Integración numérica - Regla de Simpson

[Música] en este vídeo vamos a aprender la regla de simpson que nos va a ayudar a calcular integrales de forma numérica como ya lo hemos mencionado anteriormente la regla de simpson forma parte de un conjunto mayor llamado métodos de newton con la regla de simpson es nombrada de esta forma en honor al matemático inglés thomas ships la regla de simpson nos va a ayudar a resolver el problema de la integral definida entre los puntos a ive con el objetivo de conocer el área bajo una curva con una función de igual a fx para resolver este problema inicialmente dividimos el intervalo a ive en sub intervalos que tengan el mismo ancho el cual llamaremos incremento de x o delta de x donde delta de x será igual a el límite superior de la integral b - el límite inferior a entre el número de intervalos en el cual hemos dividido el intervalo a ive representado con la letra n minúscula también tenemos que conocer el valor de los límites de cada uno de los sub intervalos el cual representaremos con la variable x e irá desde x 0 hasta x n y para calcular estos sub intervalos tenemos esta fórmula x subíndice y será igual a el límite inferior a más la variable y multiplicada por el incremento del está de x hasta este punto la regla de simpson se comporta exactamente igual a las dos reglas que ya hemos visto anteriormente es decir la regla del rectángulo y la regla del trapecio sin embargo la principal diferencia con la regla de simpson es que si bien la regla del rectángulo aproximaba el área bajo la curva utilizando rectángulos con cada uno de los sub intervalos y la regla del trapecio hacia lo mismo pero trazando trapecios en este caso la regla de simpson tratará de estimar el área bajo la curva utilizando una parábola de esta forma el objetivo de la regla de simpson será calcular el área bajo esta curva que hemos representado con líneas verdes dentro del gráfico veamos entonces cómo podemos calcular el área bajo esta curva utilizando la regla de simpson para lo cual realizaremos las siguientes consideraciones primero tenemos que conocer cuál es el ancho de este intervalo que hemos elegido entre los puntos x0 y x2 si ya hemos definido que el ancho de cada uno de los sub intervalos es igual a delta de equis y como podemos observar gráficamente el intervalo que hemos elegido es exactamente el doble por lo tanto este ancho será igual a 2 delta de equis y podemos representarlo como la resta entre x2 menos x 0 también podemos encontrar la siguiente relación que será considerada como el punto medio de este intervalo el punto x1 podemos determinarlo como la semi suma entre x0 y x2 o dicho de otra forma x1 será igual a x0 más x2 entre 2 dentro de la regla de simpson como ya lo comentamos anteriormente estaremos estimando el área bajo la curva utilizando una parábola y por esta razón vamos a definir la fórmula de esa parábola de la siguiente forma y será igual a x cuadrada b x + una vez que conocemos la función de esa parábola vamos a ver como estimar el valor de cada uno de los puntos x0 x1 y x2 en función de esa parábola de esta forma si queremos conocer el punto de intersección entre x0 y la parábola tendremos que definirlo de la siguiente forma la función en x0 será igual por x 0 al cuadrado más b por x0 más algo similar ocurrirá con el valor de x 1 que podemos ver en pantalla en color verde si evaluamos la función de la parábola en ese punto obtendremos el siguiente resultado efe x 1 será igual aa por x 1 al cuadrado más b por x 1 más por último hagamos lo mismo pero con el valor de x2 y tenemos que la función evaluada en el punto x2 será igual aa por x 2 al cuadrado más b por x2 más estas cinco ecuaciones vamos a guardarlas como consideraciones generales que utilizaremos más adelante si deseamos conocer cuál es el área que se encuentra debajo de esa parábola sabemos que podemos integrar la función de la parábola entre los límites x0 y x2 y de esa forma obtendríamos el valor del área bajo la curva de esta forma si integramos esta función obtendremos el siguiente resultado a tercios de x cúbica que corresponde a la integral de la x cuadrada más de medios x cuadrada que corresponde a la integral de b x más c x que corresponde a la integral de c y esto lo vamos a evaluar entre los límites x 0 y x2 como ya lo sabemos cuando tenemos que evaluar una integral definida primero evaluamos el valor superior dentro de la función y le restamos la misma función evaluada pero en el valor inferior de esta forma el resultado de esa expresión quedaría de la siguiente forma a entre 3 x x 2 al cubo más b medios de x 2 al cuadrado más c por x 2 que corresponde a evaluar la función en el punto x 2 y le vamos a restar la misma función pero evaluada en x 0 es decir a sobre 3 x x 0 al cubo más b sobre 2 por x 0 al cuadrado más c por x 0 podemos ver que tenemos factores comunes en ambos lados de la ecuación es decir a sobre 3 multiplica a x 2 al cubo y a x0 al cubo b sobre 2 multiplica a x 2 al cuadrado y a x 0 al cuadrado y se está multiplicando a x2 y a x 0 por lo tanto podemos factorizar estos coeficientes y nos quedarían de la siguiente forma a sobre 3 x x2 al cubo menos x 0 al cubo más b sobre 2 x x2 al cuadrado menos x 0 al cuadrado más c por x 2 - x 0 en este punto tenemos que recordar dos propiedades de la factorización cuando tenemos una diferencia de dos variables que están elevadas al cubo podemos expresar las de la siguiente forma a al cubo menos de al cubo será igual a b x al cuadrado más a b - b cuadrada de la misma forma cuando tenemos una diferencia de cuadrados es decir al cuadrado menos de cuadrada esto será igual a menos ve por más b teniendo en mente estas propiedades vamos a desarrollar esta ecuación que hemos encontrado en la diapositiva anterior y nos quedará de la siguiente forma a sobre 3 quedará multiplicada por x 2 x 0 por x 2 al cuadrado más x 2 x x 0 más x será al cuadrado es decir sólo hemos cambiado la diferencia de variables al cubo por su representación en color rojo de la misma forma hemos cambiado la diferencia de cuadrados en color azul y ésta nos quedó como b entre 2 por x 2 - x 0 por x 2 + x 0 el último de los elementos quedó exactamente igual c por x 2 - x 0 ahora debemos observar que el elemento x 2 - x0 se encuentra en las tres partes de la ecuación por lo tanto lo podemos factorizar de la siguiente forma x 2 - x 0 quedara x a sobre 3 x x 2 al cuadrado más x2 x x 0 más x el al cuadrado más b sobre 2 x x 2 más x 0 + el siguiente paso será encontrar un factor común entre los coeficientes que se encuentran del lado izquierdo de la ecuación es decir encontrar un factor entre a tercios de medios y pse sobre 1 el factor común en este caso sería 6 y podemos representar la ecuación de la siguiente forma x 2 - x 0 sobre 6 será igual a 2a por x 2 al cuadrado más x2 x x 0 + x será al cuadrado más 3 b que multiplica x 2 más x 0 + 6 y en este punto vamos a hacer uso de la primera consideración que guardamos anteriormente es decir tenemos que recordar que x 2 - x 0 estaba representado por 2 delta de x y vamos a cambiarlo dentro de la ecuación de esta forma el primer elemento de la ecuación lo vamos a cambiar por dos él está de x dividido entre 6 continuando con el desarrollo de esta ecuación podemos encontrar que dos sextos es igual a un tercio y también el lado derecho de la ecuación podemos desarrollarlo por lo tanto encontraremos la siguiente ecuación de esta de x sobre 3 x 2 a x2 al cuadrado más 2 a por x2 x x 0 + 2 a por x será al cuadrado y 3 b también lo hemos multiplicado de la siguiente forma 3 b por x 2 + 3 b por x 0 + 6 en este punto he colocado los elementos de la ecuación en diferentes colores y lo he hecho así por la siguiente razón vamos a hacer la separación de esos elementos a conveniencia de la siguiente forma esto será igual a delta de x sobre 3 y como pueden ver en la parte de arriba tenemos dos veces a por x2 al cuadrado es decir podemos separarlo en dos elementos elemento 2 a x x 2 x x 0 quedó exactamente igual este no lo hemos dividido y 2a por x al cuadrado también lo hemos dividido en dos partes podemos ver en color verde el siguiente elemento 3 b x x 2 lo hemos dividido de la siguiente forma en la parte de arriba hemos dejado solamente b x x 2 y en la parte de abajo únicamente hemos dejado 2 b x x 2 el siguiente elemento que tenemos en color morado es 3 b por x 0 y lo hemos dividido de una forma similar al elemento anterior es decir hemos dejado solamente 1 en la parte de arriba y 2 en la parte de abajo por último vamos a dividir 6 c y esto lo hemos hecho de la siguiente forma hemos dejado una c en el primer paréntesis otras c en el segundo paréntesis y los 40 restantes los hemos dejado en la parte de abajo muy bien para que hemos hecho esta división lo hemos hecho por la siguiente razón vamos a hacer uso de las siguientes consideraciones si podemos observar vemos que a x 2 al cuadrado más bx 2 más c es el valor que definimos inicialmente para la función evaluada en el punto x 2 algo similar ocurre con el segundo factor es decir a por x será al cuadrado más b por x0 más se corresponde a la definición de la función evaluada en el punto x cero por lo tanto los valores de la función que están encerrados en color rojo y en color azul podemos cambiarlo por sus definiciones y la ecuación se reduce a la siguiente forma delta de x sobre 3 será igual a la función evaluada en el punto x 2 + la función evaluada en el punto x 0 + el resto de los elementos es decir a por equipos al cuadrado más 2 a por x 2 x x 0 + a por x 0 al cuadrado más 2 b por x 2 + 2 b por x 0 + 4 c en el siguiente paso podremos atención a los siguientes tres elementos de la ecuación los cuales se encuentran multiplicados por a y por lo tanto podemos hacer la siguiente factorización quedará multiplicada por x2 al cuadrado más dos por x2 x x 0 + xl al cuadrado de esta forma podemos observar que los elementos que se encuentran entre paréntesis en la parte de abajo corresponden a la definición de un binomio cuadrado perfecto es decir podemos expresar los de la siguiente forma por x 2 x 0 al cuadrado y haremos uso nuevamente de otra consideración x 2 + x0 podemos despejar lo de las consideraciones que tenemos del lado izquierdo y de esta forma nos quedaría que x 0 + x 2 es igual a 2 x 1 y esto lo vamos a cambiar en la ecuación del lado derecho y nos quedara como a por 2 x 1 al cuadrado podemos hacer algo similar con los siguientes dos elementos de la ecuación en este caso 2 b es el factor común por lo tanto podemos factorizar 2 b se multiplica a x2 más x 0 y haremos uso de la misma consideración es decir que x 2 + x0 es igual a 2 x 1 y lo colocaremos de la siguiente forma 2 b multiplicará a 2 por x 1 y el último elemento 4 c va a permanecer exactamente igual por lo tanto esta ecuación le vamos a reescribir de la siguiente forma delta de x sobre 3 x la función evaluada en el punto x 2 + la función evaluada en el punto x 0 + a que multiplica a 2 x 1 al cuadrado + 2 b que multiplica a 2 x 1 + 4 c a continuación vamos a desarrollar los elementos que se encuentran entre paréntesis y nos quedará de la siguiente forma el elemento a por 2 x 1 al cuadrado quedará como 4 a por x 1 al cuadrado y el elemento 2 b por top x 1 quedará como 4 b por x 1 podemos observar que el 4 está multiplicando a los tres últimos elementos de la ecuación por lo tanto lo podemos factorizar de la siguiente forma 4 multiplicará aa por x 1 al cuadrado más b por x 1 más y aquí hemos encontrado la última de las consideraciones que nos faltaba a tomar en cuenta es decir que a x 1 al cuadrado más bx uno más se corresponde a la función evaluada en el punto x 1 por lo tanto podemos hacer este cambio dentro de la ecuación y ordenando los elementos nos quedaría de la siguiente forma delta de x sobre 3 por la función evaluada en x0 más 4 veces la función evaluada en x1 más la función en x2 y de esta forma habremos encontrado el área bajo la curva de acuerdo a la regla del simpson esta área corresponderá gráficamente a el área que habíamos marcado inicialmente con las líneas en color verde y será igual a lo siguiente delta de x sobre 3 por la función evaluada en el punto x 0 más 4 veces la función evaluada en el punto x 1 más la función evaluada en el punto x2 de hecho esta definición se conoce como la regla de simpson simple la regla de simpson simple será cuando n sea igual a 2 es decir cuando tengamos únicamente tres intervalos sin embargo en nuestro caso no tenemos únicamente tres intervalos si no tenemos seis por lo tanto tenemos que calcular el resto de las áreas para conocer el área bajo la curva entre los límites a ive entonces en este punto tenemos que preguntarnos cuál es el valor del resto de las áreas que hemos marcado como a 2 y a 3 en el gráfico de la izquierda haciendo una analogía de cómo encontramos el área a1 podemos encontrar el área a 2 es decir observando el punto en el cual inicia el área a 2 el punto central y el punto final podemos hacer la analogía mencionada de la siguiente forma a 2 será igual a delta de x sobre 3 por la función en el punto inicial en este caso la función en el punto x 2 más cuatro veces la función en el punto central en este caso efe p x 3 más la función en el punto final en este caso efe x 4 de la misma forma podemos escribir la ecuación del área 3 que en este caso corresponderá a delta de x sobre 3 por la función evaluada en x 4 el punto inicial para esta área más cuatro veces la función en x 5 más la función en x 6 si quisiéramos calcular el área total simplemente tendríamos que sumar a uno más a dos más a tres que nos quedaría de la siguiente forma delta de x sobre tres por efe de x 0 más cuatro veces la función evaluada en el punto de x 1 y aquí tenemos que observar lo siguiente el punto final para el área 1 la función evaluada en el punto x 2 será el punto inicial de la siguiente área por lo tanto este punto se verá duplicado y quedará dos veces la función en el punto x 2 más cuatro veces la función evaluada en el punto central x 3 y en el punto x 4 ocurre exactamente lo mismo dado que es el punto final del área a 2 y el punto inicial del área a 3 se verá duplicado y quedará como dos veces la función evaluada en el punto x 4 + 4 veces la función en el punto x 5 más la función evaluada en el punto x 6 de esta forma hemos encontrado una representación para la fórmula general la cual es la siguiente delta de x sobre 3 y como podemos ver en esa ecuación lo que está indicando es que los extremos efe x 0 y fx n quedarán multiplicados por un coeficiente igual a 1 y el resto de los elementos tendremos que multiplicar los de la siguiente forma los elementos que correspondan a un punto de x sub índice par quedarán multiplicados por 2 en nuestro ejemplo de la parte de arriba esto corresponde a efe x2 y fx4 y los elementos que tengan un índice impar quedarán multiplicados por cuatro en nuestro ejemplo de la parte de arriba f x 1 f x 3 y f x 5 muy bien este resultado que hemos encontrado se llama regla de simpson un tercio y recibe el nombre de un tercio porque hemos utilizado tres sub intervalos para el cálculo de cada una de las áreas una de las particularidades que tiene esta regla de simpson un tercio es que el valor de n tiene que ser par dado que estamos utilizando un número par de sus intervalos para calcular cada una de las áreas muy bien para concluir veamos un ejemplo de cómo aplicar la regla de simpson en el ejemplo número 1 se nos pide estimar la integral definida entre los puntos 0 y 1 de la función e elevada a la equis cuadrada diferencial de x usando la regla de simpson con n igual a 4 como ya lo mencionamos la regla de simpson requiere que el valor de n sea par el primer paso al igual que lo hemos estado haciendo con la regla del rectángulo y con la regla del trapecio será calcular delta de x que es igual a el límite superior b menos el límite inferior a entre el valor de n en este caso esto es igual a 1 - 0 entre 4 que es igual a un cuarto y numéricamente nos da un valor de 0. 25 el siguiente paso será calcular el valor del inicio y el final de cada uno de los sub intervalos representados como x sub índice y que podemos calcular con la siguiente fórmula x sub índice y será igual al valor del límite inferior a más la multiplicación de la variable y por delta de x en este caso si calculamos cada uno de los intervalos obtendremos que x de 0 será igual a 0 x de 1 será igual a 0. 25 x 2 a la 0.

5 x 3 igual a 0. 75 y x 4 será igual a 1 y vamos a colocarlo dentro de la siguiente tabla que utilizaremos posteriormente para los siguientes cálculos en el siguiente paso haremos uso de la definición de la regla de simpson de la siguiente forma la integral de los límites 0 y 1 de la función es elevada a la x cuadrada diferencial de x será aproximadamente igual al valor de delta de x en este caso 0. 25 dividido entre 3 y como ya explicamos anteriormente la regla de simpson funciona de la siguiente forma los extremos efe gx de 0 y f de x de n en este caso x 4 serán multiplicados por un coeficiente igual a 1 los elementos que se encuentran en la parte central desde efe x 1 hasta f x 3 seguirán la siguiente regla los elementos que tengan un sub índice impar en este caso x1 y x 3 quedarán multiplicados por un coeficiente igual a 4 y los elementos que tengan un sub índice par en este caso x sub índice 2 multiplicados por un coeficiente igualados dicho lo anterior vamos a cambiar los valores desde x 0 hasta x 4 dentro de la función y la ecuación nos quedará de la siguiente forma 0.

20 53 x e elevado a la cero al cuadrado más cuatro veces es elevado a las 0. 25 al cuadrado más dos veces y elevado a las 0. 5 al cuadrado más cuatro veces y elevado a las 0.

75 al cuadrado más y elevado a la 1 al cuadrado numéricamente esto quedará como 0. 25 entre 3 x 17. 56 45 y haciendo las operaciones el resultado final de este ejercicio será igual a 1.