भाई साहब बहुत ही गंदे पॉइंट आए इनकी मदद से लेकिन अब लाइन की इक्वेशन लिखना आपका टारगेट है तो थोड़ा और गंदगी यहां पर फैलाते हैं। क्या ही कर सकते हैं? सवाल ने हमें यहां पे इस डायरेक्शन में सपोर्ट नहीं किया कि यार वैल्यूज अच्छे आ जाए कम से कम तो कुछ नहीं कर सकते हैं। है ना? तो आपके में यहां पर जो है दिमाग में क्या होना चाहिए

कि यार एक तो मेरे पास में पॉइंट है कौन सा वाला? एक पॉइंट है मेरे पास में बहुत ही अच्छा q पॉइंट जो b के ही समान है व्हिच इज 1 0 - 1 और एक पॉइंट है r जो बहुत ही गंदा पॉइंट निकला है। ठीक है ना? जो ये है। ओके। सो अगर मैं यहां पे इस लाइन की इक्वेशन लिखना चाहता हूं तो एक बात तो मैं यहां पे गारंटी करूंगा कि यार ये 1 0 -1 से पास होना चाहिए। तो अगर मैं ऑप्शन में यहां पर देखता हूं तो 1 0 - 1 क्या

है क्या इसके अंदर? 1 0 - 1 डेफिनेटली है। ये इन्होंने वेक्टर फॉर्मेट में लाइन की इक्वेशन लिखी हुई है। राइट? I - K क्योंकि इन्होंने यहां पर इस्तेमाल किया है। तो पॉइंट तो हमारे यहां पर एकदम ठीक आया है। डायरेक्शन अगर हम यहां पर बस चेक कर लें कि इसके बराबर लिखी जा सकती है तो हमारे यहां पे ये ट्रू हो जाएगा। अगर डायरेक्शन ऐसी नहीं आती है तो गलत हो जाएगा। राइट? सो डायरेक्शन के लिए यहां पर जो है थोड़ी सी मेहनत करते हैं एंड देखते हैं कि हमारे पास में आता है क्या?

डायरेक्शन। qr वेक्टर बस यहां पे लिखना है उसके लिए। इसका मतलब वी जस्ट हैव टू राइट Qr वेक्टर। ठीक है ना? सो दिस -1 अगर मैं करता हूं तो -1 / 27 जाएगा या माइनस साइन अच्छा नहीं लग रहा तो दिस माइनस दैट कर लेते हैं इंस्टेड। है उल्टा सब्ट्रैक्ट कर लेते हैं। 1 - दिस कर लेते हैं। तो 1 / 27 आएगा i कैप के साथ में। फिर दिस माइनस दैट करते हैं तो -19 / 27 जाएगा j कैप के साथ में। एंड -1 - 4 / 27 तो ये आ जाएगा आपका कितना? -31

/ 27 आ रहा है k कैप के साथ में। तो अगर मैं यहां पे इन जनरल अपने डायरेक्शन की बात करूं तो 27 को मैं इग्नोर कर सकता हूं और 27 को इग्नोर करके मेरे पास में 1 -19 - 31 आ रहा है। 1 - 19 - 31 विग एक्सक्टली मैचेस ये सोचो कि अगर इतनी ज्यादा मेहनत करने के बाद अगर ये मैच नहीं करता तो हम क्या करते हैं? किससे लड़ते हम? ठीक है ना? क्योंकि अगर तो ये आपका सही ऑप्शन नहीं होता। तो आपका टाइम भी गया और आप मार्क भी नहीं कर पा

रहे। है ना? तो जितने नंबर पहले थे उतने ही नंबर है मतलब आपके। लेकिन अब क्योंकि ये सही है और आपने इसको मार्क किया है तो आपके थोड़े नंबर बढ़े हैं। चलो। ठीक है? लेकिन तरीका समझ में आया? प्रोजेक्शन वाली जो लाइन होती है उसका इक्वेशन कैसे कैलकुलेट करते हैं? जो मेन आईडिया है वो क्लियर हो गया। राइट? अब आगे इन्होंने यहां पर जो मिरर इमेज वाली लाइन निकालने के लिए बोला है वो निकालना एक्चुअली आसान है। मिरर इमेज वाली लाइन निकालना हमारे लिए आसान क्यों है? क्योंकि आप यहां पर सोचो कि मिरर इमेज वाली

जो आपकी लाइन बनेगी, है ना? ऑप्शन थ्री की जो हम यहां पे लाइन बना सकते हैं, उसमें आप ये बोल सकते हो कि यार देखो ये भी कहां से पास होगी? रिफ्लेक्टेड लाइन जो आप यहां पे गिवन लाइन की बनाना चाहते हो वो q से तो पास होगी ही। तो q वाला कोऑर्डिनेट तो आपने निकाल लिया है ना जो 1 0 - 1 है। तो ये चीज हमें ठीक लग रही है कि हां ये भी 1 0 -1 से पास कर रहा है। यहां तक तो इन्होंने ठीक दिया है। और फर्दर अगर मैं डायरेक्शन निकालना

चाहता हूं तो डायरेक्शन के लिए मुझे क्या चाहिए होगा? डायरेक्शन मुझे यहां पर बेसिकली p का जो इमेज है वो चाहिए होगा। p' लेकिन p का इमेज अगर मैं निकालना चाहता हूं। p का इमेज अगर मैं निकालना चाहता हूं तो अब मैं यहां पे मिड पॉइंट फार्मूला यूज़ कर सकता हूं ना। मैं अब इतनी ज्यादा मेहनत थोड़ी करूंगा क्योंकि मेरे पास में R भी इस क्वेश्चन में आया हुआ है। तो ऑलरेडी जो मेहनत की हुई है उसको थोड़ा और यूज़ करने की जरूरत है। समझे क्या? अब प्लेन वेन को यूज़ मत करो। जाने दो उसको

साइड में। ठीक है ना? आप तो बस ये बोलो कि P है, R है और ये एक्स्ट्रा P' आपको निकालना है ना? मैं निकाल के दे दूंगा आपको। ठीक है ना? कैसे निकाल रहा हूं वो मत पूछो। हम अपने हिसाब से अपने कन्वीनियंस के हिसाब से निकाल रहे हैं। ठीक है? सो व्हेन वी मूव टू ऑप्शन थ्री वी आर सो मच मोर कंफर्टेबल एज़ कंपेयर टू व्हेन वी वर डिस्कसिंग ऑप्शन टू। राइट? ऑप्शन थ्री में हमें बोलते हैं कि यार देखो आप मुझे बताओ कि R कितना है? R ये गंदगी है ना? अब क्या कर

सकते हैं? वो है तो है। बट ये फोटो ऑफ़ परपेंडिकुलर है। राइट? फिर आपके में यहां पर जो ओरिजिनल पॉइंट यहां पे हम यूज़ कर रहे हैं यहां पे फोटो में क्या है? P तो वो कितना है? 21 0 और आप यहां पे रिफ्लेक्टेड रे जो बनाना चाहते हो रिफ्लेक्टेड रे जो आप यहां पे बनाना चाहते हो वो q से पास कर रही है व्हिच इज़ बेसिकली 1 0 - 1 एंड देन इट इज़ आल्सो पासिंग थ्रू p' वो p' के कोआर्डिनेट अभी के लिए अल्फा बीटा गामा मान के अब मिड पॉइंट फार्मूला अप्लाई करके

अल्फा बीटा गामा निकाल लो पहले ठीक है ना r हैज़ टू बी द मिड पॉइंट वैरी नाइस ठीक है ना सो इफ दैट इज़ द कॉन्फिडेंस दैट यू हैव तो बताओ जल्दी से यहां पे मुझे कि अल्फा बीटा गामा कितने होंगे सो अल्फा + 2 / 2 अल्फा + 2 / 2 करके आपके पास में यहां पे 26 / 27 आना चाहिए। ओके? सो ये कितना हो जाएगा आपका यहां पे? 56 सॉरी 52 52 एंड देन यहां पे सब्ट्रैक्ट करोगे कुछ नेगेटिव वगैरह क्वांटिटी आ रही है यार ये तो गंदी सी। सो आपका यहां पर

अल्फा कितना बन जाएगा? अल्फा आपका यहां पर आ जाएगा -2 एंड देन प्लस अ 56 / 27। ठीक है ना? तो ये हो जाएगा कितना आपका? 56 क्यों बोल रहा हूं मैं इसको? दिमाग में 56 क्यों आ रहा है? 26 की वजह से 56 आ रहा है। नहीं टू आना चाहिए ना? 52 आना चाहिए। तो यहां पे कितना आ जाएगा आपका? अल्फा। अल्फा आ जाएगा यहां पर आपका बेसिकली -2 / 27 के बराबर। ठीक है? ये आपका अल्फा का वैल्यू निकल कर आ रहा है। वैसे ही अगर मैं यहां पे देखता हूं कि आपका सेकंड

वाला मिड पॉइंट क्या रिप्रेजेंट करता है? सो बीटा + 1 / 2 ये आपका बेसिकली 19 / 27 आता है। ओके? मतलब यहां पे बीटा की वैल्यू कितनी हो जाएगी? -1 एंड देन प्लस 38 / 27 के बराबर। तो यहां से अगर मैं 27 सब्ट्रैक्ट करूंगा तो मेरे पास में क्या आ जाएगा यहां पे? 11 आ जाएगा। सो बीटा की वैल्यू के अंदर हमारे पास में क्या वैल्यू आती है? 11 / 27 वाली वैल्यू आती है। एंड ऐसे ही अगर मैं गामा की कैलकुलेशन करता हूं। सो गामा + 0 / 2 ये करके हमारे पास

में 4/27 बना है। सो गामा प्लेन आपका यहां पे 8 / 27 आ जाता है। ठीक है ना? सो दीज़ आर द पॉइंट्स जहां से आपकी रिफ्लेक्टेड रे डेफिनेटली पास करेगी। क्या ये समझ में आया? आपकी रिफ्लेक्टेड रे यहां से पास करने वाली है। राइट? ओके? ये फिगर है आपका। यहां से पास करेगी। यहां से पास करेगी। हमें वैसे भी P' Q के डायरेक्शन में ही इंटरेस्ट है। क्योंकि लाइन का एक सेक्शन तो ऑलरेडी हमें पता है कि यह सही है। हमें केवल लाइन का डायरेक्शन वाला सेगमेंट ही तो चेक करना है। जल्दी बताओ। लाइन

का जो डायरेक्शन वाला सेगमेंट है वो चेक करना है। इसका मतलब मैं क्या निकालना चाहता हूं? मैं p'q वेक्टर क्या है? इस चीज को थोड़ा सा एनालाइज करके यहां पे लिखना चाहता हूं। ये भी लिख लें। आपका यहां पे q'p नाम का जो वेक्टर है या qp' कहना चाहिए। सॉरी इसको। qp' नाम का जो वेक्टर है वो क्या है? ये हम देखना चाहते हैं। राइट? सो ये जो भी आपकी गंदगी आई है इसमें से वन सब्ट्रैक्ट करके देखो कितना हो जाएगा? -29 अच्छा नहीं लग रहा। तो आप वन में से इसको ऐसे सब्ट्रैक्ट कर लो

तो 29 / 27 आ रहा है i कैप के साथ में। ठीक है ना? फिर ज़ीरो में से इसको सब्ट्रैक्ट करेंगे तो अब ये नेगेटिव आ गया। क्या कर सकते हैं? -1 / 27 j कैप। एंड अगर मैं यहां पे -1 में से इसको सब्ट्रैक्ट करता हूं। -1 में से अगर मैं इसको सबट्रैक्ट करता हूं तो ये कितना आ जाएगा? तो ये आ जाएगा आपका यहां पर बेसिकली -35 और यहां से भी हम क्या कर सकते हैं? अपने जो जो नीचे वाले वैल्यू्यूज हैं उनको सैक्रिफाइस करवा सकते हैं। 27 27 आप हटा दो। ठीक है

ना? लैम्ब्डा की वैल्यू में मिस्टेक है। लैम्ब्डा लैम्ब्डा मतलब गामा की वैल्यू में मिस्टेक है। ठीक है ना? गामा की वैल्यू में क्या मिस्टेक है? दिस प्लस दैट अपॉन 2 करके आपको यहां पे 4 / 27 मिल रहा है। ओके? ठीक है। तो अभी आपके यहां पर जो वैल्यू निकल कर आ रही है, मैं एक बार चेक कर लेता हूं। ठीक है? आ रही है वैसे यहां पे। 29, - 11 एंड 35 हम यूज़ करेंगे। राइट? 29 - 11 एंड 35 सही है ये वाला ऑप्शन भी इसका मतलब है ना? क्योंकि मैं यहां पर क्या

ले सकता हूं? अपनी डायरेक्शन को लिखते समय 27 मल्टीप्लाई करके जो है उसको मैं यहां पे इस्तेमाल कर सकता हूं। इज दैट फाइन? 29 -1 - 35 एक्चुअली वर्क्स परफेक्टली फाइन विथ दिस ऑप्शन रिफ्लेक्टेड। लेकिन आप ये सोचो कि अगर आपको किसी क्वेश्चन में डायरेक्टली रिफ्लेक्टेड रे ही निकालने के लिए बोल दिया जाए तो क्या करोगे? किसी क्वेश्चन में अगर डायरेक्टली रिफ्लेक्टेड रे ही अगर पूछा है तो आपको डायरेक्टली इमेज वाला फार्मूला यूज़ कर लेना चाहिए उस केस में। उस केस में बीच में फुट ऑफ परपेंडिकुलर निकालने का कोई सेंस थोड़ी बनता है। वो तो

इस क्वेश्चन में हमने जिस तरह से क्वेश्चन को सॉल्व किया है वहां पे फुट ऑफ परपेंडिकुलर निकला हुआ था। इसलिए हम बोल रहे हैं कि यार ये डायरेक्टली हम मिड पॉइंट फॉर्मूले से निकालेंगे। अदरवाइज क्या कर सकते थे? अदरवाइज आप यहां पे डायरेक्टली जैसे हमने यहां पे फुट ऑफ परपेंडिकुलर का फार्मूला इस्तेमाल किया है ना वैसे आप यहां पर अपना इमेज का फार्मूला इस्तेमाल करके आंसर डायरेक्टली P' का भी निकाल सकते हो। राइट? अब आता है यहां पर लास्ट क्वेश्चन। लास्ट क्वेश्चन भी आपको कुछ सिखा के जाएगा। ऑब्वियसली यहां पर थ्योरी हम यहां पे एक

ही क्वेश्चन में बहुत सारी कवर कर रहे हैं। ठीक है ना? तो सेशन के अंदर देखो टीचर्स को ये भी ध्यान रखना पड़ता है कि भाई आपका रिवीज़ भी अच्छे से हो जाए। आपको थोड़े अच्छे क्वेश्चन भी देखने के लिए मिल जाए। ठीक है ना? तो ये क्वेश्चन बेसिकली आपके थ्योरी रिवीज़ के लिए ज्यादाेंट है मेरे हिसाब से। ठीक है ना? आपको क्योंकि अब एक प्लेन लिख के बताना है खुद से इक्वेशन ऑफ प्लेन। सेकंड पेज पर लैम्ब्ड -2 आएगा। ओके? लैम्ब्ड यहां पे कहां है? -2 आएगा। क्यों आएगा? कैलकुलेट कर लो। ये -1 से

सब कुछ सही आ चुका है। हम आगे बढ़ चुके हैं। आप यहां पे अगर लाइव लेक्चर में थोड़ा सा पीछे चल रहे हो तो एक बार वो लाइव वाले बटन पे क्लिक कर लो। ठीक है ना? हम थोड़ा सा आगे हैं। यहां पे हमने जो निकाला है ठीक निकाला है सब कुछ। ठीक है? यहां पे देखो ना ये आपका बेसिकली कितना है यहां से आपके पास में यह 16 है और ये -8 बन के कितना हो जाएगा आपका +8 हो जाएगा ना और यहां पे भी आपका बेसिकली कितना आ रहा है एट ही आ रहा

है ठीक है ना -1 ठीक है इस पेज पे चलो यहां आते हैं इक्वेशन ऑफ़ द प्लेन कंटेनिंग द लाइन l मतलब कौन सी वाली लाइन यही वाली लाइन है ना अच्छी वाली सुंदर वाली लाइन एंड परपेंडिकुलर टू द प्लेन पाई पाई हमने निकाल लिया जगह है क्या? जगह है भाई। जगह तो बहुत है। सो कोई तो एक प्लेन हमें ऑलरेडी पता है। ये वाला प्लेन एक्चुअली हमें पता है क्या? पाई नाम का प्लेन। ओके? इक्वेशन ऑफ़ द प्लेन कंटेनिंग दिस लाइन एंड देन परपेंडिकुलर टू पाई। तो कंटेनिंग दिस लाइन मतलब यहां पर ये जो

मैंने बना दिया है मान लेते हैं कि ये वो प्लेन है जो मैं निकालना चाहता हूं। इसके ऊपर हमारी लाइन लाई करती है। इसका मतलब क्या है? कि यार इसके ऊपर ये P पॉइंट भी लाई करेगा। दैट पॉइंट इज हाउ मच? दैट पॉइंट इज 21 और इसकी जो डायरेक्शन है लाइन की ये भी हमें पता है। लाइन की डायरेक्शन क्या थी आपकी? I कैप j कैप K कैप। है ना? तो 1 वाली इसकी डायरेक्शन है। तो मैं इस पर्पल प्लेन की इक्वेशन निकालने में इंटरेस्टेड हूं। यस। अच्छा। तो आपके पास में यहां पे 210 जो

है ये आ गया आपका बेसिकली पॉइंट। ये आ गया आपका डायरेक्शन। और जो ये पर्पल प्लेन है ये कैसा है? ये हमारे पाइप प्लेन के परपेंडिकुलर है। हमारा पाई प्लेन जिसकी इक्वेशन हमारे पास है। हमारे पाई प्लेन के ये परपेंडिकुलर है। ठीक है ना? ये सिचुएशन है जो हम सॉल्व करना चाहते हैं। तो इस सिचुएशन में आप यहां पर ऑलरेडी ये जानते हैं कि जिस प्लेन की इक्वेशन मैं निकालना चाहता हूं उस प्लेन के ऊपर लाई करने वाला पॉइंट क्या है? मतलब अगर मैं बस ये निकाल लूं कि यार ये जो पर्पल प्लेन है जिसकी

इक्वेशन मैं निकालना चाहता हूं उसका नॉर्मल कितना बनेगा? तो हमारा काम हो जाएगा। नॉर्मल वेक्टर निकाल के हमारा काम होने वाला है। सो नॉर्मल वेक्टर जो आपका यहां पर है क्या आप ये गारंटी करके देख पा रहे हो कि यार दिस नॉर्मल वेक्टर विल बी परपेंडिकुलर टू द डायरेक्शन वेक्टर ऑफ़ लाइन एज वेल एज डायरेक्शन वेक्टर ऑफ़ नॉर्मल ऑफ़ द पाई प्लेन। बताओ जरा क्या ये बोलना ठीक है? कि हमारा जो पाई प्लेन का नॉर्मल है उसको भी आप ध्यान से देखो कितना है? सो पाई प्लेन का नॉर्मल कितना है? पाई प्लेन का नॉर्मल है

72 - 1 यस 72 - 1 ये पाई प्लेन का नॉर्मल है और हमारा जो डायरेक्शन है वो है बेसिकली 1 1 इन दोनों का जो क्रॉस होगा नॉर्मल वेक्टर उसी के डायरेक्शन में होगा। राइट? सो लेट अस टेक दिस क्रॉस। ये आपका डायरेक्शन वेक्टर है। इसको d वेक्टर नाम दे देते हैं। क्रॉस करना चाहता हूं मैं इन दोनों का। है ना? और वो हमारा यहां पर रिक्वायर्ड नॉर्मल वेक्टर होने वाला है। i कैप, j कैप, k कैप एक जगह से उठेगा आपका यहां पे 7 2 - 1 और यहां से उठेगा 1 1 I

कैप के साथ में कितना आएगा? i कैप के साथ में यहां से आएगा आपका इसमें दो और यहां से आ जाएगा एक और वन तो ये आ जाएगा तीन। ठीक है ना? फिर -j कैप के साथ में कितना आ रहा है? यहां से आ रहा है आपका सेवन और यहां पे एक और आ जाएगा वन। तो ये आ जाएगा आपका एट। एंड देन K कैप के साथ में आपका कितना आ जाएगा? K कैप के साथ में आपका इसमें आने वाला है कितना? ये आ जाएगा आपका बेसिकली 7 एंड दो सब्ट्रैक्ट करके पांच। सो आपका जो

प्लेन है वो बेसिकली 3 - 8 5 वाला कुछ प्लेन होना चाहिए। 3 - 8 5 अरे वाह! 3 - 8 5 3 - 8 5 वाला ही हमारा प्लेन होना चाहिए। ये बात तो सही है। लेकिन अब ये कांस्टेंट सही है कि नहीं? इसको चेक कैसे करेंगे? एक्चुअली प्लेन की इक्वेशन लिख लेते हैं फिर यहां पे। अच्छा ये भी है कि आपका जो ओ इसको हम बिना मेहनत के भी कर सकते थे। क्या चेक एटलीस्ट कर सकते थे? लेकिन ये क्या है? अब ये अब रियलाइज़ हो रहा है। क्योंकि अब मुझे यहां पर जो

चेक करना है ना वो केवल कांस्टेंट के बेसिस पे चेक करना है। सो आपका जो प्लेन है उसके ऊपर ये पॉइंट तो लाई करना ही चाहिए था ना। सो 21 0 लाई करता है क्या इसके ऊपर? जरा चेक करके देखना। 2 1 एंड 0 लाई करेगा क्या? तो 6 - 8 होगा। तो यहां पे -2 आएगा। यहां पे तो ज़ीरो हो चुका है। तो यहां पे आपके उसमें जो वैल्यू है थ्री के साथ में कैंसिल नहीं हो रही। एक्चुअली टू यहां पे होता तो कैंसिल हो जाती। यहां पे अगर टू होता तो आपका कैंसिल हो

जाता। तो जो करेक्ट इक्वेशन है इस पर्टिकुलर क्वेश्चन में इस सिचुएशन को लेकर वो एक्चुअली 3x - 8y + 5z + 2 है ना कि थ्री। तो ये ऑप्शन आपका गलत है। फिर समझे? बट हां ये चीज़ आप डेफिनेटली पहले चेक करने की कोशिश कर सकते हो एग्जाम में कि यार ये लो पॉइंट तो लाई कर रहा है कि नहीं कर रहा है। एक बार चेक करके देख लेते हैं। तो पॉइंट लाई एक्चुअली नहीं कर रहा। तो फोर्थ ऑप्शन इस क्वेश्चन में आपका गलत है। ठीक है? अगर आप यहां पर रिकॉल करो कि आपने अभी

यहां पर पिछले दो तीन सवाल जो सॉल्व किए हैं उसके अंदर क्या-क्या कर लिया है। आपने पॉइंट एंड लाइन का इंटरसेक्शन निकालना सीख लिया है। पॉइंट का फुट ऑफ परपेंडिकुलर कैसे निकालते हैं प्लेन में वो देख लिया है। आपने प्रोजेक्शन ऑफ लाइन प्रोजेक्टेड लाइन कैसे निकालते हैं वो देख लिया है। रिफ्लेक्टेड लाइन कैसे निकालते हैं वो देख लिया है। आपने एंगल बिटवीन द प्लेेंस डिस्कस कर लिया है। पॉइंट और लाइन के बीच का डिस्टेंस कैसे निकालते हैं वो भी आपने देख लिया है। राइट? बहुत सारी चीजें हैं। केवल दो-तीन सवाल ही करके आपको जो है

यहां पर समझ में आ गई है क्योंकि सवाल ही इतने ज्यादा इंटेंस है ये। कैसे सवाल हैं? काफी इंटेंस क्वेश्चंस हैं। है ना? मतलब सॉल्व करने के लिए आपको एक पेज, दो पेज, तीन पेज, चार पेज चौथे पेज पे जाना पड़ रहा है भाई। ठीक है ना? ये कितने मार्क्स का क्वेश्चन है? हां ये बात आपने सही बोली है। अच्छा ये भी जरूरी है समझना कि आपके पास में यहां पे इस तरह के कनेक्टेड क्वेश्चंस जो हैं वो कितने बड़े नंबर वाले सेक्शन में आ रहे हैं। जब भी आपके पास में यहां पे ऐसा कोई

क्वेश्चन आएगा तो एक्चुअली आपने अटेम्प्ट पहले बार में नहीं करना चाहिए। क्योंकि ये लिटरली हमें दिख रहा है कि ये चार अलग-अलग क्वेश्चंस हैं। अदरवाइज क्वेश्चन कैसे बनाया जा सकता था? आपको यहां पर ये पहले दो ऑप्शंस देकर ही रिपीट करवाया जा सकता था ना कि यार आपने एक ऑप्शन में दे दिया AB और CD के बीच का डिस्टेंस 2 2 है। दूसरे ऑप्शन में दे दिया AB और CD के बीच का डिस्टेंस 3 2 है। तो आपको दो ऑप्शन में से कोई एक सेलेक्ट करते आ गया लेकिन आपने सॉल्व एक ही चीज़ करी। वैसे

ही आपको यहां पर अगला इक्वेशन जो है किसका पूछा है क्वेश्चन? प्रोजेक्टेड लाइन का पूछा है। तो प्रोजेक्टेड लाइन की इक्वेशन ये है या यहां पे कुछ एक थोड़ा सा चेंज करके पूछ लिया। तो फिर हम बता सकते हैं कि दोनों में से कौन सा सही है। तो एक्चुअली दो ही क्वेश्चन थे जिनको आपको सॉल्व करके है ना अपना आंसर निकालते आने वाला था। लेकिन ये क्वेश्चन ऑन द फेस दिखाई दे रहा है कि यार ये तो चारों अलग-अलग चीजें पूछ रहा है। अगर चारों अलग-अलग चीजें पूछ रहा है मोर देन वन के क्वेश्चन में

तो फिर वैसा क्वेश्चन आपका बाय डिफ़ॉल्ट लेंग्थी हो ही जाता है। तो उस क्वेश्चन से थोड़ा सा बच के रहने की जरूरत है। है ना? ऐसे क्वेश्चन को थोड़ा सा बाद में करो। एंड गिवन दैट कि आपके 3D ज्योमेट्री में वैसे ही क्वेश्चन को सॉल्व करने में थोड़ा समय देना पड़ता है। राइट? सो वी नीड टू बी वेरी-वेरी केयरफुल व्हाइल पिकिंग द क्वेश्चन। ये वाला क्वेश्चन पिक करना चाहिए क्या? यहां पर क्या हो रहा है? यस। ऐसे क्वेश्चंस करने में कम से कम 5 से 7 मिनट 6 से 7 मिनट लग जाते हैं। नहीं नहीं

आप कम बोल रहे हो। जो पिछला वाला क्वेश्चन आपने यहां पर अभी देखा ये 6 से 7 मिनट में इनफैक्ट अगर आप कर पा रहे हो तो ये तो बहुत अच्छा आपका यहां पर जो है परफॉर्मेंस से कहूंगा मैं ज्यादा लग जाएगा। ईमानदारी से जब आप एग्जाम में बैठ के सॉल्व करोगे तो शायद 10 मिनट के ऊपर लग जाएंगे। आपका यहां पर ये क्वेश्चन खत्म नहीं होगा। ठीक है ना? क्योंकि आपको एक-एक करके ईमानदारी से सारी चीजें चेक भी तो करनी है। ठीक है ना? और यहां पर बीच-बीच में थोड़ा सा आपको कॉन्फिडेंस भी यहां

पर कम होगा। क्यों? क्योंकि ये इतने गंदे नंबर आ रहे हैं ना यार। अगर नंबर अच्छे आते जाएं जैसे यहां पर ये कैलकुलेशन बहुत अच्छी आई थी। क्यू की कैलकुलेशन बहुत अच्छी है। तो हमें लगता है कि हां चलो सही जा रहे हैं। सही जा रहे हैं। करते रहते हैं। करते रहते हैं। लेकिन बीच में से जैसे नंबर खराब आता है ना एकदम से। तो लगता है कि नहीं यार शायद पता नहीं सही कि नहीं तो एक आध बार आप चेक करोगे। चेक करके फिर से देखो एक जैसे मैंने भी चेक किया था यहां पर

कि यार ये अच्छा नहीं लग रहा यार थोड़ा सा चेक करके देखता हूं एक बार कैलकुलेशन कहीं मिस्टेक तो नहीं करी बट अब गंदे आ रहे हैं तो क्या कर सकते हैं ठीक है ना तो ऐसे आपको आगे बढ़ना पड़ेगा हिम्मत के साथ में थोड़ा सा यस चलो ये वाला क्वेश्चन करते हैं लेकिन ये वाला क्वेश्चन हमने करना चाहिए क्या ऐसे क्वेश्चन डेफिनेटली करना चाहिए क्योंकि ये सच में एक ही क्वेश्चन है ये सच में एक ही क्वेश्चन है देखो जरा ध्यान से p1 इज द प्लेन कंटेनिंग दी थ्री दिस अह थ्री पॉइंट्स। P2 इज़

अनदर प्लेन सच दैट B एंड C आर मिरर इमेज ऑफ ईच अदर इन दिस प्लेन P2. ओके? तो P1 P2 दो प्लेेंस हमें आइडेंटिफाई करने पड़ेंगे। इतना तो सही बात है। फाइंड द इक्वेशन ऑफ़ लाइन ऑफ इंटरसेक्शन ऑफ़ प्लेेंस P1 एंड P2। अब क्योंकि इन्होंने ईमानदारी से केवल एक ही क्वेश्चन पूछा है। तो ऐसे क्वेश्चन को आपने डेफिनेटली करना चाहिए। लेकिन यही आगे बोलते हैं कि ये लाइन ऑफ इंटरसेक्शन आप निकालो क्या है? फिर बताओ कि उसका डिस्टेंस इस B पॉइंट से निकाल के बताओ। सॉरी उसका डिस्टेंस आप यहां पे किसी R पॉइंट से निकाल

के बताओ। फिर उस लाइन का इंटरसेक्शन आप इस तीसरे प्लेन से निकाल के बताओ। है ना? ऐसे कुछ-कुछ अगर ऑप्शंस बना दो इसके अंदर तो फिर से ये क्वेश्चन भी आपको बहुत लें्थी हो जाएगा। राइट? सो क्वेश्चंस लेंथी क्यों बनते हैं? क्योंकि आप बहुत सारे मल्टीपल क्वेश्चंस को मिला के एक सिंगल क्वेश्चन में डाल देते हो। ये प्योर क्वेश्चन है। ये एक सिंगल क्वेश्चन है। ठीक है ना? तो ये ठीक है? ये क्वेश्चन हमने एड्रेस करना चाहिए। P1 इज़ अ प्लेन कंटेनिंग थ्री पॉइंट्स दिस दिस एंड दैट। P2 इज़ अनदर प्लेन सच दैट द पॉइंट

B एंड C आर मिरर इमेज ऑफ ईच अदर इन दैट पर्टिकुलर प्लेन। अच्छा तो मेन कहानी यहां से शुरू इसका मतलब होने वाली है। सोचना जरा जो P2 प्लेन है वो इतना शानदार पॉइंट है जो इतना शानदार प्लेन है कि B और C के नजर से जब मैं देखता हूं तो वो एक दूसरे के मिरर इमेज बन जाते हैं इस प्लेन में। जिसका कोऑर्डिनेट आपके इसमें यहां पर 6 2 एंड 0 दे रखा है। और ये आपका जो C है ये भी हमें यहां पे -2 0 एंड 4 पता है। तो P2 का इक्वेशन निकालना

मतलब हमारे लिए काफी ईजी काम है। क्योंकि जो BC वेक्टर है वही आपका नॉर्मल डायरेक्शन वाला वेक्टर है। जो BC वेक्टर है जो BC वेक्टर है वही आपका नॉर्मल डायरेक्शन की तरह काम करेगा। और जो B और C का मिड पॉइंट है वो प्लेन के ऊपर लाई करेगा। सो इस प्लेन के ऊपर लाई करने वाला पॉइंट भी काफी आसानी से मिल गया। और इसका नॉर्मल वेक्टर भी काफी आसानी से मिल रहा है। तो दिस प्लस दैट / 2 करेंगे तो कितना आएगा आपको? टू मिलेगा। है ना? दिस प्लस दैट अप 2 करेंगे तो वन मिलेगा।

एंड दिस प्लस दैट अप 2 करके आपको यहां पे टू मिलने वाला है। राइट? सो ये आपका m पॉइंट है जो इसके ऊपर लाई कर रहा है। डन। और अगर आप यहां पे चाहते हैं कि आप इस प्लेन का नॉर्मल वेक्टर यहां पे निकालें। सो प्लेन का नॉर्मल वेक्टर क्या होगा? जो आपका BC वेक्टर है वही यूज़ कर लो। यस। जो BC वेक्टर है वो पहले यहां पर निकालो। क्या है? सो BC वेक्टर आपका यहां पे हो जाएगा दिस माइनस दैट करके 8i कैप। अगेन आप यहां पे इसको - 8i कैप भी लिख सकते हो।

ठीक है ना? या CB वेक्टर लिख लो यहां पर कोई दिक्कत नहीं है। हेड माइनस टेल अगर करने का बहुत ही ज्यादा आपको वो है OCD है। ना कि सर ये कैसे सब्ट्रैक्ट कर दिया इसमें से। ठीक है ना? सो ये इसमें सब्ट्रैक्ट करें। चलो ये इसमें सब्ट्रैक्ट करेंगे तो आपको क्या मिलेगा यहां पे? अ 2j कैप है। एंड देन ये सब्ट्रैक्ट करके आप इसमें यहां पे -4k कैप है। राइट? सो मैं तो यहां पे नॉर्मल वेक्टर की बात करना चाहता हूं। तो नॉर्मल वेक्टर तो हम सिंपलीफाई कर सकते हैं। ठीक है ना? सो इस

केस में जो आपके प्लेन टू का नॉर्मल वेक्टर है अगर मैं उसको n2 वेक्टर बोलूं। सो n2 वेक्टर मैं क्या ले सकता हूं? आगे कभी भी अगर जरूरत पड़ती है तो 4i कैप + j कैप - 2 k कैप ऐसा ले सकता हूं। ठीक है ना? सब्ट्रैक्शन ठीक है हमारा। 4 1 एंड -2। ठीक है? सो ये है अभी तक की कहानी कि हमें यहां पे नॉर्मल वेक्टर पता चल चुका है इस पर्टिकुलर प्लेन का। तो आप यहां पे अगले स्टेप में प्लेन की इक्वेशन भी लिटरली लिख सकते हो। है ना? हमने यहां पर क्योंकि

पॉइंट पता है ये बताया था एक ही स्टेप में आपका प्लेन का इक्वेशन आएगा। लेकिन आपको जो चाहिए आपको जो चाहिए वो तो क्या चीज है? आपको जो चाहिए वो एक्चुअली इक्वेशन ऑफ़ लाइन ऑफ इंटरसेक्शन है। सो इक्वेशन ऑफ़ लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन कैसे निकलती है? इक्वेशन ऑफ़ लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन कैसे निकलती है? अगर आप ध्यान से सोचोगे तो इक्वेशन ऑफ लाइन ऑफ इंटरसेक्शन आपकी निकलती है। जब आप दोनों प्लेेंस के नॉर्मल का क्रॉस प्रोडक्ट करते हो तो वो डायरेक्शन आपके लिए इंपॉर्टेंट हो जाती है। सोचो जरा ध्यान से। अगर ये मेरे पास में दो प्लेेंस

हैं। ठीक है? तो ये जहां इंटरसेक्ट कर रहे हैं, इसी लाइन को हम लाइन ऑफ इंटरसेक्शन कह रहे हैं। और अगर ये आपकी लाइन ऑफ इंटरसेक्शन है, तो वो दोनों ही प्लेेंस पे ल कर रही है। और अगर वो दोनों प्लेेंस पे ल कर रही है तो आप इसका मतलब क्या करना चाहेंगे? उसकी डायरेक्शन पता करने के लिए जो एग्जिस्टिंग आपके पास में प्लेेंस हैं n1 वेक्टर और n2 वेक्टर उनका क्रॉस करना चाहोगे। n1 वेक्टर और n2 वेक्टर का क्रॉस करना चाहोगे। इनका जो क्रॉस होगा उस डायरेक्शन में आपकी कौन सी लाइन जाएगी? लाइन ऑफ

इंटरसेक्शन जाएगी। कांसेप्ट याद रखो क्योंकि ये कांसेप्ट के ही ऊपर यहां पर ये सवाल कंस्ट्रक्टेड है। ठीक है ना? तो हम यहां पे अपना ये जो काम चल रहा था उसको फिनिश कर लेते हैं। पहले हम यहां पे P2 की इक्वेशन अल्टीमेटली लिख लेते हैं। P2 की इक्वेशन आएगी आपकी यहां पे फोर के साथ में X - 2 फिर आएगा यहां पे आपका वन के साथ में Y - 1 के साथ में Y - 1 एंड देन आपका आएगा -2 के साथ में z - 2 है ना? = 0 पॉइंट उठाया हमने यहां पे 2

1 2 एंड देन जो डायरेक्शन थी वो हमने उठाई है 4 1 एंड -2 के बराबर। ठीक है ना? तो ये आ गया आपके इसमें 4x + y - 2z कांस्टेंट क्या है? -8 है। एंड देन यहां पे +4 है। एंड देन यहां पे -5 हो जाएगा टोटल। ठीक है ना? तो इस तरह का कोई प्लेन आप यहां पे p2 के लिए अलॉट कर सकते हैं। ठीक है ना? अगेन लेट मी जस्ट कीप ऑन चेकिंग द कैलकुलेशन साइड बाय साइड। हां जी। तो क्या कर रहे हैं हम यहां पे? हम यहां पे अपने प्लेेंस की

बात कर रहे हैं। राइट? सो क्या-क्या आया मेरे पास में? 4x + y - 2z एंड देन -5 = 0 लुक्स लाइक द राइट इक्वेशन ऑफ़ प्लेन। इसको संभाल के रख लेते हैं। हमारा जो एक और प्लेन है जो यहां पे इन्वॉल्वड है, है ना? वो कौन सा वाला प्लेन है? वो इन तीनों पॉइंट से पास होने वाला प्लेन है। अगेन ये चीज़ हमने पहले करी है। डिटरर्मिनेंट वाले आईडिया से हमने अपनी प्लेन की इक्वेशन निकाली है। तो वो यहां पर भी निकाल के रख लेते हैं। ठीक है ना? नाउ लेट अस कैलकुलेट आवर फर्स्ट

प्लेन P1 एज वेल। सो P1 की इक्वेशन अगर आप निकालना चाहते हो तो डिटरर्मिेंट फॉर्मेट में आप कौन सा पॉइंट इज़ली यूज़ कर सकते हो? C को यूज़ कर सकते हो। तो आप यहां पे ऐसा करो कि X -2 फिर आपका यहां पे Y - 0 एंड देन Z - 4 ऐसा कर लो। है ना? ये कर लिया आपने यहां पे। और उसके साथ में क्या करना चाहोगे? आप यहां पे अब दो-दो के सब्ट्रैक्शंस को भी यहां पे यूज़ करना चाहोगे। तो किसमें से क्या सब्ट्रैक्ट करना ठीक लग रहा है आपको? ऐसा करते हैं कि

यार ये C जो है दोनों में से सब्ट्रैक्ट कर लेते हैं। ठीक है ना? तो अगर मैं इसमें से सब्ट्रैक्ट करूंगा C को तो A कितना आ जाएगा? C अगर सब्ट्रैक्ट कराता हूं A वाले कोऑर्डिनेट्स में से तो यहां पे पांच आएगा। फिर इसको सबट्रैक्ट करता हूं तो मेरे पास में टू आएगा। फिर इसको सब्ट्रैक्ट करता हूं तो मेरे पास में यहां पे थ्री आएगा। ठीक है ना? अगेन यहां से सब्ट्रैक्शन करवाते हैं तो यहां पे आपको एट मिलेगा। यहां से सब्ट्रैक्शन करके आपको टू मिलेगा। एंड यहां से सबट्रैक्शन करके आपको -4 मिलेगा। ठीक है?

तो ये अगर आप ओपन करते हो तो यहां से आपको अगला प्लेन मिलने वाला है। यस। हां, आप यहां पर जिस तरह से क्वेश्चन को सॉल्व कर रहे हैं, मुझे समझ में आ रहा है। बहुत बढ़िया। एक बच्चा बोल रहा है कि सर मैंने कुछ खास काम नहीं किया। मैंने तो ये मेहनत करी नहीं। मैंने तो यहां पर क्या किया? अ जो भी एक पॉइंट मैंने यहां पे इंटरसेक्शन का निकाला है, उसको चेक कर लिया कि यार आपके लाइन कौन से वाले लाइन के ऊपर वो लाई करता है। बिल्कुल। क्योंकि आपके ऑप्शंस यहां पर इस

तरह से आपको दिए गए हैं कि आप एक्चुअली चेक वाला काम कर सकते हैं। वैरी नाइस। ठीक है ना? तो आपने डेफिनेटली करना चाहिए। अभी लेकिन मैं आपको एक्चुअल प्रोसेस बता देता हूं क्योंकि क्वेश्चन देखो क्या आ सकता था? क्वेश्चन ये भी आ सकता है कि यार वो जो लाइन ऑफ इंटरसेक्शन है ना उसका इंटरसेक्शन पॉइंट yz प्लेन के साथ में बताओ क्या है? उसका डिस्टेंस बताओ ओरिजिन से कितना है? उसका उसका डिस्टेंस किसी एक अगले पॉइंट से कितना है? ऐसे बहुत सारे सवाल बनाए जा सकते हैं। ठीक है ना? तो उस केस में आपको

ये लाइन एक्चुअली दिखाई नहीं देगी। लेकिन आपको उस लाइन को क्रिएट करके यूज़ करना पड़ेगा आगे। राइट? सो लाइन क्रिएट कैसे हो रही है? वो देखना यहां पर जरूरी है। इसलिए यहां पर ये डिस्कशन जरूरी है। ठीक है? अच्छा तो आप कैसे यहां पे x + 2 के साथ में कितना आ रहा है? x + 2 के साथ में आपको क्या मिल रहा है? यहां पे अगर आप देखते हैं तो ये कितना हो जाएगा? -8 एंड उसके साथ में सब्ट्रैक्शन में चला जाएगा आपका यहां पे -6 है कि नहीं? तो -14 यहां पर आपको मिल

रहा है। ठीक है ना? -8 के साथ में -6। फिर अगर मैं यहां पे y के साथ में देखता हूं क्या आ जाएगा? सो y के साथ में क्या जा रहा है आपका यहां पे? -20 एंड माइनस 24 - 44 जा रहा है। वैल्यू्यूज थोड़ी सी बड़ी हैं। एक बार ध्यान से देख लेना। ठीक है ना? एंड आपके पास में यहां पे जो बेसिकली z के साथ में जा रहा है। z - 4 के साथ में जा रहा है वो क्या है? हम z - 4 के साथ में कितना जा रहा है हमारे यहां पे?

10 एंड देन 16 नहीं। लेकिन ये सबट्रैक्शन में जाएंगे है ना? 10 एंड तो यहां पे -6 आपको बेसिकली मिलने वाला है। दिस इक्वल टू 0 यहां से आपका क्या आएगा? प्लेन का इक्वेशन बेसिकली रेडी होगा। ठीक है ना? अगेन लेट मी जस्ट क्विकली चेक द कैलकुलेशंस। सो हमारे पास में यहां पर क्या-क्या आ रहा है? ठीक आ रही है कैलकुलेशन मेरे हिसाब से। हम -2 से पहले ही हम यहां पे कैंसिल करवा लेते हैं। वैल्यूज़ थोड़ी सी छोटी हो जाएंगी। ठीक है ना? -2 से अगर मैं कैंसिलेशन करा लेता हूं। तो यहां पर आएगा

आपका 7 टाइम्स ऑफ़ x + 2। -2 से कैंसिल करा के यहां पे 22 टाइम्स ऑफ़ Y। ठीक है ना? यहां पर भी -y आना चाहिए था। क्या? एक्चुअली J कैप के साथ में माइनस लिखने की आदत है। y के साथ में माइनस लिखने की आदत डालनी पड़ेगी। ठीक है ना? तो यहां पर क्या होगा? माइनस माइनस आपका पहले प्लस बनेगा। और इस वजह से यहां पर आपके इसमें माइनस साइन बनेगा और यहां पे आपका जो है -2 से कैंसिल करके थ्री टाइम्स ऑफ़ Z - 4 आपको मिल रहा है। कैलकुलेशन डेफिनेटली समथिंग जिसको बहुत

ध्यान में रख के करना पड़ेगा आपको एग्जाम में भी। ठीक है ना? ऑलराइट। 7x है, - 22y है एंड 3Z है। उसके साथ में कांस्टेंट भी एक बार नोटिस करो। क्या है? 7x है, - 22y है। उसके साथ में आपका 3z है। कांस्टेंट अगर हम यहां पे देखते हैं तो 14 है। एंड देन अच्छा कांस्टेंट आपका सिंपली +2 आया है। तो ये आपका अगला प्लेन है जिसको हम अब आइडेंटिफाई कर पाए हैं। डन है क्या? ये दोनों प्लेेंस आपके हैं जिसके लाइन ऑफ इंटरसेक्शन का डिस्कशन अभी चल रहा है। डन है? इन दोनों का लाइन

ऑफ़ इंटरसेक्शन निकालना है। तो इन दोनों का लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन निकालने के लिए हमने क्या डिस्कस किया है अभी? कि यार इनके नॉर्मल्स जो है ना उनका ही आप क्या निकाल लो? परपेंडिकुलर डायरेक्शन निकाल लो। वहां से आपको डायरेक्शन कंफर्म हो जाएगा कितना है। राइट? और उसके बाद उसके बाद आपको क्या करना पड़ेगा? इन दोनों पे कोई एक कॉमन पॉइंट ढूंढना पड़ेगा। अब कॉमन पॉइंट अगर आप यहां पे ढूंढने की कोशिश करेंगे तो आप यहां पे नोटिस करो कि जिस तरह से आपको एग्जाम मतलब यहां पर ये मिल रहे हैं ऑप्शंस ये क्लियर है कि

यहां पे y की वैल्यू को ज़ीरो लेने से बेनिफिट मिलेगा। समझ रहे हो? y की वैल्यू को जीरो लेने से बेनिफिट मिलने वाला है। तो इन दोनों को अगर मैं सॉल्व करता हूं बाय टेकिंग y = 0 क्योंकि इनके कॉमन पॉइंट्स कितने हैं? इनके कॉमन पॉइंट्स तो आपके यहां पे इनफाइनाइट कॉमन पॉइंट्स हैं। मुझे कोई तो एक पॉइंट यूज़ करना है टू राइट द इक्वेशन ऑफ़ लाइन। वो निकालने के लिए आप x, y और z में से किसी एक को ज़ीरो ले सकते हो। लेकिन जिस तरह से ऑप्शंस क्रिएटेड है, मुझे लग रहा है कि

y को ज़ीरो लेके फायदा मिलेगा। सो, हम यहां पे क्या करते हैं? इन दोनों को पकड़ते हैं y की वैल्यू ज़ीरो लेने के साथ-साथ। राइट? सो y की वैल्यू ज़ीरो के साथ में अगर मैं अपने प्लेनेंस को देखता हूं तो मेरा जो पहला वाला सिंपलीफाइड एक्सप्रेशन आएगा वो कितना हो जाएगा? 4x - 2y एंड यहां पे आ जाएगा -5 = 0 एंड नीचे वाला इक्वेशन कितना आ जाएगा यहां पे ज़ीरो करके 7x + 3z ओ सॉरी यहां पे कितना आएगा? मैंने y को ज़ीरो कर दिया है ना? तो y को ज़ीरो कर दिया है मैंने।

तो यहां पे 4x - 2z एंड देन -5 = 0 और यहां भी अगर मैंने y को 0 कर दिया तो 7x + 3z एंड देन + 2 = 0 ऐसा आपके यहां पे कॉम्बिनेशन बना है। तो क्या करें यहां पे? z को एलिमिनेट करवा लें। पहले z को एलिमिनेट करवाने के लिए ऐसा करते हैं कि ऊपर वाले को थ्री से मल्टीप्लाई करते हैं। सो 12x आएगा। - 6z आएगा एंड - 3 से मल्टीप्लाई करके 15 आएगा। ठीक है ना? और नीचे वाले को टू से मल्टीप्लाई करवा लेते हैं। तो नीचे वाले को टू से

मल्टीप्लाई करा के कितना आ जाएगा आपके इसमें? 14x आ जाएगा। + 3z आ जाएगा। एंड देन यहां पे आपका आ जाएगा कितना मल्टीप्लाई करा है? टू। तो यहां पे फोर आ जाएगा। ठीक है ना? अरे यार टू से मल्टीप्लाई किया है। आई थिंक आज के लिए काफी हो गया हमारा। ओके? तो दोनों को अगर मैं यहां पे ऐड करता हूं तो हमारे पास में कितना आ जाएगा? दोनों को ऐड करके अगर मैं देखता हूं तो मेरे पास में यहां पे 28 अह 20 क्या भाई साहब? मजे आ गए। 26x आ जाएगा। है ना? उसके साथ

में आपका यहां पर जो वैल्यू बनता है दैट वुड बी -1 तो आपका यहां पर x का वैल्यू कितना आता है? 11 / 26 जैसा कुछ आपका यहां पर वैल्यू बन रहा है। गंदा वैल्यू बन रहा है। कुछ नहीं कर सकते हैं। बट एक्चुअली अच्छा है अगर आप ध्यान से देखते हो तो क्योंकि यहां पे भी 11 / 26 ही कहीं ना कहीं इन्होंने इस्तेमाल किया है शायद अपने इक्वेशन को क्रिएट करने के लिए। राइट? सो इतना बुरा नहीं है। यहां पर ये जो आंसर आ रहा है अपन ऑप्शंस को अगर देखो तो वैसे ही

कुछ यहां पे शायद आया रहा होगा। ठीक है? और अगर मैं यहां पे अब z की वैल्यू निकालना चाहता हूं तो कैलकुलेशन आगे बस प्रोसीड करना है। z के लिए क्या करें? ये वाला इक्वेशन यूज़ कर लें कि आपका 2z जो है वो कितना होता है? 2z आपका यहां पे 4x - 5 के बराबर है। सो 4x मतलब कितना हो जाएगा? 44 / 26 है ना? - 5 मतलब बेसिकली 22 /13 - 5 आपको यहां पर करना है। एंड जो आएगा उसको फर्दर आपको टू से डिवाइड करना है। सो कितना आ जाएगा यहां पे? 65

में से आपको क्या हटाना है? सारी चीज़ लिख के डालते हैं। गलती होने के चांसेस नहीं रहेंगे फिर। है ना? तो कितना आ जाएगा यहां पर? ये 43 आ जाएगा। - 43 एंड अपॉन कितना आ जाएगा? ये 2z है। तो z की वैल्यू इस तरह से आपकी बन जाएगी। ठीक है ना? तो ये अगला वैल्यू आपका एज कुछ बना है। -43 / 26 क्या ये ठीक लग रहा है आपको? क्या ये ठीक लग रहा है? -43 / 26 एक्चुअली अगर आप ध्यान से देखते हो तो ये यहां पर भी काफी प्रीडमिनेंटली दिख रहा है हमें

यहां पे सारे ऑप्शंस में। 11/26 भी दिख रहा है। एंड देन -43 / 26 भी काफी ज्यादा लोकेशनेशंस पे दिख रहा है। ठीक है ना? तो हमने यहां पर पॉइंट जो निकाला है अल्टीमेटली उसको अगर मैं देखूं ध्यान से तो पॉइंट क्या निकला है? एक सिंगल पॉइंट जो मैं इस लाइन के ऊपर ऑलरेडी आइडेंटिफाई कर चुका हूं। वो कितना आया है आपका? ये आया है आपका 11 / 26 0 -43 / 26 तो आपका यहां पे पॉइंट निकालने का तरीका आपको क्लियर हो गया। पॉइंट निकालने के लिए क्या करते हैं? आप दोनों प्लेेंस की इक्वेशन

में किसी भी एक वेरिएबल को जीरो कर दो। तो आपके पास में यहां पे दो इक्वेशन दो वेरिएबल आएंगे। उनको सॉल्व कर लो। तो यहां से एक पॉइंट आप गारंटी से बता सकते हो जो इस पर्टिकुलर लाइन ऑफ इंटरसेक्शन पर ल कर रहा है। और अगर लाइन ऑफ इंटरसेक्शन की इक्वेशन तक पहुंचना है तो आपको क्या करना है? n1 n2 को अब यहां पे सीधे-सीधे क्रॉस करना है। अगर आप क्रॉस करेंगे तो आपको यहां पर अपना एक्चुअल डायरेक्शन पता चल जाएगा। एक्चुअल डायरेक्शन लिखने से पहले अगर आप देखना चाहो तो ऑप्शन चेकिंग डेफिनेटली इस पॉइंट

पे शायद आप कर पाओगे। उस चीज को एक बार नोटिस करो। क्योंकि अगर मैं यहां पे अपने नॉर्मल वेक्टर को अभी के लिए बस इतना लिख लेता हूं। नॉर्मल वेक्टर को अगर मैं लेट अस से यहां पर लिख लेता हूं ai कैप + bj कैप + c कैप वो कैसे आएगा हम जानते हैं वो n1 n2 करके आएगा लेकिन जब मैं ऐसा करने पर अपनी फाइनल इक्वेशन लिखूंगा तो मुझे क्या नजर आना चाहिए मुझे नजर आना चाहिए कुछ इस तरह से लिखा हुआ है एक्सप्रेशन x - 11 / 26 / a उसके बाद में y

- 0 / b एंड देन यहां पे आ जाएगा आपका z - दिस मतलब 43 / 26 / c ऐसा मेरे पास में यहां पे स्ट्रक्चर होना चाहिए। इज़ दैट फाइन? सो आप यहां पे देख सकते हैं कि यार एटलीस्ट आपका ये वाला पॉइंट सेटिस्फाई कर जाए किसी इक्वेशन में उसी को हम यहां पे आगे लेके चलना चाहेंगे। सो -1 / 26 एंड + 43 / 26 वाला कॉम्बिनेशन ही बेसिकली आपका यहां पर करेक्ट होना चाहिए। व्हिच इज़ एक्चुअली प्रेजेंट ओनली इन ऑप्शन वन। तो अगर आप यहां पे इस पॉइंट पे रुक के ऑप्शन वन

को चेक करना चाहते हैं और सेटिस्फाई करवा के देखना चाहते हैं कि कौन सा सेटिस्फाई करेगा। क्योंकि यहां पे ऑप्शंस हैं इस तरह के जहां पे सेटिस्फाई किया जा सकता है तो आप यहां पे ऑप्शन वन को सेलेक्ट कर सकते हैं। ठीक है? अदरवाइज़ एक स्टेप ही बस आपका यहां पर बचा है कि आप यहां पे क्रॉस प्रोडक्ट अभी करवाओगे। ठीक है ना? सो n वेक्टर कैसे निकलने वाला है? i कैप, j कैप, k कैप। ये फुल प्रूफ तरीका हो गया लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन निकालने का। मैंने नोटिस किया है कि बच्चे लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन निकालने

में थोड़े से कंफ्यूज रहते हैं। इसलिए अलग से सवाल करा रहा हूं। ठीक है ना? क्योंकि ये सवाल अपने आप में उतना कोई एडवांस्ड लेवल का नहीं है। क्योंकि यहां पर इसको सिंपल रखा है हमने। ठीक है ना? यहां पर केवल लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन निकालना सीख रहे हैं। ठीक है ना? बट सिंस मोस्ट ऑफ़ द स्टूडेंट्स आर सम हाउ कंफ्यूज्ड कि यार ये कैसे अचीव किया जाता है? इसलिए इसको हम अलग से डिस्कस कर रहे हैं। इसके ऊपर सवाल बनाने के लिए आगे आप बहुत सारे सवाल बना सकते हो। ठीक है ना? क्योंकि लाइन आ

गई तो पता पड़ा कि मैंने क्वेश्चन में एक और लाइन दे के रखी है और बोला कि उस लाइन से स्क्यू लाइंस बन रही है। तो डिस्टेंस बताओ। डिस्टेंस बिटवीन स्क्यू लाइंस। तो सवाल को बड़ा करने के लिए तो आप यहां पे बड़ा और भी कर ही सकते थे। राइट? चलिए। सो यहां पर आपके पास में जो इस्तेमाल होने वाले हैं डायरेक्शंस वो क्या-क्या हैं? यहां से 4 1 - 2 इस्तेमाल हो रहा है। राइट? और यहां से अगर मैं देखता हूं तो आपका 7 - 22 एंड 3 इस्तेमाल हो रहा है। क्या था? 4

1 - 2 एंड 7 22 7 - 22 एंड 3 इसको आप सिंपलीफाई करके देखो। आपका यहां पर क्या वैल्यू बेसिकली बनने वाला है। ठीक है? कितना आ जाएगा ये? i कैप के साथ में कितना आ रहा है? i कैप के साथ में अगर आप यहां पे देखते हैं तो आपका यहां पे थ्री है और उसके साथ में यहां पर आपका माइनस कितना है? माइनस आपका 44 है। -44 है और 3 है। तो -41 जा रहा है। काफी गंदा जा रहा है। अच्छा ओके है। है गंदा है। गंदा ही है। ठीक है। ऑलराइट। सो -41

यहां पर बेसिकली जा रहा है। अगर मैं यहां पर देखता हूं उसके बाद में कि आपका -j के साथ में कितना जा रहा है? तो यहां पर बेसिकली आपका 12 एंड देन 14। तो 26 जा रहा है। व्हिच इज़ आल्सो फाइन। क्योंकि 26 का डिवीज़ बेसिकली हम देख पा रहे हैं। एंड K कैप के साथ में कितना जाएगा? K कैप के साथ में अगर आप यहां पे देखते हैं तो आपको माइनस ऑफ़ 88 - 95 अच्छा सच में गंदा है। सच में गंदे गंदे वैल्यूज़ यहां पर क्रिएट हो रहे हैं। ठीक है ना? तो अब

यहां पर क्लियर हो गया आपको? आप यहां पे क्या कर सकते हैं? इस पूरे इक्वेशन को किससे डिवाइड कर सकते हैं? उस पूरे इक्वेशन को आप यहां पे अ मतलब इनफैक्ट इसको सीधा-सीधा यूज़ कर लो। माइनस माइनस हटा दो आप इसके अंदर से। तो यहां पे 41 लिखा हुआ होना चाहिए। यहां पे 26 लिखा हुआ होना चाहिए। और यहां पर आपका 95 लिखा हुआ होना चाहिए। क्या ऐसा ही आपको दिखाई दे रहा है? जल्दी बताइए। 41 26 एंड 95 क्या एग्जैक्टली वैसा ही दिखाई दे रहा है? बस ये करना पड़ेगा आपको कि यहां पर क्या

करना पड़ेगा? आपको ऊपर नीचे 26 से डिवाइड करना पड़ेगा। है ना? वो आपको यहां पर ज्यादा इजीली एक्सप्रेशन दिखाई देगा फिर। ठीक है ना? सर इज m पॉइंट m ऑन बोथ द प्लेन? यस यस यस पॉइंट m इज ऑन बोथ द प्लेनेंस। ये अगर आपका m पॉइंट आप इसको नाम दे रहे हो। ठीक है ना? तो दोनों प्लेेंस के ऊपर लाई कर रहा है। बिल्कुल सही बात है आपकी। राइट? सो आपका यहां पर ये वाला इक्वेशन कंफर्म कर पा रहे हैं सारे बच्चे? कि नहीं? नहीं कर पा रहे हैं। क्योंकि आप यहां पे जब अपना

आंसर लिखोगे तो ये ऐसा नजर आएगा। एक्चुअली जो आपका लाइन का आंसर निकल आया निकल कर आ रहा है वो ऐसा नजर आएगा जिसके अंदर आप 26 मल्टीप्लाई कर लेना नीचे अलग से एक्स्ट्रा। ठीक है ना? सो x - 11 / 26 / 41 फिर यहां पे आ जाएगा आपका y / 26 एंड यहां पे आ जाएगा आपका यहां पे आ जाएगा आपका z + 43 / 26 / 95 ये ओवरऑल आंसर आपका आना चाहिए। अब आप यहां पर क्या कर सकते हैं? अ यहां पे आप ऐसा इमेजिन करो कि आपने पूरी ही इक्वेशन में

क्या किया है? 26 मल्टीप्लाई कर दिया न्यूमैरेटर में। न्यूमरेटर में अगर आप 26 मल्टीप्लाई कर दोगे तो ये वाला सॉर्ट आउट हो जाएगा। यहां पे भी 26 मल्टीप्लाई करके ऊपर नीचे 26 कैंसिल कर सकते हो। और यहां पे भी आपका 26 मल्टीप्लाई करके ये इक्वेशन सॉर्ट आउट हो जाएगा। ठीक है ना? सो पूरी इक्वेशन लिखने के बाद में उन्होंने क्या किया है? रिप्रेजेंट करते समय यहां पे 26 मल्टीप्लाई करके यहां पर इस चीज को रिप्रेजेंट किया है। दैट इज़ द ओनली डिफरेंस। ठीक है ना? ओके। चलो। सो मेरे ख्याल से ये था आज का डिस्कशन।

काफी ज्यादा समय हमें यहां पे लगा इस तरह के क्वेश्चंस को पूरी तरह से डिस्कस करने में। नंबर ऑफ क्वेश्चंस अभी भी आप जाकर के पीछे करके देख सकते हो। हमने ज्यादा सॉल्व नहीं किए हैं। लेकिन हर एक क्वेश्चन चार-चार क्वेश्चन के बराबर सॉल्व किया है। तो हमें समय इसलिए इतना ज्यादा लगा क्योंकि इफेक्टिवली हमने कितने क्वेश्चन सॉल्व किए पता है? कम से कम 20 क्वेश्चन सॉल्व किए हमने। हमने कम से कम आज के लेक्चर में 20 क्वेश्चंस को एड्रेस किया है। दैट्स व्हाई इतना ज्यादा समय हमें यहां पे लगा है। अगर हम एक-एक क्वेश्चन

एक-एक क्वेश्चन के बराबर लेकर आते तो हमें इतना क्वेश्चन वैसे नहीं लगता। इतना समय नहीं लगता। लेकिन करना क्या है हमें यहां पर? हमें यहां पर इस तरह से अपने लेक्चर्स के अंदर रिवीजन करना है कि जेई एडवांस वाली थोड़ी फील भी आ जाए कि यार जेई एडवांस किस तरह से सवाल पूछ सकता है। मोर देन वन के सवाल डेफिनेटली जेई एडवांस पूछता ही पूछता है। कंप्रहशन पैटर्न के सवाल जेई एडवांस पूछता ही पूछता है। आज के लेक्चर में मैजो कॉलम नहीं इंक्लूड किए थे मैंने बट आप किसी भी क्वेश्चन को मैजो कॉलम के फॉर्मेट

में चेंज कर सकते हो। ठीक है ना? तो कॉनसेप्चुअली हमने यहां पर जो है लेकिन बहुत सारी चीजों को यहां पे एड्रेस डेफिनेटली किया है। ठीक है ना? ट्रिपल प्रोडक्ट को हमने यहां पे एड्रेस किया है। यस हमारा जो सबसे पहला सवाल था उसके अंदर वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट की बात हो गई थी। वेरी नाइस। ठीक है ना? सो हमने यहां पे वेक्टर्स के अंदर हां लेकिन वेक्टर्स के अंदर जो है थोड़े और क्वेश्चंस आप प्रैक्टिस अभी और भी कर सकते हो। ठीक है ना? आपके साथ में यहां पर मटेरियल भी शेयर किया हुआ है। है

ना? आपने यहां पर अनूप सर का वीडियो देखा ही होगा जहां पर आपके साथ में हमने जो है एडवांस लेवल मटेरियल शेयर किया है। है ना? उसको डाउनलोड करके आप सॉल्व कर सकते हो। ठीक है ना? फ्रीली अवेलेबल है। तो कोई यहां पे दिक्कत की बात नहीं है। ठीक है ना? एंड मेरे ख्याल से 3D में तो हमने काफी सफिशिएंट प्रैक्टिस कर लिए क्योंकि हमने यहां पे थोड़ा सा यहां पे पिरामिड भी डिस्कस कर लिया। हमने अपना टेट्राहेड्रन भी डिस्कस कर लिया। प्लेन की इंटरसेक्शन की लाइन उसके बाद में फलाना ढिमका जो भी हो सकता

था सब डिस्कस कर लिया हमने। ठीक है? ऑलराइट। कैसा लगा सेशन? बढ़िया लगा तो लाइक कर दिया करो यार। है ना? जल्दी से देखें एक बार कितने बच्चों ने लाइक कर दिया है सेशन को। लाइकवाइक करके जाया करो। और अगर अच्छा लग रहा है कमेंट-वमेंट भी कर सकते हो कि सर कैसा लगा? अच्छा लगा। थैंक यू सर। ये वाला क्वेश्चन वैसे हो सकता था सर। और क्या क्वेश्चन करना चाहिए? है ना? जो भी आप यहां पर बताना चाहते हो। कमेंट सेक्शन इज़ ओपन फॉर यू। ठीक है ना? ऑलराइट। पीवाईक्यू करते टाइम व्हाट आई अ क्या

व्हाट इज द रिस्पेक्टेबल टाइम एंड एक्यूरेसी फॉर द क्वेश्चन हम पीवाईक्यू करते समय क्योंकि अब यहां पे एकदम इतना समय आ चुका है कि आपको यहां पे अपने स्पीड को भी चेक करना है। इसलिए यहां पर अभी आपका डिसेंट इनफ टाइम यही है कि आपको यहां पे 5 से 6 मिनट के अंदर सवाल निपटाते आना चाहिए। ठीक है ना? मैक्स टू मैक्स सोच रहे हो तो 10 मिनट तक सोचो। लेकिन 10 मिनट के अंदर-अंदर तो आपको यहां पर पूरा जो है क्वेश्चन निपटाते आना चाहिए। भले वो जेई एडवांस का ही क्यों ना हो। राइट? लेकिन

जब आप इनिशियली सीख रहे होते हो तब ये यूजुअली हम टीचर्स बच्चों को नहीं बोलते हैं ऐसा क्योंकि तब वो सीख रहे होते हैं ना तब उन्होंने काफी कम क्वेश्चंस एड्रेस किए हैं काफी कम क्वेश्चंस देखे हैं तो उनको एकदम से चमकता नहीं है उस टाइम पे बच्चे मतलब उतने अच्छे तरीके से विजुअलाइज भी नहीं कर पाते हैं 3D को तो उस टाइम पे हम टीचर्स ये बोलते हैं कि यार जितना समय लग रहा है लगने दो लेकिन पीवाईक्यूस करते चलो साथ-साथ ठीक है ना अब लेकिन आप ऑलरेडी एक्सपीरियंस्ड है जेईई मेन आपका हो चुका

है रिजल्ट आ चुका है ठीक है ना सो एट दिस पॉइंट आई कैन एक्सपेक्ट सम स्पीड फ्रॉम यू एज वेल तो 10 मिनट के आसपास आप यहां पे बेसिकली एक सवाल सवाल को मैक्स टू मैक्स दे सकते हैं। ठीक है ना? एंड ये आपको 10 मिनट तभी लगना चाहिए जब वो उस पर्टिकुलर पेपर का या उस साल का अच्छा वाला क्वेश्चन है। अगर वो चंदी-चंददी क्वेश्चन भी आते हैं आपके जेई एडवांस के अंदर। ठीक है ना? जेई एडवांस के अंदर कुछ-कुछ क्वेश्चन ऐसे आते हैं कि आपको लगता है कि कहीं जेई मेन का क्वेश्चन तो

नहीं है। वैसे वाले क्वेश्चन में 10 मिनट कभी नहीं लगना चाहिए। वैसे वाले क्वेश्चन ही तो आपका एवरेज टाइम नीचे पुल करके लाएंगे। कुछ क्वेश्चन में आपका 10 मिनट लगेगा। कुछ क्वेश्चन में आपका 5 मिनट लगेगा। तब जाके तो एवरेज टाइम आपका 7 मिनट के आसपास आएगा। राइट? इससे ज्यादा टाइम आप ऑन एन एवरेज क्योंकि नहीं देना चाहते हो अपने क्वेश्चंस के ऊपर। ठीक है ना? ओके। कैसे पता चलता है कि y = 0 डालना है? हां। एक सवाल यहां पर बच्चा डाउट में पूछ रहा है लाइव चैट में कि यार यहां पे अगर ज़ीरो

नहीं दिया होता तो हमें कैसे पता चलता कि ज़ीरो डालना है? तो ये हमारा स्टैंडर्ड आईडिया है कि हम यूजुअली वैसे Z को ज़ीरो डालते हैं। यूजुअली हम Z को ज़ीरो डालते हैं। मोस्ट ऑफ़ द बुक्स में भी अगर आप यहां पे आंसर्स अ अगर चेक करोगे। किसके? लाइन ऑफ़ इंटरसेक्शन के आंसर्स को अगर आप चेक करोगे। अब पॉइंट क्या है ना इसके अंदर? द पॉइंट इज दिस कि पॉइंट तो इनफाइनाइट है इसके ऊपर। तो आप यहां पर z = 0 वाला भी एक पॉइंट डेफिनेटली निकाल सकते हो। y = 0 वाला भी एक पॉइंट

निकाल सकते हो। x = 0 वाला भी एक पॉइंट निकाल सकते हो। x = 1 वाला भी एक पॉइंट निकाल सकते हो। y = 10 वाला भी एक पॉइंट निकाल सकते हो। अब तो बहुत सारे यहां पे पॉइंट्स क्योंकि इनफाइनाइट है ना जो इसके ऊपर ल कर रहे हैं। तो इसलिए हमने यहां पर एक स्टैंडर्ड बना के रखा है कि हम किसी एक को ज़ीरो ले लेते हैं और उसकी मदद से फिर यहां पे बाकी जो बच गए हैं उनको कैलकुलेट कर लेते हैं। ये हमने जनरल प्रोसेस ऐसी बना के रखी है। समझ रहे हो?

तो इन मोस्ट ऑफ़ द बुक्स आपको z = 0 लेके अपना ऑप्शन क्रिएटेड दिखता है। यहां पर क्योंकि हमें दिख रहा था कि इन्होंने y = 0 लिया है। इसलिए हमने y को ज़ीरो लेके सॉल्व किया है आगे। ठीक है ना? ओके। सर वी कैन एलिमिनेट y फ्रॉम P1 एंड P2 एंड वी कैन डायरेक्टली गेट द आंसर। हां वो आप यहां पर कर सकते हैं। अगर आपको यहां पर दिख रही है चीजें कि यार ये मैं मैनेज कर सकता हूं यहां पे डायरेक्टली तो बहुत ही बढ़िया बात है। ठीक है ना? कोई दिक्कत ही नहीं

है। चलिए तो आपने अगर ये सारी चीजें अगर करके रखी हैं तो बहुत बढ़िया बात है। नहीं करी है तो इस तरह से आप यहां पे फर्दर प्रैक्टिस करते रहें। ठीक है ना? एंड आपके साथ में यहां पे अब जो आगे डिस्कशन स्टार्ट होने वाला है दैट वुड बी फॉर कैलकुलस। सो सी यू गाइज़ इन द नेक्स्ट वन। कैलकुलस का डिस्कशन यहां पर आपका क्योंकि नेक्स्ट लेक्चर से बिगिन हो रहा है तो थोड़ा और यहां पे जोश हाई होना चाहिए नेक्स्ट लेक्चर में मिलते समय ठीक है ना ऑलराइट लैम्ब्डा की वैल्यू -2 आ रही है

क्या चेक करो नहीं आ रही है वो तो हमारा यहां पे चेक्ड है ठीक है ना आपने क्या मिस्टेक करी आई डोंट नो ठीक है ना आप यहां पर कह रहे हैं कि कांस्टेंट आपका -8 नहीं आ रहा है यहां पे एक्स्ट्रा यहां पे -8 क्यों नहीं आ रहा है लेकिन आपका है ना यही वाले क्वेश्चन की बात कर रहे थे ना आप कहां पे डाल रहे हो आप मतलब -8 तो यह है ही यहां पे ये इक्वेशन जो है इसी के अंदर तो ये पॉइंट डाला है हमने। इस इक्वेशन में वाला पॉइंट डालेंगे तो

-8 क्यों नहीं आएगा? -8 तो यहां पे आएगा ही आएगा। ठीक है? ओके चेक कर लो आप एक बार आईडिया क्या है? ठीक है? चलिए टेक केयर एवरीवन। दैट्स इट फॉर द डे। सी यू गाइस। बाय-ब।