Matemática - Aula 11 - Resolução e elaboração de problemas que envolvam funções trigonométricas:

e [Música] [Música] [Música] olá olá você que está me assistindo bem-vindo a mais uma aula do componente de matemática eu sou a professora valcinei de Malta e estarei ministrando então Mais uma aula vamos observar qual aula é essa essa aula é a de número 11 o objeto de conhecimento é resolução e elaboração de problemas que envolvam funções trigonométricas função seno e cosseno detalhamento funções trigonométricas seno e cosseno mas nessa aula nós vamos aí apenas trabalhar a função cosseno então preparem-se [Música] o objeto da nossa aula é função cosseno para isso então vamos relembrar o que

é o cosseno o cosseno ele é uma razão trigonométrica ele vale para os triângulos retângulos se estamos falando de razão toda razão é uma divisão então o cosseno ele é a divisão né a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa vamos lembrar o que são esses termos olhem aqui um triângulo retângulo observem que esse triângulo ele tem três lados né como todo o triângulo o maior lado é chamado de hipotenusa que é o que fica oposto ao ângulo de 90º e os outros dois ângulos tá então o maior lado Como já disse é hipotenusa

os outros dois lados são chamados de cateto e o cosseno é a razão entre o cateto que está adjacente ao lado desse ângulo dividido pela hipotenusa mas isso depende do ângulo tá Depende de qual ângulo Você está se referindo então observem aqui nós vamos olhar apenas para o ângulo a esse vai ser a nossa referência então o cosseno desse ângulo cateto AD ente então observem ali ó cateto adjacente dividido pela hipotenusa Então esse é o cosseno Tá OK agora Se nós formos olhar para o ângulo B observem aqui agora na nossa próxima imagem a referência

vai ser o ângulo b então observem que o cateto adjacente dele mudou o cateto adjacente desse ângulo ó é o que está aqui ó embaixo adjacente ao lado tá então o cosseno vai ser a divisão desse cateto pelo valor da hipotenusa Tá ok então lembrando aí o cosseno depende do ângulo de referência vamos a cartela para que você possa visualizar melhor Observe então a nós temos o mesmo triângulo só que o ângulo de referência muda eu tenho o ângulo a e eu tenho o ângulo b então o cosseno aí vai ser a divisão entre o

cateto adjacente dividido pela hipotenusa então a hipotenusa não muda de posição mas os catetos estão condicionados aos ângulos de referência Ok então para que a gente possa lembrar aí primeiro o que é o cosseno certo para cada ângulo existe um valor dessa razão e essa razão sempre vai ser a mesma tá se for aquele ângulo por exemplo se for o ângulo 30 então o cosseno desse ângulo 30 vai ser sempre aquele mesmo valor tá porque é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa Tá ok vamos continuar Então a nossa aula porque vocês já viram sobre o

círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico tá existem vários nomes e nós vamos agora referenciar o cosseno Com base no nosso ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico observem aqui na nossa cartela nós temos aí dois por um está irradiando e o outro está em graus celus tá então vamos fazer aí a correspondência se eu tenho 0 G significa que aqui também é 0 Gra tá 0 graus não é cel tá gente não é temperatura aí desculpem tá continuando se eu tenho aqui 90º em radiando é pi so 2 se eu tenho meia volta 180º Isso significa que irradiando

é Pi continuando 270º então aqui vai corresponder a 3 pi so 2 e uma volta completa isso é igual a 2 pi uma volta completa é quanto 360º lembrando aí tá da direção sempre assim tá sentido antihorário Então tá aí as correspondent e esses outros professora temos aqui também então nós colocamos aqui os ângulos notáveis tá Para que vocês possam acompanhar então 30º vai ser pi so 6 45º pi so 4 60º PI so 3 Tá certo assim como as outras correspondências também mas nós não vamos aí verificar seno e cosseno porque o círculo trigonométrico

Ele trabalha com os dois valores lembrando que o eixo aqui ó o eixo vertical O que é esse eixo vertical o eixo vertical são os valores do seno mas nessa aula nós vamos trabalhar com o eixo horizontal esse aqui ó e aqui está a correspondência dos valores do Cosseno desses ângulos tá então observem aqui esses pares Olha só se eu tenho aqui por exemplo o ângulo pi sobre 2 que é o ângulo de 90º qual é o cosseno dele então a gente vai olhar para essa reta aqui ó Lembrando que essa reta aqui ó ela

tem um raio como vocês puderam perceber Qual é o raio dela o raio dela é igual a um então um para cá e aqui é -1 quanto é o cosseno de pi sobre 2 ou seja de 90º Que número é esse aqui ó então Ó o cosseno vai ser esse valor que está aqui ou seja cosseno de pi sobre 2 o cosseno de 90 é igual a 0 a mesma correspondência nós vamos fazer para todos os outros ângulos então se eu tenho aqui por exemplo o ângulo pi sobre 3 que é o ângulo de 60º

olha aqui quanto que será o cosseno dele é esse valor aqui O valor vai ser menor que 1 assim como pi sobre 4 assim como pi sobre 6 tá 45 60 cada um vai ter um valor aí esse valor é menor que um como você vocês podem observar que valor é esse professora nós trouxemos a correspondência de cada um deles aqui em uma tabela para que vocês possam fazer as suas anotações porque nós vamos utilizar depois na construção do gráfico tá então observem aqui na nossa tabela para ficar de forma mais organizada então eu tenho

aí os ângulos notáveis tá Arcos notáveis e também tem a sua correspondência aí então quando o ângulo for zero o cosseno vai ser quanto do Cosseno vai ser igual a 1 Tá ok Por que professora vamos lá correspondência de novo quando o ângulo for zero olha o ângulo zero aqui ó quanto que é o cosseno ora o cosseno tá bem aqui ó é o 1 certo vamos fazer a mesma coisa com os outros o cosseno de 30º Lembrando que o ângulo em radiando vai ser igual a pi so 6 30 é pi so 6 então

cosseno de Pi so 6 é igual A3 so 2 o cosseno de 45º vai ser igual a √2 so 2 quem é quem é 45 mesmo é pi divo por 4 Tá certo lembrem disso 60º Qual é o cosseno de 60º ou seja do ângulo pi so 3 isso é igual a 12 e o de 90º é o mais fácil né para você lembrar a lembra qual é o cosseno de 90 zer Tá certo e assim por diante 180º é o que está na outra ponta o ângulo o cosseno de 180º é igual a -1

de 270 que ele é o correspondente lá de 90 vai ser igual a 0 também e 360 vai ser igual a 1 então todos esses valores aí tem que estar na mente de vocês tá por isso nós colocamos aí em tabela porque nós vamos fazer essas correspondências na hora de você trabalhar com questões na hora de resolver problemas e também para que a gente possa montar o nosso gráfico tá então essa tabela aí tem que estar fixa no seu caderno nas suas anotações para que você possa desenvolver aí a os problemas tá e conseguir resolvê-los

Tá OK agora que sabemos o que é o cosseno Qual o valor do Cosseno dos ângulos notáveis né dos Arcos notáveis Então a gente vai paraa definição pro conceito do que é uma função cosseno Vamos então a nossa cartela mais uma vez temos a definição na tela a função cosseno é uma função periódica e seu período é 2 pi O que é isso professora Já já nós vamos ver na prática O que é isso ela expressa por a forma algébrica da função cosseno FX igual se estamos falando de cosseno Então vai ser cosseno de x

esse x pode ser o valor né qualquer valor real e esse x vai ser um ângulo né estamos trabalhando com cosseno Então quando você vê esse tipo de função Você está sabendo que é a função cosseno e a representação dela é dessa forma lembrando também que pode ter aqui tá outras variáveis tá outras variáveis não desculpa outros valores aqui acompanhando também certo nem sempre vai est dessa forma enxuta Então se ess é a função cosseno sabemos que toda função ela tem a sua representação algébrica tem a sua representação gráfica tá então nós vamos agora trabalhar

o gráfico dessa função mas para que a gente possa trabalhar o gráfico dessa função nós não vamos utilizar muitos valores nós vamos utilizar aqui aqueles valores que a gente viu lá os arcos notáveis mas não todos eles porque a tabela é grande né Se a gente for montar o gráfico com todos aqueles valores ele vai demorar então nós vamos utilizar apenas alguns ângulos ângulo zero de 90º 180 270 e 360 que é uma volta completa tá lembrando que a gente vai fazer a equivalência tanto em graus quanto em radiando Tá ok vamos então voltar ao

nosso cíclo observem aí o cíclo ou círculo tá temos então na tela para vocês mais uma vez o nosso círculo trigonométrico ele corresponde a uma volta completa ou seja de 0 até 360º Então eu tenho aqui os valores em graus Lembrando que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal corresponde a quem ao cosseno por isso que está aqui ó em vermelho destacado Então nós vamos verificar esses valores apenas tá para que a gente possa então aí colocar os pares ordenados no nosso plano cartesiano Quais são os pares ordenados Vamos trabalhar apenas com

esses valores aqui ó 0 gra 90º 180 como eu falei 270 e 360 Tá ok vamos apagar e agora vamos fazer as correspondências o que mais professora se eu tenho aí um círculo Então significa que o raio dele vai ser quanto Então esse raio aqui ele é igual a 1 então daqui do zero até aqui é 1 então para cá pro outro lado vai ser igual a quanto -1 Ok vamos lembrar então os pares Quais são os pares observem aí quando o ângulo for 0° qual vai ser o valor do Cosseno ora vai ser igual

a 1 temos o primeiro par ordenado aí quando X for z0 o cosseno vai ser igual a 1 quando o ângulo for 90º ou seja pi so 2 qual vai ser o valor do Cosseno aqui ó zer então quando X for 90 o cosseno vai ser igual a 0 e assim por diante 180 quando for 180 Qual o valor do Cosseno tá aqui ó -1 quando for 270 qual vai ser o valor novamente vai ser igual a 0 e uma volta completa 360 também vai ser igual a 1 vamos organizar isso vamos colocar na tabela

observem aqui então todos os pares ordenados então aí para vocês tanto em grau quanto em radian e agora nós vamos colocar isso no plano cartesiano para colocar no plano cartesiano Então nós vamos marcar todos esses pares Lembrando que o x tá são os valores dos ângulos ou seja lá no plano cartesiano nós vamos colocar no no eixo de X quais os valores os valores de todos esses ângulos aí certo e no valor aqui no lugar do Y que é o eixo vertical nós vamos colocar então aí os valores do Cosseno certo então aqui ó vai

ser o valor do Cosseno colocando então cada um desses pares aí nós teremos a seguin imagem tá nós teremos então o seguinte gráfico observem aqui na nossa cartela vai ser aí uma curva que é chamada aí de ondinha né isso lembra aí as ondas por quê Porque esse é o gráfico do Cosseno e isso é chamado de cossenoide tá então ele parece com a função seno só que a função seno lembre a diferença ela passa aqui ó pelo Z E aí depois ó faz isso daqui tá e a função cosseno ela começa aqui ó quando

X for 0 o y vai ser igual a 1 ela vai interceptar o eixo aqui de y que é o cosseno no ponto aqui 1 tá essa é a diferença então observem bem para que não você não confunda então aqui temos todos os pares ordenados da nossa tabela que nós construímos quando o x for 0 o y vai ser igual a 1 quando o x for meio pi Quanto que é meio pi mesmo 90º ou seja pi so 2 o valor do Y vai ser quanto valor do Y vai ser zero por isso que o

ponto fica ali no 90º ou seja pi so 2 quando o ângulo for 90º ou seja pi qual vai ser a imagem a imagem vai ser igual a -1 como está lá na nossa tabela certo Por isso que nós marcamos apenas aqueles pontos lá tá quando for 270 mais uma vez vai ser igual a quanto a imagem vai ser zero né o cosseno vai ser zero então a gente coloca aí o ponto no eixo de x e assim por diante Então as características que a gente precisa lembrar dessa função desse gráfico são essas características que

aparecem aqui PR gente então vamos lá o gráfico é uma curva tá E essa curva é chamada de cossenoide vocês também estão verificando que existe aí a imagem quem é a imagem é o espelho que reflete no eixo de Y né são os resultados esses resultados são qualquer valor não vocês observaram aí que a curva ela sempre está ali ó nessa imagem e essa imagem está no intervalo bem definido sempre do men1 a até o 1 então a imagem tá da função cosseno ela está nesse intervalo ela é maior ou igual a -1 e menor

ou igual a zero ou a um Positivo tá não esqueço vamos observar aí essa imagem no nosso gráfico novamente observa então na nossa cartela aí em tela cheia para que vocês possam acompanhar a imagem novamente observem aqui a nossa mais uma vez o nosso gráfico a imagem é o eixo de y tá bom Não esqueça então a imagem ó o intervalo tá aqui ó entre men-1 e 1 tá então mais uma vez a imagem vai ser maior ou igual a um e menor ou igual a um por isso que tá aqui ó essa imagem Projetada

aqui certo não esqueçam disso professora eu também posso verificar outra coisa essa curva ela é periódica por isso que o nome dessa função ela significa que é uma função periódica Por quê a curva sempre está se repetindo nesse período qual é o período essa curva vai de 0 até 2 pi Ou seja é quando representa uma volta completa 360º Esse é o período da função então a função cosseno que ela é identificada como FX = cosseno de x ou Y = cosseno x ela é uma uma função periódica o período que que é o período

professora é a curva do gráfico no intervalo de 0 a 2 pi chamado de cossenoide Então o período da função é o quê é 2 pi por quê Porque vocês viram que aqui nós temos aqui a ondinha e o que acontece com ela depois ela se repete e se a gente continuasse ela se repetiria mais uma vez Então essa ela é chamada assim como a função cosseno de função periódica e para que vocês possam aí acompanhar melhor trouxemos aqui as características então Façam as suas anotações porque a gente pode ver facilmente então que essa função

ela é periódica Tá ok então por que que ela é periódica mesmo porque ela se repete após 2 pi portanto concluímos que o período dessa função é 2 pi ou seja uma volta completa porque no círculo né trigonométrico a gente sabe então que isso é igual a uma revolução revolução uma volta completa se a gente tivesse valores maiores que do Pi ou seja maiores que 360º a gente estaria simplesmente repetindo a volta ao redor do ciclo do ciclo ou do Círculo e a gente obteria tá o mesmo valor unitário tá ok ok que são valores

equivalentes A dosp então mesmo que você faça mais de 360º mais de uma volta os valores serão equivalentes tá vocês viram ali por isso que é chamada de função periódica Tá certo compreenderam então vamos agora a uma outra característica da função cosseno Qual é a outra característica se ela tem um período a gente pode calcular esse período como a gente calcula Observe que na nossa tela período de uma função cosseno a forma padrão da função cosseno é essa certo a gente já viu pra gente calcular o período dessa função a gente vai dividir uma volta

completa que é 2 pi dividido por módulo de B Mas quem é esse b professora B é o coeficiente aqui de x é o valor que acompanha o x da lei da função então pra gente determinar o período de uma função cosseno a gente precisa apenas do quê do coeficiente da variável x se a gente souber esse coeficiente a gente consegue determinar Lembrando que eu posso ter uma expressão aqui dentro enorme mas a única coisa que vai me interessar para calcular o período de uma função cosseno é o coeficiente que acompanha o x que a

gente chama de B mas pode ser qualquer outro outra letra aí tá outra variá certo qualquer outro coeficiente Observe então na prática como a gente resolve isso olha aí ó qual é o período da função cosseno Y = 2 cossen 4x como a gente calcula isso ora professora lembrando mais uma vez que a senhora disse que só precisa do coeficiente B tá aqui a expressão do Cosseno aqui a expressão do período do Cosseno se a gente souber o coeficiente b então a gente consegue resolver então quem é o coeficiente B aqui no nosso exemplo ol

o coeficiente B é aquele que acompanha o x quem está acompanhando o x aqui é o 4 certo então se o 4 está acompanhando o X Ele é o coeficiente b então você vai dividir 2 pi pelo módulo desse coeficiente que que é módulo mesmo Lembrando que no módulo tudo fica positivo certo que o módulo a gente tá trabalhando aí com distância então se eu tenho módulo de -4 que não é o 4 O resultado é +4 mas como eu tenho aí um valor positivo então módulo de 4 vai ser 4 positivo também tá então

a gente apenas substitui Então esse valor na nossa expressão substituindo Então vamos lá organizar isso módulo de 4 é igual a 4 então substituindo aqui no lugar do coeficiente que que a gente pode fazer nessa expressão a gente vai simplesmente simplificar certo vamos simplificar 2 e 4 os dois a gente pode simplificar por 2 então 2 simplificado por 2 Isso vai ser igual a quanto vai ser igual a 1 que não precisa colocar o um aqui certo 4 simplificado por 2 4 div por 2 é ig a 2 dá para fazer mais alguma coisa aqui

não Então o período da função é igual a pi sobre 2 esse é o resultado simples não é então mais uma vez para você resolver encontrar o período da função você precisa apenas do coeficiente B tendo o coeficiente b então calcule o seu módulo e substitua na nossa expressão e você vai fazer aquilo que é necessário tá se for para simplificar você simplifica se for divisível você vai dividir e esse vai ser o período da função certo então vamos agora relembrar aí coisas bem importantes aí da nossa função a função cosseno primeiro a função cosseno

ela é uma função qu ela é uma função periódica tá tá então nós já Vimos a função seno e agora a função cosseno nós temos aí a sua representação algébrica a representação algébrica da função cosseno vai ser a que está aqui ó FX = a cosseno de x então uma função dos reais pros reais tá ela tá definida nessa nesse domínio que associa a cada número real x o seu seno então a gente viu que a representação também gráfica vai ser aqui uma curva chamada cossenoide e essa curva ela sempre vai repetir aí da mesma

forma ou seja por isso que ela é chamada de periódica e ela tem um período certo qual é o período tá aqui ó é uma volta completa né então 2 pi certo que mais Professor observem aqui que a imagem o espelho ali no de y é sempre o mesmo então a imagem da função cosseno ela está no intervalo de -1 até 1 tá essa curva fica aí nesse espaço então a imagem da função é esse intervalo por isso que nós temos em destaque aqui ó o domínio da função cossenos reais a imagem o intervalo de

men1 até 1 ou seja maior ou igual a 1 menor ou igual a 1 positivo e temos aqui o período também 2 pi radiando que Isso corresponde a 360º não esqueçam tá então se eu falo além de 360º significa que é mais que uma volta assim como se eu falar além de 2 pi valores maiores 2 pi também se referem a mais de uma volta tá ok então a função cosseno ela é determinada dessa forma mas Lembrando que pode ela pode sofrer variações aí mas sempre respeitando essa forma algébrica FX = cosseno de x tá

cada número real associado ao seu cosseno por isso que nós trabalhamos aqui os arcos notáveis tá aquela tabelinha lá tem que estar aí anotada tem que estar na sua mente para que a gente possa aí fazer os exercícios resolver problemas tá e você voltar naquela tabela lá para que você possa encontrar o valor do Cosseno daqueles Arcos notáveis Tá ok ES espero que vocês tenham compreendido aí e eu agradeço imensamente aí a participação a atenção de vocês aqui tá certo finalizamos então a aula por aqui agradeço até a próxima l [Música]